精选高中立体几何证明方法及例题

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。

1. 线线、线面、面面平行关系的转化：αβαγβγ//,// ==⇒⎫⎬⎭a b a b面面平行性质⎫⎬⎪⎭⎪ 面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：a a OA a PO a PO a AO⊂⊥⇒⊥⊥⇒⊥αα在内射影则面面垂直判定 线面垂直定义l a l a⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αα面面垂直性质，推论2αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ b a a b a , αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ a a面面垂直定义αβαβαβ =--⇒⊥⎫⎬⎭l l ，且二面角成直二面角线线∥线面⊥面面∥线面垂直判定2 面面平行判定2 线面垂直性质2面面平行性质3a b a b //⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααa b a b⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//a a ⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//a a ⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。

”5. 唯一性结论：1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角； （4）计算大小。

【典型例题】（一）与角有关的问题例1. （1）如图，E 、F 分别为三棱锥P —ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为（ ）A. 60°B. 45°C. 30°D. 120°解：取AC 中点G ，连结EG 、FG ，则EG PC FG AB∥∥，==1212∴∠EGF 为AB 与PC 所成的角在△EGF 中，由余弦定理，cos ∠··EGF EG FG EF EG FG =+-=+-⨯⨯=-222222253725312∴AB 与PC 所成的角为180°－120°＝60°∴选A（2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）A B C D ....131336332626解：设正四棱锥的高为，斜高为h h h '=+⎛⎝ ⎫⎭⎪2212由题意：1241121612222⨯⨯+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪+=⨯h∴h 26=∴侧棱长PB h OB =+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=222622262∴∠cos PBO OBPB===222621313∴选A（）如图，在正方体中，为上的一个定点，为3111111ABCD A B C D P A D Q -A B E F CD EF 11上的任意一点，、为上任意两点，且的长为定值，有下列命题：①点P 到平面QEF 的距离为定值；②直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值； ③二面角P —EF —Q 的大小为定值； ④三棱锥P —QEF 的体积为定值其中正确命题的序号是___________。

解：平面即是平面QEF A B CD 11∴上定点到面的距离为定值A D P A B CD 1111∴①对，②错二面角——，即面与面所成的角，且平面角∠为定P EF Q PDF A B CD PDA 111 值，∴③对 因为∥，且为定值，∴为定值A B DC EF S QEF 11∆又点到平面的距离为定值，∴为定值，∴④对P QEF V P QEF -综上，①③④正确。

例2. 图①是一个正方体的表面展开图，MN 和PQ 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN ，PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题： （1）求MN 和PQ 所成角的大小； （2）求四面体M —NPQ 的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角M —NQ —P 的大小。

解：（1）如图②，作出MN 、PQ∵PQ ∥NC ，又△MNC 为正三角形 ∴∠MNC ＝60°∴PQ 与MN 成角为60°（）·213V V S MQ M NPQ Q PMN PMN --==∆===1621616···正方体S MQ S MQ V PMN PMDN ∆即四面体M —NPQ 的体积与正方体的体积之比为1：6（3）连结MA 交PQ 于O 点，则MO ⊥PQ又NP ⊥面PAQM ，∴NP ⊥MO ，则MO ⊥面PNQ 过O 作OE ⊥NQ ，连结ME ，则ME ⊥NQ ∴∠MEO 为二面角M —NQ —P 的平面角 在Rt △NMQ 中，ME ·NQ ＝MN ·MQ设正方体的棱长为aME a a aa MO a ===236322·，又 在中，∠Rt MEO MEO MOMEaa ∆sin ===226332∴∠MEO ＝60°即二面角M —NQ —P 的大小为60°。

例3. 如图，已知四棱锥P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。

（1）求点P 到平面ABCD 的距离； （2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。

解：（1）作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连结OB 、OA 、OD ，OB 与AD 交于点E ，连结PE∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB （根据___________） ∵PA ＝PD ，∴OA ＝OD于是OB 平分AD ，点E 为AD 中点 ∴PE ⊥AD∴∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角∴∠PEB ＝120°，∠PEO ＝60°又，∴·PE PO PE o====36033232sin即为P 点到面ABCD 的距离。

（2）由已知ABCD 为菱形，及△PAD 为边长为2的正三角形 ∴PA ＝AB ＝2，又易证PB ⊥BC 故取PB 中点G ，PC 中点F 则AG ⊥PB ，GF ∥BC 又BC ⊥PB ，∴GF ⊥PB∴∠AGF 为面APB 与面CPB 所成的平面角 ∵GF ∥BC ∥AD ，∴∠AGF ＝π－∠GAE 连结GE ，易证AE ⊥平面POB又，为中点PE BE G PB ==3∴∠∠PEG PEB o ==1260∴GE PE o==⨯=cos6031232在中，Rt AGE AE AD ∆==121∴∠tan GAE GE AE ==32∴∠GAE =arctan32∴∠AGF =-πarctan32所以所求二面角的大小为π-arctan32（2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DAP B （，，），（，，）003203320PB G AG 的中点的坐标为（，，），连结033434又（，，），（，，）A C 132023320-由此得到（，，），（，，），GA PB →=--→=-13434033232BC →=-（，，）200于是·，·GA PB BC PB →→=→→=00 ∴⊥，⊥GA PB BC PB →→→→∴、的夹角为所求二面角的平面角GA BC →→θ于是··cos ||||θ=→→→→=-GA BC GA BC 277∴所求二面角大小为π-arccos277（二）与距离有关的问题例4. （1）已知在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝15，∠BAC ＝120°，它所在平面外一点P 到△ABC 三个顶点的距离都是14，那么点P 到平面ABC 的距离是（ ）A. 13B. 11C. 9D. 7 解：设点P 在△ABC 所在平面上的射影为OAB C O R∵PA ＝PB ＝PC ，∴O 为△ABC 的外心△ABC 中，AB ＝9，AC ＝15，∠BAC ＝120°∴BC o=+-⨯⨯⨯=91529151202122cos由，∴aAR R sin ==⨯=22123273()∴PO =-=1473722（）在直三棱柱中，，，∠2221111ABC A B C AB BC BB ABC -====90E F o，、分别为、的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的AA C B E F 111长度为___________。

解：（采用展开图的方法）将平面沿旋转使两矩形与在同一平面内B BCC B B A ABB B BCC 1111111连接，则为所求的最短路径EF EF如图①，EF A E A F =+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=1212221322222如图②展开，EF =++⎛⎝ ⎫⎭⎪=+()2122722222如图③展开，EF =⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=3212132222比较这三种方式展开，可见沿表面从到的最短路径长度为。

E F 322点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。

但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。

（3）在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140°与西经130°，设地球半径为R ，则甲、乙两地的球面距离是（ ）A RB RC RD R ....12143213ππππ解：()由题意∠AO B o o o o136014013090=-+=（O 1为小圆圆心）又由题意O A O B R 1122==则中，∆O 1AB AB R =∴△AOB 为正三角形（O 为球心）∴∠AOB =π3∴、两点球面距离为A B R π3∴选D例5. 如图，四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 中点。

（1）求证：AF ∥平面PEC ；（）若＝，，二面角——为，求点到平面2AD 2CD P CD B F PEC o=2245距离。

解：G 为PC 中点，连结FG 、EG 又∵F 为PD 中点∴，又∥∥FG CD AE CD==1212∴∥FG AE =∴四边形AEGF 为平行四边形∴∥，又面，面AF EG EG PEC AF PEC ⊂⊄∴AF ∥平面PEC（2）∵CD ⊥AD ，又PA ⊥面ABCD ∴AD 为PD 在面ABCD 上射影 ∴CD ⊥PD∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，且∠PDA ＝45° 则△PAD 为等腰直角三角形 ∴AF ⊥PD ，又CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥AF ∴AF ⊥面PCD作FH ⊥PC 于H ，则AF ⊥FH 又EG ∥AF ，∴EG ⊥FH∴FH ⊥面PEC ，∴FH 为F 到面PEC 的距离在Rt △PEG 中，FH ·PG ＝PF ·FG∴FH =⨯+=2222122方法2：（体积法）∵AF ∥面PEC ，故只要求点A 到面PEC 的距离d由即··V V S d S PAA PEC P AEC PEC AEC --==1313∆∆易证AF ⊥面PCD ，∴EG ⊥面PCD∴EG ⊥PC()∴·S PC EG PEC∆==++⨯=12122222222222S AE BC AEC ∆=⨯=⨯⨯=1212222∴·d S PA S AEC PEC ==⨯=∆∆22221（三）对命题条件的探索例6. （1）如图已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若PA ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件E 点有两个时，a 的取值范围是（ ）A aB a ..>≥66C aD a ..0606<<<≤解：∵PA ⊥面ABCD ，PE ⊥DE由三垂线定理的逆定理知PE 的射影AE ⊥BE所以满足条件的点E 是以AD 为直径的圆与BC 的交点，要有两个交点，则 AD ＞2AB ＝6∴选A（2）如图，在三棱柱ABC －A'B'C'中，点E 、F 、H 、K 分别为AC'、CB'、A'B 、B'C'的中点，G 为△ABC 的重心，从K 、H 、G 、B'中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（ ）A. KB. HC. GD. B分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。