高中数学立体几何线面垂直的证明

立体几何证明
【知识梳理】
1. 直线与平面平行
判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行⇒线面平行”）
性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行⇒线线平行”）
2.．直线与平面垂直
判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直⇒线面垂直”）
判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

（线面垂直⇒线线垂直）
性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
三。

平面与平面
空间两个平面的位置关系：相交、平行.
1. 平面与平面平行
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行⇒面面平行”）
2. 两个平面垂直
判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直⇒面面垂直”）
性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直⇒线面垂直）
知识点一 【例题精讲】
1.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。

（1）求证：EF//平面11D ABC ；（2）求证： 平面B 11D C C B 1⊥ EF C B 1⊥； （3）求三棱锥EFC B -1的体积V.
2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,
,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的
中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V .
3、如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，证明： （1）AE ⊥CD （2）PD ⊥平面ABE ．
4、.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；
练习
1、如图，菱形ABCD与等边△PAD所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB的高．
2.如图1-4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC ＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．求证：EF⊥平面BCG；
3.如图1-1所示，三棱柱ABC -A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.
(1)证明：AC1⊥A1B；
4、如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
5、三棱锥P﹣ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2，（1）求证：面PBC⊥面ABC
6.已知四棱锥P-ABCD中,底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.(1)求证:PA∥平面EDB;
(2)求证:平面EDB⊥平面PBC;
7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；
2.求证BE 垂直平面PAC
8、将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥M﹣ABCD（如图二），若在四棱锥M﹣ABCD中有MA=．（1）求证：AC⊥MD；（2）求四棱锥M ﹣ABCD的体积．
作业
1、如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC交BD于点O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M，N分别是棱BC，AD 的中点，且DM=6．
（Ⅰ）求证：OD⊥平面ABC；
2、如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；
3、如图所示，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；
4、如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=1
2
AD，E，
F分别为线段AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．
5、如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=1，SD=．（1）证明：CD⊥SD；
6.如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．
（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．
7、如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，
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A E D
B A A
===,现将ABE
∆沿BE边折至PBE
∆位置，且平面PBE⊥平面BCDE.
（
1）求证：平面PBE ⊥平面PEF ；
8、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2,
E,F 分别是BC,PC 的中点．
（1） 证明：AD ⊥平面DEF;
9、在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，
90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥，
2AB AF EF ===，4AD CD ==．
（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ADEF
10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点. （Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；
A
B C
D
E
B
C
D
E
F
P
11.棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是。