高三数学课题：数学归纳法(公开课讲解)

课题：数学归纳法

【三维目标】：

一、知识与技能

1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

2．抽象思维和概括能力进一步得到提高．

二、过程与方法

通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径，用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”与“归纳递推”两个步骤缺一不可，而关键的第二步，其本质是证明一个递推关系。

三、情感，态度与价值观

体会数学归纳法是用有限步骤解决无限问题的重要方法，提高归纳、猜想、证明能力。

【教学重点与难点】：

重点：是了解数学归纳法的原理及其应用。

难点：是对数学归纳法的原理的了解，关键是弄清数学归纳法的两个步骤及其作用。

【课时安排】：2课时

第一课时

【教学思路】：

（一）、创设情景，揭示课题

问题1：P 71中的例1.在数列｛a n ｝中，a 1＝1，a n+1＝

n

n a a +1（n ∈N+），先计算a 2，a 3，a 4的值，再推测通项an 的公式． 生：a 2＝21，a 3＝31，a 4＝41．由此得到：a n ＝n

1（n ∈N +）． 问题2：通过计算下面式子，你能猜出()()121531--++-+-n n 的结果吗？证明你的结论？

________97531________

7531_______531_______

31=-+-+-=+-+-=-+-=+- 生：上面四个式子的结果分别是：2，-3，4，-5，因此猜想： ()()()n n n

n 1121531-=--++-+- （*） 怎样证明它呢？ 问题3：我们先从多米诺骨牌游戏说起，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下。只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下，就可以导至第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块，都能全部倒下。

（二）、研探新知

原理分析：问题3：可以看出，使所有骨牌都倒下的条件有两个：

（1） 第一块骨牌倒下；

（2） 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下.一定导致后一块倒下。 可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。这样只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下。事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）

（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下。

问题2：分析：这个问题的特点是：要证不等式（*）在n 为任何正整数时都成立，虽然我们可以验证n = 1，2，3，4，5，…甚至n = 1000，10000，…时这个等式成立。但是正整数是无限多个，我们无法对它们一一验证，所以验证的方法无法完成证明。

要证明这个问题，必须寻找一种有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法。

类比多米骨牌游戏，我们设想将全部正整数由小到大依次排列为无限长一队1，2，3，4，…k，k+1，…

可以验证

（1）当n = 1时，等式（*）的左右两边都等于-1。即这时等式（*）成立

可以想象

（2）若从“n = k 时等式（*）成立”能推出n = k + 1时等式（*）也成立，则可以建立一种多米诺骨牌那样的由前到后的自到递推

关系

综合（1）（2），就自然地想到一种证明这个等式的方法：

首先证明（1）n = 1时等式（*）成立

然后证明（2）中的递推关系

完成以上两步后，就可由n = 1时等式（*）成立为起点，递推出n = 2时等式（*）成立，再由n = 2时等式（*）成立，递推出n = 3时等式（*）成立……如此继续自动递推下去，就可以说：对于任意正

整数n ，等式（*）成立

下面按照上述思路具体的证明等式（*）

证明：（1）当n = 1 时，式（*）左右两边都等于 -1，即这时等式（*）成立。

（2）假设当n = k (k ≥1) 时等式（*）式成立，即()()()k n k

k 1121531-=--++-+- 在这个假设下，再考虑n = k + 1 时式（*）的左右两边。

左边=()()()()[]11211215311-+-+--++-+-+k n k k

()[]1)1(2)1(11-+-+-=+k k k k

[]右边=+-=-++--=++)1()1(1)1(2)1(11k k k k k 。

所以当n = k + 1 时等式（*）成立。

由（1），（2）可知()()()n n n n 1121531-=--++-+- )(+∈N n

总结上述过程，我们用了两个步骤：第一步，证明n = 1 时命题成立，从而奠定了命题成立的一个起点；第二步，先作归纳假设，然后证明由前后的递推关系由这两步保证：对于从起点由前向后的所有正整数+∈N n ,命题都成立。

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值0n )(*0N n ∈时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n = k )(*0N n ∈时命题成立，证明当n = k +1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都

成立。这种证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction ）.

思考：结合上面的证明，你认为数学归纳法的基本思想是什么？

在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推。这两步都是非常重要，缺一不可。第一步确定了n = n 0 时命题成立，n = n 0 成为后面递推的出发点，没有它递推就成无源之水；第二步确认一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从正整数n 0 开始，向后一个数一个数无限传递到n 0 以后的每一个正整数，从而完成证明，因此，递推是实现从有限到无限的飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。以上就是数学归纳法的基本原理。

下面的框图表示了数归纳法的基本过程

问题：数学归纳法适用于证明什么的命题呢？对于一些与无限多个正整数相关的命题，如果不易有以前所学习过的方法证明，用数学归纳法可能收到较好的效果。

思考：如果要用数学归纳法证明某命脉题对于全体正整数都能立，应取n 0为何值？为什么？

（三）、例题剖析

例1：（教材第94页例1）

例2：（教材第94页例2）

（四）、巩固深化，反馈矫正 （教材第95页练习 1、2）

第二课时

【教学思路】：

（一）、复习回顾

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：

（1） （归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立;

（2） （归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时 命题也成立 。--------------数学归纳法

（二）、例题剖析：

例1．用数学归纳法证明：)(17)13(+∈-?+N n n n 能被9整除.

证明：（1）当n=1时，（3+1）×7－1=27 能被9整除，命题成立

（2）假设当n=k 时命题成立，即)(17)13(+∈-?+N n k k 能被9整除

那么，当n=k+1时，

17]1)1(3[1-?+++k k

1111

(31)73717(31)7371

(31)716(31)737[(31)71](1827)7k k k k k k k k k k k k k k k ++++=+?+?-=?+?+?-=+?-+?+?+?=+?-++?

由归纳假设)(17)13(+∈-?+N n k k 能被9整除

及k k 7)2718(?+是9的倍数

所以k k k k 7)2718(]17)13[(?++-?+能被9整除

即n=k+1时，命题成立

由（1）（2）知命题对任意的+∈N n 均成立

例2．若n 为大于1的自然数，用数学归纳法证明：2413212111

>++++

+n n n 证明：(1)当n =2时，

2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即2413212111>+++++k k k 1,

11111112322122111311113112421221242122

13113.242(21)(1)24

n k k k k k k k k k k k k k k k =+++++++-++++++>++-=+-+++++=+>++则当时不等式也成立 由(1)、 (2)知原不等式对一切大于2的自然数都成立。

例3 ．已知n a =23123(1)

n n n n +++???++ (*n N ∈) 求证：1n a < 证明：(1)当n =1时，a 1=2

1＜1，不等式成立.

（2）假设n =k (k ≥1)时，不等式成立，即a k =k k k k )1(32132++???+++＜1 亦即1+22+33+…+k k ＜(k +1)k

当n =k +1时

a k +1=111132)

2()1()1(]1)1[()1(321++++++++<+++++???+++k k k k k k k k k k k k =1)

2()2()1(++++k k k k k =(21++k k )k ＜1. ∴n =k +1时，不等式也成立. 由（1）、（2）知,对一切n ∈N *，不等式都成立.

例4 ．用数学归纳法证明等式对所有n ∈N*均成立．

111111111234

212122n n n n n

-+-++

-=+++-++ 证明：i)当n=1时，左式=21211=-，右式=21111=+， ∴ 左式=右式，等

式成立．

ii)假设当n=k(k ∈N)时等式成立， 即k

k k k k 212111211214131211+++++=--+

+-+- ， 则当n=k+1时，

)1(21)1(13)1(12)1(11)1(12

21121413121)2

2111(1213121221121)212111(2

21121)211214131211(2

21121211214131211++++++++++++++=++++++++++=+-++++++++=+-+++++++=+-++--++-+-=+-++--++-+-k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 即n=k+1时，等式也成立，

由i) ii)可知，等式对n ∈N 均成立．

小结：在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时，注意分析n=k 与n=k+1的两个等式的差别．n=k+1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由

11+k 变为21+k ．因此在证明中，右式中的11+k 应与-2

21+k 合并，才能得到所证式．因而，在论证之前，把n=k+1时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的．

由例1可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是f(n)与n 的关系；二是f(k)与f(k+1)的关系．

（三）、巩固深化，反馈矫正 （教材第95页练习 1、2）

（四）、归纳整理，整体认识

1．用数学归纳法证明，要完成两面个步骤，这两个步骤是缺一不可的，但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k 到 n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中

结构不变。

2．数学归纳法常处理的几类问题①证明有关整除问题②证明不等式③证明数列有关问题。

3．运用数学归纳法时易犯的错误：

①对项数估算错误，特别是寻找n = k 与n = k+1的关系时，项数发生什么变化被弄错。

②没有利用归纳假设。

③关键步骤含糊不清，“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性，规范性。（五）、作业布置（教材第96页习题2.3A组1）

（六）、板书设计（略）

（七）、课后记：

敬请各位同行指正，谢谢！