一元二次方程根的判别式知识点

一元二次方程根的判别式知识点及应用

1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a

≠0)中，Δ=b²4ac

若△＞0则方程有两个不相等的实数根

若△=0则方程有两个相等的实数根

若△＜0则方程没有实数根

2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：

在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac

若方程有两个不相等的实数根，则△＞0

若方程有两个相等的实数根，则△=0

若方程没有实数根，则△＜0

特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。

3、一元二次方程根的判别式的多种应用：

不解方程，判断一元二次方程根的情况。

例1、判断下列方程根的情况

2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0

二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。

例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？

三、证明方程根的性质。

例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。

四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。

例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围

内因式分解。

五、判定二次三项式为完全平方式。

例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。

例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。

六、利用判别式构造一元二次方程。

例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）

求证：2y=x+z

七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。

例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。

八、与几何知识相联系的问题。

例9、已知方程a（x2+1）-2bx+c（x2-1）=0有两个相等的实数根，a、b、c为一三角形的三条边，求此三角形的形状。

例10、已知a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边，求证：关于x的方程

x2-2（a+b）x+c2+ab=0有两个相等的实数根。

九、判断其他类方程根的情况。

例12、分式方程无实数根，求m的取值范围。

例13、a、b、c为一三角形的三条边长，若方程ax-y+bc=0与方程x2-ax-y+b2=0只有一组公共的实数解，求次三角形的形状。

十、解决二次函数的相关问题。

例14、若抛物线y=x2-ax+8的顶点在横轴上，求a值。

例15、求证：无论m为何值，二次函数y= x2-（m+4）x+2（m-1）总与横轴有两个交点。例16、直线y=3x-3与y=x2-x+1有几个交点？

评析：二次函数与二次方程有密切的联系，抛物线与横轴交点个数由Δ决定，即Δ>0时，有两个交点；Δ=0时，有一个交点（或者说顶点在横轴上）；Δ<0时没有交点（或者说当a>0时函数值恒为正，当a<0时函数值恒为负）。

十一、求最值问题。

例17、已知x为任意实数，求的最值。

十二、巧解方程（组）。

例18、求方程2x2-2xy+y2-2x+1=0的实数解。

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