2018年苏教版数学选修4-22.3 2.3.1+2.3.2

2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的简单性质1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它们.2.会从几何变换的角度求MN 的乘积矩阵.3.通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律.[基础·初探]1.矩阵的乘法一般地，对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，规定乘法法则如下： MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. 2.矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵.(2)矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N后T M )的复合变换.(3)当连续对向量实施n ·(n ＞1，且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n ＝.3.矩阵乘法的运算性质(1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A、B来说，尽管AB、BA均有意义，但可能AB≠BA.(2)矩阵乘法满足结合律设A、B、C均为二阶矩阵，则一定有(AB)C＝A(BC).(3)矩阵乘法不满足消去律设A、B、C为二阶矩阵，当AB＝AC时，可能B≠C.[思考·探究]1.矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？【提示】(1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法.(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律.2.矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？【提示】矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换.3.矩阵乘法MN与NM的几何意义一致吗？为什么？【提示】不一致；因为前一个对应着先T N后T M的两次几何变换，而后者对应着先T M后T N的两次几何变换.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：(1)已知A ＝⎣⎢⎦⎥0 0，B ＝⎣⎢⎦⎥0 1，计算AB . (2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算AB ，BA . (3)已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1，计算A 2、B 2.【精彩点拨】 利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明. 【自主解答】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×0 1×0＋0×10×0＋0×0 0×0＋0×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000. (2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×1 1×（－1）＋0×00×0＋2×1 0×（－1）＋2×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0×1＋（－1）×0 0×0＋（－1）×21×1＋0×0 1×0＋0×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. (3)A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121212 12， B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0000.这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义.(1)中尽管A 、B 均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB ≠BA ；(3)中尽管B ≠C ，但有AB ＝AC，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A 2＝A ，B 2＝0，这里0是一个二阶零矩阵.证明下列等式并从几何变换的角度给予解释. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 【导学号：30650025】【解】 ∵左＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋3×0 1×0＋3×00×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0， 右＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋13×0 1×0＋13×0 0×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0， ∴左＝右. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000对应的变换将平面上的点垂直投影到x 轴，而x 轴上的点沿x 轴的切变变换是不动点.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1130 1均为沿x 轴的切变变换，自然有等式成立.，变换T 1所对应的矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，变换T 2所对应的矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算MN 、NM ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释.【精彩点拨】 利用具体的几何变换验证.【自主解答】 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －121 0. 故MN ≠NM .从几何变换的角度来看，矩阵M 表示T 1为向x 轴压缩为一半的变换，矩阵N 表示T 2为逆时针旋转90°的变换.这样MN 表示矩阵ABCD 先经T 2，再经T 1的变换，变换结果如图(1)所示：而NM 表示矩形ABCD 先经T 1，再经T 2的变换，变换结果如图(2)所示.(2)从图(1)以及图(2)可知，MN 和NM 表示的不是同一个变换.一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律.但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律.算式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12表示AB ＝AC ，但A ≠0且有B ≠C ，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释.【导学号：30650026】【解】 左边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×20×1＋0×0 0×0＋0×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000 右边＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×120×1＋0×0 0×0＋0×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0.∴左边＝右边. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再往x 轴上投影.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12，再往x 轴上投影.已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎦⎥02的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程.【精彩点拨】 先求出旋转90°的矩阵Q ，进而求QP ，再求曲线方程. 【自主解答】 绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0， 则M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 设A (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A ′(x ′0，y ′0)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 即⎩⎨⎧x ′0＝－2y 0，y ′0＝x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ′0，y 0＝－x ′02.又因为点A (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(y ′0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ′022＝1.故所得曲线的方程为x 24＋y 2＝1.矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒.若将本例中两次变换的顺序交换，则曲线的方程如何？ 【解】 绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵 Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0， 则M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设A (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 即⎩⎨⎧x ′0＝－y 0，y ′0＝2x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ′02，y 0＝－x ′0.又因为点A (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y ′022＋(－x ′0)2＝1.故所得曲线的方程为x 2＋y 24＝1.[真题链接赏析](教材第47页习题2.3第5题)已知△ABC ，A (0，0)，B (2，0)，C (1，2)，对它先作M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换，再作N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换.已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1.求实数b 的值.【命题意图】 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力.【解】 从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0. 在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 故⎩⎨⎧2by 0＝x ′，x 0＝y ′.解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x ′，x 0＝y ′.代入曲线C 1方程得，y ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b x ′2＝1.即曲线C 2方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b )2＝4. 所以b ＝±1.1.若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 4－2 3，则AB ＝________，BA ＝________. 【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－23 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×（－2） 1×4＋0×30×1＋2×（－2） 0×4＋2×3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 14－4 6， 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－4 6 2.若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4，则AB ＝________，AC ＝________.【导学号：30650027】【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 244＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b a ＋b a ＋b a －b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b a －b a －b a ＋b ＝__________.【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b a ＋b a ＋b a －b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b a －b a －b a ＋b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a －b ）（a ＋b ）＋（a ＋b ）（a －b ） （a －b ）2＋（a ＋b ）2（a ＋b ）2＋（a －b ）2（a ＋b ）（a －b ）＋（a －b ）（a ＋b ） ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2－2b 2 2a 2＋2b 22a 2＋2b 2 2a 2－2b 2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2－2b 2 2a 2＋2b 22a 2＋2b 2 2a 2－2b 24.矩阵乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12的几何意义是________. 【解析】 几何意义是先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换.【答案】 先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。