立体几何垂直证明题常见模型及方法

立体几何垂直证明题常见模型及方法Revised as of 23 November 2020立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）○1 等腰（等边）三角形中的中线○2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。

例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O OE ⊥（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥变式1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．证明：AD PB ⊥；变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'A .求证:'A D EF ⊥；变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 o 证明：AB ⊥PC类型二：线面垂直证明方法○1 利用线面垂直的判断定理例2：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O BDE ⊥平面BE'ADFGPBADE变式1：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；变式3：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ======求证：AO ⊥平面BCD ；变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，23AB =6BC =()1求证：BD ⊥平面PAC○2 利用面面垂直的性质定理 DACOBE例3：在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。

方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。

变式1, 在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且PAB ABCD ⊥面底面,求证：BC PAB ⊥面 变式2：类型3：面面垂直的证明。

(本质上是证明线面垂直)例1 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ；例2 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ABCDEF60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （1）证明CD AE ⊥； （2）证明PD ⊥平面ABE ；变式1已知直四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形，︒=∠60ABC ，E 、F 分别是棱CC ′与BB ′上的点，且EC=BC =2FB =2． （1）求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ； 举一反三1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M .其中正确的命题是 ( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④ 2.下列命题中正确的是 ( )ABCDPEA.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )⊥平面PEF ⊥平面PEF ⊥平面DEF ⊥平面DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m α和m⊥γ,那么必有 ( )A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥β∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( )B.2C.552 D.5537.有三个命题：第3题图①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( ) .1 C是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是 ( )A.α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行D.α与β不一定相交9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是 ( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中正确的命题是 ( )A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②二、思维激活11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是 .12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件 时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高.(1)求证:VC ⊥AB ;(2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC 所成角的大小.第11题图第12题图第13题图第14题图15.如图所示，PA ⊥矩形ABCD所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面PAD . (2)求证：MN ⊥CD .(3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .16.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD＝60°，AB ＝4，AD ＝2，侧棱PB ＝15，PD ＝3.(1)求证：BD ⊥平面PAD .(2)若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 的大小.17.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1，AA 1=6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M ．18.如图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 是AD 的中点，N 是BD ′上一点，且D ′N ∶NB ＝1∶2，MC 与BD 交于P .第15题图第16题图(1)求证：NP ⊥平面ABCD .(2)求平面PNC 与平面CC ′D ′D 所成的角. (3)求点C 到平面D ′MB 的距离.第4课 线面垂直习题解答两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.由线面垂直的性质定理可知. 折后DP ⊥PE ,DP ⊥PF ，PE ⊥PF .过a 上任一点作直线b ′∥b ,则a ，b ′确定的平面与直线b 平行.依题意,m ⊥γ且m ⊂α,则必有α⊥γ,又因为l =β∩γ则有l ⊂γ,而m ⊥γ则l ⊥m ,故选A.过P 作PD ⊥AB 于D ，连CD ，则CD ⊥AB ，AB =522=+BC AC ，52=⋅=AB BC AC CD ， ∴PD =55354122=+=+CD PC .第18题图由定理及性质知三个命题均正确. 显然α与β不平行.垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.∵α∥β，l ⊥α，∴l ⊥m23设正三角A ′B ′C ′的边长为a . ∴AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,AB ２=a 2+4， 又AC 2+BC 2=AB 2，∴a 2=2． S △A ′B ′C ′=23432=⋅a cm 2． 12.在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD (或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD 是正方形，菱形等)时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活. ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB . 14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心, ∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC ,∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC . (2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC , ∴AB ⊥面DEC .∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角，∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD , ∴VC 在底面ABC 上的射影为CD .∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE , ∴∠CED =90°,故∠ECD=60°,∴VC 与面ABC 所成角为60°.15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ，则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝21CD ＝21AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE .∵AE 平面PAD ，MN 平面PAD ，∴MN ∥平面PAD . (2)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥AB .又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面PAD . ∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN . 又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD .(3)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD . 又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点. ∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD .16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°， 故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×21＝12. 又AB 2＝AD 2+BD 2，第15题图解∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12， ∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ， ∴BD ⊥平面PAD .(2)由BD ⊥平面PAD ，BD 平面ABCD . ∴平面PAD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ， 又PE 平面PAD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角. ∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝23233=⨯. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ， ∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角. 又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中，tan ∠PFE ＝433223==EF PE . 故二面角P —BC —A 的大小为arctan 43. 17.连结AC 1，∵11112263A C CC MC AC===. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1， ∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°. ∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M . 由三垂线定理知AB 1⊥A 1M .点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立． 18.(1)证明：在正方形ABCD 中， ∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝21BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2. 又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ， ∴NP ⊥平面ABCD . (2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ， ∴∠MCD 为该二面角的平面角. 在Rt △MCD 中可知∠MCD ＝arctan 21，即为所求二面角的大小.(3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高. ∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131='⋅，∴.3621a S a S h =⋅=空间中的计算基础技能篇类型一：点到面的距离方法1：直接法—把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算例1：在正四面体ABCD中，边长为a，求点A到面BCD的距离。