数列求和汇总例题与答案)
高考数学解答题(新高考)数列求和(通项含绝对值,,取整,取小数,数列求和)(解析版)
专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍类型一：通项含绝对值 如：求|211|n a n =-的前n 项和n T类型二：通项含取整函数类型三：通项含自定义符号如：记x 〈〉表示x 的个位数字，如20222,20233〈〉=〈〉=二、典型例题类型一：通项含绝对值例题1．（2022·全国·高二）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且210n S n n =-．（1）求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和为n T ．感悟升华（核心秘籍）对于通项含绝对值问题，如本例求{}n a 的前n 项和n S ，其核心技巧是考虑当n 取何值时0n a >，0n a <， 此时的n 就是讨论的临界值,找到临界值后再进行讨论.第（2）问解题思路点拨：由（1）知，代入即：,注意到当，，所以在求时，去绝对值，要添“”号，当时，，在求时，可直接去掉绝对值. 根据通项正负，去绝对值是否添“”号，进行分类讨论当时，当时，综上：【答案】（1）211n a n =-；（2）2210,151050,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩.（1）由210n S n n =-，可得119a S ==-，2n ≥时，221 10(1)1010211n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，对1n =也成立，可得211n a n =-；（2）当15n ≤≤时，0n a <，即有()2121210n n n n T a a a a a a S n n =++⋯+=-++⋯+=-=-． 当6n ≥时，0n a >，()()21256551050n n n T a a a a a S S S n n =-++⋯+++⋯+=-+-=-+，即有2210,151050,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．类型二：通项含取整函数例题2．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知数列{}n a 是递增的等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列13a =，12b =，63a b =，528b a =． (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设3n n a c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}n n b c 的前9项的和9S ．（注：[]x 表示不超过x 的最大整数）【答案】(1)2n a n =+，2nn b =(2)2926第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，,可代入到第（2）问中，求出的通项公式：,再代入求解由于本例求解的是，而不是，故可直接列举，则有代入求解(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由113,2,a b == 得()21141158a d b q b q a d ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩ ，而0d ≠，0q >，解得391,()25d d ==-舍，22(q q ==-，舍），于是得2n a n =+，2nn b =， 所以数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为2n a n =+，2nn b =；(2)由（1）知，2[][]33n n a n c +==，则有1234567981,2,3c c c c c c c c c =========， 依题意，234678995121212222222323232S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2926，综上，2n a n =+，2nn b =，92926S = .类型三：通项含自定义符号例题3．（2022·广东汕头·高二阶段练习）已知数列{}n a {}n a 是以2为公差的等差数列，125,,a a a 成等比数列，数列{}n b 前n 项和为n S ，且22n S n n =+.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记x 〈〉表示x 的个位数字，如20222,20233〈〉=〈〉=， 求数列1nn a b ⎧⎫⎨⎬〈〉⋅〈〉⎩⎭的前20项的和20T .感悟升华（核心秘籍）第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，,根据题意表示的个位数字，可将，，列举，通过特殊值探路，寻找规律.列举，，通过特殊值探路，寻找规律.通过列举数列发现：，均为周期数列，且周期为5，故将数列中每5个一组，前20项和可分为4组，1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 33 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 35791 3579135代入求解【答案】(1)*21()n a n n =-∈N ，21n b n =+；(2)9. (1)由125,,a a a 成等比数列可得2215a a a =，即2111(2)(8)a a a +=⋅+，解得11a =，所以*21()n a n n =-∈N ，又22,n S n n =+，则有11123b S ==+=，当n ≥2时，2212(1)2(1)21n n n b S S n n n n n -=-=+----=+，所以21n b n =+，又13b =满足此式综上，21,N n b n n *=+∈.(2)因为n a 〈〉，n b 〈〉分别表示n a ，n b 的个位数， 所以{}n a 〈〉，{}n b 〈〉均为周期数列，且周期为5，将数列1nn a b ⎧⎫⎨⎬〈〉⋅〈〉⎩⎭中每5个一组，前20项和可分为4组，其前20项的和20T 为201111141335577991T ⎡⎤=++++⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦1111111114(1)233557799⎡⎤=-+-+-+-+⎢⎥⎣⎦111204(1).2999⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦三、题型归类练1．（2022·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且29n S n n =-．（1）求n a ；（2）求数列{}||n a 的前n 项和为n T ．【答案】（1）210n a n =-，*n ∈N ；（2）229,15940,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩. 【详解】（1）由29n S n n =-，可得118a S ==-，2n ≥时，2219(1)99210n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，对1n =也成立，可得210n a n =-，*n ∈N ；（2）当15n ≤≤时，0n a ≤，即有29n n T S n n =-=-； 当6n ≥时，0n a >，255940n n T S S S n n =--=-+，即有229,15940,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．2．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 的前n 项和()2=1003n S n n n N *-+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1) ()()102110122n n a nn ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩ (2) ()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩(1)当1n =时，11=10013=102a s =-+，当2n ≥时，()()221=10010011=1012n n n a S S n n n n n -=-------. 综上所述()()102110122n n a nn ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩. (2)当50n ≤时，n n b a =，所以123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+39997951012n =++++⋅⋅⋅+-()()991012331002n n n n +-=+=+-，当51n ≥时，n n b a =-，123505152n n T a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-()5012312n n T a a a a a -=-+++⋅⋅⋅++ ()50063100n n =---21005003n n =-+.综上所述()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩.3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，11337522,21a b a b a b ====．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设2n n a c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列1n n c b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和10S ．注．[]x 表示不超过x 的最大整数． 【答案】(1)1n a n =+，112n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=；(2)109558S =.(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由11337522,21a b a b a b ====得：()()242211262d q d q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 而0d ≠，0q >，解得1d =，12q =，于是得1n a n =+，112n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=，所以数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为1n a n =+，112n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=.(2)由（1）知，1[][]22n n a n c +==，则有123456879101,2,3,4,5c c c c c c c c c c ==========， 依题意，23456789101012122222323242425252S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()357931222324252⨯⨯⨯⨯=++⨯++，令35791222324252T ⨯⨯⨯⨯+++⨯=+， 则37911541222324252T ⨯⨯⨯⨯++⨯=++， 两式相减得：()5357911111221472322222525221433T --=++++-⨯=-⨯=-⨯--，所以123295587233T =+=⨯，即109558S =．4．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n项和为)*1,1,,2n n S a a n N n =∈≥.(1)求证；数列是等差数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1,22,2,12⎡⎤-=-=⎣⎦，求22212111n a a a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦的值. 【答案】(1)证明见解析，21n a n =-(2)1(1)因为n a2n ≥时，1n nS S --=0n a >0>()12n≥所以数列1=为首项，公差为1的等差数列； ()111n n +-⨯=，则2,n S n =当2n ≥时，121n a n n n ==+-=-，又11a =满足上式， 所以{}n a 的通项公式为21n a n =-. (2)222111(21)441n a n n n ==--+，当2n ≥时，22111114441n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭， 故22212111111111111151111412231444n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++-=+-<+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 当1n =时，211514a =<，所以对任意的*n ∈N ，都有2221211154n a a a +++<， 又222212111111n a a a a +++≥=，所以22212111514n a a a ≤+++<.所以222121111n a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知等比数列{}n a 的首项为2-，前n 项和为n S ，且21,,n n n S S S ++成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设12n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}n n a b 的前10项和10T .（[]x 表示不超过x 的最大整数） 【答案】(1)(2)n n a =-；(2)3186.(1)因为2n S +，n S ，1n S +成等差数列，所以21n n n n S S S S ++-=-， 所以211n n n a a a +++--=，即212n n a a ++=-，设{}n a 的公比为q ，则2q =-，所以12(2)(2)n n n a -=-⨯-=-.(2)依题意，123456789101,1,2,2,3,3,4,4,5,5b b b b b b b b b b ==========，则2345678910102(2)2(2)2(2)3(2)3(2)4(2)4(2)5(2)5(2)T =-+-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-23456789102(2)2(2)(2)3(2)(2)4(2)(2)5(2)(2)⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-+⨯-+-+⨯-+-+⨯-+-+⨯-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦457922324252=++⨯+⨯+⨯216965122560=++++ 3186=.6．（2022·全国·高三阶段练习）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，满足1112b a =+=，221b a =+，341b a =+．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式：(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．若m 表示不大于m 的正整数的个数，求1210T T +++．【答案】(1)21n a n =-，2nn b =(2)121016T T +++=(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，12b =，11a =，由题意可得：22112131q d q d =++⎧⎨=++⎩整理可得：2320-+=q q ，解得：22q d =⎧⎨=⎩或10q d =⎧⎨=⎩（舍）所以()11221n a n n =+-⨯=-，1222n nn b -=⋅=；(2)因为212n n n a n b -=，则23135212222-=++++n nn T ， ∴234111352122222+-=++++n n n T 两式相减得23411111111213232222222222n n n n n n T ++-+⎛⎫=+++++-=- ⎪⎝⎭ 所以2332n nn T +=-显然3n T <，且112102n n n n T T +++-=>，即{}n T 为递增数列， 1112T =<，25124T <=<，315128T <=<，437216T =>， 所以10=，231T T ==，4n ≥时，2n =， 所以121016T T +++=.7．（2022·全国·高二课时练习）在①39S =，520S =；②公差为2，且1S 、2S 、4S 成等比数列；③238n S n n =+；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，其前项和为n S ，______． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令[]2log n n c a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，求1220c c c +++的值．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析 (1)解：选①，设{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d -=+， 由已知可得315133951020S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，则()111n a a n d n =+-=+；选②，11S a =，2111221222S a a ⨯=+⨯=+，41134424122S a a ⨯=+⨯=+， 由题意可得2214S S S =，则()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以，()12121n a n n =+-=-；选③，1111a S ==，当2n ≥时，()()()22138318165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦. 111a =也满足65n a n =+，故对任意的N n *∈，65n a n =+.(2)解：选①，1n a n =+，则12a =，20162132a <=<， 当[]()22log log 11n n c a n ==+=⎡⎤⎣⎦，则214n ≤+<，可得13n ≤<， 当[]()22log log 12n n c a n ==+=⎡⎤⎣⎦，则418n ≤+<，可得37n ≤<， 当[]()22log log 13n n c a n ==+=⎡⎤⎣⎦，则8116n ≤+<，可得715n ≤<，当[]()22log log 14n n c a n ==+=⎡⎤⎣⎦，则16132n ≤+<，可得1531n ≤<，此时1520n ≤≤. 所以，1,132,373,7154,1520n n n c n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤≤⎩，故12201224384658c c c +++=⨯+⨯+⨯+⨯=；选②，21n a n =-，则11a =，20323964a <=<，当[]()22log log 210n n c a n ==-=⎡⎤⎣⎦时，则0211n <-≤，此时1n =， 当[]()22log log 211n n c a n ==-=⎡⎤⎣⎦时，则2214n ≤-<，此时2n =， 当[]()22log log 212n n c a n ==-=⎡⎤⎣⎦时，则4218n ≤-<，此时34n ≤≤， 当[]()22log log 213n n c a n ==-=⎡⎤⎣⎦时，则82116n ≤-<，此时58n ≤≤， 当[]()22log log 214n n c a n ==-=⎡⎤⎣⎦时，则162132n ≤-<，此时916n ≤≤， 当[]()22log log 215n n c a n ==-=⎡⎤⎣⎦时，则322164n ≤-<，此时1720n ≤≤.所以，0,11,22,343,584,9165,1720n n n n c n n n =⎧⎪=⎪⎪≤≤=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≤≤⎩，故122001112234485469c c c +++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；选③，65n a n =+，则181116a <=<，2064125128a <=<， 当[]()22log log 653n n c a n ==+=⎡⎤⎣⎦，则86516n ≤+<，此时1n =； 当[]()22log log 654n n c a n ==+=⎡⎤⎣⎦，则166532n ≤+<，此时24n ≤≤； 当[]()22log log 655n n c a n ==+=⎡⎤⎣⎦，则326564n ≤+<，此时59n ≤≤； 当[]()22log log 656n n c a n ==+=⎡⎤⎣⎦，则6465128n ≤+<，此时1020n ≤≤.所以，3,14,245,596,1020nnncnn=⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，故1220134355611106c c c+++=⨯+⨯+⨯+⨯=.。
小学数学《数列求和》练习题(含答案)
小学数学《数列求和》练习题（含答案）【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100（2）3、4、5、6、……、76、77、78（3）4、7、10、13、……、40、43、46（4）2、6、10、14、18、……、82、86分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。
（2）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。
对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。
（3）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。
当然，我们还可以有其他的配组方法。
（4）22项．对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。
这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。
希望教师能帮助孩子牢固掌握。
【例2】计算下列各题：（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100（2）2＋5+8+…＋23+26＋29分析：（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。
高中数学数列求和的五种方法
⾼中数学数列求和的五种⽅法⼀、公式法求和例题1、设 {an} 是由正数组成的等⽐数列,Sn为其前 n 项和，已知 a2 · a4=1 , S3=7，则 S5 等于( B )(A) 15/2 (B) 31/4 (C) 33/4 (D) 17/2解析：∵ {an} 是由正数组成的等⽐数列 , 且 a2 · a4 = 1, q > 0 ,例题1图注：等⽐数列求和公式图例题2、已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn = an^2+bn (a、b∈R), 且 S25=100 , 则a12+a14等于( B )(A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 不确定解析：由数列 {an} 的前 n 项和 Sn = an^2 + bn (a、b∈R), 可知数列 {an} 是等差数列,由S25= 1/2 ×（a1 + a25）× 25 = 100 ，解得 a1+a25 = 8,所以 a1+a25 = a12+a14 = 8。
注：等差数列求和公式图⼆、分组转化法求和例题3、在数列 {an} 中, a1= 3/2 ，例题3图（1）解析：例题3图（2）故例题3图（3）∵ an>1，∴ S < 2="">∴有 1 < s=""><>∴ S 的整数部分为 1。
例题4、数列例题4图（1）例题4图（2）解析：例题4图（3）三、并项法求和例题5、已知函数 f(x) 对任意 x∈R,都有 f(x)=1-f(1-x), 则 f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) 的值是多少？解析:由条件可知：f(x)+f(1-x)=1，⽽x+(1-x)=1，∴f(-2)+f(3)=1，f(-1)+f(2)=1，f(0)+f(1)=1，∴ f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 3。
数列求和的八种方法及题型
数列求和的八种方法及题型1、抽象加法法：把等差数列的元素抽象为某一个相同的数值（称为项数，式子为S），通过加法求出所求等差数列的和。
例题：这样一个等差数列：2、4、6、8……100，求这一数列的和是多少？答案：抽象加法法：元素个数n = 99，公差d = 2，首项a = 2。
由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 99*（2+100）/2 = 99*102/2 = 4950。
2、数值加法法：直接对元素逐一加法求和。
例题：计算这一等差数列的和：1、3、5、7……99？答案：数值加法法：元素个数n = 49，即：1+3+5+7+...+99=49*100/2=4900。
3、改编组合法：将数列改编为组合形式，将大式化简，从这个组合计算其和。
例题：求这一等差数列的和：2、5、8、11……99？答案：改编组合法：元素个数n = 48，公差d = 3，首项a = 2。
将其转换为组合：2+48d ，即2+(48*3)=150，由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 48*（2+150）/2 = 48*152/2 = 7344。
4、数表法：把数列列成表，统计其和。
例题：求这一等差数列的和：3、5、7、9……99？答案：数表法：数列：3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99和：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+ 45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79+81+83 +85+87+89+91+93+95+97+99=24505、立方法：一种特殊情形——这一数列两个元素的值等于这两个元素之间的位数的立方和。
数列求和(含解析)
数列求和班级___________ 姓名_____________ 学号__________层级一 学业水平达标1．已知a n ＝(－1)n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9与S 10的值分别是( ) A ．1,1 B ．－1，－1 C ．1,0D ．－1,02．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 3．已知数列{a n }，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0，b n ＝log 2a n ，则数列{b n }的前10项和等于( ) A ．130 B ．120 C ．55D ．504．在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值( )A ．13B ．－76C ．46D ．765．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前99项和为( ) A ．2100－101 B ．299－101 C ．2100－99D ．299－996．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前4项和为________．7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9．已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .10．在等差数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝a n2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .层级二 应试能力达标1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －12．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1前n项的和为( )A ．4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1B ．4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋13．某厂去年的总产值是a 亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( )A ．11×(1.15－1)a 亿元B ．10×(1.15－1)a 亿元C ．11×(1.14－1)a 亿元D ．10×(1.14－1)a 亿元4．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 0585．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k ＝________.6．已知等比数列{a n }及等差数列{b n }，其中b 1＝0，公差d ≠0.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2，…，则这个新数列的前10项和为________．7．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列， 且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .8．在数列{a n }中，a 1＝－12，2a n ＝a n －1－n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝a n ＋n .(1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{nb n }的前n 项和T n ；(3)若c n ＝⎝⎛⎭⎫12n －a n ，P n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫c 2n ＋c n ＋1c 2n ＋c n 的前n 项和，求不超过P 2 018的最大的整数．答案解析1．已知a n＝(－1)n，数列{a n}的前n项和为S n，则S9与S10的值分别是() A．1,1B．－1，－1C．1,0D．－1,0解析：选D S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.2．数列{a n}的通项公式是a n＝1n＋n＋1，若前n项和为10，则项数为()A．11B．99 C．120D．121解析：选C∵a n＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1，令n＋1－1＝10，得n＝120.3．已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，b n＝log2a n，则数列{b n}的前10项和等于() A．130B．120C．55D．50解析：选C在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，即a n＋1a n＝2，所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以a n＝2×2n－1＝2n.所以b n＝log22n＝n.则数列{b n}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.故选C.4．在数列{a n}中，已知S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值()A．13B．－76C．46D．76解析：选B∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29.S22＝(－4)×11＝－44.S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61.∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.5．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为()A．2100－101B．299－101C．2100－99D．299－99解析：选A 由数列可知a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，所以，前99项的和为S 99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝2(1－299)1－2－99＝2100－101.6．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前4项和为________．解析：∵等比数列{a n }中，a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，∴3q 2＝2q ＋q 3.又∵q ≠1，∴q ＝2，∴a n ＝2n －1，∴1a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1是首项为12，公比为14的等比数列， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前4项和为12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1441－14＝85128.答案：851287．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析：S 6S 3＝3，故q ≠1，∴a 1(1－q 6)1－q ×1－q a 1(1－q 3)＝1＋q 3＝3， 即q 3＝2.所以S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q ×1－q a 1(1－q 6)＝1－231－22＝73.答案：738．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，d >0.由题意得(2＋d )2＝2＋3d ＋8，解得d ＝2. 故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n . (2)∵b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n ， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n ) ＝(2＋4＋…＋2n )＋(22＋24＋…＋22n ) ＝(2＋2n )·n 2＋4·(1－4n )1－4＝n (n ＋1)＋4n ＋1－43.10．在等差数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝a n2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为d ＝a 7－a 37－3＝1，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝n ＋1. (2)b n ＝a n 2n －1＝n ＋12n －1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋32＋422＋…＋n ＋12n －1.①12T n ＝22＋322＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ，② 由①－②得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －1－n ＋12n＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＋1－n ＋12n＝1－12n1－12＋1－n ＋12n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1－n ＋12n ＝3－n ＋32n ，所以T n ＝6－n ＋32n －1.层级二 应试能力达标1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1解析：选B 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以由S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，整理得3S n＝2S n ＋1，所以S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，故S n＝⎝⎛⎭⎫32n －1.2．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1前n项的和为( )A ．4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1B ．4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1解析：选A ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n (n ＋1)2n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.∴S n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1.3．某厂去年的总产值是a 亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( )A ．11×(1.15－1)a 亿元B ．10×(1.15－1)a 亿元C ．11×(1.14－1)a 亿元D ．10×(1.14－1)a 亿元解析：选A 由题意可知，今年年末的总产值为1.1a ，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a ，公比为1.1.所以其前5项和为S 5＝1.1a (1－1.15)1－1.1＝11×(1.15－1)a 亿元，故选A.4．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058解析：选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1， 于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033. 5．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则1S k＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n (n ＋1)2，1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 因此∑k ＝1n1S k ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.答案：2nn ＋16．已知等比数列{a n }及等差数列{b n }，其中b 1＝0，公差d ≠0.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2，…，则这个新数列的前10项和为________．解析：设数列{a n }的公比为q ，则{a n }的前三项分别为1，q ，q 2，{b n }的前三项分别为0，d,2d ，于是⎩⎪⎨⎪⎧ q ＋d ＝1，q 2＋2d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝0，d ＝1(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，d ＝－1.于是新数列的前10项和为(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a 10＋b 10)＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝1－2101－2＋10×0＋10×(10－1)2×(－1)＝978. 答案：9787．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列， 且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13. (1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1. (2)a n b n＝2n －12n －1，S n ＝1＋32＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －12n －2.②②－①，得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1＝2＋2×1－12n －11－12－2n －12n －1＝6－2n ＋32n －1.8．在数列{a n }中，a 1＝－12，2a n ＝a n －1－n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝a n ＋n .(1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{nb n }的前n 项和T n ；(3)若c n ＝⎝⎛⎭⎫12n－a n ，P n为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫c 2n ＋c n ＋1c 2n ＋c n 的前n 项和，求不超过P 2 018的最大的整数． 解：(1)证明：由2a n ＝a n －1－n －1两边加2n 得， 2(a n ＋n )＝a n －1＋n －1，所以a n ＋n ＝12[a n －1＋(n －1)]，即b n ＝12b n －1.因为b 1＝a 1＋1＝－12＋1＝12，所以数列{b n }是首项、公比均为12的等比数列，所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . (2)nb n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝n 2n .T n ＝12＋222＋323＋424＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①12T n ＝122＋223＋324＋425＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1.② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，所以T n ＝2－n ＋22n .(3)由(1)得a n ＝⎝⎛⎭⎫12n－n ，所以c n ＝n .c 2n ＋c n ＋1c 2n ＋c n ＝n 2＋n ＋1n 2＋n ＝1＋1n (n ＋1)＝1＋1n －1n ＋1. P 2 018＝⎝⎛⎭⎫1＋11－12＋⎝⎛⎭⎫1＋12－13＋1＋13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12 018－12 019＝2 019－12 019. 所以不超过P 2 018的最大的整数是2 018.。
数列求和常用方法(含答案)
数列专题 数列求和常用方法一、公式法例1在数列{a n }中，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝10，a 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．解： (1)因为2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝10，a 5＝a 1＋4d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－5， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15－5(n －1)＝－5n ＋20．(2)由(1)可知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－52n 2＋352n ，因为对称轴n ＝72， 所以当n ＝3或4时，S n 取得最大值为S 3＝S 4＝30． 跟踪练习1、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝1，a 2＋a 4＝10， 所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5， 所以b 1q ·b 1q 3＝9. 又b 1＝1，所以q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.则b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.二、分组转化法例2、已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝20，(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，a 1d ＝0， 因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *， 因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n ，n 为奇数＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，4n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2) ＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．跟踪练习1、已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围． 解 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49，则a 4＝7， 故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2， 故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1， T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1 ＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝21－22n ＋11－4＋n (1＋2n －1)2＝22n ＋13＋n 2－23.易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000， 故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *.三、并项求和法例3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5， 又a 5＝9＝a 1＋4d ，所以d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时， T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)] ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n 为奇数时，n －1为偶数， T n ＝T n －1＋(－1)n·n 2＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2. 综上可知，T n ＝(－1)n n (n ＋1)2.四、裂项相消法例4、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，解得a 1＝3；当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3a n －3－3a n －1＋3＝3a n －3a n －1，得a n ＝3a n －1， 因为a n ≠0，所以a na n －1＝3，因为a 1＝3， 所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n ． (2)因为log 3a n ＝log 33n ＝n ，所以b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1． 跟踪练习1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．解： (1)由S n ＝2a n －1，可得n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1；n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，又S n ＝2a n －1，两式相减可得a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－2a n －1＋1，即有a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1．设等差数列{b n }的公差为d ，且b 1＝a 1＝1，b 6＝a 5＝16，可得d ＝b 6－b 16－1＝3，所以b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2．(2)证明：c n ＝1b n b n ＋1＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，所以T n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17＋17－110＋…＋13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1<13，则3T n ＜1．2、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *，所以a n ＋1＋a n －2a n ＋1a n ＝4，即(a n ＋1－a n )2＝4，又{a n }是各项为正数的单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝2，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2.(2)b n ＝1a n －1＝14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.3、已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)由已知得a n ＋1－a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2＋2(1－2n －1)1－2＝2n .又a 1＝2，也满足上式，故a n ＝2n . (2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n ， 1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故T n ＝nn ＋1.五、错位相减法例5、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1． (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1，∴a n ≠0，∴1a n ＝1a n ＋1－2⇒1a n ＋1－1a n ＝2，又∵1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a n ＝12n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知：b n ＝(2n －1)×3n ，∴S n ＝1×3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n －1)×3n ， 3S n ＝1×32＋3×33＋5×34＋7×35＋…＋(2n －1)×3n ＋1，两式相减得－2S n ＝3＋2×32＋2×33＋2×34＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2(32＋33＋34＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)×3n ＋1＝3＋3n ＋1－9－(2n －1)×3n ＋1＝2(1－n )×3n ＋1－6 ∴S n ＝(n －1)×3n ＋1＋3． 跟踪练习1、已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1．(1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)设b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )，求数列{b n }的前n 项和T n ．解： (1)因为a n ＋1＝2a n ＋n －1，所以a n ＋1＋(n ＋1)＝2a n ＋2n ，即a n ＋1＋(n ＋1)a n ＋n＝2，又a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋n }是以2为首项2为公比的等比数列， 则a n ＋n ＝2·2n －1＝2n ，故a n ＝2n －n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )－(1＋2＋…＋n )＝2·(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－n (1＋n )2．(2)由(1)得，b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )＝(2n －1)·2n ， 则T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ，①2T n ＝22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②①－②得－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)·2n ＋1＝2×(2＋22＋…＋2n )－2－(2n －1)·2n ＋1＝－(2n －3)·2n ＋1－6，所以T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2， 两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2， 即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)， 则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列， 则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1． (2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)， 设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1， 3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n ＝1－3n1－3－n ·3n ， 化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．3、设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项． (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和． 解 (1)设{a n }的公比为q ， ∵a 1为a 2，a 3的等差中项， ∴2a 1＝a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2，a 1≠0， ∴q 2＋q －2＝0， ∵q ≠1，∴q ＝－2.(2)设{na n }的前n 项和为S n ， a 1＝1，a n ＝(－2)n －1，S n ＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n (－2)n －1，①－2S n ＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n (－2)n ，② ①－②得，3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n (－2)n ＝1－(－2)n 1－(－2)－n (－2)n ＝1－(1＋3n )(－2)n3，∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n9，n ∈N *.4、设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n . (1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2＝3a 1－4＝9－4＝5， a 3＝3a 2－8＝15－8＝7，由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)可知，a n ·2n ＝(2n ＋1)·2n ，S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，①2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②得，－S n ＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2， 即S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.5、已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝a n ·2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使T n >2 022的最小的正整数n 的值． 解 (1)当n ≥2时，由a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2， 得a 2n ＝2S n －1＋n －1＋1，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2.∵{a n }是正项数列，∴a n ＋1＝a n ＋1. 当n ＝1时，a 22＝2a 1＋2＝4， ∴a 1＝1，∴a 2－a 1＝1，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n . (2)由(1)知b n ＝a n ·2n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得－T n ＝2·(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.∴T n －T n －1＝n ·2n >0， ∴T n 单调递增．当n ＝7时，T 7＝6×28＋2＝1 538<2 022， 当n ＝8时，T 8＝7×29＋2＝3 586>2 022， ∴使T n >2 022的最小的正整数n 的值为8.6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为4S n ＋1＝3S n －9，所以当n ≥2时，4S n ＝3S n －1－9，两式相减可得4a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝34.当n ＝1时，4S 2＝4⎝⎛⎭⎫－94＋a 2＝－274－9，解得a 2＝－2716， 所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列，所以a n ＝－94×⎝⎛⎭⎫34n －1＝－3n＋14n .(2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0， 所以b n ＝(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n.所以T n ＝－3×34－2×⎝⎛⎭⎫342－1×⎝⎛⎭⎫343＋0×⎝⎛⎭⎫344＋…＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ，① 且34T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫342－2×⎝⎛⎭⎫343－1×⎝⎛⎭⎫344＋0×⎝⎛⎭⎫345＋…＋(n －5)×⎝⎛⎭⎫34n ＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，② ①－②得14T n ＝－3×34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－94＋916⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －11－34－(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，所以T n ＝－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1≤λ⎣⎡⎦⎤(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n 恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立， 当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1； 当n ＝4时，－12≤0恒成立，当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3. 所以－3≤λ≤1.。
数列求和(分组求和、并项法、错位相减、裂项相消)综合经典例题(收藏版)含答案详解
数列求和综合（经典总结版）含答案详解包括四种题型：分组求和、并项法、错位相减、裂项相消一、分组求和例1．求和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S .例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.练1.求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥（I ）求数列a n 的通项公式； （Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。
11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 21-2223-242(1)n n •-50S n n S练1 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．若a 1－a 3＝－32，求数列{n ·a n }的前n 项和T n .练2 设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .例2已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列；（Ⅱ）数列{}n n a 的前n 项和n S ．练1 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n bn a )21(2=，设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .练2、已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .例3 在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n .例4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn ，求数列{c n }的前n 项和T n .四、裂项相消裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111(1)1n a n n n n ==-++ 1111()(2)22n a n n n n ==-++ ┈┈1111()()n a n n k k n n k ==-++2n p a An Bn C ⇒=++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式）2. 1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++1111()(65)(61)66561n a n n n n ==--+-+3. 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦4.)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n 5. 111211(21)(21)2121n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121nnn n n n a ==-++++122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==⋅=-++⋅+6.=┈┈12=1k=- 例1．正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1nn a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T ．练1.等比数列}{n a 的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{nb 的前n 项和．例2．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ．(Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(11*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T ．例3．已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,4)1(112+--=n n n a a nb 求数列}{n b 的前n 项和n T .例4．正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足：0)()1(222=+--+-n n S n n S n n .(1)求数列}{n a 的通项公式n a ；(2)令,)2(122n n a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明：对于,*N n ∈∀都有645<n T .练1、已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，21n n n b a a +=⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，证明：1334n S ≤<.例5．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4＝9，a 2a 3＝8．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝，求数列{b n }的前n 项和T n ．例6. （无理型）设数列{}n a 满足01=a 且111111=---+nn a a ，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设na b n n 11+-=，记∑==nk kn bS 1，证明：1<n S .例7.（指数型）．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝﹣n ﹣1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．例8．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n （n ∈N *），{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2+2，a 4＝b 3+b 5，a 5＝b 4+2b 6．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{S n }的前n 项和为T n （n ∈N *）， （i ）求T n ；（ii ）证明＝﹣2（n ∈N *）作业：1．设231()2222()n f n n N ++=++++∈，则()f n 等于（ ）A.21n -B.22n -C. 122n +-D. 222n +-2．满足*12121,log log 1()n n a a a n +==+∈N ，它的前n 项和为n S ，则满足1025n S >的最小n 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．123．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为( A ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011004．求和2345672223242526272+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . 5．定义在上的函数满足， 则6．已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ，求T 2 012；(3)若c n ＝a n ·f (a n )，求{c n }的前n 项和U n .7．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，a 1＝1，各项均为正数的等比数列{b n }的第1项，第3项，第5项分别是a 1，a 3，a 21.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .8. 已知数列{an}的前n 项和Sn ＝－12n 2＋kn(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和Tn.R )(x f 2)21()21(=-++x f x f )83()82()81(f f f ++67()()_______88f f +++=数列求和综合答案详解版一、分组求和例1．求和. 【解析】(1+2+3+…+n)+ =【总结升华】1. 一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.2. 一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S . 【解析】（1）232(164)2325p q p q p q p p +=⎧⎨+=+++⎩ 解得11q p =⎧⎨=⎩（2）12212(21)(22)+(2)n n S x x x n =+++=+++++………… =12(22+2)(123+n)n ++++++…………=1(1)222n n n ++-+ 例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的过程为d ，∵a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列． ∴＝a 1•（a 4+2），即（1+d ）2＝1×（1+3d +2），化为：d 2﹣d ﹣2＝0，解得d ＝2或﹣1．其中d ＝﹣1时，a 2＝0，舍去．∴d ＝2．a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，S n ＝＝n 2．（Ⅱ）设b n ＝＝，∴n 为偶数时，＝＝16，b 2＝8；11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭11111232482n n S n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++= ⎪⎝⎭111242n ⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭(1)1122n n n ++-{}n a {}n b {}n n a b +n n Sn 为奇数时，＝＝，b 1＝．∴数列{b n }的奇数项是首项为，公比为．数列{b n }的偶数项是首项为8，公比为16．∴数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝+＝．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.【思路点拨】该数列{}n a 的特征：1(1)(43)n n a n -=--，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：1234561...4n n a a a a a a a a ++=+=+==+=-（n 为奇数），可以将相邻两项组合在一起. 【解析】（1）法1（分组）由可得，法2（并项）a1+a2=−4,a3+a4=−4（2）由∴当为奇数，时， ，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-2-a n-1）+an=−4(n−12)+4n-3=2n-1当为偶数，时，，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-1+an ）=−4×n2=−2n 【总结升华】1.对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有意料之结. 举一反三：【变式1】求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 1(1)(43)n n a n -=--158(157)7(553)[19...(4153)][513...(4143)]2922S ++=+++⨯--+++⨯-=-=2211(181)11(585)[19...(4213)][513...(4223)]4422S ++=+++⨯--+++⨯-=-=-1(1)(43)n n a n -=--n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--+=-n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--++=n )1(-1n )1(+-n S n 21-2223-242(1)n n •-50S n n S【解析】（1）设，则数列为等差数列，且是的前25项之和， 所以.（2）当为偶数即时，.当为奇数即时，.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥ （I ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。
数列求和-简单(含答案)
.数列求和1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，))(1(31*∈-=N n a S n n （1）求21,a a ；（2）求知数列{}n a 的通项公式。
【答案】（1）12-，14（2）n n a 21-=【解析】（1）由))(1(31),1(311111*∈-=-=N n a a a S 得211-=∴a 又)1(3122-=a S即41),1(312221=-=+a a a a 得,当)1(31)1(31211---=-=≥--n n n n n a a S S a n 时，得211-=-n n a a所以 21-=q 公比，n n a 21-=考点：求数列通项 2．已知等差数列{}n a 满足：52611,18a a a =+=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n n a b 3+=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）21n a n =+；（Ⅱ）2323212-+-+=n n n n S ．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由18,11625=+=a a a 得⎩⎨⎧=+=+186211411d a d a ，解得13,2,a d ==所以21n a n =+；（Ⅱ）由12+=n a n 得213nn b n =++．]()()123357213333nn S n =++++++++++⎡⎤⎣⎦L L ()12231333221322n n n n n n +-=++=+-+-考点：1．等差数列；2．等比数列求和；3．分组转化法求和． 3．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，且，，，．（Ⅰ）求{}n b 通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c -=，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，则，所以，，所以．设等比数列的公比为，因为，，所以，即，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以．从而数列的前项和．4．已知数列{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列，且，，，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n b a c +=，求数列{}n c 的前n 项和{}n T ．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的公差为，的公比为，由，，得，，即有，，则，故．（2）由（1）知，,∴……．5．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且12a =，1a ,5a ,17a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（１）1n a n =+； （2）n T ()21242n n n n ++=++-..【解析】（１）设等差数列{}n a 的公差为d , 由1a ,5a ,17a 成等比数列得:25117a a a =⋅,即()()2242216d d +=⨯+, 整理得()10d d -=, 0d ≠Q ,1d ∴=,∴ ()2111n a n n =+-⨯=+．（2）由（1）可得+12+1n n b n =+．所以123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+()()()()234121122123121n n +++=++++++++++L()()23412222123n n n +=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++()211222122n n n n +⨯+-⨯=++-()21242n n n n ++=++-考点：等差数列和等比数列的性质，等差数列的通项公式，分组求和法，等差等比数列的求和公式.6．已知数列{}n a 的前n 项和2*,2n n nS n N +=∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(1)n ann n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和.【答案】（Ⅰ）数列{}n a 的通项公式为n a n =；（Ⅱ）数列{}n b 的前2n 项和21222n n T A B n +=+=+- 【解析】（Ⅰ）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=， 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(1)n nn b n =+-⋅，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则1222(222)(12342)n n T n =++++-+-+-+L L ，记122222,12342nA B n =+++=-+-+-+L L ，则2212(12)2212n n A +-==--， (12)(34)[(21)2]B n n n =-++-++--+=L ，故数列{}n b 的前2n 项和21222n n T A B n +=+=+- 7．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{b n }的前n 项和S n ．【答案】（Ⅰ）32n a n =-+；（Ⅱ）当c ＝1时，S n ＝()312n n -＋n ＝232n n+；当c ≠1时，S n ＝()312n n -＋11nc c--． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，则1127232929a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得113a d =-⎧⎨=-⎩∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2．（Ⅱ）∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，∴a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，∴b n ＝3n －2＋c n －1． ∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋cn －1)＝()312n n -＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． 当c ＝1时，S n ＝()312n n -＋n ＝232n n+；当c ≠1时，S n ＝()312n n -＋11n c c--．考点：1.数列的通项公式；2.数列的求和；3.等差数列和等比数列的性质应用.8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】(1)21n a n =-,12n n b -= (2)122n n T n+=--【解析】（Ⅰ ）∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，∴ 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．当1n =时，111a S == 亦满足上式， 故21n a n =-（*n N ∈）．又数列{}n b 为等比数列，设公比为q ∵ 11b =，3418b b q ==， ∴2q =．∴ 12n n b -= （*n N ∈）．（Ⅱ）2121n nn b n c a b ==-=-．123n n T c c c c =+++L12(21)(21)(21)n=-+-++-L 12(222)nn =++-L 2(12)12n n -=--．所以 122n n T n +=--． 考点：等差数列，等比数列，求和9．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ；.（2）令n b =211n a -(n N *∈)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2n+1n a =；n S =2n +2n 。
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数列求和汇总答案
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n n 例1、已知3
log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式） ＝x x x n
--1)1(＝2
11)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。
解：2222222212345699100-+-+-+--+ 由等差数列的求和公式得
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.
例2求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积
设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位）
①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x
x x S x )12(1121)1(1
----⋅+=-- ∴2
1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2
1}的通项之积 设n n n S 2
226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①
14322
226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ………………………………②（设制错位） ①－②得14322
22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n S （错位相减） ∴12
24-+-=n n n S 三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
例3求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①
将①式右边反序得 1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）
又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x
①+②得（反序相加）
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89
∴S ＝44.52、 求和：2
22
222222222222101109293832921101++++++++++ 四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例4、求和:⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 解:原式=()n x x x x ++++ 32⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n y y y 1112 =()y
y y x x x n n
1111111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-- =n n n n y
y y x x x --+--++1111 练习：求数列的前n 项和：231,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
=-n a
a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2
)13(n n +（分组求和） 当1≠a 时，2)13(1111n n a a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 练习：求数列•••+•••),21
(,,813,412,211n n 的前n 项和。
解：n n n n n n n n S 2
11)1(21)21212121()321()2
1(81341221132-++=+•••+++++•••+++=++•••+++= 五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如： 例5求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,,321,211n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=11
1（裂项） 则1
1321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和） ＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n
练习：求13，115，135，163之和。
解：94)911(21)9171()7151()5131()311(21)9171(21)7151(21)5131(21)311(219
7175153131163135115131=-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-+-+-=-+-+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯=+++
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
例6、数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得
……
∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）
∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）
＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a
＝2002200120001999a a a a +++
＝46362616+++++++k k k k a a a a
＝5
练习：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值. 解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=
由等比数列的性质q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）
和对数的运算性质N M N M a a a ⋅=+log log log 得
)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）
＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅
＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++
＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
例7、求5，55，555，…，的前n 项和。
解：∵a n =59(10n -1)
∴S n =59(10-1)+59(102-1)+59(103-1)+…+59(10n -1)
=59[（10+102+103+……+10n ）-n]
=（10n ＋1-9n-10）
练习：求数列：1，，，的前n 项和。
解：
=
=
走在路上，挫折是难免的，低潮是必然的，孤独与寂寞是如影随形的;总有被人误解的时候，总有寄人篱下的时候，总有遭人诽谤与暗算的时候。
这些时候，要知道潮涨潮落、波谷波峰的道理，只要你能够耐心等待，受得了折磨，守得住底线，一切都会证明，生活不会抛弃你，命运不会舍弃你。