2020高考数学 公开课一等奖课件

3．常见的升幂变换是：cos 2α＝2cos2 α－1＝1－2sin2 α；常见 1－cos 2α 1＋cos 2α 2 2 的降幂变换是：sin α＝ ，cos α＝ . 2 2 4．利用辅助角公式将含两项的三角函数式化成一个三角函数 的形式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)＝ a2＋b2cos(α－φ)，这 是研究三角函数性质的非常重要的思想方法， 也是历年高考的热点 内容． 5．不仅能正用三角公式，而且能逆用和变用公式，也是三角 变换的重要手段.
y＝sin
预习测评 1.(2014 年长春一模) 函数 f (x)=(sin x+cos x)2 的一条对称轴的方 程是( )

A.x= 4
B.x= 3

C.x= 2

D.x=π
【答案】A
2．设 a＝2sin 24° ，b＝2(sin 47° sin 66° －sin 24° sin 43° )，c＝sin 85° ＋ 3 cos 95° ，则 a，b，c 的大小关系是( ) A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b
5 3 10 正解：∵α、β 均为锐角，∴由 sin α＝ ，cos β＝ 得 cos α 5 10 2 5 10 ＝ ，sin β＝ .且 0<α＋β<π. 5 10 2 5 3 10 5 10 于是 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ · － · ＝ 5 10 5 10 2 .故选 C. 2 答案：C 纠错心得：在经过讨论得到 0<α＋β<π 后，仅仅求出 sin(α＋β) 的值是不够的，应求 cos(α＋β)的值，才能得出正确答案．
2．函数 y＝3sin(x－10° )＋5sin(x＋50° )的最大值是( 11 A．8 B．7 C. 34 D. 12
)
【答案】B
知识点 3 三角变换的综合应用 【例 3】 已知 sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0， 则 cos(β－γ)＝( ) 1 1 A．－ B. C．－1 D．1 2 2 思路点拨：将 sin α 和 cos α 移到右边，两式分别平方后相加 即可得答案．
【答案】－2
知识点 2
辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)＝
a2＋b2cos(x－φ)的应用 1 2 3 【例 2】 已知函数 y＝ cos x＋ sin xcos x＋1.x∈R. 2 2 (1)当自变量 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合； (2)求函数的单调递增区间． 思路点拨：将函数变形成 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式再求解．
错解： 5 3 10 ∵sin α＝ ，cos β＝ . 5 10 2 5 10 ∴cos α＝ ，sin β＝ . 5 10 5 3 10 2 5 10 于是，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝ · ＋ · 5 10 5 10 2 ＝ .故选 A. 2 2 错因分析：在得到 sin(α＋β)＝ 后，应讨论 α＋β 的范围． 2
Байду номын сангаас
解： 1 2 3 1 1＋cos 2x 3 1 (1)y＝2cos x＋ 2 sin xcos x＋1＝2× ＋ 2 ×2sin 2x＋ 2 5 1 π 5 1 3 1 1＝2 sin 2x＋ cos 2x＋4＝2sin2x＋6＋4. 2 2 π π π 当函数 y 取得最大值时，2x＋6＝2kπ＋2(k∈Z)即 x＝kπ＋6(k π ∈Z)．故 y 取得最大值时，自变量 x 的集合为x|x＝6＋kπ，k∈Z. π π π π π (2)由 2kπ－2≤2x＋6≤2kπ＋2(k∈Z)，得 kπ－3≤x≤kπ＋6(k π π ∈Z)，故函数的单调递增区间是kπ－3，kπ＋6(k∈Z)．
典例剖析 知识点 1 利用三角变换求值 【例 1】 不查表计算 tan 54° －tan 36° －2tan 18° ＝________. 思路点拨： 注意 54° ＋36° ＝90° ， 54° ＝36° ＋18° ， 36° ＝2×18° ， 尝试用三角变换的公式进行变形求解．
【答案】 0
cos 10° 1．化简(tan 10° － 3) ＝________. sin 50°
【答案】D
3．cos 75° ＝________.
6－ 2 【答案】 4
tan 45° ＋tan 15° 4. ＝________. 1－tan 15°
【答案】
3
要点阐释 1． 半角公式可如下进行推导， 由 cos 2α＝cos2 α－sin2α 的变形 cos 1－cos 2α 2 2 2 2α＝2cos α－1 及 cos 2α＝1－2sin α 得到 sin α＝ 及 cos2α＝ 2 1＋cos 2α 1－cos α α α ， 再以 代替 α、 以 α 代替 2α 即可得到 sin ＝± ； 2 2 2 2 1＋cos α α α cos ＝ ± ， 最 后 将 这 两 个 式 子 相 除 就 得 到 tan ＝ 2 2 2 1－cos α α ± .特别要注意，公式前的“± ”号由 所在的象限确定，如 2 1＋cos α α α α＝240° 时， ＝120° ，sin 应该为正． 2 2 2．进行三角恒等变换主要看式子的特点，从名称与角上整体把 握，根据角与名称选择适当公式解决．
课堂总结 1．常数代换是三角恒等变换的一个重要手段，如 1＝sin2 α＋ 1 1 π 2 π π cos2α、 ＝sin 30° 、 ＝cos 、 ＝sin ＝cos . 2 2 3 2 4 4 2．角的变换是解答某些试题的关键，常见的角变换有：α＝(α α＋β α－β ＋β)－β＝β－(β－α)， β＝ － ， 2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β) 2 2 α －β α＋β β α β α －(β－α)， ＝α－ － －β， ＝α＋ － ＋β. 2 2 2 2 2 2
自学导引
1－cos α α α ± 2 ； 1．用 cos α 表示 的正弦、余弦、正切是：sin ＝_________ 2 2 1＋cos α 1－cos α ± α α ± 2 1＋cos α cos ＝__________；tan ＝______________. 2 2
2．几个公式的变形： 1－cos α 2 α ①sin ＝ ； 2 2 1＋cos α 2 α ②cos ＝ ； 2 2 1－cos α 2α ③tan ＝ ； 2 1＋cos α 1－cos α α sin α ④tan ＝ ＝ . 2 1＋cos α sin α
自主探究 用什么方法才能求函数
y＝sin
1 1 x＋ cos x＋ 的最值？ 2 2
1 1 x＋2cos x＋2的最值，先将 y 解： 用三角变换能求 1 1 1 1 ＝ sin x＋2 cos x＋2 化为 y＝sin xcos x＋2(sin x＋cos x)＋4， π 然后令 sin x＋cos x＝t，即 t＝ 2sinx＋4，可见－ 2≤t≤ 2. t2－1 t2－1 1 1 1 12 3 于是 sin xcos x＝ 2 ，y＝ 2 ＋2t＋4＝2t＋2 －8. 1 3 故当 t＝－2时，函数有最小值－8； 3＋2 2 当 t＝ 2时，函数有最大值 4 .
方法点评：根据两个已知等式及待求式子 cos(β－γ)的特点， 应将 sin α 和 cos α 移到右边， 再平方后将其消去． 在得到 1＋2(cos 1 βcos γ＋sin βcos γ)＋1＝1，即 cos βcos γ＋sin βsin γ＝－ 后，逆用 2 公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 就得到正确答案．
【解析】由 sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0 得， sin β＋sin γ＝－sin α，cos β＋cos γ＝－cos α.将这两个等式两边分 别平方得，sin2 β＋2sin βsin γ＋sin2 γ＝sin2α，cos2β＋2cos βcos γ＋ cos2γ＝cos2α. 两式相加得，1＋2(cos βcos γ＋sin βsin γ)＋1＝1，得 cos(β－γ) 1 ＝－ .故选 A. 2 【答案】A
3．在△ABC 中，3sin A＋4cos B＝6，且 4sin B＋3cos A＝1， 则 C 的大小为( ) A．30° B．150° C．30° 或 150° D．60° 或 120°
【答案】A
误区解密 不考虑角的范围而出错 5 3 10 【例题】 设 α、β 均为锐角，且 sin α＝ ，cos β＝ ，则 5 10 α＋β 的值为( ) π 3π 3π π π A. 或 B. C. D．2kπ＋ (k∈Z) 4 4 4 4 4