高考数学 16 选修系列：几何证明选讲讲试题解析 学生版 文
2012年高考数学试题解析 分项版之专题16 几何证明选讲 学生版选修 文.pdf
题型专项(六) 统计与概率的应用统计10%左右考查的重点是：①描述数据的几个统计量；②利用统计图表整理、描述和分析数据；③概率(结合实际情况)的计算．复习重点：①从统计表中获取信息补全统计图、表；②用列举法进行等可能情形下的概率的计算；③用统计的思想解决简单的实际问题如数据集中趋势、离散程度、数据总体估计、趋势预测等．类型1 统计知识的应用(2013·安徽)某厂为了了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平随机抽取了50名工人加工的零件进行检测统计出它们各自加工的合格品数是1到8这八个整数．现提供统计图的部分信息如图请解答下列问题：(1)根据统计图求这50名工人加工出的合格品数的中位数； (2)写50名工人加工合格品数的众数的可能取值；(3)厂方认定工人在单位时间内加工出的合格品数不低于3件为技能合格否则将接受技能再培训．已知该厂有同类工人400名请估计该厂将接受技能再培训的人数．(2015·崇左)自从2012年12月4日中央公布“八项规定”以来我市某中学积极开展“厉行勤俭节约反对铺张浪费”的活动．为此校学生会在全校范围内随机抽取了若干名学生就A.饭和菜全部吃完；有剩饭但菜吃完；C.饭吃完但菜有剩；D.饭和菜都有剩．学生会根据统计结果绘制了如下统计表和统计图根据所提供的信息回答下列问题： 选项频数频率(1)这次被抽查的学生有多少人？(2)求表中m的值(3)该中学有学生2 200名请估计这餐晚饭有剩饭的学生人数按平均每人剩10克米饭计算这餐晚饭将浪费多少千克米饭？ 3．(2015·青岛)某小学为了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况从每班抽取相同数量的学生进行调查并将所得数据进行整理制成条形统计图和扇形统计图如下： (1)补全条形统计图；(2)求扇形统计图中扇形的圆心角的度数；(3)若该中学有2 000名学生请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？(2011·安徽)一次学科测验学生得分均为整数满分10分成绩达到6分以上(包括6分)为合格．成绩达到9分为优秀．这次测验中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下： (1)请补充完成下面的成绩统计分析表： 平均分方差中位数合格率优秀率甲组6.92.491.7乙组1.383.3(2)甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生不同意甲组学生的说法认为他们组的成绩要高于甲组．请你给出三条支持乙组学生类型2 概率知识的应用(2014·安徽)如图管中放置着三根同样绳子AA、BB、CC(1)小明从这三根绳子中随机选一根恰好选中绳子AA的概率是多少？(2)小明先从左端A、B、C三个绳头A1、B、C三个绳头中随机选两个打一个结求这三根绳子连接成一根长绳的概率． 2．(2015·湘潭)2015年湘潭市中考招生政策发生较大改变其中之一是：省级示范性高中批次志愿中每个考生可填报两所学校(有先后顺序)我市某区域的初三毕业生可填报的省级示范性高中有A、B、C、D四所．1)请列举出该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果；(2)求填报方案中含有A学校的概率．(2015·淮北五校联考)某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏、B、C分别表示三位家长他们的孩子分别对应的是a、b、c.(1)若主持人分A、a的概率是多少？(直接写出答案)(2)若主持人先从三位家长中任选两人为一组再从孩子中任选两人为一组四人共同参加游戏恰好是两对家庭成员的概率是多少．(画出树状图或列表)(2015·青岛)小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1～4的四个球(除编号外都相同)从中随机摸出一个若两次数字之和大于5则小颖胜否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．类型3 统计与概率的综合应用(2015·合肥38中等六校模拟)学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此今年我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣)并将调查结果绘制成图1和图2的统计图(不完整)．请根据图中提供的信息解答下列问题：(1)此次抽样调查中共调查了________名学生；(2)将图1补充完整；(3)求出图2中级所占的圆心角的度数；(4)根据抽样调查结果在我市八年级学生中任意抽一名学生该学生学习态度达标的概率为多少？(达标包括级和B级) 2．(2015·安庆二模)2015年安徽省中考体育考试方案出台体育总分由2014年的40分增加到45分考试项目分为必考项目和选考项目．男生的必考项目是米跑女生的必考项目是800米跑；选考项目为立定跳远、1分钟跳绳和坐位体前屈．某校为了解毕业班学生对选考项目的喜爱程度以便进行有针对性的训练对本校九年级部分学生进行了一次随机问卷调查下图是采集数据后绘A：立定跳远：1分钟跳绳：坐位体前屈)．请你根据图中提供的信息解答以下问题： (1)填写扇形统计图中缺失的数据并把条形图补充完整；(2)2015年该校九年级共有学生200人按此调查可以估计2015年该校九年级学生中喜爱1分钟跳绳的学生约有多少人？(3)安徽省教育厅规定：各地市可在选考项目中确定两项作为本地市中考体育考试项目那么该校所在地市确定的中考体育项目中“1分钟跳绳”的概率是多少？类型1(1)加工1件的2人加工2件的6人加工3件的8人＋6＋8＝16＜25加工4件的有10人＋10＝26故第25、26个数一定是4个所以这组数据的中位数是4(个)．4个或5个或6个．(3)抽查的50名工人需要再培训的频率是＝估计该厂将接受技能再400×＝64(人)． 2.(1)5÷0.1＝50(人)即被抽查的学生有50人．m＝＝0.6＝50×0.2＝10.(3)2 200×＝6 600(克)＝6.6(千克)． 3.(1)10÷25%＝40的人数为40－10－14－3－1＝12.补全条形统计图如图．1－25－30%－35%－2.5%＝7.5%＝27扇形统计图中扇形的圆心角的度数为27(3)∵2 000×90%＝1 800该中学2 000名学生中有1 800名学生能在1.5小时内完成家庭作业． 4.(1)7 7 7 (答案不唯一) ①因为乙组学生的平均成绩高于甲组学生的平均成绩所以乙组学生的成绩好于甲组；②因为甲、乙两组学生成绩的平均分相差不大而乙组学生的方差低于甲组学生的方差说明乙组学生成绩的波动性比甲组类型2(1)小明从三根绳子中选出一根共有3种等可能的情况选中绳子AA的情况只有一种恰好选中绳子AA的概率是依题意在两端随机选两个绳子打一个结共有三类9种情况列表表示如下： 左端 右端A1、A、B、A、A、B、A、A、B、A根据左右两端打结绳子的情况如果只是两根绳子之间打结AB、A、B与AC、A三种情况不行其余都可以故所求概率是＝ 2.(1)该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果如下图所示： (2)根据树状图可知：该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果共有12种其中含有A的共有6种故填报方案中含有A学校的概率＝＝ 3.(1)P(恰好是A)的概率是依题意列表如下： 家长 孩子abacbcABAB，abAB，acAB，bcACAC，abAC，acAC，bcBCBC，abBC，acBC，bc共有9种情形每种发生可能性相AB，ab)，(AC，ac)，(BC，bc)3种故恰好是两对家庭成员的概率是P＝＝ 第一次 第二次4,5,6,7,8共有16种等可能结果其中大于5的有共有6种．P数字之和>5＝＝因为，所以不公平．类型3(1)400 400－240－100＝60(人)补图如上．(3)所占圆心角度数＝360(1－25－60)＝54(4)根据此次调查结果可以估计：在我市八年级学0.85. 2.(1)补充后的统计图如上：由(1)可知样本中喜爱B项目占样本容量的35故据此可估计该校九年级学生中喜爱项目B的学生约有200×35＝70(人)．(3)用树状图分析为： 一共有6种情况其中含有项目B的有4种情况因此P(含有1分钟跳绳项目)＝ 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。
高中数学几何证明选讲详解
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题
【思路点拨】条件
【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由 得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在 中, 分别为 上的点,且 , 的面积是 ,梯形 的面积为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
5． （2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则 的值为
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。
【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。
【规范解答】由题意可知 ∽ 相似，
所以 ,由 及已知条件
可得 ,又 , 。
【答案】
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= ，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.
【答案】
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得 ，算出 ，再由相交弦定理求出
【规范解答】因为 为 的中点，由垂径定理得 ，在 中， ，由相交弦定理得： ，即 ，
2012年高考数学试题解析 分项版之专题16 几何证明选讲 教师版选修 文.pdf
题型专项(三) 第18题解直角三角形解直角三角形在安徽8～10分难度不大复习时注意结合直角三角形的性质勾股定理以及锐角三角形知识关键是构造直角三角形．类型1 解直角三角形 (2014·上海改编)如图已知中＝90是斜边AB上的中线过点A作AE⊥CD分别与CD、CB相交于点H、E＝2CH. (1)求的值；(2)如果CD＝求BE的值．【思路点拨】 (1)先根据直角三角形性质得到CD＝AD＝BD再证明∠B＝∠BCD＝∠CAH实现等角转换；(2)先求出AB再根据直角三角形的边角关系求AC再根据线段的和差关系求解．【解答】 (1)在中是斜边AB上的中线＝BD.∴∠B＝∠BCD.又∵∠ACH＋∠BCD＝90＝∠B.＝＝＝(2)∵CD＝＝2由＝得＝＝2.∴BC＝4.CAH＝∠B＝＝1.＝BC－CE＝4－1＝3. 解决这类问题注意等角的利用角度相等其三角函数值也相等在直角三角形中已知一个三角函数值可以求出其余的三角函数值再利用锐角三角函数概念求解．当然还要注意和其他几何图形知识结合起来应用． 1．(中考改编题)已知如图：△ABC是等腰直角三角形＝90＝12为△ABC外一点连接AD、BD过D作DH⊥AB垂足为点H交AC于点E.BD＝AB且＝求DE的长． 2．(2015·襄阳)如图是△ABC的中线＝＝＝求：(1)BC的长； (2)sin∠ADC的值．现有一张宽为12 的练习纸相邻两条格线间的距离均为0.8 调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案图案的顶点恰好在四条格线上(如图)测得∠α＝32若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印(如图)最多能印几个完整的图案？(参考数据：tan32°≈0.6) 类型2 解直角三角形的应用 (2015·包河一模)如图三条平行的高速公路l、l、l分别经过三个城市、AC分别为两条连AB、AC分别与l成30°、45角已知AB＝200千米＝400千米求两条高速公路l、l之间的距离(结果保留根号)． 【思路点拨】 想办法构造直角三角形先过点A作AF⊥l垂足是F设AF与l交于E.在直角△ABE中求出AE在直角三角形ACF中求出AF然后求出AF与AE的差值即可．【解答】 过点A作AF⊥l垂足是F设AF与l交于E.由题AE＝AB·＝100千米AF＝AC·＝200千米＝AF－AE＝200－100(千米)．答：两条高速公路之间的距离为(200－100)千米． 解答此类问题根据题目中的已知条件将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题根据已知画出平面几何图形．若三角形是直角三角形根据边角关系进行计算若三角形不是直角三角形可通 1．(2015·庐阳模拟)北京时间2015年04月25日14时11分尼泊尔发生强烈地震震级8.1级左右．在地震抢救中某探测队探测出某建筑物下面有生命迹象为了准确测出生命迹象所在的深度他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上相距4米的A两处用仪器探测生命迹象C已知探测线与地面的夹角分别是30和60(如图)求该生命迹象所在位置的深度(参≈1.732，结果保留一位小数)． 2．(2013·安徽)如图防洪大堤的横截面是梯形ABCD其中AD∥BC坡角α＝60汛期来临前对其进行了加固改造后的背水面坡角β＝45若原坡长AB＝20 求改造后的坡长AE.(结果保留根号) 3．(2015·蒙城六中)如图河流的两岸PQ、MN互相平行河岸MN上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E、…某人在河岸PQ的A处测得∠CAQ＝30然后沿河岸走了110米到达B处测得∠DBQ＝45求河流的宽度(结果可带根号)． 4．(2015·瑶海模拟)要在30米的环湖大道的路边安装路灯路灯的灯臂(AB)长为3 且与灯柱(BC)成120路灯采用圆锥形灯罩灯罩的轴线(AD)与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面的中线时照明效果最理想问设计多高的灯柱才能取得最理想的照明效果()． 5．(2015·马鞍山模拟)某超市从一楼到二楼有一自动扶梯图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4的长度是13米是二楼楼顶PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42求二楼的层高BC.(精确到0.1米) 6．(2015·滁州模拟)如图在甲、乙两个建筑物之间有一旗杆GE高15米从乙建筑物的墙角C点E恰好看到甲建筑物的顶点A且仰角为60又从乙建筑物的顶点D测得A点的仰角为30若旗杆底部端点G为BC的中点求甲建筑物的高AB和乙建筑物的高CD. 7．(2014·蒙城二模)小王住在巢湖岸边一天他站在自家的阳台上看到一人放风筝B风筝飘在湖面上空抬头望去仰角为45风筝在湖面的影子C为俯角60此时小王想估计风筝的高度4楼每层楼高3 底层比湖面高2 小王视线高估算风筝高度． 8．(2015·嘉兴)小红将笔记本电脑水平放置在桌子上显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120时感觉最舒适(如图1)侧面示意图为图2使用时为了散热她在底板下加入散热架ACO′后电脑转到AO′B′位置(如图3)侧面示意图为图4.已知OA＝OB＝24于点CC＝12 (1)求∠CAO′的度数； (2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少？(3)如图4垫入散热架后要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？类型1且＝BD＝AB＝12＝8根据勾股定理得：HB＝4＝AB－BH＝12－4EH＝AH＝12－4＝DH－EH＝4－4. 2.(1)过点A作AE⊥BC于点E. ＝＝45在中＝AC·＝1＝CE＝1.在中＝＝＝3AE＝3.BC＝BE＋CE＝3＋1＝4.AD是△ABC的中线＝＝2.DE＝CD－CE＝2－1＝1.AE⊥BC，∴∠ADC＝45＝3.在中＝＝＝1.6.在中可得∠DAH＝32＝＝＝2.在中＝32＝＝CG＝0.48.6×2＋0.48＞12＋0.48＜12最多能摆放5块矩形图案即最多能印5个完整的图案．类型2过C点作CD垂直AB于D点得∠CBD＝60∴∠ACB＝30AB＝BC＝4.在中解得CD＝≈3.5(米)． 答：该生命迹象所在位置的深度是3.5米． 2.过点A作AF⊥CE于点F在中＝20∵sinα＝＝20×＝10在中＝＝＝10()． 3.过D作DH∥CA交PQ于H过D作DG⊥PQ垂足为G. PQ∥MN，DH∥CA，∴四边形CAHD是平行四边形．AH＝CD＝50＝∠CAQ＝30在中＝∠BDG＝45＝DG.设BG＝DG＝x在中得HG＝BH＝AB－AH＝110－50＝60＋x＝＝30＋30.答：河流的宽度为(30＋30)米． 4.延长CB相交于E. 在中＝30＝2AB＝6()．在中＝30＝＝＝15(m)，∴CB＝25.5－6＝19.5()．答：设计19.5米高的灯柱才能取得最理想的照明效果． 5.延长CB交PQ于点D. MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ.∵自动扶梯AB的坡度为1∶2.4＝＝设BD＝5k＝12k则AB＝13k.AB＝13＝1.BD＝5＝12.在中＝90＝42＝AD·＝10.8.BC＝5.8.答：二楼的层高BC为5.8米． 6.点G是BC中点是△ABC的中位线．AB＝2EG＝30米．在中＝60则BC＝＝＝10(米)． 在中＝BC＝10米＝30则FD＝AF＝10＝10(米)． 综上可得：CD＝AB－FD＝20(米)． AB和乙建筑物的高CD分别为30米和20米． 7.设BE＝x 则AD＝(4－1)＋2＋1＝12()．BF＝x－12＝CE＋12＝x＋12在中＝45则∠B＝45所以AF＝BF＝x－12.在中＝60＝即x＋12＝(x－12)解得x＝24＋12答：风筝高度为44.4 ． 8.(1)O′C⊥OA，O′C＝12 ＝OA＝＝＝＝＝30过B点作BD⊥AC交AC的延长线于点D. ∠BOD＝180－∠AOB＝60＝24＝12()．B′C＝BO＋O′C＝24＋12＝36(B′C－BD＝(36－12)即显示屏的顶部B′比原来升高了(36－12)(3)∵120°－90＝30显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30度． 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。
高考数学总复习：选修4 1《几何证明选讲》1
逻辑不严密：在证明过 程中逻辑链条可能不严 密导致结论不成立或出 现漏洞。
忽视隐含条件：在几何 问题中有时会存在一些 隐含条件如果忽视这些 条件可能会导致证明过 程出错。
图形绘制错误：在解题 过程中如果图形绘制不 准确可能会导致证明过 程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。 理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。 提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。 培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从 已知条件出发 按照严格的逻 辑规则推出结 论的思维方式。
归纳推理：从 大量具体事例 中概括出一般 原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。 归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。 反证法：通过否定结论来证明结论的方法。 演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用 物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解 计算机科学：算法设计和数据结构的基础 经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求 证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和 需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导 得出结论
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确定思路：根据题意和已知条件选 择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
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几何证明在经济学中 的应用：在金融、统 计学、市场分析等领 域中几何证明可以用 来证明经济理论和模 型的正确性以及解释
2016年高考新课标3理科数学真题及答案详解
2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅲ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x ＞0}，则S∩T ＝A.[2，3]B.(－∞，2]∪[3，＋∞)C.[3，＋∞)D.(0，2]∪[3，＋∞)（2）若z ＝1＋2i ，则4i z ¯z －1＝ A.1 B.－1 C.i D.－i（3）已知向量−→BA ＝(12，22)，−→BC ＝(32，12)，则∠ABC ＝ A.30° B.45° C.60° D.120°（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平 均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A 点表示十月的平均最高气温约为15°C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5°C ．下面叙述不正确的是A.各月的平均最低气温都在0°C 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均气温高于20°C 的月份有5个（5）若tanα＝34，则cos 2 α＋2sin2α＝A.6425B.4825C.1D.1625（6）已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则A.b ＜a ＜cB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b(7)执行右面的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝A.3B.4C.5D.6（8）在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = A.31010 B.1010 C.－1010 D.－31010（9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A.18＋36 5B.54＋18 5C.90D.81（10）在封闭的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是A.4πB.9π2C.6πD.32π3（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C : x 2 a 2＋ y 2 b2＝1(a ＞b ＞0)左焦点，A 、B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A.13B.12C.23D.34（12）定义“规范01数列”{a n }如下，{a n }共有2m 项，其中m 为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有A.18个B.16个C.14个D.12个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x －2y≤0x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为____________. （14）函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sinx ＋3cosx 图像至少向右平移_______个单位长度得到。
几何证明选讲(广东文数)
选修4-1 《几何证明选讲》复习讲义一、广东高考考试大纲说明的具体要求：（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理. （2）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.（3）会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.二、基础知识梳理：1.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；2. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；222A AD BC =___________,__________,__________ABCRtAD AB AC ==如图，中，为直角，为斜边上的高，则3.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90o的圆周角所对的弦是________。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。
圆内接四边形的性质与判定定理_ B_ C_ A4.圆中的比例线段三、常见题型题型一.相似三角形的性质、直角三角形的射影定理等 例1.如图，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ， 则=+ADFGBC EF ．变式练习. 在ABC 中，//DE BC ，DE 将ABC 分成面积相等的两部分，那么:DE BC =__________例2. 如图，在ABC 中，AD 是BC 边上中线，AE 是BC 边上的高，D A B D B A ∠=∠,18AB =,12BE =,则CE =__________.题型二.与圆角度相关问题例1.如图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 _ __ .变式练习.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延 长线上， BD=OB ，CD 与⊙O 切于C ，那么 ∠CAB==________.例2.如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的度数是 ____变式练习. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为________题型三.切割线定理例1.如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD,AB 是圆O的直径,若PA=4, PC=5, CD=3, 则AB= __。
2011年高考试题解析数学16选修系列：几何证明选讲
2011年高考试题解析数学16选修系列：几何证明选讲第一篇：2011年高考试题解析数学16 选修系列：几何证明选讲2011年高考试题解析数学（文科）分项版选修系列：几何证明选讲一、填空题:1.(2011年高考天津卷文科13)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且若CE与圆相切,则线段CE的长为.2【解析】设AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得:DF=AF⋅FB,2即8x=2,即x=21722,由切割线定理得:CE=EB⋅EA=7x=,所以CE=.442．(2011年高考广东卷文科15)（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为．5【答案】.7【解析】由题得EF是梯形的中位线，∴S梯形ABFES梯形EFCD1(2+3)•h5==17(3+4)•h23.（2011年高考陕西卷文科15)B.（几何证明选做题）如图，∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=900,且AB=6，AC=4，AD=12,则AE=_______.【答案】2【解析】：RtςABE≅RtςADC所以即AE=ABAE=，ADACAB⨯AC6⨯4==2 AD12二、解答题：4.(2011年高考江苏卷21)选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)，第21-A图圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上），求证：AB:AC 为定值。
解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。
证明：由弦切角定理可得ςAO2CςςAO1B,∴ABO1Br1== ACO2Cr5.（2011年高考全国新课标卷文科22)（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，D，E分别是AB,AC边上的点，且不与顶点重合，已知CEAE=m,AC=n,AD,AB为方程x-14x+mn=0的两根，（1）证明 C,B,D,E四点共圆； 2D 第22题图（2）若∠A=90︒,m=4,n=6，求C,B,D,E四点所在圆的半径。
2016年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页）数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （ ）A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2. 设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则=a（ ）A. 3-B. 2-C. 2D. 33. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （ ）A.13 B.12 C. 23D. 564. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =，2c =，2cos 3A =，则b =（ ）A.B.C. 2D. 35. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A.13 B.12 C. 23D. 346. 将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A. 2sin(2)4y x π=+ B. 2sin(2)3y x π=+ C. 2sin(2)4y x π=-D. 2sin(2)3y x π=-7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 （ ）A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π 8. 若0a b >>，01c <<，则（ ）A. log log a b c c <B. log log c c a b <C. cca b <D. ab c c>9. 函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）ABC D10. 执行如图的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足 （ ）A. 2y x =B. 3y x =C. 4y x =D. 5y x =11. 平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.1312. 若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. []1,1-B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）第II 卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 设向量a 1(),x x =+，b (1,2)=，且a ⊥b ，则x = .14. 已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= . 15. 设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B 两点，若||AB =则圆C的面积为 .16. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =．顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . （Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2C y px =(0)p >于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求||||OH ON ；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. （Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点,C D 在⊙O 上，且,,,A B C D 四点共圆，证明：AB CD ∥.23.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24.（本小题满分10分），选修45-：不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. （Ⅰ）画出()y f x =的图象； （Ⅱ）求不等式|()|1f x >的解集.{3,5}A B=a-=，由已知，得213/ 13数学试卷 第10页（共39页）数学试卷 第11页（共39页） 数学试卷 第12页（共39页）平面ABB1D平面1n所成角等于所成角的正弦值为5/ 13数学试卷 第16页（共39页）数学试卷 第17页（共39页） 数学试卷 第18页（共39页）【解析】由题意，0a b x =+，3【提示】根据向量垂直的充要条件便可得出0a b =，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于的值.【考点】向量的数量积，坐标运算7/ 13作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.7z77z数学试卷第22页（共39页）数学试卷第23页（共39页）数学试卷第24页（共39页）18.【答案】（Ⅰ）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB PD⊥.9/ 13数学试卷第29页（共39页）数学试卷第30页（共39页）11 / 13))(1,)+∞时，(,ln(2)),1,+a -,1)(ln(2),)a -+∞时，单调递增，在1,ln((2))a -单调递减)在(,1)-∞ln 2a ，则f数学试卷 第34页（共39页）数学试卷 第35页（共39页） 数学试卷 第36页（共39页）同理可证，'OO CD ⊥，所以//AB CD .13/ 13。
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2012年高考试题解析数学（文科）分项版之专题16 选修系列：几何
证明选讲--学生版
一、填空题:
1.(2012年高考广东卷文科15)（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA，若AD=m，AC=n，则AB=_________.
2．(2012年高考天津卷文科13)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于D.过点C作BD的平行线与圆交于点E,与AB相交于点
F,3
AF=,1
FB=,
3
2
EF=,则线段CD的长为 .
3．(2012年高考陕西卷文科15) B （几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD 垂直，垂足为E，EF DB
⊥，垂足为F，若6
AB=，1
AE=，则DF DB
⋅=
二、解答题:
4．（2012年高考新课标全国卷文科22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：
F
G
D
E
A
B C。