复变函数 部分内容的总结与习题

复变函数部分内容的总结与习题

复变函数部分内容的总结与习题

基本的幂级数展开式：11zz2zn(z1)1zz2zne1z(z)

2!n!zz3z2n1nsinzz(1)(z)

3!(2n1)!2nz2nzcosz1(1)(z)2!(2n)!幂级数的重要性质：逐项求导

设f(z)01(zz0)2(zz0)2n(zz0)n则f(z)122(zz0)nn(zz0)n1

应用：从已知函数的幂级数展开式求它的导数的幂级数展开式，例如，

112n112z3znz2(1z)1z求函数在指定点z0幂级数展开式:1.2.

1，z0b，abza1，z0b，ab2(za)(zb)33.，z0b，ab

za4.

zziizzi，提示：0z22z1(z1)2(z1)2z22z1zz21，z01提示：

(z1)(z2)(z1)(z2)z2z15.6.

1，z012z1

洛朗级数展开式

{“Error”:{“code”:”8”,”Message”:”badrequest”,”LogId”:”108 4180571”}}6.

1，0z22z(z2)1z(z2)37.

z0注意：在R1zR2内展开的结果必须是zz0的正幂或负幂的和，即具有n，0z22(zz)形式。nn08.

1，0z222z(z2)9.

10z21

(z1)2(z2)10.求下列函数在孤立奇点的去心邻域内的洛朗展式：

ze，(z1)e，ze21z21z21z1111，(z1)e，z2sin，z2sin，(z1)2sin，

zz1z21z1111，(z1)2cos，(z22z)cosz2cos，z2coszz1zz

复变函数的积分

一、不解析函数的积分

利用曲线的参数方程，化成定积分计算。

起点是a，终点是b的直线段的参数方程:z(t)(1t)atb，0t1圆zar的参数方程：z(t)areit，0t2圆zr的参数方程：z(t)reit，0t2

设C是起点是1i，终点是23i的直线段或圆z1，计算1.2.3.4.

xdz，即Rezdz，

CCCydz，即Imzdz

Czdz

C(xiyC2)dz

二、解析函数在不闭合曲线上的积分，用原函数上下限计算，也可用参数方程化

定积分计算。1.

2iicoszdz

2.设C是圆z1从1到1反时针方向。z（11），lnz（ln10)是去掉原点和正实轴的复平面内的单值解析函数分支，计算

Czdz，lnzdz

C三、解析函数在闭合曲线上的积分，用留数计算，等于曲线所围成的区域内所有奇点的留数之和乘以2i。1.

z1z1dz3z(z4)e6z2.2dz

z16z5z13.

z21zdz2sinz221z4.

z1(1zz)edz

无穷限广义积分的计算

一、有理函数，分母在实轴上不等于0，分母比分子至少高二次，从到

积分，等于上半平面奇点的留数之和乘以2i。1.

x(x21)(x22x2)dx

2. 01x2dx41x二、在实轴上没有零点的有理函数和三角函数的乘积公式当f(x)是偶函数时，f(x)cosxdxf(x)eixdx，

当f(x)是奇函数时，f(x)sinxdxif(x)eixdx

f(x)eixdx等于f(z)eiz在上半平面奇点的留数之和乘以2i。

xcosxx22x10dxxsinx2.dx

0x29

保形映射

1.映射的保角性指的是什么？什么映射具有保角性？

1.2.为什么分式线性函数具有保角性？

3.如果一个保形映射把ABC映射成FDE，那么BC映射成FDE的哪条边？BA映射成FDE的哪条边？

C ED3030BAF

单叶（即一对一）解析函数的重要性质：

把区域映射成区域，区域的边界映射成边界。

要确定映射成什么区域，首先确定它的边界映射成什么曲线了。区域映射成曲线的内或外，或左，或右。

问题：

z1一、对于w，回答以下问题。

z11.把实轴映射成什么？2.把实轴上[1,1]映射成什么？3.把实轴上[,1]映射成什么？4.把实轴上[1,]映射成什么？5.把z1映射成什么？6.把z1映射成什么？7.把z1映射成什么？

8.把半圆z1,Imz0映射成什么？9.把半圆z1,Imz0映射成什么？

10.把上半平面圆的外部区域z1,Imz0映射成什么？11.把虚轴Rez0映射成什么？

z1二、对于w，回答以下问题。

zi1.把实轴映射成什么？2.把虚轴映射成什么？3.把z1映射成什么？辐角●下面的条件分别表示什么集合？

argz0，argz，argz4，arg(zi)4，arg(zi)5，0argz44，0argz，0argz2

4●求值（写出实部、虚部）

0arg(zi)1i111i2i2i23i(13i)，(13i)/，esin(2i)，ecos(2i)，Lne，

22111212Ln(33i)

●求ez把区域映射成什么区域，就是求ez的模和辐角的取值范围；●求lnz 把区域映射成什么区域，就是求lnz的实部和虚部的取值范围；

●下面的函数在什么点有导数？求出导数。

2z1，zn，zz，x2yi(y2x)z2●求z(t)对t的导数。

z(t)eit，z(t)t2it3

●设lnz（ln10）是Lnz的一个解析分支，问ln(1i)可能的两个值是什么？●设lnz（ln12i）是Lnz的一个解析分支，问ln(1i)可能的两个值是什么？

提示：两种割线

扩展阅读：关于复变函数积分求解总结