立体几何中垂直的证明

“垂直关系”常见证明方法
（一）直线与直线垂直的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
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2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°，则两直线互相垂直。
3) 利用直线与平面垂直的性质：
1、掌握直线（平面）与平面平行、垂直的判定及性质定理.. 2、掌握立体几何中垂直与平行的证明方法以及计算问题 课 前 作业完成情况： 检查 与交流 交流与沟通：
第 次课
线面垂直的判定及其性质
●知识要点
1.线面垂直
（1）定义：
教
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面 互相垂直，记作 l . l －平面 的垂线， －直线 l 的垂面，它们的唯一公共点 P 叫做垂足.
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面；
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C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线；
D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一直线必平行于这个平面.
B
AB CD, AD BC, H为 BCD的垂心。
求证： AH 平面BCD
D H
C
3、如图， PA 平面ABCD，ABCD是矩形，点M , N分别为AB, PC的中点， 求证： MN AB
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全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 4、如图，在多面体 ABCDE 中，AE⊥面 ABC，BD∥ AE，且 AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝ 1，F 为 CD 中点． (1)求证：EF⊥面 BCD；
如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
a
b a
b
b
α
a
4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂
直。
l a b al bl
a b
β b
l
α
a
5) 利用常用结论：
① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂
（2）判定定理：（线线垂直 线面垂直）
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.
学
☆ 符号语言：若 l ⊥ m ， l ⊥ n ， m ∩ n ＝B， m ， n ，则 l ⊥ . （3）性质定理：（线面垂直 线线平行）
垂直于同一个平面的两条直线平行.
2.二面角
过
（1）定义：
5、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中， AB AC, PA 平面ABCD ，且 PA AB,点 E 是 PD 的中点。
⑴求证： AC PB ； ⑵求证： PB∥平面AEC ；
6、 如图，在四棱锥 P－ABCD 中， PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， AB＝BC，E 是 PC 的中点．
2.已知 a,b, c 表示直线， M 表示平面，则 a // b 的充分条件是（ ）
A、 a c且b c B、 a // M且b // M C、 a M且b M D、 a,b与c 所成的角相等
3.在长方体 ABCD A'B'C'D' 中，与平面 B'C'CB 垂直的直线有
_______；
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7、在四棱锥中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD⊥底面 ABCD 证明:AB⊥平面 VAD
V
D A
C B
8、如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是∠ DAB=60°且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD，若 G 为 AD 边的中点，
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教学主任：
学生：
下节课的计划：
学生的状况、接受情况和配合程度：
给家长的建议：
教务老师：
家长：
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2、如图，棱柱 ABC A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形， B1C A1B 证明：平面 AB1C 平面 A1BC1 ；
3、已知：如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 将 BCD 折起，使点 C 移到点 C1 ，且
C1在平面ABD上的射影O恰好在AB上。
（1）求证：AD BC1
C1
直于第三条直线。
a∥b a c bc
c
a
b
② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互
相垂直。
a b ∥
ab
b
a
α
（二）直线与平面垂直的证明 1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等 2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。 3) 利用直线与平面垂直的判定定理：
5、已知四面体 ABCD中， AB AC, BD CD ,平面 ABC 平面 BCD, E 为棱 BC 的中点。 （1）求证： AE 平面 BCD; （2）求证： AD BC ;
6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC.
S
C A
B 7
与直线 AA' 垂直的平面有
.
4.在正方体 ABCD A'B'C'D' 中，求直线 A'B和平面 A'B'C'D' 所成的角.
P
题型一、线面垂直的判定与性质
1、已知：如图，P 是棱形 ABCD 所在平面外一点，
且 PA=PC 求证： AC 平面PBD
A B
D C
A
2 、 已 知 ， 如 图 ， 四 面 体 A-BCD 中 ，
2、如图所示，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N 分别是 A1B1、AB 的中点.
（1）求证：C1M⊥平面 A1ABB1； （2）求证：A1B⊥AM； （3）求证：平面 AMC1∥ 平面 NB1C；
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全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 3、如图，在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证：（1）直线 EF‖平面 PCD； （2）平面 BEF⊥平面 PAD
2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），
就说这连个平面互相垂直。 3) 利用平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
a
a
a
基础练习
1.下列命题是真命题的是
（）
A.若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
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a
b
ab
Alຫໍສະໝຸດ l a l blb
Aa
4） 利用平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
l a
a
a l
l
5） 利用常用结论：
6） 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
a∥b
ab
b a
7） 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平
面，则该直线也垂直 ∥
于另一个平面。
a
a
a
（三）平面与平面垂直的证明
1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等
(1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面 ABE.
∠ABC＝60°，PA＝
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全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 题型二、面面垂直的判定与性质 1、如图 AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A、B 的任意一 点，求证：平面 PAC 垂直平面 PBC。
（1）求证：BG⊥平面 PAD； （2）求证：AD⊥PB； （3）若 E 为 BC 边的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD，并证
明你的结论.
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全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 题型三、平行与垂直的综合题 1、已知PA 矩形ABCD所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点。 （1）求证：MN CD (2)若PDA=45。，求证：MN 平面PCD.
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全方位教学辅导教案
学生
教学 内容 重点 难点 教学 目标
性 别 男 年 级 高一 总课时： 立体几何中垂直的证明
小时
重点：掌握直线（平面）与平面垂直以及垂直的判定及性质定理. 难点：领悟线（面）面平行和垂直的“转化”的基本思想
(第16题图)
4.如图 5 所示，在四棱锥 P-ABCD 中,AB 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点，F 是 DC 上的点且 DF= 1 AB,PH 为 PAD 中 AD 边上的高．