(完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
立体几何平行和垂直知识点整理
立体几何平行和垂直知识点整理立体几何是研究三维空间中的几何关系的一个分支。
在立体几何中，平行和垂直是两个基本的几何关系。
本文将整理平行和垂直的相关知识点，包括定义、性质、判定方法和应用。
一、平行线1.定义：平行线是在同一个平面上永不相交的两条直线。
2.性质：a.平行线上的任意两点与直线外的一点构成的角是等于180度的；b.平行线上的任意两条直线与直线外的一条直线构成的对应角是等于180度的；c.平行线的斜率相等；d.平行线之间的距离是恒定的，且等于两条平行线上任意一点与另一条线的垂直距离；e.平行线可以用符号“∥”表示。
3.判定方法：a.若两条直线的斜率相等且有一个公共点，则这两条直线平行；b.若两条直线的斜率乘积为-1，则这两条直线垂直。
4.应用：a.平行线的概念经常用于几何证明和推理；b.在建筑和工程中，平行线可用于制定准确的测量和构图；c.在计算机图形学中，平行线的概念可用于处理线段的遮挡和相交问题。
二、垂直线1.定义：垂直线是与另一条线段、直线或平面成直角的线。
2.性质：a.垂直线上的任意两点与直线外的一点构成的角是等于90度的；b.垂直线上的任意两条直线与直线外的一条直线构成的对应角是等于90度的；c.两条直线垂直时，它们的斜率乘积为-1；d.垂直线可以用符号“⊥”表示。
3.判定方法：a.通过斜率判断：若两条直线的斜率乘积为-1，则这两条直线垂直；b.通过直角边判断：若两条直线上各自有一条线段互相垂直，且这两条直线有一个公共点，则这两条直线垂直；c.通过垂线判断：若两条直线上各自有一条线段的延长线相交于一点，则这两条直线垂直。
4.应用：a.垂直线的概念广泛用于建筑、土木工程和制图中，可用于确定垂直墙壁、柱子、支柱等；b.在三角测量和地理测量中，垂直线可用于构建垂直边、垂直角、垂线等。
总结：平行和垂直是立体几何中两个重要的几何关系。
平行线在同一个平面上永不相交，其性质包括构成的角相等、斜率相等等，可用于几何证明和计算机图形学中。
立体几何平行垂直的证明
一、平行问题的证明方法
平行问题证明的基本思路：平面平行 线面平行 线线平行.
1.线线平行的证明方法：
①利用平面几何中的定理：三角形（或梯形）的中位线与底边平行；
平行四边形的对边平行；
利用比例、……；
②三线平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
③线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和
垂直问题证明的基本思路：面面垂直 线面垂直 线线垂直.
1.线线垂直的证明方法：
①利用平面几何中的定理：勾股定理、等腰三角形，三线合一、菱形对角线、直径所对的圆周角是直角、点在
线上的射影。
②线面垂直的定义：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直；
③三垂线定理或三垂线逆定理：如果平面内的一条直线和斜线的射影垂直，则它和斜线垂直；反之亦成立。
交线行；
④面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；
⑤线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2.线面平行的证明方法：
①线面平行的定义：直线与平面没有公共点；
②线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；
④如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。
2.线面垂直的证明方法：
①线面垂直的定义：直线与平面内任意直线都垂直；
②线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③线面垂直的性质定理：两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面；
1.如图，四棱锥 中，四边形 为矩形， 为等腰三角形， ，平面 平面 ，且 ． 分别为 和 的中点．
高中数学专项提升——立体几何中平行与垂直证明
方法技巧专题立体几何中平行与垂直证明一、立体几何中平行与垂直知识框架cc∥∥b a ba ∥⇒二、立体几何中的向量方法【一】“平行关系”常见证明方法1.1直线与直线平行的证明1.1.1利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等1.1.2利用三角形中位线性质1.1.3利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.1.4利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
1.1.5利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．1.1.6利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
1.1.7利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
1.1.8利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点1.2直线与平面平行的证明1.2.1利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
αbaabαβb a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒b∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒αab1.2.2利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
βαaβαα∥⊂a β∥a ⇒1.2.3利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点1.3平面与平面平行的证明1.3.1利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
ααββ////∩⊂⊂ba Pb a b a =αβ//⇒αβbaP1.3.2利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等1.3.3利用定义：两个平面没有公共点1.例题【例1】如图，已知菱形ABCD ，其边长为2，60BAD ∠=，ABD ∆绕着BD 顺时针旋转120得到PBD∆，M 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MBD ；（2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值．证明（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OM在菱形ABCD 中，O 为AC 中点， M 为PC 的中点∴OM 为∆APC 的中位线，∴OM ∥AP---------------（利用1.1.2中位线性质）又 OM ⊂面MBD ，且PA ⊄面MBD∴//PA 平面MBD----------------（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）【例2】已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．证明：DN//平面PMB 。
高中数学立体几何中平行垂直概念以及定理归纳
两平面平行，其中以平面内的任意一条直线必平行于另一平面。
两个平行平面中的一个平面与一条直线垂直，则另一平面也与此直线垂直。
线线垂直
线面垂直
面面垂直
定义：
定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。
如果两条直线同垂直与一个平面，那么这两条直线平行（6.3）
判定：若平面外一条直线与此平面中的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
判定：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
性质：两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
性质：如果平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。
定义：两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
判定：
判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质：
性质：如果两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行。
性质：如果两平面垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
线线பைடு நூலகம்行
线面平行
面面平行
定义：如果两条共面直线无公共点，则这两条直线平行。
定义：如果一条直线与一个平面没有交点，则这条直线与此平面平行。
定义：平面与平面之间没有交点，则这两个平面平行。
判定：同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行；
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。
主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥21B 1D 1.∴EF ∥21BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q.而O Q ⊂平面EFBD ，∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC例4、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE.例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。
完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳
完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳本文系统总结了立体几何中平行与垂直证明方法，适合高三总复时学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。
以下是常见证明方法：一、“平行关系”常见证明方法一）直线与直线平行的证明1.利用平行四边形的对边互相平行的特性；2.利用三角形中位线性质；3.利用空间平行线的传递性（即公理4）；4.利用直线与平面平行的性质定理；5.利用平面与平面平行的性质定理；6.利用直线与平面垂直的性质定理；7.利用平面内直线与直线垂直的性质；8.利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点。
二）直线与平面平行的证明1.利用直线与平面平行的判定定理；2.利用平面与平面平行的性质推论；3.利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点。
三）平面与平面平行的证明1.利用平面与平面平行的判定定理；2.利用某些空间几何体的特性；3.利用定义：两个平面没有公共点。
二、“垂直关系”常见证明方法一）直线与直线垂直的证明1.利用直角三角形的两条直角边互相垂直的特性；2.看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直；3.利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
1.利用空间几何体的特性：例如长方体侧棱垂直于底面。
2.观察直线与平面所成角度：若直线与平面所成角为90度，则该直线垂直于平面。
3.利用直线与平面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面。
4.利用平面与平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，则在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
5.利用常用结论：例如若一条直线平行于一个平面的垂线，则该直线也垂直于此平面。
立体几何平行与垂直所有概念、公理、定理汇总
立体几何的概念、公理、定理（一）立体几何三公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．,A a A a公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
A、B、C不在同一直线上有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
A a 有且只有一个平面，使推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
a∩b＝A有且只有一个平面，使推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
a∥b＝A有且只有一个平面，使（二）空间直线公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
a∥bb∥c等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
cbaaA∈a，B∈aA∈，B∈aA∈aababcba//a c////////AB A BAC A C///BAC B A CA∈PP（三）直线和平面直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
定理 ：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面。
定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 它也垂直于另一个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。
射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。
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a ∥⇒本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。
是一份不可多得的好资料。
一、“平行关系”常见证明方法
（一）直线与直线平行的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质
3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
4)
利用直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
5) 利用平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
6) 利用直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
a
b
α
β
b
a a =⋂⊂βαβ
α∥b
a ∥⇒
b a b a ////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
==γβγαβα β
α
⊥⊥b a b
a ∥⇒α
a
b
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（三）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
α
b
a
β
α
a
β
αα∥⊂a β
∥a ⇒α
αββ////∩⊂⊂b a P b a b a =α
β//⇒α
β
b
a
P
b
∥a b a αα⊂⊄α
∥a ⇒
2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等
3)利用定义：两个平面没有公共点
二、“垂直关系”常见证明方法
（一）直线与直线垂直的证明
1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
2)看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。
3)利用直线与平面垂直的性质：
如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
4)利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
5)利用常用结论：
①如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另
一条直线也垂直于第三条直线。
②如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么
l
b
l
a
b
a
l
⊥
⊥
⊂
⊂
=
⋂
⊥
β
α
β
α
β
α
b
a⊥
⇒
c
a
b
a
⊥
∥
c
b⊥
⇒
α
α
⊥
⊂
b
a
a
b⊥
⇒
α
a
b
α
βα⊥a ∥β⊥⇒
a 这两条直线互相垂直。
（二）
直线与平面垂直的证明
1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等
2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂
直于此平面。
3) 利用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
4)
利用平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
5) 利用常用结论：
①
② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一
个平面。
（三）平面与平面垂直的证明
1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等
2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角
是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。
3) 利用平面与平面垂直的判定定理
α⊥b b
a ∥α⊥⇒a β
α⊥⇒l
a a l ⊥⊂=⋂⊥α
βαβ
αb
a
l αA
α⊥⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫l b
l a l A b a b a ⊥⊥=⊂⊂ α
α
α
α
α
∥b a ⊥b
a ⊥⇒β
α
a
l
a
α
α
β⊂⊥a a β
α⊥
⇒一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。