(完整版)高一数学常考立体几何证明的题目及答案.docx
高一数学立体几何解答题20道-含答案
3．如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， E 为 BC 中点. (1)证明： A1B / / 平面 AEC1 ； (2)若此三棱柱的体积为 1， AB CC1 1 ， A1B BC ，求直线 B1E 与平面 AEC1 所成角 的正弦值.
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高一立体几何解答题 20 道
1．如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，BC//平面 PAD， BC 1 AD ，E 是 PD 的中点． 2
(1)求证：CE//平面 PAB； (2)若 M 是线段 CE 上一动点，则线段 AD 上是否存在点 N ，使 MN//平面 PAB？说明理 由．
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6．如图， O1,O 分别是圆台上、下底的圆心， AB 为圆 O 的直径，以 OB 为直径在底面 内作圆 E，C 为圆 O 的直径 AB 所对弧的中点，连接 BC 交圆 E 于点 D, AA1, BB1, CC1 为 圆台的母线， AB 2A1B1 8 ． (1)证明： C1D //平面 OBB1O1； (2)若 OO1 6 ，求 C 到平面 AC1D 的距离．
CD
上，求四棱台的
体积．
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12．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB BC ， AB BC 4 ， AA1 6 ， M 为 B1C1 的中点． (1)证明： AC1// 平面 A1BM (2)过 A, M , C 三点的一个平面，截三棱柱 ABC - A1B1C1 得到一个截面，画出截面图，说 明理由并求截面面积．
4．如图，在四棱锥 P ABCD 中，△ABD 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形， BCD 120 ， E 为 PA 的中点． (1)求证： DE / / 平面 PBC ． (2)若 PD 底面 ABCD ，且 PD BC 2 ，求点 E 到平面 PBC 的距离．
高一数学立体几何练习题及部分答案大全.docx
立体几何试题一．选择题（每题 4 分，共 40 分）1. 已知 AB3003001500空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形, （2）四边相等的四边形是菱形（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）A平行B相交C在平面内D平行或在平面内4. 已知直线 m过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作（）A 1 个或 2 个B 0个或1个C1个 D 0个6.如图 , 如果 MC 菱形 ABCD 所在平面 , 那么 MA与 BD的位置关系是 ( )A平行B垂直相交C异面D相交但不垂直7. 经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（）A 0 个B 1个C无数个 D 1个或无数个8.下列条件中 , 能判断两个平面平行的是 ( )B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9. 对于直线m ,n 和平面,, 使成立的一个条件是 ( )A m // n, n, mB m // n, n,mC m n,I m, nD m n, m //, n //)10 . 已知四棱锥 , 则中 , 直角三角形最多可以有 (A 1个B2个 C 3个D4个二．填空题（每题 4 分，共16 分）11. 已知ABC的两边 AC,BC分别交平面于点M,N，设直线AB与平面交于点O，则点 O与直线 MN的位置关系为 _________12.过直线外一点与该直线平行的平面有 ___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13. 一块西瓜切 3 刀最多能切 _________块14.将边长是 a 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折起 , 使得折起后 BD得长为 a, 则三棱锥D-ABC的体积为 ___________三、解答题15（10 分）如图，已知 E,F 分别是正方形ABCD A1B1C1 D1的棱 AA1和棱 CC1上的点，且 AE C1 F 。
高一数学立体几何解答题与答案详解
高一数学立体几何解答题与答案详解1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． （1）证明:连结BD .在长方体1AC 中，对角线11//BD B D .又E 、F 为棱AD 、AB 的中点， //EF BD ∴. 11//EF B D ∴.又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴ EF ∥平面CB 1D 1. （2） 在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1， ∴ AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又 B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．2．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点。
（1）求三棱锥D PAC -的体积；（2）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （3）求证：直线1PB ⊥平面PAC . 解：（1）11113326D PAC P DAC DAC V V S PD DA DC PD --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯= （2）证明：设O 为AC 、BD 的交点，连接PO 在1D DB ∆，PO 是中位线，1//PO D B ∴ 又1D B ⊄平面PAC ，PO ⊂平面PAC 1//D B ∴平面PAC （3）证明：1AB AD == ∴四边形ABCD 是正方形∴AC BD ⊥又1B B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ∴1B B ⊥AC 而1ACBB B = ∴ AC ⊥平面11BB D D又1B P ⊂平面11BB D D ∴AC ⊥1B P 连接1B O ，由条件知22211113B P D P B D =+=，22232PO DP DO =+=2221192B O BB BO =+=， 显然 22211B O B P PO =+ ∴1B P PO ⊥ 又1B PAC O =PD 1C 1B 1A 1DC BA图6CCA B A1C1B1D∴1B P ⊥平面PAC3．在 正三棱柱C B A ABC 111-中,底面边长为2 (1)设侧棱长为1,求证C B B A 11⊥;(2)设B A 1与C B 1成600角，求侧棱长。
高一数学立体几何试题答案及解析
高一数学立体几何试题答案及解析1.设三棱柱的体积为，分别是侧棱上的点，且，则四棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】假设重合，重合,则【考点】棱柱棱锥的体积2.如图，四棱锥中，，四边形是边长为的正方形，若分别是线段的中点．（1）求证：∥底面；（2）若点为线段的中点，求三角形的面积。
【答案】（1）见解析；（2）【解析】要想证明线面平行，只需证明出该线段与面内的任意一条线段平行即可，在本题中，需要连接辅助线进行解答，在解此问题时主要运用了三角形内中位线平行于底边的性质；首先需要掌握知识，三角形的中位线的长度为底边的一半，先求出所需边的长度，再运用余弦定理，求出角的度数，在运用三角形面积公式即可得到结果。
试题解析：（1）解：连接，由题意知，为中点，为的中位线，平面平面平面（2）连接由（1）知：，同理可得：，，【考点】空间几何的运算3.如图，在四棱台中，底面，四边形为正方形，，，平面．（1）证明：为的中点；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）根据线面平行的性质定理，线面平行则，线线平行，所以可证,可证四边形是平行四边形，即证明是中点；（2）根据等体积转化,可证是直角三角形，写出体积公式，求解距离．试题解析：解（1）连接AD1，则D1C1∥DC∥AB，∴A、E、C1、D1四点共面，∵C1E∥平面ADD1A1，则C1E∥AD1，∴AEC1D1为平行四边形，∴AE＝D1C1＝1，∴E为AB的中点．（6分）（2），∵AD⊥DC，AD⊥DD1，∴AD⊥平面DCC1D1，AD⊥DC1．设点E到平面ADC1的距离为h，则，解得．【考点】1．线面平行的性质定理；2．等体积转化．4.设长方体的长、宽、高分别为2，1, 1，其顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_______．【答案】【解析】球直径为长方体的体对角线，故半径为【考点】球内接长方体的性质，球体积的计算5.（本小题12分）如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，．（1）证明：；（2）若，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，证得，，则根据线面垂直的判定定理可得，进而得出；（2）先证明，进而证出，再求出，最后利用柱体的体积公式求出体积；试题解析：（1）取AB 的中点O ，连接．因为，所以．由于，故△AA 1B 为等边三角形，所以．因为，所以．又，故．（2）由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以． 又，则，故．因为所以，为三棱柱的高．又△ABC 的面积，故三棱柱的体积．【考点】1．线面垂直的判定定理；2．线线垂直的证明方法；3．柱体的体积公式；6. 如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是（ ）．A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60°【答案】D【解析】因为易证∥，由线面平行的判定定理可证得∥面，所以A 选项结论正确； 由正方体可得面，可证得，由为正方体得，因为，所以面，从而可证得．同理可证明，根据线面垂直的判定定理可证得面，所以B ，C 选项结论都正确； 因为∥，所以为异面直线与所成的角，由正方体可得，所以D 选项的内容不正确． 故选D 。
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高中数学《立体几何》大题及答案解析( 理)1.（ 2009 全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD底面ABCD，AD2 ，DCo SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上，∠ABM=60。
（I ）证明：M是侧棱SC的中点；求二面角 S AM B 的大小。
2.（ 2009 全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱DE ⊥平面 BCC 1（Ⅰ）证明： AB=AC 的角的大小ABC-A 1B1C1中， AB ⊥ AC,D 、E 分别为 AA 1、 B1C 的中点，（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为 60°,求 B 1C 与平面 BCD 所成A 1 C1B1D EACB3. （ 2009浙江卷）如图，DC平面ABC，EB / / DC，AC BC EB 2DC 2 ，ACB 120o， P,Q 分别为 AE , AB 的中点．（I）证明： PQ / / 平面ACD；（II）求AD与平面 ABE 所成角的正弦值．4.（ 2009 北京卷）如图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PD 底面 ABCD ，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC 平面 PDB ；（Ⅱ）当 PD2AB 且E为PB的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.5.（ 2009 江西卷）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD，PA AD 4 ， AB 2 ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交PD 于点 M ．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离．PMA DOBC6（. 2009 四川卷）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ ABE 是等腰直角三角形，AB AE , FA FE , AEF 45 （I）求证： EF 平面 BCE ；（ II ）设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ，求证： PM ∥平面BCE （ III ）求二面角 F BD A 的大小。
高中数学立体几何习题(含答案与解析)
立体几何试卷五一、选择题1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对 2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1B C 成60角 5、若直线l 平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是A 、l aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二、填空题1、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).2、正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为3、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 .4、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1． 5．正三棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a ，则P 点到面ABC 的距离是6．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O ，P 到三个面的距离分别是6，8，10，则OP 的长为 。
（理科）已长方体的全面积是8，则其对角线长的最小值是 认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.) 三、解答题1、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.(10分) 2、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD . (12分)3、已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．(12分)4、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,H G FE DB A CSD CB A四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域. (12分)5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）1C O 面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D ． (14分)6、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AFAC AD λλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ (14分)7、如图3所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？8、矩形ABCD 中，1,(0)AB BC a a ==>，PA ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ QD ⊥，求a 的取值范围．参考答案选择ACDDDB填空1、小于2、平行3、菱形4、1111AC B D 对角线与互相垂直5、设P 点到面ABC 的距离为h ，由体积公式可得：()3261231a h a =⋅，故a h 332=。
高中立体几何证明题
高中立体几何证明题一、线面平行的证明题1已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。
解析1. 连接AC。
- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。
2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：- AC∥ A_{1}C_{1}。
- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。
- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。
- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。
题2在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。
解析1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。
- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。
2. 因为D是AB的中点：- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。
- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。
- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。
二、线面垂直的证明题3在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。
解析1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。
- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。
- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。
- 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。
- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。
- 又PA = PB = PC = PD，AO = BO = CO = DO，所以 PAO≅ PBO≅ PCO ≅ PDO。
高中几何体试题及答案解析
高中几何体试题及答案解析试题一：立体几何基础题题目：已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求该长方体的体积。
解析：长方体的体积可以通过其三个维度的乘积来计算，即体积V = a × b × c。
答案：V = abc。
试题二：空间向量在立体几何中的应用题目：在空间直角坐标系中，点A(1, 0, 0)，点B(0, 1, 0)，点C(0, 0, 1)，求三角形ABC的面积。
解析：空间直角坐标系中，三角形的面积可以通过向量叉乘来求解。
设向量AB = (-1, 1, 0)，向量AC = (-1, 0, 1)，向量AB与向量AC 的叉乘结果为向量AB × AC = (1, -1, 1)。
该向量的模即为三角形ABC的面积的两倍。
答案：三角形ABC的面积为√3。
试题三：圆锥体的体积计算题目：已知圆锥的底面半径为r，高为h，求圆锥的体积。
解析：圆锥的体积可以通过公式V = (1/3)πr²h来计算。
答案：V = (1/3)πr²h。
试题四：球体的表面积与体积题目：已知球体的半径为R，求球体的表面积和体积。
解析：球体的表面积可以通过公式A = 4πR²来计算，球体的体积可以通过公式V = (4/3)πR³来计算。
答案：球体的表面积A = 4πR²，球体的体积V = (4/3)πR³。
试题五：旋转体的体积题目：已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的体积。
解析：圆柱的体积可以通过公式V = πr²h来计算。
答案：V = πr²h。
结束语：通过上述试题及答案解析，我们可以看到高中几何体的计算涉及体积、面积和表面积等概念，这些计算在数学和物理等多个领域都有广泛的应用。
掌握这些基础知识对于解决更复杂的几何问题至关重要。
希望这些试题和解析能够帮助学生加深对立体几何概念的理解，并在解题过程中培养空间想象能力。
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实用标准文案1、如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC , AD BD ，E是AB的中点。
求证：（ 1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。
AEB C2、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点，D求证： AC1 // 平面 BDE 。
A D1B1CEA3、已知ABC 中ACB 90o,SA面ABC,AD SC ,DB C求证： AD面 SBC ．SDA BABCD A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.C4、已知正方体D1C1求证： (１ ) C1O∥面AB D； (2) AC面 AB D ．B11 11 1 1A1DCOA B5、正方体ABCD A ' B 'C ' D ' 中，求证：（1） AC 平面 B ' D ' DB ；（2） BD ' 平面 ACB ' .6、正方体 ABCD —A B C D中．1111D 1C1(1) 求证：平面 A1 BD∥平面 B1D1C；A B1(2) 若 E、 F 分别是 AA ， CC的中点，求证：平面 EB D1F∥平面 FBD ．1111E GC实用标准文案2o7、四面体ABCD 中，AC BD , E, F 分别为 AD , BC 的中点，且 EF AC ，BDC 90 ，求证： BD平面ACD8、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 、F、G分别是AB、AD、 C1 D1的中点.求证：平面 D1EF ∥平面BDG .9、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点.（1）求证：A1C //平面BDE；（2）求证：平面A1AC平面BDE .10、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB 2 ， PA AD 4 ， E 为 BC 的中点．（ 1）求证：DE平面PAE；（ 2）求直线DP与平面PAE所成的角．11、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是DAB 600且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 是等边三角形，且平面 PAD 垂直于底面ABCD ．（ 1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（ 2）求证：AD PB．12、如图 1,在正方体ABCD A B C D中，M 为 CC的中点， AC 交 BD 于点 O，求证：AO平面 MBD ．1 1 1 11113 、如图２，在三棱锥Ａ－ BCD 中， BC＝ AC， AD＝ BD，作BE⊥ CD，Ｅ为垂足，作 AH⊥ BE 于Ｈ．求证： AH⊥平面 BCD．14． (12 分 )求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．已知：如图，三棱锥S—ABC， SC∥截面 EFGH ，AB∥截面 EFGH .求证：截面EFGH 是平行四边形．2 15．(12 分)已知正方体ABCD — A1B1C1D1的棱长为a，M、 N 分别为 A1B 和 AC 上的点， A1M＝ AN＝3 a，如图．(1)求证： MN ∥面 BB1C1C；(2)求 MN 的长．16．(12 分)(2009 浙·江高考 )如图， DC ⊥平面 ABC，EB∥ DC，AC＝ BC＝ EB＝ 2DC＝ 2，∠ ACB＝120 °，P， Q 分别为 AE， AB 的中点．(1)证明： PQ∥平面 ACD；(2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值．17． (12 分 )如图，在四面体ABCD 中， CB＝ CD， AD ⊥ BD ，点 E、F 分别是 AB、 BD 的中点．（2）平面 EFC ⊥平面 BCD.1、如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC , AD BD ， E 是 AB 的中点。
求证：（ 1）AB平面 CDE;A （ 2）平面CDE平面 ABC 。
BC AC E证明：（ 1）CE ABAE BEAD BD B CDE AB同理，BEAE又∵ CE DE E∴ AB 平面CDED（ 2）由（ 1）有AB平面CDE又∵ AB平面 ABC ，∴平面 CDE 平面 ABC2、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点，求证：AC1 // 平面 BDE 。
A D1证明：连接AC 交 BD 于 O ，连接 EO ，B1C∵ E 为 AA1的中点，O为AC的中点E∴ EO 为三角形A1 AC的中位线∴EO // AC1AD 又 EO 在平面BDE内，A1C在平面BDE外∴ A1C // 平面 BDE 。
ACB 90o,SA B C3、已知ABC中面 ABC , AD SC ,求证： AD 面 SBC ．S证明：∵ ACB90 °BC AC又 SA 面 ABC SA BC BC面 SAC BC AD又 SCAD, SC BCC AD 面 SBC4、已知正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 ， O 是底 ABCD 对角线的交点 .D 1C 1求证： (１ ) C 1O ∥面 AB 1D 1 ； (2) AC 1 面 AB 1D 1 ．A 1B 1证明：（ 1）连结 AC 11 ，设A 1C 1B 1D 1O 1，连结AO1DC∵ABCDA 1B 1C 1D 1 是正方体 A 1 ACC 1 是平行四边形O∴A 1C 1∥ AC 且A 1C 1ACAB又O 1 ,O 分别是 A 1C 1, AC 的中点，∴ O 1C 1∥ AO 且 O 1C 1 AO AOC 1O 1 是平行四边形 C 1O ∥ AO 1 , AO 1 面AB 1D 1 ， C 1O 面 AB 1D 1 ∴ C 1O ∥面 AB 1D 1（ 2）Q CC 1 面 A 1B 1C 1D 1 CC 1 B 1D !又∵ A 1C1B 1D1 ，B 1 D 1 面 AC 1 1C即 AC 1 B 1D 1同理可证A 1C AD1，又D 1B1AD 1D 1AC面 AB 1D 115、正方体ABCDA 'B 'C 'D ' 中，求证：（ 1） AC平面 B ' D ' DB ；（ 2） BD ' 平面 ACB ' .6、正方体 ABCD —A B C D中． (1)求证：平面 A BD ∥平面 B D C ；11 1 1111D 1C 1(2) 若 E 、 F 分别是 AA 1， CC 1 的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面 FBD ．B 1A证明： (1)由 B 1B ∥ DD11，得四边形 BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥ BD ，F又 BD 平面 B 1D 1C ， B 1D 1 平面 B 1D 1 C ，EDGC∴ BD ∥平面 B 1D 1C ． AB同理 A 1D ∥平面 B 1D 1C ．而 A 1D ∩ BD ＝D ，∴平面 A 1BD ∥平面 B 1CD ．(2) 由 BD ∥ B 1D 1，得 BD ∥平面 EB 1D 1．取 BB 1 中点 G ，∴ AE ∥B 1G ．从而得 B 1E ∥AG ，同理 GF ∥AD ．∴ AG ∥ DF ．∴ B 1E ∥DF ．∴ DF ∥平面 EB 1D 1．∴平面 EB 1D 1∥平面 FBD ．7、四面体 ABCD 中， ACBD , E, F 分别为 AD, BC 的中点， 且 EF2AC ，90o ，求证： BD2BDC 平面 ACD证明：取 CD 的中点 G ，连 结 EG, FG ，∵ E, F 分别为 AD , BC 的中点，∴ EG// 1AC FG //11 12BD ，又 AC BD , ∴ FGAC ，∴在 EFG 中， EG 2 FG 2AC 2 EF 2实用标准文案∴ EG FG，∴ BD AC ，又BDC90o，即BD CD ， AC CD C∴ BD平面ACD8、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、 C1 D1的中点.求证：平面 D1EF ∥平面BDG .证明：∵ E 、F分别是AB、AD的中点，EF ∥ BD又 EF平面 BDG ， BD平面 BDG EF ∥平面 BDG∵ D1G EB四边形 D1GBE 为平行四边形，D1 E ∥GB又D1 E平面 BDG ， GB平面 BDG D1E ∥平面BDGEF D1 E E ，平面 D1EF ∥平面BDG9、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是 AA1的中点.（1）求证：A1C //平面BDE；（2）求证：平面A1AC平面BDE .证明：（ 1）设AC BD O ，∵ E 、 O 分别是AA1、 AC 的中点，A1C∥ EO又1平面BDE ，EO平面BDE，1∥平面BDEAC A C（ 2）∵AA1平面 ABCD ， BD平面 ABCD ，AA1BD又 BD AC ，ACAA1 A ，BD平面 A1 AC ，BD平面 BDE ，平面 BDE平面 A1 AC10、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB 2 ，PA AD 4 ，E 为 BC的中点．（ 1）求证：DE平面PAE；（ 2）求直线DP与平面PAE所成的角．证明：在ADE 中， AD 2AE 2DE 2，AE DE∵ PA平面 ABCD ， DE平面 ABCD ，PA DE又 PA AE A ，DE平面 PAE（ 2）DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角在 Rt PAD ，PD4 2 ，在Rt DCE 中，DE 2 2在 Rt DEP 中， PD2DE ，DPE30011、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是DAB600且边长为 a 的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面 PAD 垂直于底面ABCD ．（ 1）若G为AD的中点，求证：（ 2）求证：AD PB．证明：（ 1）BG 平面 PAD ；G 为 AD 的中点，BG ADABD 为等边三角形且实用标准文案又平面 PAD 平面 ABCD ， BG 平面 PAD（ 2） PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点，AD PG且 ADBG ，PGBG G， AD平面 PBG ，PB 平面 PBG ，ADPB12、如图 1,在正方体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中， M 为 CC 1 的中点， AC 交 BD 于点 O ，求证： AO 1平面 MBD ．证明：连结 MO ， A 1M ，∵ DB ⊥ A 1A ， DB ⊥AC ， A 1AAC A ，∴ DB ⊥平面 A 1 ACC 1 ，而 AO 1 平面 A 1ACC 1 ∴ DB ⊥ A 1O ．设正方体棱长为 a ，则 A 1O23a 2 ， MO23a 2 ．9 2 4在 Rt △ A C M 中， A 1 M 22 ．∵ A 1O 2 MO 2 A 1M 2 ，∴ AO OM ．1 1a14∵ OM ∩DB =O ，∴ A 1O ⊥平面 MBD ．13、如图２，在三棱锥 Ａ－ BCD 中， BC ＝ AC ， AD ＝BD ，作 BE ⊥ CD ， Ｅ为垂足，作 AH ⊥ BE 于 Ｈ．求证： AH ⊥平面BCD ．证明：取 AB 的中点 Ｆ，连结 CF ，DF ．∵ ACBC ，∴ CF AB ．∵ AD BD ，∴ DF AB ． 又 CF I DF F ，∴ AB 平面 CDF ． ∵ CD 平面 CDF ，∴ CD AB ．又 CDBE ， BEAB B ，∴ CD平面 ABE CD AH．，∵ AH CD ， AHBE ，CD BEE ，∴AH 平面．BCD14．(12 分 )求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形． 已知：如图，三棱锥 S —ABC ， SC ∥截面 EFGH ，AB ∥截面 EFGH .求证：截面 EFGH 是平行四边形．证明：∵ SC ∥ 截面 EFGH ， SC?平面 EFGH ， SC? 平面 ASC ，且平面 ASC ∩ 平面 EFGH ＝ GH ， ∴ SC ∥ GH .同理可证 SC ∥ EF ， ∴ GH ∥EF .同理可证 HE ∥ GF .∴ 四边形 EFGH 是平行四边形．2 15．(12 分)已知正方体ABCD — A1B1C1D1的棱长为a，M、 N 分别为 A1B 和 AC 上的点， A1M＝ AN＝3 a，如图．(1)求证： MN ∥面 BB1C1C；(2)求 MN 的长．解： (1)证明：作 NP⊥ AB 于 P，连接 MP.NP∥ BC，∴AP＝AN＝A1M，∴MP∥ AA1∥ BB1，∴ 面 MPN ∥面 BB1C1C. AB AC A1BMN ? 面 MPN ，∴ MN ∥面 BB1C1C.2(2)NP＝AN＝3a112a. BC AC＝， NP＝ a，同理 MP＝2a333又MP∥ BB1，∴ MP⊥面 ABCD ，MP ⊥ PN.在 Rt△MPN 中 MN ＝42125a.a＋ a ＝3 9916．(12 分)(2009 浙·江高考 )如图， DC ⊥平面 ABC，EB∥ DC，AC＝ BC＝ EB＝ 2DC＝ 2，∠ ACB＝120 °，P， Q 分别为 AE， AB 的中点．(1)证明： PQ∥平面 ACD；(2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值．解： (1)证明：因为 P， Q 分别为 AE，AB 的中点，所以PQ∥ EB.又 DC ∥EB，因此 PQ∥ DC，又PQ?平面 ACD ，从而 PQ∥平面 ACD .(2)如图，连接 CQ， DP，因为 Q 为 AB 的中点，且 AC＝ BC，所以 CQ⊥ AB.因为 DC ⊥平面 ABC， EB∥ DC ，所以 EB⊥平面 ABC，因此 CQ⊥EB .故CQ⊥ 平面ABE.1由 (1)有 PQ∥ DC，又 PQ＝2EB＝ DC，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP∥CQ，因此 DP⊥平面 ABE，5∠ DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角，在Rt△ DPA 中， AD＝5， DP＝ 1，sin ∠DAP ＝，17． (12 分 )如图，在四面体ABCD 中， CB＝ CD， AD ⊥ BD ，点 E、F 分别是 AB、 BD 的中点．求证： (1) 直线 EF∥面 ACD.(2) 平面 EFC ⊥平面 BCD .证明： (1) 在△ ABD 中，∵E、 F 分别是 AB、 BD 的中点，∴ EF ∥ AD.又AD? 平面 ACD， EF?平面 ACD，∴直线 EF ∥面 ACD .(2) 在△ ABD 中，∵ AD ⊥BD ，EF ∥ AD，∴ EF⊥ BD .在△BCD 中，∵ CD＝ CB， F 为 BD 的中点，∴ CF ⊥ BD.∵CF∩ EF ＝ F，∴ BD⊥平面 EFC ，又∵BD ? 平面 BCD，∴平面 EFC ⊥平面 BCD .。