2018届高三数学一轮复习 数列求和基于学生习题的公开课教学课件 共40张
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高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件.pptx
分组转化法求和的常见类型 1．若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求
{an}的前 n 项和． 2．通项公式为 an＝cbnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
Sn＝na12＋an＝_n_a_1_＋__n_n_－2__1__d___.
(2)等比数列的前 n 项和公式： Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1_a，_11_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1_._ 2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项 和公式即是用此法推导的．
1．必会结论 常用求和公式
前 n 个正整数之和 前 n 个正奇数之和
前 n 个正整数的平方和
前 n 个正整数的立方和
1＋2＋…＋n＝nn2＋1 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
nn＋12n＋1 12＋22＋…＋n2＝________6_______
13＋23＋…＋n3＝nn＋2 12
2.必知联系 (1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论． (2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1 的式子应进行合并． (3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后 剩多少项．
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝211－－2210＋1＋102×10 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.
{an}的前 n 项和． 2．通项公式为 an＝cbnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
Sn＝na12＋an＝_n_a_1_＋__n_n_－2__1__d___.
(2)等比数列的前 n 项和公式： Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1_a，_11_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1_._ 2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项 和公式即是用此法推导的．
1．必会结论 常用求和公式
前 n 个正整数之和 前 n 个正奇数之和
前 n 个正整数的平方和
前 n 个正整数的立方和
1＋2＋…＋n＝nn2＋1 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
nn＋12n＋1 12＋22＋…＋n2＝________6_______
13＋23＋…＋n3＝nn＋2 12
2.必知联系 (1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论． (2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1 的式子应进行合并． (3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后 剩多少项．
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝211－－2210＋1＋102×10 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.
高考数学一轮复习 数列的求和 理优秀PPT
高考考点总 3 复裂习项数相3学消a（法n理＋求科和3）n＋31n－＋12n＋1－2n－an－3n 2n＝1,
考点3 裂项相消法求和
∴{b }为等差数列．又 b ＝0，∴b ＝n－1. 高考总复习数学（理科）
掌高握考等 数差学数一列轮、复等习比数数n列列的的求前和n课项件和公理式，能把某些不是等1差和等比数列的求n和问题转化为等差、等比数列来解决；
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝25(12＋22＋…＋n2)－32(1＋2＋…＋n)＝
52·n（n＋1）6（2n＋1）－32·n（n2＋1）＝16n(n＋1)(5n－2)．
考点探究
高考总复习数学（理科）
高考总复习数学（点理科评） ：通过对原数列通项结构特点的分析研究，将数列分解为若
考点1 分组后，可用公式求和 掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；
考点探究
①当
x≠±1
时
，
Sn
＝
x2（x2n－1） x2－1
＋
x－2（x－2n－1） x－2－1
＋
2n
＝
（x2n－x2n1（）x（2－x21n）＋2＋1）＋2n；
②当 x＝±1 时，Sn＝4n. (3)∵ak＝(2k－1)＋2k＋(2k＋1)＋…＋[(2k－1)＋(k－1)] ＝k[（2k－1）2＋（3k－2）]＝52k2－32k，
高考数学一轮复习 数 列的求和课件 理
高考总复习数学（理科）
第五章 数 列
第五节 数列的求和
考纲要求
掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是 等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决； 掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法， 并能灵活地运用这些方法解决相应问题．
高三数学一轮复习数列求和(必修5)精品PPT课件
考点一 分组转化求和
分组转化求和就是从通项入手， 若无通项，则先求通项，然后通过对 通项变形，转化为等差或等比或可求 数列前n项和的数列来求之．
课堂互动讲练
例1 已知数列{an}的前几项是3＋2－ 1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，写出 数列{an}的通项并求其前n项和Sn.
课堂互动讲练
1．利用裂项相消法求和时，应 注意抵消后并不一定只剩下第一项和 最后一项，也有可能前面剩两项，后 面也剩两项，再就是将通项公式裂项 后，有时候需要调整前面的系数，使 裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
例2 已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项 和为Sn，且S4＋a2＝2S3；等比数列{bn}满足 b1＝a2，b2＝a4.
第4课时 数列求和
基础知识梳理
求数列的前n项和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式
Sn＝
＝
.
基础知识梳理
(2)等比数列前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1；
基础知识梳理
2．分组转化法 把数列的每一项分成两项，使其 转化为几个等差、等比数列，再求 解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求 和，正负相消剩下首尾若干项．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
课堂互动讲练
【误区警示】 利用错位相减法 求和时，转化为等比数列求和．若公 比是个参数(字母)，则应先对参数加 以讨论，一般情况下分等于1和不等于 1两种情况分别求和．
课堂互动讲练
考点四 数列求和的综合应用
对于由递推关系给出的数列，常 借助于Sn＋1－Sn＝an＋1转换为an与an＋1 的关系式或Sn与Sn＋1的关系式，进而 求出an或Sn使问题得以解决．
分组转化求和就是从通项入手， 若无通项，则先求通项，然后通过对 通项变形，转化为等差或等比或可求 数列前n项和的数列来求之．
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例1 已知数列{an}的前几项是3＋2－ 1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，写出 数列{an}的通项并求其前n项和Sn.
课堂互动讲练
1．利用裂项相消法求和时，应 注意抵消后并不一定只剩下第一项和 最后一项，也有可能前面剩两项，后 面也剩两项，再就是将通项公式裂项 后，有时候需要调整前面的系数，使 裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等．
课堂互动讲练
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例2 已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项 和为Sn，且S4＋a2＝2S3；等比数列{bn}满足 b1＝a2，b2＝a4.
第4课时 数列求和
基础知识梳理
求数列的前n项和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式
Sn＝
＝
.
基础知识梳理
(2)等比数列前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1；
基础知识梳理
2．分组转化法 把数列的每一项分成两项，使其 转化为几个等差、等比数列，再求 解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求 和，正负相消剩下首尾若干项．
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【误区警示】 利用错位相减法 求和时，转化为等比数列求和．若公 比是个参数(字母)，则应先对参数加 以讨论，一般情况下分等于1和不等于 1两种情况分别求和．
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考点四 数列求和的综合应用
对于由递推关系给出的数列，常 借助于Sn＋1－Sn＝an＋1转换为an与an＋1 的关系式或Sn与Sn＋1的关系式，进而 求出an或Sn使问题得以解决．
2018年高考数学一轮复习第五章数列第31讲数列求和课件理
(4)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位 相减法求得．( ×)
(5)如果数列an是周期为 k 的周期数列，那么 Skm＝mSk(m，k 为大于 1 的正整 数)．( √ )
解析：(1)正确．根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知． (2)正确．根据等比数列的求和公式和通项公式可知． (3)错误．直接验证可知n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1. (4)错误．含有字母的数列求和常需要分类讨论，此题需要分 a＝0，a＝1，以及 a≠0 且 a≠1 三种情况求和，只有当 a≠0 且 a≠1 时才能用错位相减法求和． (5)正确．根据周期性可得．
(2)由 an＝2n－1 得 bn＝2n－1＋q2n－1. 当 q＞0 且 q≠1 时，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n－ 1)＝n2＋q11－－qq22n； 当 q＝1 时，bn＝2n，则 Sn＝n(n＋1)．
2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列an的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常 数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用 此法推导的． (2)并项求和法 在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22 －12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
• ＝3×5＝15.
5．已知数列an的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝_(_n_－___1_)_·_2_n_＋__1.＋2
最新-2018届高考数学一轮复习 第5章第四节 数列求和课件 文 精品
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把 它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)， 其最简单的形式为：若数列{an}中有a1＋an ＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…，就可以用此方 法求和．
例1 设函数 y＝f(x)的定义域为 R，其图
象关于点(12，12)成中心对称，令 an＝f(nk)， (n∈N*，n≥2)，k＝1,2,3，…，n－1，…， 求数列{an}的前(n－1)项的和． 【思路分析】 图象关于(12，12)成中心对称，
【思路分析】 (1)由基本量的运算求出an 及Sn；(2)bn的式子为分式结构，考虑裂项相 消法求和．
【解】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1， 公差为 d，
由于 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以 a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得 a1 ＝3，d＝2. 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋2 an ， 所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
例2 (2010年高考课标全国卷)设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路分析】 (1)由an＋1－an＝3·22n－1的结 构特点可知用迭代法或累加法求an；(2)观察 bn的通项式特点，用错位相减法求Sn.
变式训练 4 (2011 年南通调研)已知数列{an}是各项均 不为 0 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，且
满足 a2n＝S2n－1，令 bn＝an·a1n＋1，数列{bn} 的前 n 项和为 Tn. (1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前 n 项和 Tn； (2)是否存在正整数 m，n(1<m<n)，使得 T1，Tm，Tn 成等比数列？若存在，求出所 有的 m，n 的值；若不存在，请说明理由．
例1 设函数 y＝f(x)的定义域为 R，其图
象关于点(12，12)成中心对称，令 an＝f(nk)， (n∈N*，n≥2)，k＝1,2,3，…，n－1，…， 求数列{an}的前(n－1)项的和． 【思路分析】 图象关于(12，12)成中心对称，
【思路分析】 (1)由基本量的运算求出an 及Sn；(2)bn的式子为分式结构，考虑裂项相 消法求和．
【解】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1， 公差为 d，
由于 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以 a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得 a1 ＝3，d＝2. 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋2 an ， 所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
例2 (2010年高考课标全国卷)设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路分析】 (1)由an＋1－an＝3·22n－1的结 构特点可知用迭代法或累加法求an；(2)观察 bn的通项式特点，用错位相减法求Sn.
变式训练 4 (2011 年南通调研)已知数列{an}是各项均 不为 0 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，且
满足 a2n＝S2n－1，令 bn＝an·a1n＋1，数列{bn} 的前 n 项和为 Tn. (1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前 n 项和 Tn； (2)是否存在正整数 m，n(1<m<n)，使得 T1，Tm，Tn 成等比数列？若存在，求出所 有的 m，n 的值；若不存在，请说明理由．
2018年高三数学(文)一轮复习课件 数列求和
1 1 1 1 = ������(������+������) ������ ������ ������+������ 1 1 ; 2������-1 2������+1 1 1 ; ������(������+1) (������+1)(������+2)
;
− ������).
第六章
知识梳理 双基自测 自测点评
������ -1 ������-1 ������+1
(5)已知等差数列{an}的公差为 d,则有������ ������ = ������ ������ - ������ . ������ ������+1 ������ ������+1
) (1)(× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)√
6.4
数列求和
知识梳理 核心考点
-5-
1
2
3
3.常用求和公式 (1)1+2+3+4+…+n=
������(������+1) ; 2
(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2;
������(������+1)(2������+1) 2 2 2 2 (3)1 +2 +3 +…+n = ; 6 ������(������+1) 2 . 2
关闭
2(1-2������ ) ������(1+2������-1) n+1 Sn= + =2 -2+n2. 2 1-2
关闭
C
解析
答案
第六章
知识梳理 双基自测 自测点评
最新-2018届高考数学一轮复习 第27讲 数列求和课件 理 新人教课标A版 精品
第27讲 │ 要点探究
[解答] 易知奇数项中，a1＝1，d＝12；偶数项中，a2＝ 16，q＝16.
当 n 为偶数时，an中奇数项与偶数项各占n2项， 所以有 Sn＝S 奇＋S 偶＝n2a1＋n2n22－1d＋a211－－qqn2＝ 12(3n2－5n)＋115(4n＋2－16)． 当 n 为奇数时，奇数项总共有n＋2 1项，偶数项共有n－2 1 项，所以有
＝23(2n＋1－1)(2n－1)， 故S2nn＝32·(2n＋1－21n)(2n－1).
第27讲 │ 要点探究
由于(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n， 所以S2nn＝32·(2(n2＋n1＋－1－1)1－)(2(n2－n－1)1) ＝322n－1 1－2n＋11－1， 所以 Tn＝32(21－1 1－22－1 1)＋(22－1 1－23－1 1)＋…＋ (2n－1 1－2n＋11－1)＝32(1－2n＋11－1)＝3·22n＋n－1－11.
第27讲 │ 要点探究
[2010·重庆卷] 已知{an}是首项为 19，公差为－2 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和．
(1)求通项 an 及 Sn； (2)设{bn－an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 {bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn.
第27讲 │ 要点探究
[思路] bn是一个等比数列和一个等差数列对应项的和， 故只要分别利用公式求出等比数列和等差数列的和即可．
第27讲 │ 要点探究
已知数列an的通项公式是 an＝4n－2n，其前 n 项和 为 Sn，求数列S2nn的前 n 项和 Tn.
第27讲 │ 要点探究
[解答] 根据公式法 Sn＝4(11－－44n)－2(11－－22n)＝13(4n＋1 －3·2n＋1＋2)＝13(2n＋1－1)(2n＋1－2)
高考数学一轮复习第五章数列第4讲数列求和课件文
已知数列{an}的通项公式是 an＝2·3n－1＋ (－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn. [解] Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2 －ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3， 所以当 n 为偶数时， Sn＝2×11－－33n＋n2ln 3＝3n＋n2ln 3－1； 当 n 为奇数时，
分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分 组转化法求{an}的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数的数列，其中数列{bn}，{cn} 是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求{an}的前 n 项 和．
3．等比数列{an}的首项为 a，公比为 q，Sn 为其前 n 项的和， 求 S1＋S2＋…＋Sn. [解] 当 q＝1 时，an＝a，Sn＝na， 所以 S1＋S2＋…＋Sn＝(1＋2＋…＋n)a＝n（n2＋1）a. 当 q≠1 时， 因为 Sn＝a（11－－qqn），所以 S1＋S2＋…＋Sn
Tn＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋n1－n＋1 1＝1－n＋1 1＝
n n＋1.
利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一 项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就 是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开 的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 两 式 作 差 ， 得 － Tn ＝ 3×[2×22 ＋ 23 ＋ 24 ＋ … ＋ 2n ＋ 1 － (n ＋
1)×2n＋2]＝3×4＋4（11－－22n）－（n＋1）×2n＋2
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项合并为零，所剩正数项和负数项项数
必是一样多的(称为“对称剩项”) 。
例2：
正项数列?an?的前n项和Sn，满足：
? ? ? ? Sn2 ? n2 ? n ? 1 Sn ? n2 ? n ? 0.
?1?求数列?an?的通项公式;
?2?令bn
=
?n
n?1
? ? 2 2 an2
,
数列?bn?的前n项和为Tn
Sn ? S奇 ? S偶.
例3：
在等差数列?an?中，已知公差d ? 2，
a2是a1与a4的等比中项。
(1)求数列?an?的通项公式。
(2)设bn =an?n?1?，
2
记Tn =-b1+b2 -b3 +b4 - + ?? 1?n bn，
求Tn .
梁婷婷
陈倩
例4：
在数列{an}中，an?1 ? an ? 2n ? 44， a1 ? ? 23， (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an }前n项和为 S n，求Sn .
丁 雪 雯
成 慧 钰
张 天 真
小结
?1、公式法。 ?2、错位相减。 ?3、裂项相消。 ?4、分组求和。
作业：1、整理错题,归纳总结; 2、试卷练习1,2,3,4 。
an?1 ? d
2d 2 ? 2 an?1
an?1 ? d
2d 2 ? 2 an?1
李 金 洋
f(x)=2x f'(x)=2 xln2
丁 雪 雯
裂项相消
适用题型：
通项公式形如：
an =
c p ?q
?
q
c ?
p
? ? ?
1 p
?
1 q
???p
?
?
q?
每一项分裂成一正一负项，互为相反的
例1：
设等差数列?an?的公差为d,点?an ,bn ?在 函数f ?x?? 2x的图象上?n ? N *?. (1)证明:数列?bn?为等比数列. (2)若a1 ? 1,函数f ?x?的图象在点?a2 ,b2 ?
处的切线在x轴上的截距为2 ? 1 , ln 2
? ? 求数列 anbn2 的前n项和Sn.
,
证明:对于任意的n ?
N * , 都有Tn
?
5. 64
两式相减的目的？
已知Sn， 求an的步骤
见n-1,注n≥2
张 姝 璇
系数 为常数
保证裂项 前后相等
对称剩项
别激动，看清题目要求，完整答题。
张天真
分组求和
适用题型
1、若 an ? (?1)n f (n) , 可相邻两项分组。
2、若奇数项和偶数项分别成等差或等 比数列,可分奇数项一组 ,偶数项一组,即
(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函 数的关系
根据历年高考题对数列求和的考察， 我们需要掌握的求和方法有：
? 1、公式法 ? 2、错位相减 ? 3、裂项相消 ? 4、分组求和
错位相减
适用题型
已知数列{a n n}分别为等差数列 和等比数列(q≠1),c n=anbn,求数列 {c n} 的前n 项和Sn 求和时在已知求和式两边同乘以等 比数列的公比 q, 与原数列的和作差， 即Sn-qS n.
数列求和
山东省烟台第二中学
数列在高考中的考试要求
1、数列的概念和简单表示法 (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法
(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数 2、等差数列、等比数列 (1)理解等差数列、等比数列的概念
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n项和 公式
(3)能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系 或等比关系，并能用相关知识解决相应问题