立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直
一.复习引入
1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。

2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________.
3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。

4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，
那么这条直线和这个平面平行
5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
个平面相交，那么_________________________.
6.两个平面的位置关系:_________,_________.
7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两
个平面平行.
8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________.
9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行.
10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定
定义判定
语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直
线都垂直，我们就说直线l与平面
互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.
图形
条件b为平面α内的任一直线，而l对这
一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m⊂α，n⊂α
结论l⊥αl⊥α
要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”
不同（线线垂直线面垂直）
知识点二、直线和平面垂直的性质
性质
语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条
直线垂直于这个平面内的所有直线
垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形
条件
结论
知识点三、二面角
Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二
面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）
二面角的平面角的三个特征:
ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面内 ⅲ.
与棱垂直
Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.
知识点四、平面和平面垂直的定义和判定
定义 判定 文字描述 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
一个平面过另一个平面的垂线，则这
两个平面垂直 图形
结果
α∩β=l α-l-β=90o α⊥β
（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）
三．常用证明垂直的方法
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：
（1） 通过“平移”。

（3） 利用勾股定理。

（4） 利用直径所对的圆周角是直角
(1) 通过“平移”,根据若则a //b,且b⊥平面α,a⊥平面α
1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=2
1
DC ，中点为PD E . 求证：AE ⊥平面PDC.
2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ， ∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ；
（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质
3、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（第2题
（3）利用勾股定理
4.如图，四棱锥P ABCD
-的底面是边长为1
的正方形，,1,
PA CD PA PD
⊥==
求证:PA⊥平面ABCD；
（4）利用直径所对的圆周角是直角
5、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，P A⊥平面ABC. （1）求证：平面P AC⊥平面PBC；
_D
_C
_B
_A
_P
A P
课堂及课后练习题：
1.判断下列命题是否正确，对的打“√”，错误的打“×”。

（1）垂直于同一直线的两个平面互相平行 （ ） （2）垂直于同一平面的两条直线互相平行 （ ）
（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直（ ）
2.已知直线
a,b
和平面α
，且,,a b a α⊥⊥则
b
与α
的位置关系是
________________________________________________.
3.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且1
2
DF AB =
,PH 为PAD ∆中AD 边上的高。

（1）证明：PH ABCD ⊥平面；
4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, P A ＝AD 。

证明: BE PDC ⊥平面;
C
A
D
B
O
E
5.如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 º 证明：AB ⊥PC
6.如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== （1）求证：AO ⊥平面BCD ； （2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；
7.如图，四棱锥S ABCD -中，BC AB ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====． （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;
8.如图，在圆锥PO 中，已知PO =2，⊙O 的直径2AB =,C 是狐AB 的中点，D 为AC 的中点．证明：平面POD ⊥平面PAC ;
课堂及课后练习题答案： 1
（1） √ （2） √ （3）√ 2.b//b αα⊂或者 3.
证明：因为PH 为PAD ∆中AD 边上的高，所以PH AD ⊥，又因为AB PAD ⊥平面，所以AB PH ⊥，
=AB AD A ，所以PH ABCD ⊥平面
4.分析：取PD 的中点F ，易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC ，从而BE PDC ⊥平面 .
5.证明：因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒, 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =。

如图，取AB 中点D ，连结PD ,CD , 则PD AB ⊥,CD AB ⊥, 所以AB ⊥平面PDC ,
所以AB PC ⊥。

6.（1）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥ 在AOC ∆中，由已知可得1, 3.AO CO == 而2,AC =
222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥
,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD
7.
（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为
矩形，DE=CB=2，连结SE ，则, 3.SE AB SE ⊥=
又SD=1，故222
ED SE SD =+，
所以DSE ∠为直角。

由,,AB DE AB SE DE
SE E ⊥⊥=，
得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。

SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。

所以SD ⊥平面SAB 。