数列的存在性问题

数列中的一类存在性问题

执教者：罗建宇（江苏省张家港市暨阳高级中学）

题组一

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．

（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式；

（2）设数列{}n b 的通项公式为n

n n a b a t =+，问：是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，

(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）2

21,n n a n S n =-=

（2）21

21n n b n t -=

-+，要使得12,,m b b b 成等差数列，则212m b b b =+

即：312123121m t t m t -=+

++-+ 即：4

31

m t =+- ∵,m t N *

∈，∴t 只能取2，3，5 当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，

4m =．

【注】“存在”则等价于方程有解，本例利用整除性质解决．

2．（09年江苏卷17）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足

222223457,7a a a a S +=+=．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得12

m m m a a

a ++为数列{}n a 中的项．

【解析】（1）设公差为

d ，则2222

2543

a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，

又由77S =得176

772

a d ⨯+=，解得15a =-，2d =,所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-．

(2)

12m m m a a a ++=(27)(25)23m m m ---，若其是{}n a 中的项，则

(27)(25)

2723m m n m --=--， 令23t m =-，则12m m m a a a ++=

(4)(2)8

627t t t n t t --=+-=-, 即：8

21n t t

=++ 所以t 为8的约数． 因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，

当1t =，即2m =时，5n =；当1t =-，即1m =时，4n =-（舍去）． 所以满足条件的正整数2m =．

【注】不仅可以利用整除性质解决，也可利用奇偶性分析．

3． （南通市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()

2

n n n a a S -=

． （1）求a 1； （2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；

（3）设1

lg 3

n n n a b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1

若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．

【解析】（1）令n =1，则a 1=S 1=111()

2

a a -=0．

（2）由1()2n n n a a S -=，即2n n na

S =， ①

得1

1(1)2

n n n a S +++=． ②

②－①，得1(1)n n n a na +-=． ③

于是，21(1)n n na n a ++=+． ④

③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，

所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，a n =n －1．

（3）解法1：假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q

成等差数列，于是，2133

3p q p q

=+．

2p ≥时，1

12(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23p p

}( 2p ≥)为递减数列， 3q ≥时，1111211()()33333

q q q q q q +++-+-+=<0，故数列{133q q

+}(3q ≥)为递减数列，

max 24()93p p =，max 14()393q q +=，即2,3p q ==时，2133

3p q p q =+

又当3p ≥时，2232127933p p ⨯≤=<，故无正整数q 使得21333p q p q

=+成立．

解法2：同上有，2113333p q p q =+>，且数列{23

p p

}( 2p ≥)为递减数列，

当2p =时，241933p p =>成立；当3p ≥时，2232127933

p p

⨯≤=<，

因此，由2133

p p

>得，2p =，此时3q =

【注】在利用“范围”控制正整数的值时，常用求值域的方法：单调性．本例蕴含分类讨论思想． 题组二

1.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，且1

02

q <<．在数列{}n a 中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由．

【解析】由1

0,02

n a q ><<知，数列{}n a 是递减数列， 假设存在,,k m n a a a 成等差数列，不妨设k m n <<，则2m k n a a a =+，即1111112m k n a q a q a q ---=+ 即21m k n k q q --=+

而221m k

q

q -≤<，11n k q -+>，故矛盾．

因此在数列{}n a 中不存在三项成等差数列．

【注】常用反证法说明不定方程正整数解不存在．

2．（2010年湖北理）已知数列{}n a 满足：

111

3(1)2(1)

1,211n n n n a a a a a ++++==--，

10(1)n n a a n +<≥，数列{}n b 满足：22

1(1)n n n b a a n +=-≥．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列．

【解析】（1）由题意可知，2

2

121(1)3n n a a +-=

- 令 21n n

c a =-，则 123

n n c c += 又2

11314c a =-=，则数列}{n c 是首项为134c =，公比为23

的等比数列，即

1

3243n n c -⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，故1

212

32321()14343n n n n a a --⎛⎫-=⇒=- ⎪

⎝⎭

，又11

02

a =

>，10n n a a +< 故132(1)

1()43n n n a --=--112

()43

n n b -=．

（2）假设数列{}n b 存在三项,,r s t b b b ()r s t <<按某种顺序成等差数列，由于数列{}n b 是首项为

14，公比为2

3

的等比数列，于是有r s t b b b >>，则只有可能有2s r t b b b =+ 成立 1

1

11212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅=+ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭ ，即2222333s r t

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

即：12

3

32s t t s

t r t r +----=+

由于r s t <<，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾．