平面及其方程word版

第五节 平面及其方程

教学目的：介绍最简单也是非常这样的曲面——平面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础.

教学重点：1.平面的方程

2.两平面的夹角

教学难点：平面的几种表示及其应用

教学内容：

一．平面的点法式方程

1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量.

平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直.

2．平面的点法式方程

已知平面上的一点M 0(x 0,y 0,z 0)和它的一个法线向量n ＝{A ,B ,C }，对平面上的任一点M (x ,y ,z )，有向量⊥M M 0n ，即

n 00=⋅M M

代入坐标式有：

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A （1）

此即平面的点法式方程.

1. 例子：求过三点M 1（2，－1，4）、M 2（－1，3，－2）和M 3（0，2，3）的平面方程. 解：先找出这平面的法向量n ，

k

j i k

j i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M

由点法式方程得平面方程为 0)4()1(9)2(14=--++-z y x 即： 015914=--+z y x

二．平面的一般方程

任一平面都可以用三元一次方程来表示.

平面的一般方程为：

0=+++D Cz By Ax

几个平面图形特点：

二． D ＝0：通过原点的平面.

三． A ＝0：法线向量垂直与x 轴，表示一个平行于x 轴的平面.

同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面.

四． A ＝B ＝0：方程为Cz ＋D ＝0，法线向量{0,0,C }，方程表示一个平行于xoy 面的平

面.

同理：Ax ＋D ＝0和By ＋D ＝0分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面.

五． 反之：任何的三元一次方程，例如：5x ＋6y －7z ＋11＝0都表示一个平面，该平面

的法向量为n ＝{5,6,-7}

三．两平面的夹角

定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面.

定曲线C ：准线 动直线L ：母线

四．几个常用的结论

设平面1和平面2的法向量依次为n 1＝{A 1,B 1,C 1}和n 2＝{A 2,B 2,C 2}

两平面垂直：0212121=++C C B B A A （法向量垂直） 两平面平行：212121C C B B A A == （法向量平行）

平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点P 0（x 0，y 0，z 0），平面的方程为 0=+++D Cz By Ax ，则点到平面的距离为

222000C B A D

Cz By Ax d +++++=

小结：平面是本书非常重要的一节，学生在学习时会各种平面的表示方法，了解平面与其法向量之间的关系等等.

§7.7 平面及其方程

一 平面的点法式方程

若一非零向量垂直于一平面，则称此向量是该平面的法线向量。

显然，平面上的任一向量均与平面的法线向量垂直。由于过空间一点可以作而且只能作一个平面垂直于一已知直线。

因此，当平面π上一点M x y z 0000(,,)和它的一个法线向量 n 给定之后，

平面的位置就确定下来了。

下面，我们来建立这种平面方程。 设M x y z (,,)是π上的任一点，那未，M M n 0⊥ ，即 M M n 0

0⋅= 而 M x x y y z z 0000=---{,,}

若设 n A B C ={,,}，故

A x x

B y y

C z z ()()()-+-+-=0000 （1） 这表明：平面π上任一点M x y z (,,)的坐标满足方程(1)。

反过来，若点M x y z (,,)不在平面π上，向量M M 0就不垂直于 n ，从而

M n 00⋅≠ ，即 A x x B y y C z z ()()()-+-+-≠0000

亦即：不在平面π上的点M x y z (,,)的坐标不适合方程(1)。

故，方程(1)就是平面π的方程，而平面π便是方程(1)的图形。

因为方程(1)是由平面π上一点M x y z 0000(,,)及它的一个法线向量

n A B C ={,,}唯一确定的，因此，方程(1)也称之为平面的点法式方程。 二平面的一般方程

注意到，方程(1)是x y z ,,的一次方程，我们可断言：任一平面都可以用三元一次方程来表示。

这是因为任一平面都可以由它的法线向量与它上面的一点唯一决定，而平面的点法式方程本身就是三元一次方程。

反过来，若有三元一次方程

Ax By Cz D +++=0 （2）

任取满足该方程的一组数x y z 000,,，即

Ax By Cz D 0000+++=

两式相减得

A x x

B y y

C z z ()()()-+-+-=0000 （3）

显然，方程(3)是过点M x y z 0000(,,)且以 n A B C ={,,}为法线向量的平面方

程，而方程(2)与方程(3)是同解的，由此可知， 三元一次方程(2)所代表的图形是平面。

方程(2)称为平面的一般方程 ，该平面的法向量是由x y z ,,的系数所作成的向量 n A B C ={,,}。

对于一些特殊的三元一次方程，它们所代表的平面具有一些特殊性。

1、当D =0时，(2)式成为Ax By Cz ++=0，它表示一个通过原点的平面，因为O (,,)000的坐标显然适合该方程。

2、当A =0时，(2)式成为By Cz D ++=0，法线向量为 n B C ={,,}0，因

prj n n x ==0cos α，( n ≠0)，故cos α=0，α=90

n x ⊥轴，从而平面 By Cz D ++=0平行于x 轴。

类似地，方程Ax Cz D ++=0表示平行于y 轴的平面；方程