立体几何垂直证明(基础)

立体几何垂直的证明
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）
（1）共面垂直：掌握几种模型
①等腰（等边）三角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形
⑤利用相似或全等证明直角。

【例1】在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心， E 为1CC 中点,求证： (1) 1A O OE ⊥ (2) 1A O BDE ⊥平面
（2）异面垂直（利用线面垂直来证明） 【例2】在正四面体ABCD 中， 求证：AC BD ⊥
【变式1】如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知
ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．
证明：AD PB ⊥；
【变式2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
将△AED,△DCF分别沿,
DE DF折起，使,A C两点重合于'A.
求证:'A D EF
⊥；
【变式3】如图，在三棱锥P ABC
-中，⊿PAB是等边三角形，∠P AC=∠PBC=90 º。

证明：AB⊥PC
类型二：直线与平面垂直证明
方法○1利用线面垂直的判断定理
【例3】在正方体
1111
ABCD A B C D
-中，,求证：
11
AC BDC
⊥平面
【变式1】如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90︒.E为BB1的中点，D点在AB上且DE= 3 .
求证：CD⊥平面A1ABB1；
B
E
'
A
D
F
G
P
C
B
A
D
E
【变式2】如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的 中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ======
求证：AO ⊥平面BCD ；
【变式3】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，23AB =6BC =
()1求证：BD ⊥平面PAC
○
2利用面面垂直的性质定理 【例4】在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。

【变式1】在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且
PAB ABCD ⊥面底面,求证：BC PAB ⊥面
类型3：面面垂直的证明。

(本质上是证明线面垂直)
【例5】如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，
2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.
(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
【例6】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，
60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．
（1）证明CD AE ⊥； （2）证明PD ⊥平面ABE ；
【变式1】已知直四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形，︒=∠60ABC ，E 、F 分别是棱CC ′与BB ′上的点，且EC=BC =2FB =2． （1）求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ；
A B
C
D E
F
A
C
D
P
E
类型三：平面与平面垂直证明
1.AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，点
N为垂足，
求证：平面PAM⊥平面PBM
2．如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E，F，Ｇ分别为ＣＤ，ＤＡ和对角线ＡＣ的中点。

求证：平面ＢＥＦ⊥平面ＢＧＤ
.
3.在直平行六面体AC1中，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，AB＝AA1.
(1)求证：C1O∥平面AB1D1；
(2)求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1.
4. 如下图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.。