关于马氏距离模糊聚类的有效性指标研究
mahalanobis distance method
mahalanobis distance method什么是马氏距离方法（Mahalanobis Distance Method）？马氏距离方法是一种用于测量多维数据集相似性的数学方法。
它由印度统计学家Prasanta Chandra Mahalanobis在20世纪30年代首次提出，并广泛应用于统计学、模式识别和机器学习领域。
马氏距离方法考虑了数据集的各个特征之间的相互关系，并通过计算样本向量与某个中心点（通常是均值向量）之间的距离来度量样本的相似性。
与欧几里得距离不同，马氏距离方法对于不同特征之间的相关性进行了建模，使得它能够更准确地衡量样本之间的距离。
马氏距离方法的计算公式如下：\[D_M(x, y) = \sqrt{(x - y)^T S^{-1}(x - y)}\]其中，\(D_M\)代表马氏距离，\(x\)和\(y\)分别表示两个样本向量，\(S\)表示协方差矩阵。
协方差矩阵反映了不同特征之间的相关性，它是一个对称的半正定矩阵，可以通过样本数据的协方差矩阵进行估计。
马氏距离方法的应用马氏距离方法在许多领域中都有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 识别异常点马氏距离方法可以用于识别数据集中的异常点。
异常点通常被定义为与其他样本之间的关系差异较大的样本。
通过计算样本与数据集的中心点之间的马氏距离，我们可以将距离超过某个阈值的样本识别为异常点。
2. 模式识别马氏距离方法在模式识别领域中也得到了广泛应用。
模式识别是指利用计算机算法和技术来识别输入模式（如图像、声音等）中的特定结构。
马氏距离作为一种相似性度量，可以用来比较不同的模式。
通过计算不同模式之间的马氏距离，我们可以判断它们之间的相似性。
3. 特征选择马氏距离方法可以用于特征选择，即从原始数据中选择最能够区分不同类别的特征。
通过计算不同特征之间的马氏距离，我们可以评估它们对区分不同类别样本的贡献程度，从而选择出最具有代表性的特征。
聚类算法的评价指标
聚类算法的评价指标
聚类算法是一种数据挖掘技术，它可以将相似的数据对象组成一个簇，不同的数据对象则分配到不同的簇中。
聚类算法的评价指标是评估聚类结果的质量和有效性的指标。
聚类算法的评价指标主要包括以下几个方面：
1. 轮廓系数(Silhouette Coefficient)：轮廓系数是一种用来
衡量聚类结果的紧密度和分离度的指标。
它的取值范围在[-1,1]之间，轮廓系数越大，表示聚类效果越好。
2. 簇间距离(Inter-cluster Distance)：簇间距离是衡量聚类
结果的分离度的指标。
它的取值范围在[0,∞)之间，簇间距离越大，表示聚类效果越好。
3. 簇内距离(Intra-cluster Distance)：簇内距离是衡量聚类
结果的紧密度的指标。
它的取值范围在[0,∞)之间，簇内距离越小，表示聚类效果越好。
4. F-统计量(F-Statistic)：F-统计量是衡量聚类结果的分离度和紧密度的指标。
它的取值范围在[0,∞)之间，F-统计量越大，表示聚类效果越好。
5. 熵(Entropy)：熵是衡量聚类结果的分布均匀性的指标。
它的取值范围在[0,1]之间，熵越小，表示聚类效果越好。
综上所述，选择合适的评价指标对于评估聚类算法的效果非常重要。
不同的数据集和应用场景需要选择不同的评价指标，从而得出更加准确和可靠的聚类结果。
推荐-数学建模水资源短缺风险综合评价 精品 推荐 精品
题目：水资源短缺风险综合评价摘要水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。
主要包括陆地上的地表水和地下水。
风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。
本文提出了马氏判别法、模糊聚类、BP神经网络等三种方法对北京市水资源短缺风险进行综合评价，针对问题一基于附表1通过马氏判别法筛选出影响水资源短缺的主要风险因子，针对问题二通过模糊聚类的方法，分了水资源短缺的四个等级，在问题三中通过构建神经网络，测出了20XX年、20XX年和20XX年的水资源总量和用水总量，为解决水资源短缺风险，提出了南水北调、再生水的利用、污水处理等几种措施，并分析了在进行这几项措施后历年风险等级的下降情况，最后向水行政主管部门书写了一份建议报告，基于建立的水资源短缺风险评价模型提出了建议。
关键词：马氏判别法、模糊聚类、BP神经网络一、问题的重述水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。
北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。
北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。
如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。
考虑以下问题：1 评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子；2 建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价，作出风险等级划分并陈述理由。
对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？3 对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。
4 以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。
聚类分析中的距离度量
相关系数( Correlation coefficient ) 与 相关距离(Correlation distance) (1)相关系数的定义
当p=2时，就是欧氏距离
当p→∞时，就是切比雪夫距离
根据变参数的不同，明氏距离可以表示一类的距离。
•(2)明氏距离的缺点
明氏距离，包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离都存 在明显的缺点。
举个例子：二维样本(身高,体重)，其中身高范围是150~190， 体重范围是50~60，有三个样本：a(180,50)，b(190,50)， c(180,60)。那么a与b之间的明氏距离（无论是曼哈顿距离、欧 氏距离或切比雪夫距离）等于a与c之间的明氏距离，但是身高 的10cm真的等价于体重的10kg么？因此用明氏距离来衡量这些 样本间的相似度很有问题。
1.0000 2.0000 2.2361
标准化欧氏距离 (Standardized Euclidean distance )
• 标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的 一种改进方案。标准欧氏距离的思路：既然数据各 维分量的分布不一样，那就先将各个分量都“标准 化”到均值、方差相等吧。均值和方差标准化到多 少呢？根据统计学知识吧，假设样本集X的均值 (mean)为m，标准差(standard deviation)为s，那么X的 “标准化变量”表示为：X*
明可夫斯基距离(Minkowski Distance)
•明氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义。 (1)明氏距离的定义
两个n维变量a(xi1,xi2,…,xin)与 b(xj1,xj2,…,xjn)之间的明 可夫斯基距离定义为：
n
p
dij p xik xjk
其中p是一个变参数。
聚类有效性——最佳聚类数
聚类有效性——最佳聚类数其中，n表⽰聚类的数⽬ ,k 表⽰当前的类, trB(k)表⽰类间离差矩阵的迹, trW(k) 表⽰类内离差矩阵的迹。
有关公式更详细的解释可参考论⽂“ A dendrite method for cluster analysis ”。
可以得出 CH越⼤代表着类⾃⾝越紧密，类与类之间越分散，即更优的聚类结果。
（2） DB指标DB指标通过描述样本的类内散度与各聚类中⼼的间距，定义为其中，K是聚类数⽬，Wi表⽰类Ci中的所有样本到其聚类中⼼的平均距离，Wj表⽰类Ci中的所有样本到类Cj中⼼的平均距离，Cij表⽰类Ci和Cj中⼼之间的距离。
可以看出，DB越⼩表⽰类与类之间的相似度越低，从⽽对应越佳的聚类结果。
最佳聚类数的确定过程⼀般是这样的：给定K 的范围[Kmin,Kmax]，对数据集使⽤不同的聚类数K运⾏同⼀聚类算法，得到⼀系列聚类结果，对每个结果计算其有效性指标的值，最后⽐较各个指标值，对应最佳指标值的聚类数即为最佳聚类数。
⼆实验结果在Matlab中，函数evalclusters提供了四种⽅法进⾏聚类效果的评估，包括’CalinskiHarabasz’ 、 ‘DaviesBouldin’ 、’gap’ 、‘silhouette’。
选取⼀组数据，进⾏聚类效果评估。
这⾥分别选⽤’CalinskiHarabasz’ 、 ‘DaviesBouldin’指标，聚类算法选择k-means.（1） CH指标给定K值范围1~3，计算每个聚类结果的CH 指标，最⼤指标值对应的K 值为最优值。
（2） DB指标给定K值范围1~3，计算每个聚类结果的DB 指标，最⼤指标值对应的K 值为最优值。
备注：出现NAN是因为这两种⽅法均不适⽤与聚类数为1的情况。
Matlab代码cluster = zeros(size(data,1),3);for i=1:3cluster(:,i) = kmeans(data,i,'replicate',5); %%%保存每次聚类结果endeva = evalclusters(data,cluster,'DaviesBouldin');subplot(1,3,1);plot(data(cluster(:,1)==1,1),data(cluster(:,1)==1,2),'r*');hold onsubplot(1,3,2);plot(data(cluster(:,2)==1,1),data(cluster(:,2)==1,2),'r*');hold onplot(data(cluster(:,2)==2,1),data(cluster(:,2)==2,2),'b*');hold onsubplot(1,3,3);data=[c1 r1];[idx,ctrs] = kmeans(data,3);plot(data(cluster(:,3)==1,1),data(cluster(:,3)==1,2),'r*');hold onplot(data(cluster(:,3)==2,1),data(cluster(:,3)==2,2),'b*');hold onplot(data(cluster(:,3)==3,1),data(cluster(:,3)==3,2),'k*');hold on。
聚类分析
1聚类分析内涵1.1聚类分析定义聚类分析（Cluster Analysis）是一组将研究对象分为相对同质的群组(clusters)的统计分析技术. 也叫分类分析(classification analysis)或数值分类(numerical taxonomy)，它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法，所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合。
聚类分析有关变量类型:定类变量,定量(离散和连续)变量聚类分析的原则是同一类中的个体有较大的相似性，不同类中的个体差异很大。
1.2聚类分析分类聚类分析的功能是建立一种分类方法，它将一批样品或变量，按照它们在性质上的亲疏、相似程度进行分类．聚类分析的内容十分丰富，按其聚类的方法可分为以下几种：(1)系统聚类法：开始每个对象自成一类，然后每次将最相似的两类合并，合并后重新计算新类与其他类的距离或相近性测度．这一过程一直继续直到所有对象归为一类为止．并类的过程可用一张谱系聚类图描述．(2)调优法(动态聚类法)：首先对n个对象初步分类，然后根据分类的损失函数尽可能小的原则对其进行调整，直到分类合理为止．(3)最优分割法(有序样品聚类法)：开始将所有样品看成一类，然后根据某种最优准则将它们分割为二类、三类，一直分割到所需的K类为止．这种方法适用于有序样品的分类问题，也称为有序样品的聚类法．(4)模糊聚类法：利用模糊集理论来处理分类问题，它对经济领域中具有模糊特征的两态数据或多态数据具有明显的分类效果．(5)图论聚类法：利用图论中最小支撑树的概念来处理分类问题，创造了独具风格的方法．(6)聚类预报法：利用聚类方法处理预报问题，在多元统计分析中，可用来作预报的方法很多，如回归分析和判别分析．但对一些异常数据，如气象中的灾害性天气的预报，使用回归分析或判别分析处理的效果都不好，而聚类预报弥补了这一不足，这是一个值得重视的方法。
聚类分析根据分类对象的不同又分为R型和Q型两大类，R型是对变量(指标)进行分类，Q 型是对样品进行分类。
聚类分析
几种常用的系统聚类方法
根据对类间距离的定义不同，产生了不同的系统聚 类方法。这些方法在归类步骤上基本一致，差异仅 存在于不同的类间距离计算方法。 1. 最短距离法 定义类 Gi与类 G j之间的距离为两类最近样品的距 离，即为：
Dij =
X i ∈Gi , X j ∈G j
min
d ij
设类 G p Gq 合并成一个新类记为 Gr ，则任一类 Gk 与 与 Gr 的距离为：
Dkr =
X i ∈Gk , X j ∈Gr
min
d ij d ij , min d ij }
= min{
X i ∈Gk , X j ∈G p
min
xi ∈Gk , x j ∈Gq
= min{Dkp , Dkq }
最短距离法进行聚类分析的步骤如下：
（1）定义样品之间距离，计算样品的两两距离，得一 距离阵记为D（0） ，开始每个样品自成一类，显然这 时Dij = dij。 （2）找出距离最小元素，设为Dpq，则将Gp和Gq合并 成一个新类，记为Gr，即Gr = ｛Gp，Gq｝。 （3）按之前的公式计算新类与其它类的距离。 （4）重复（2）、（3）两步，直到所有元素并成一类 为止。如果某一步距离最小的元素不止一个，则对 应这些最小元素的类可以同时合并。
从它们的方向趋同性或“相关性”进行考察。
距离的度量（样品间相似度）
每个样品有p个指标（变量）从不同方面描述 其性质，形成一个p维的向量。如果把n个样品 看成p维空间中的n个点，则两个样品间相似程 度就可用p维空间中的两点距离公式来度量。
1．明考夫斯基距离
dij (q) = (∑ X ik − X jk )
K均值法是麦奎因（MacQueen，1967）提出的，这 种算法的基本思想是将每一个样品分配给最近中心 （均值）的类中，具体的算法至少包括以下三个步骤： 1．将所有的样品分成K个初始类； 2．通过欧氏距离将某个样品划入离中心最近的类中， 并对获得样品与失去样品的类，重新计算中心坐标； 3．重复步骤2，直到所有的样品都不能再分配时为止。
聚类分析法
8 个棉花品种的观测性状值
铃重 （g） 5．6 3．3 6．1 3．1 6．1 2．3 5．5 2．5 衣分 （%） 33．2 29．0 33．0 26．5 34．0 31．8 34．9 31．2 籽指 (g) 12．4 12．9 11．3 12．7 12．7 12．0 11．5 13．7 2.5% 跨长 （mm） 29．9 31．9 28．0 32．9 30．3 33．3 30．3 29．6 比强度 （cN/tex） 19．6 26．6 17．4 26．4 19．0 35．1 16．8 31．5 种仁 脂肪 （mg） 35．7 34．8 38．6 34．2 33．7 37．2 33．5 37．8 种仁 蛋白 （mg） 39．3 38．9 39．2 38．3 37．0 36．7 39．7 35．3
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第七章
聚类分析
埃棉 3 号和吉扎 80 号）的 10 个表型性状，数据列于表 7-3，试计算 8 个棉花品种间的欧氏距离。
表 7-3
编号 品种 果枝 节位 （个） 8．6 5．7 5．4 3．5 7．5 4．0 7．4 6．4 果枝数 （个） 12．0 16．3 14．4 18．4 13．3 20．0 13．3 15．0
2 DM (Y(i ) Y( j ) )S 1 (Y(i ) Y( j ) )T ij
如品种 2 和 5 间的马列氏距离 DM 3.74 。 这里需要说明两点：①在使用欧氏距离方法计算遗传距离之前， 一定要对表型数据作标准化处理，否则，相同的测量结果会因所采用 的量纲不同（例如厘米）而导致样品间的距离发生变化；但是，若采 用马氏距离则无需标准化， 因为在马氏距离的计算中包含了标准差标 准化过程。 ②马氏距离较欧氏距离的优点在于可以排除变量之间相关 性的干扰，实际应用时，变量之间若存在着很强相关性，可以采用马 氏距离。 三、基于分子标记数据的遗传距离 在分子标记实验中，只统计样品间具有多态性的条带信息：有带 记为 “1” ， 无带记为 “0 ” 。 那么就得到一个观测值为 0 和 1 的数据表。 用分子标记数据可计算样品间遗传距离。 基于分子标记数据的遗传距离计算方法有多种如 Sneath and Sokal 法、 Russell and Rao 法等， 但最常用的是 Nei and Li 法和 Jaccard 法，其计算公式如下： 1. Nei and Li 距离法：