高三数学第二轮《数形结合》公开课教案
高三数学二轮复习专题辅导(1)数形结合精品教学案
专题一】数形结合思想考情分析】在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2020 年可能有所加强。
因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微” ，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查” ，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数” ，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形” ，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休” 。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数” 。
3(数形结合)高三数学第二轮专题复习课堂资料.doc
高三数学第二轮专题复习一数形结合思想一、例题解析［例1］若关于卅J方程F+2d + 3"0的两根都在-1和3之间，求R的取值范亂［分析］^f（x）= x2+2loc +3k,其图象与兀轴交点的横坐标就是方nj\x） = 0 的解，由）=/（兀）的图象可知，要使一根都在-1,3Z间，只需f（一1）>0,/⑶>0，/（丄）=：/（一灯<0同时成立，解得-1<£<0,故展（-1,0）2a［例2］解不等式Q X +2>X［解］法-、常规解'法：原不等式等价于（/山十2$0或（〃）严°°x + 2$0兀+2>0解（/）,得0Wxv2；解（〃），得一2W兀<0综上可知，原不等式的解集为{兀|-2W兀v0或0^x<2} = {x\-2^x<2}法二、数形结合解法：令）［=5/兀+ 2, y2 = x f则不等式V^+2>^J解，就是使必=眉石的图象在力=兀的上方的那段对应的横坐标，如卞图，不等式的解集为{x\x A^x<x R} 而勺可由Vx + 2 = x,解得,x B =2, x A = -2,故不等式的解集为{兀|-2Wxv2}。
［例3］已知0VQV1,则方程d"=|10ga兀|的实根个数为（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）l个或2个或3个［分析］判断方程的根的个数就是判断图象尸亦与=|log“月的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只冇两个交点，故方程冇2个实根，选（B）。
［例4］如果实数心y满足匕-2）2 +），2=3,则丄的最大值为（）X（硝（B）f （C）£（D 朋乙J 乙［分析］等式（X-2）2+.V2=3有明显的几何总义，它表坐标平而上的一个圆,圆心为（2, 0）,半径r = V3,（如图），而丄=口则表示圆上的点（兀，刃与坐x x-0标原点（0, 0）的连线的斜率。
高三数学：数形结合思想辅导教案
题型三 利用数形结合求最值
例3(2014·北京)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()
A.7 B.6 C.5 D.4
点评利用数形结合求最值的方法步骤
第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义.一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义.
点评利用数形结合解不等式或求参数的方法
求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.
变式训练2若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()
A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)
第二步：转化为几何问题.
第三步：解决几何问题.
第四步：回归代数问题.
第五步：回顾反思.应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离.
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.
高中数学高考二轮复习数形结合思想教案
第二讲数形结合思想对应学生用书P1291数形结合的含义(1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2数形结合的途径(1)通过坐标系“形题数解”借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数化．这一方法在解析几何中体现得相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x －2)2＋(y －1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，2为半径的圆．(2)通过转化构造“数题形解”许多代数结构都有着相对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a (a >0)与距离互化；将a 2与面积互化，将a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos θ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通；将a ≥b ≥c >0且b ＋c >a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径．例1 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎭⎪⎫2ωx ＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根，则k 的取值范围是( )A.k ≤12B ．－1≤k <－12 C.－12<k ≤12 D ．－12<k ≤12或k ＝－1解析 因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π4，结合三角函数的图象可知T 2＝π4.又T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. 将f (x )的图象向右平移π8个单位得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以方程为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0. 令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6. 若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根， 即g (t )＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6有且只有一个交点. 如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1，即－12<k ≤12或k ＝－1.利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．模拟演练1 已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 答案 D解析方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根等价于方程f (x )＝m (x ＋1)有两个不同的实根，等价于直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图象有两个不同的交点．因为当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)，所以f (x )＋1＝1f (x ＋1)＝1x ＋1，所以f (x )＝1x ＋1－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ∈[0，1]1x ＋1－1，x ∈(－1，0).在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝m (x＋1)与函数f (x )，x ∈(－1,1]的图象，由图象可知，当直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图象在区间(－1,1]上有两个不同的公共点时，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.例2 (1)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．。
高中数学二轮复习 数形结合思想 课件 (1)
∴-2≤a≤2.故选 A.
2
2
巩固提高 热点考题诠释 高考方向解读
-9-
|������|,������ ≤ ������, 4.(2016 山东,理 15)已知函数 f(x)= 2 ������ -2������������ + 4������,������ > ������, 其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则 关闭 m x2的取值范围是 -2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.由题意画出函数图象为下图时才符合,
������
则 p(x)=
1,
巩固提高 热点考题诠释 高考方向解读
-8-
当 x<0 时,p(x)<-2, 7 当 0≤x<1 时,- <p(x)≤-2,
2
当 x≥1 时,p(x)≤-2 3,当且仅当 x= 综上所述,p(x)max=-2. 令 t(x)=f(x)-2,则 t(x)=
������ 3 2
巩固提高
第2讲 数形结合思想
巩固提高 热点考题诠释 高考方向解读
-2-
1.(2016四川,理7)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足
������ ≥ ������-1, 关闭 则 p 是 q 的 ( ) 画出可行域 ( 如图所示 ), 可知命题 q 中不等式组表示的平面区域 ������ ≥ 1-������, ≤1 , △������ ABC 在命题 p 中不等式表示的圆内,即 p q,q⇒p,所以 p 是 q 的必 A.必要不充分条件 要不充分条件 .故选 A. B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料 教案
word 高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料一、基础知识整合中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法,包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规X严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化,充分利用这种转化，寻找解题思路，可使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.华罗庚先生说得好：“数形本是相依倚,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉，形缺数时难入微;数形结合百般好，隔裂分家万事休;几何代数统一体,永远联系莫分离。
数形结合思想是一种重要的解题思想，是高考命题中主要考查的一个内容．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如三角函数,向量等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y-+-=21422纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
高三数学二轮复习：数形结合的思想方法名师课件
由 f 2 (x) bf (x) 0得 f x 0或 f x b 结合 f x 的图象易知
f x 0 有3个不同的实数根, f x bb 0 有4个不同的实数根,
则 f x2 bf x 0 方程有7个不同实数解.故选(C).
如图，当B(直4,0)线与半a 圆 4相切时；
A(-4,0)
B(4,0)
当直线过
点时；
,4 (4 2,)
-4
当直线过
点时。
由图-1可知：实数的取值范围是
变式1、若M N 则实a数 的取值范(围4,是4 2 ]
变式2、若集合M N 中只有一个元素，则a 实
M N
a
o
A(-4,0)
4
o B(4,0)
分析：（如图-1）集合M表示的图形x是2 半y2 圆 16
-4
(0 y 4)图-1（例1）
且不含端点；
集合N表示M的 N图 形是：斜率为1的一组平行直线，在 轴上
的截距为A(a4,0。)
a 4表示直线与半圆没有公共点。4
设 AT切 半圆于T，由图3-8可知，斜率应满足 kAB a kAT kAB 1 因为 AT 为圆的切线，所以，圆心2,0到直线 y ax 4ax 4 0
的距离等于半径2， 即
2a 4 a2 1
所 2以，，解实得数的kAT取值 34范，围为
1
a
数形结合的思想方法
规律总结
以形助数常用的有：借 助数轴；借助函数图象；借助单位圆； 借助直线的有关概念；借助三角形等. 总之，无论是解析几何、立体几何、 函数问题，无法入手时尽量与“形” 联系.
高三数学第二轮《数形结合》公开课教案
华侨中学高三数学（理科）第二轮复习专题：数形结合思想教学地点：厦门一中集美分校高三（4）班授课教师：华侨中学王磊2016.03.24【思想方法概述】数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从2015年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”．预测2016年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．以形助数(数题形解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系，把形转化为数，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．以数辅形(形题数解)借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想．为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及Venn图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．【例题1】. 【2015课标全国Ⅰ理15】若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .【变式】设点P (,)x y 为圆221x y +=上的动点.(1) 求22(2)(1)x y +++的取值范围 （2）求x y -的取值范围； (3)求12y x ++的取值范围 【规律方法】如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：(1)y ＝kx ＋b 中k 表示直线的斜率，b 表示直线在y 轴上的截距．(2)b －n a －m表示坐标平面上两点(a ，b)，(m ，n)连线的斜率． (3)（a －m ）2＋（b －n ）2表示坐标平面上两点(a ，b)，(m ，n)之间的距离． 只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．【例题2】已知0 1.a <<则方程|||log |x a a x =的实根个数为【变式】已知关于x 的方程m x x =+-542有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围为【规律与总结】抽象的数学问题通过图象的直观性获得解题思路，以形辅数。
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华侨中学高三数学（理科）第二轮复习专题：数形结合思想教学地点：厦门一中集美分校高三（4）班
授课教师：华侨中学王磊2016.03.24
【思想方法概述】
数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数
的值域（最值）及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有
效．从2015年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”．预测2016年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．
以形助数(数题形解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系，
把形转化为数，即以形作为手段，数作为目的的解
决数学问题的数学思想．
数形结合思想通过“以形
助数，以数辅形”，使复
杂问题简单化，抽象问
题具体化，能够变抽象
思维为形象思维，有助
于把握数学问题的本质
，它是数学的规律性与
灵活性的有机结合．
以数辅形(形题数解)借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想．
1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．
（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．
（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．
3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点
（1）集合的运算及Venn图；
（2）函数及其图象；
（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；
（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可； （6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的
问题，可通过函数的图象求解（函数
的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．
4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：
（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域； （2）用图象法讨
论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法
，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；
（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．
【例题1】. 【2015课标全国Ⅰ理15】若,x y 满足约束条件10
040
x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，则y x 的最大值
为 .
【变式】设点P (,)x y 为圆221x y +=上的动点.
(1) 求22(2)(1)x y +++的取值范围 （2）求x y -的取值范围； (3)求1
2
y x ++的取值范围
【规律方法】
如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：
(1)y ＝kx ＋b 中k 表示直线的斜率，b 表示直线在y 轴上的截距． (2)b －n a －m
表示坐标平面上两点(a ，b)，(m ，n)连线的斜率． (3)（a －m ）2＋（b －n ）2表示坐标平面上两点(a ，b)，(m ，n)之间的距离．
只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形
结合的思想方法．
【例题2】已知0 1.a <<则方程|||log |x a a x =的实根个数为
【变式】已知关于x 的方程m x x =+-542有四个不相等的实根，则实数m 的取
值范围为
【规律与总结】抽象的数学问题通过图象的直观性获得解题思路，以形辅数。
【例题3】（2015课标全国Ⅰ理10）已知抛物线C ：x y 82
=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （ ） A. 27 B. 3 C. 2
5
D. 2
【规律与总结】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线；4、数形结合
【变式】已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小值是( ) A ．5 B ．8 C.17－1 D.5＋2
【课时练习】
1.设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(x
x f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）
（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+）
2.设命题甲：03<<x ，命题乙：||x -<14，则甲是乙成立的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 不充分也不必要条件
3．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A ．a >0，b <0，c >0，d >0
B ．a >0，b <0，c <0，d >0
C ．a <0，b <0，c <0，d >0
D ．a >0，b >0，c >0，d <0
4.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )
A ．{x |－1＜x ≤0}
B ．{x |－1≤x ≤1}
C ．{x |－1＜x ≤1}
D ．{x |－1＜x ≤2}
5.【2015高考广东，理6】若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小
值为（ ） A ．
531 B. 6 C. 5
23 D. 4 6. 【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A 5．2 C 32
7.(2016届高三·洛阳四校联考)已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2
＋2x ，则满足f (f (a ))＝1
2
的实数a 的个数为( )
A．8 B．6
C．4
D．2
8.当x ∈(1，2)时，(x －1)2＜log a x 恒成立，则a 的取值范围为________．
9．已知x ，y 满足条件x 216＋y 2
25＝1，求y －3x 的最大值与最小值．
10. 函数2222613y x x x x =-+-+___________.。