数学归纳法(省公开课)
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4.1数学归纳法-教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：4.1数学归纳法一、教材分析：本节内容是人教A 版选修4-5《不等式选讲》的最后一章内容，数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种重要的方法,它的地位和作用可以从以下三方面来看:1.中学数学中的许多重要结论,如等差数列,等比数列的通项公式与前n 项和公式,二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明.由归纳猜想得出一些与正整数有关的数学命题,用数学归纳法加以证明,可以使学生更深层次地掌握有关知识.2.运用数学归纳法可以证明许多数学命题(不等式、数列、等式、整除),既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的训练.3.数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到,因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础.二、教学目标：1、知识与技能：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题；（2）能以递推思想为指导，规范数学归纳法证明中的2个步骤，1个结论。
2、过程与方法：（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想到证明的数学方法；（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的建构过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，体会数学来源于生活，养成言之有理、论证有据的习惯。
三、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.四、教学难点：学归纳法中递推思想的理解.五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（例1的公式），但学生只是停留在认知阶段；另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。
3、教具选择：多媒体六、教学方法：运用类比启发探究的数学方法进行教学；七、教学过程1、自主导学：复习回顾引入：<师>（1）请同学们回顾学习过的证明方法有哪些？<生> 请一名学生回答该问题。
高中数学公开课课课件精选推理与证明23数学归纳法
用数学归纳法证明几何问题
用数学归纳法证明：凸 n 边形的对角线的条数是12 n(n－3)．
[ 思 路 点 拨 ] 验证n＝3时成立 ―假―设→ 假设n＝k时成立 ―递―推→ n＝k＋1时成立 ―→ 结论
•
用数学归纳法证明几何问题的关键是
“找项”，即几何元素从k个变成(k＋1)个时，所证的
几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何
⇒
b4
＝7
＝
2×4－1.
(2)由此猜想出：bn＝2n－1(n≥1)为数列的通项公式， 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，b1＝2×1－1＝1，公式成立； ②假设当 n＝k 时，公式成立，即 bk＝2k－1. 那么 bk＋1＝Bk＋1－Bk＝14(bk＋1＋1)2－14(bk＋1)2， 整理得(bk＋1－1)2＝(bk＋1)2， 故 bk＋1＝1±(bk＋1)，
• 【错因】 没有利用归纳假设进行证明．第(2)步， 不可以直接利用等比数列的求和公式求出当n＝k＋1 时式子的和，在证明n＝k＋1时，一定要利用“归纳 假设”．
【正解】 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12，右边＝1－12＝
12，等式成立． (2)假设当 n＝k 时，等式成立，
即12＋212＋213＋…＋2k1－1＋21k＝1－21k，
合作探究 课堂互动
用数学归纳法证明等式或不等式
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n×12n＋2＝4nn＋1.
• [思路点拨]
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝2×1 4＝18，右边 ＝18，等式成立．
数学归纳法(公开课)
问题情境一 大球中有5个小球，如何判断是绿球还红球？
问题情境二
很傻很天真
聪明 观察归纳猜想
一 二 三…
等差数列通项公式的推导过程
a1 (首项） a2 a1 d a3 a2 d a1 2d a4 a3 d a1 3d ...... an a1 (n 1)d 其中n N *
2 22 23
2k
1 2k 1
1
1
1
k
1
2 2
1 1
1 1 k1 2
即n=k+1时，命题成立 新疆 王新敞 奎屯
2
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立.
自我挑战
(1)当 n＝1 时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，就是
1.数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用：
用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论．
2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：
(1)证明当n取第一个值n0时结论正确； (2)假设当n＝k(k∈N*,k≥n0)时结论正确,
证明当n＝k＋1时结论也正确．
这两个步骤缺一不可．证明的第一步是为了获得递推的基 础，但这一步还不能说明递推的普遍性；证明的第二步， 是为了获得递推的依据．在第二步中，归纳假设起着“已
两个步骤 一个结论 缺一不可
思维误区警示
求证： 1＋ 1 ＋ 1 ＋ 2 22 23
＋1 2n
1 (1)n 2
证明：①当n=1时，左边＝ 1
2
,右边＝
1
1
1
2
1 2
，等式成立.
②假设n =k时，有
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1
问题情境二
很傻很天真
聪明 观察归纳猜想
一 二 三…
等差数列通项公式的推导过程
a1 (首项） a2 a1 d a3 a2 d a1 2d a4 a3 d a1 3d ...... an a1 (n 1)d 其中n N *
2 22 23
2k
1 2k 1
1
1
1
k
1
2 2
1 1
1 1 k1 2
即n=k+1时，命题成立 新疆 王新敞 奎屯
2
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立.
自我挑战
(1)当 n＝1 时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，就是
1.数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用：
用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论．
2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：
(1)证明当n取第一个值n0时结论正确； (2)假设当n＝k(k∈N*,k≥n0)时结论正确,
证明当n＝k＋1时结论也正确．
这两个步骤缺一不可．证明的第一步是为了获得递推的基 础，但这一步还不能说明递推的普遍性；证明的第二步， 是为了获得递推的依据．在第二步中，归纳假设起着“已
两个步骤 一个结论 缺一不可
思维误区警示
求证： 1＋ 1 ＋ 1 ＋ 2 22 23
＋1 2n
1 (1)n 2
证明：①当n=1时，左边＝ 1
2
,右边＝
1
1
1
2
1 2
，等式成立.
②假设n =k时，有
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1
高中数学归纳法公开课一等奖优秀课件
1 1 1 n
1• 2 2•3
n • (n 1) n 1
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么
(1).当n=1时,左边= 1 1 , 右边= 1 1
1• 2 2
11 2
(2).假设n=k时命题成立 即
1 1 1 k
12 23
k (k 1) k 1
归纳小结，自我整合, 激升思维
由于数学归纳法是证明与正整数有关的命题，数列是以正整数为定义域的特殊函数，而导数又是研究函数的 重要工具，正是这一条知识链注定了数学归纳法必然以数列为背景。深入细致的研究近年来的高考试题，就 会印证以上事实。纵观近几年与数学归纳法相关的高考试题，不难得出其命题特点：
数学归纳法
人
教
版
高
中
选
修
二
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 【归纳奠基】 （2）假设n=k(k≥n0,n∈N*)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确【归纳递推】 （3）由（1）、（2）得出结论
那么n=k+1时,
左边 (1
1) (1
1)
(
1
1
)
2 23
k 1 k 2
1 1 k k 2 (k 1) 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=右边,
即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.
(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否 则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.
数学归纳法 公开课一等奖课件
根据1和2,数列 , , , , , , 3n 23n 1 1 4 4 7 7 10 计算S1, S 2 , S3 , S 4 , 根据计算结果 , 猜出Sn的表达式, 并用 数学归纳法进行证明 . 1 1 1 1 2 解 S1 ; S2 ; 1 4 4 4 47 7 2 1 3 3 1 4 S3 ; S4 . 7 7 10 10 10 10 13 13
2.3
数学归纳法
学习归纳法是一种特殊 的证明方法, 主要用于研究 an ,已知 与正整数有关的数学问 题.例如, 对于数列 an n 1,2, , 通过对n 1,2,3,4前4 a1 1, an1 1 an 1 项的归纳 , 我们已经猜想出其通项 公式为an .但 n 是, 我们只能肯定这个猜想 对前4项成立,而不敢肯 定对后续的项也成立 .这个猜想需要证明 . 自然地, 我们会想到从n 5开始一个个往下验证 . 一般来说,与正整数n有关的命题,当n比较小时可 以逐个验证, 但当n较大时, 验证起来会很麻烦 .特 别是证明n 取所有正整数都成立的 命题时, 逐一
1 思考 你认为证明数列的通项 公式是an 这个 n 猜想与上述多米诺骨牌 游戏有相似性吗? 你能类 比多米诺骨牌游戏解决 这个问题吗?
由条件, 容易知道 n 1时猜想成立 . 这就相当于游戏 的条件 1.类比条件 2,可以考虑证明一个递推 关系 : 1 如果 n k时猜想成立 , 即ak ,那么当 n k 1时 k 1 猜想也成立 ,即ak 1 . k 1 1 1 ak 1 k 事实上,如果 ak ,那么 ak 1 , k 1 ak 1 1 k 1 k
即n k 1时猜想也成立 .
省优质课大赛课件 数学归纳法
教 材
地学位作用教 生学
数学归纳法学习是数列知识的深入与
方 教 板 扩展,也是一种重要的数学方法,可以使 法 学 书 学生学会一种研究数学的科学方法．
分学 目 手 程 设
析
重情点难点标
重点：段归纳法意义序的认识和数学计归纳法
产生过程的分析．
难点：数学归纳法中递推思想的理解．
数学归纳法及其应用举例
知识准备
学生对等差（比）数列、数列求和、 二项式定理等知识有较全面的把握和 较深入的理解，同时也具备一定的从 特殊到一般的归纳能力，但对归纳的 概念是模糊的．
学生经过中学五年的数学学习，已具
教
能学力储备教
方 教 板 有一定的推理能力，数学思维也逐步
向理性层次跃进，并逐步形成了辨证
材
生
学 思维体法系．但学生学自主探究问书题的能
分
学
目 力普遍手还不够理想程．
设
析
学情生情况标
我所在段的学校是省序属重点中学计，所教
的班级是平行班，学生基础还不错.
数学归纳法及其应用举例
了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实
知识与技能 质．掌握两个步骤；会证明简单的与自然 数有关的命题．培养学生观察, 分析, 论证 的能力, 发展抽象思维能力和创新能 力．培养学生大胆猜想，小心求证的辨证 思维素质以及发现问题，提出问题的意识 和数学交流的能力．
第二阶段:新旧知识相互作用阶段 引导学生概括, 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n取第一个值n = n0 时结论正确;
412，是合数．
第二阶段:新旧知识相互作用阶段 搜索生活实例，激发学习兴趣
多米诺成功的关键有两点： (1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下． 搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可 知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
数学归纳法(公开课教学PPT课件)
2
2
（2）假设当n k时等式成立，即
1 1 1 1 k
1 2 23 3 4
k(k 1) k 1
当n k 1时，
左边 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
2 23
k 1 k 2
1 1 k 1 k 1 右边 k 2 k 2 (k 1) 1
即n k 1时等式成立。
a1 kd 右边 即当n k 1时，结论也成立。 结合（1）（2）可知，结论对一切正整数n都成立。
针对训练
练1.用数学归纳法证明等式
1 2
1 22
1 23
1 2n
1
1 2n
当n=k+1时， 左边
递推关系 归纳假设
右边
请你当个小老师
下面是一些同学用数学归纳法证明等式成立的解题过程， 请判断，它是否符合数学归纳法的证明要求？
3.数学归纳法证明命题的关键？ 在第二步归纳递推中要用到归纳假设。
课堂小结
4.数学归纳法体现的核心思想？ 递推思想. 用“有限”的推理，解决“无穷”的归纳。
作业布置
1.思考：已知数列an 满足an1
2
1 an
, a1
0, 试猜想并证明
an的通项公式。
2.课本P19，习题1-4.
数学归纳法（说课）
刘斌伟 2018.12.11
教材分析
教学方法
教学过程
教学反思
教学目标 教学重难点
设计思路 多媒体工具应
1 体会递推思想，理解数学归纳法的原理
逻辑核素推心养理
2 掌握数学归纳法证明数学命题的 两个步骤、一个结论
3 会运用数学归纳法证明一些与正整数有关 的简单恒等式
围 绕
反馈 练习