八年级数学上册12全等三角形三角形全等的判定第3课时“角边角”“角角边”习题讲评课件
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题
全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
浮山县一中八年级数学上册 第十二章 全等三角形12.2 三角形全等的判定第3课时 角边角 角角边教学
旧知回顾
1.什么是全等三角形 ？
2.判定两个三角形全等要具备什么
条件? 边边边 :
三边対应相等的两个三角形全等。
边角边 :
有两边和它们夹角対应相等的两个三角形全等。
一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了 , 如下图 , 你能制作一张与原来 同样大小的新教具 ？能恢复原来三角形 的原貌吗 ？
8．在△ABC中 , AB＝n2＋1 , AC＝2n , BC＝n2－1(n>1) , 那么这个三角
形是( C )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
9．如下图 , 在△ABC中 , AB＝13 , AC＝5 , BC＝12.点O为∠ABC与∠CAB 的平分线的交点 , 那么点O到边AB的距离OP为______．2
解得 x＝1270 ，则 AC＝70－x＝3770 ，
答：该点将绳子分成长度分别为1720 cm 和3770 cm 的两段
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油!奥利给~
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
课堂小结
〔1〕学习了角边角、角角边 〔2〕注意角角边、角边角中两角与边的区别。 〔3〕会根据已知两角画三角形 〔4〕进一步学会用推理证明。
作业 这节课我们学习到这里 , 再见 !
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
10．(泰州中考)如下图 , 在长方形ABCD中 , AB＝8 , BC＝6 , P为AD上一 点 , 将△ABP沿BP翻折至△EBP, PE与CD相交于点O , 且OE＝OD , 那么 AP的长为4_.8_____．
八年级数学上第13章全等三角形13.3全等三角形的判定3角边角和角角边课冀教
8．(中考·四川凉山州)如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝ AF.下列结论： ①EM＝FN；②CD＝DN； ③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM. 其中正确的有( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．(2018·浙江金华)如图，△ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F， 请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅 助线)，你添加的条件是___A_C_＝__B__C_(_答__案__不__唯__一__)______．
【思路点拨】延长 AE 交 DF 的延长线于点 G，由“AAS”说明 △AEB≌△GEC，可得 AB＝CG，再利用平行线的性质与角平分 线的定义易证得 AF＝GF，即可得结论． 解：AB＝CF＋AF. 如图，延长 AE 交 DF 的延长线于点 G. 因为 E 是 BC 的中点，所以 CE＝BE. 因为 AB∥DC，所以∠BAE＝∠G.
【思路点拨】由“AAS”说明△AEB≌△FEC，可得 AB＝FC，即 可得结论；
【答案】AD＝AB＋DC
(2)问题探究：如图②，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AF 与 DC 的延长线交于点 F，E 是 BC 的中点，若 AE 是∠BAF 的平分 线，试探究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并说明你的结论．
∠ACB＝∠D， 因为∠CAB＝∠E，所以△ABC≌△EAD(AAS)．
AB＝EA，
13．(2019·贵州安顺)(1)如图①，在四边形 ABCD 中，AB∥CD， 点 E 是 BC 的中点，若 AE 是∠BAD 的平分线，试判断 AB， AD，DC 之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长 AE 交 DC 的 延长线于点 F，易证△AEB≌△FEC，得到 AB＝ FC，从而把 AB，AD，DC 转化在一个三角形中即可判断． AB，AD，DC 之间的等量关系是____________；
全等三角形的判定-八年级数学上册同步精品课堂知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第二课时——全等三角形的判定知识点一：全等三角形的判定：判定方法内容数学语言 图形表示 注意点边边边（SSS ）三边分别相等的两个三角形全等。
可简写为“边边边”或“SSS ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF边角边（SAS ）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。
可简写为“边角边”或“SAS ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF AC D A DEAB ∴△ABC ≌△DEF用“边角边（SAS ）判定全等时，角一定是两边的夹角，否则不能判定全等。
在写条件的时候角必须写在中间。
角边角（ASA ）两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。
可简写为“角边角”或“ASA ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB DA ∴△ABC ≌△DEF用“角边角（ASA ）判定全等时，边是两角的夹边，在书写的过程中需把边写在中间特别提示：在写全等三角形的数学语言时，等号左边写“≌”左边三角形的条件，等号右边写“≌”右边三角形的条件。
并且条件的顺序必须和判定条件顺序一致。
方法总结：【类型一：补充证全等条件】1．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DBC．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D2．如图，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，则需要添加的条件是（）第2题第3题A．∠BAD＝∠ABC B．∠BAC＝∠ABD C．∠DAC＝∠CBD D．∠C＝∠D3．如图，BC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠CAB＝∠DAB D．∠C＝∠D＝90°4．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AD＝CF，要使△ABC≌△DEF，则下列条件可以添加的是（）第4题第5题第7题A．∠B＝∠E B．∠A＝∠EDF C．AC＝DF D．BC∥EF5．如图，已知AB＝AE，∠EAB＝∠DAC，添加一个条件后，仍无法判定△AED≌△ABC的是（）A．AD＝AC B．∠E＝∠B C．ED＝BC D．∠D＝∠C6．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和斜边对应相等7．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB 的是（）A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．BC＝BD8．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠CC．BD＝DB D．AB＝CD【类型二：证明三角形全等】9．请将以下推导过程补充完整．如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．求证：△DCF ≌△ECF 证明：∵AD ∥BE ∴∠A ＝∠B在△ACD 和△BEC 中()⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠BC AD B A ∴△ACD ≌△BEC （ ）∴CD ＝CE （ ） ∵CF 平分∠DCE ∴ 在△DCF 和△ECF 中()⎪⎩⎪⎨⎧==CE CD CF CF ∴△DCF ≌△ECF （SAS ）10．如图，点C 在BD 上，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE ，AB ＝CD ．求证：△ABC ≌△CDE ．11．如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．12．如图，点D在线段BC上，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE：求证：△ABC≌△ADE．13．天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图AD与BC相交于点O，且AB＝CD，AD＝BC．求证：△ABO≌△CDO．14．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE＝BC，AC＝BD．求证：△ABC≌△BED．15．如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．求证：△ABC≌△DEC．16．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．17．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．18．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE ＝BF．19．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【类型三：全等三角形的判定与性质】20．如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠F AC ＝40°，则∠BFE＝（）第20题第21题A．35°B．40°C．45°D．50°21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（）A．21B．24C．27D．3022．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（）第22题第23题A．3B．5C．6D．723．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．424．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．（1）求证：AB＝FE；（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△FDE；（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．26．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．【类型四：全等三角形的应用】27．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（）第27题第28题A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS28．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（）A．带①②去B．带②③去C．带③④去D．带②④去29．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．第29题第30题30．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB ＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（）A ．aB ．bC ．b ﹣aD ．21（b ﹣a ）一、选择题（10题）1．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）第1题 第2题 第3题A ．105°B ．120°C ．115°D ．135°2．如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，添加一个条件，可使用“HL ”判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等．以下给出的条件适合的是（ ）A ．∠ABC ＝∠ABDB ．∠BAC ＝∠BAD C ．AC ＝AD D ．AC ＝BC3．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．A ．①B ．②C ．③D ．①和②4．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC 的是（ ）A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，BC＝3D．∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝45．如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是（）A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS6．如图，已知∠EAC＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠D．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（）第7题第8题A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定8．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（）分钟后，△CAP与△PQB全等．A．2B．3C．4D．89．把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（）第9题第10题A．4cm B．6cm C．8cm D．求不出来10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直线AC，BD 交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（6题）11．如图，线段AB，CD相交于点O，AO＝BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件的是．12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．第12题第14题13．在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是．14．在直角三角形中，存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和。
2020年人教版数学八年级上册学案12.2《三角形全等的判定》(含答案)
12．2三角形全等的判定第1课时用“SSS”判定三角形全等学习目标：1．理解和掌握全等三角形判定方法1－“SSS”．2．体会尺规作图．3．掌握简单的证明格式．预习阅读教材，完成预习内容．知识探究三边分别相等的两个三角形________(可以简写成“边边边”或“________”)．自学反馈1．在△ABC、△DEF中，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则____________．2．已知AB=3，BC=4，CA=6，EF=3，FG=4，要使△ABC≌△EFG，则EG=________.3．如图，通常凳子腿活动后，木工师傅会在凳腿上斜钉一根木条，这是利用了三角形的________．点拨：两个三角形三角、三边六个元素中，满足一个或两个元素相等是无法判定全等的，我们这节课探讨的是三个元素相等中三边对应相等的情况．4．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是________．活动1小组讨论例1.如图，AB=AD，CB=CD，求证：△ABC≌△ADC.证明：在△ABC与△ADC中，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)．例2.如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.求证：△ACD≌△CBE.证明：∵C是AB的中点，∴AC=CB.在△ACD与△CBE中，∵AD=CE，CD=BE，AC=CB，∴△ACD≌△CBE(SSS)．点拨：注意运用SSS证三角形全等时的证明格式；在证明过程中善于挖掘“公共边”这个隐含条件．例3.如图，AB=AD，DC=BC，∠B与∠D相等吗？为什么？解：结论：∠B=∠D.理由：连接AC，在△ADC与△ABC中，∵AD=AB，AC=AC，DC=BC，∴△ADC≌△ABC(SSS)．∴∠B=∠D.点拨：要证∠B与∠D相等，可证这两个角所在的三角形全等，现有的条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明．课堂小结1．本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题．2．添加辅助线构造公共边，可以为证明两个三角形全等提供条件，证明两个三角形全等是证明线段相等或角相等的重要方法．第2课时用“SAS”判定三角形全等学习目标：1．理解和掌握全等三角形判定方法2——“SAS”．理解满足“SSA”的两个三角形不一定全等．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．预习阅读教材，完成预习内容．知识探究1．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形________(可以简写成“边角边”或“________”)．2．有两边和一个角对应相等的两个三角形________全等．点拨：如果给定两个三角形的类型(如两个钝角三角形)，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．自学反馈1．如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是( )A．∠A=∠D B．∠E=∠CC．∠A=∠C D．∠ABD=∠EBC2．如图，AO=BO ，CO=DO ，AD 与BC 交于E ，∠O=40°，∠B=25°，则∠BED 的度数是( )A ．60°B ．90°C ．75°D ．85° 3．已知：如图，AB 、CD 相交于O 点，AO=CO ，OD=OB. 求证：∠D=∠B.分析：要证∠D=∠B ，只要证△AOD ≌△COB. 证明：在△AOD 与△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝CO （已知），∠ ＝∠ （对顶角相等），OD ＝ （已知），∴△AOD ≌△________(SAS)． ∴∠D=∠B(__________)．4．已知：如图，AB=AC ，∠BAD=∠CAD.求证：∠B=∠C.点拨：1.利用SAS 证明全等时，要注意“角”只能是两组相等边的夹角；在书写证明过程时相等的角应写在中间；2．证明过程中注意隐含条件的挖掘，如“对顶角相等”、“公共角、公共边”等． 活动1 小组讨论例1.已知：如图，AB ∥CD ，AB=CD.求证：AD ∥BC.证明：∵AB ∥CD ， ∴∠2=∠1.在△CDB 与△ABD 中，∵CD=AB ，∠2=∠1，BD=DB ， ∴△CDB ≌△ABD.∴∠3=∠4. ∴AD ∥BC.点拨：可从问题出发，要证线段平行只需证角相等即可(∠3=∠4)，而证角相等可证角所在的三角形全等．例2.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠EBD=90°)，连接AE、CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论．解：结论：AE=CD，AE⊥CD.理由(提示)：延长AE交CD于点F，先证△ABE≌△CBD，得AE=CD，∠BAE=∠BCD.又∠AEB=∠CEF，可得∠CFE=90°，即AE⊥CD.点拨：1.注意挖掘等腰直角三角形中的隐藏条件；2．线段的关系分数量与位置两种关系．课堂小结1．利用对顶角、公共角、直角用SAS证明三角形全等．2．用“分析法”寻找命题结论也是一种推理论证的方法，即从结论出发逐步递推到题中条件，常以此作为分析寻求推理论证的途径．第3课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等学习目标：1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“ASA”，判定方法4——“AAS”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．预习：阅读教材，完成预习内容．知识探究1．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形________(可以简写成“角边角”或“________”)．2．两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形________(可以简写成“角角边”或“________”)．3．试总结全等三角形的判定方法，师生共同总结．点拨：三角形全等的条件至少需要三对相等的元素(其中至少需要一条边相等)．自学反馈1．能确定△ABC≌△DEF的条件是( )A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠EB．AB=DE，BC=EF，∠C=∠EC．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠DD．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是( )A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙3．AD 是△ABC 的角平分线，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，下列结论错误的是( ) A ．DE=DF B ．AE=AF C ．BD=CD D ．∠ADE=∠ADF4．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA=OB ，∠A=∠C.那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．解：△AOD ≌△COB.证明：在△AOD 和△COB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C （已知），OA ＝OB （已知），∠AOD ＝∠COB （对顶角相等），∴△AOD ≌△COB(ASA)．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？活动1 小组讨论例1 已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ=NQ.求证：HN=PM.证明：∵MQ ⊥PN ， ∴∠MQP=∠MQN=90°. ∵NR ⊥MP ，∴∠MRN=90°.∴∠RMH ＋∠RHM=∠QHN ＋∠QNH=90°. 又∵∠RHM=∠QHN ，∴∠PMQ=∠QNH. 在△PMQ 与△HNQ 中，∵∠MQP=∠NQH=90°，MQ=NQ ，∠PMQ=∠QNH ， ∴△PMQ ≌△HNQ. ∴HN=PM.例2 已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E=∠B ，DE=CB. 求证：AD=AC.证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD=∠BAE=90°.∴∠CAD＋∠BAD=∠BAE＋∠BAD.∴∠CAB=∠DAE.在△ABC与△AED中，∵∠CAB=∠DAE，∠B=∠E，CB=DE，∴△ABC≌△AED.∴AD=AC.课堂小结1．本节内容是已知两个角和一条边对应相等得全等，三个角对应相等不能确定全等．2．三角形全等的判定和全等三角形的性质常在一起进行综合应用，有时还得反复用两次或两次以上，从而达到解决问题的目的．第4课时用“HL”判定直角三角形全等学习目标：1．掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”)．2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等．预习：阅读教材，完成预习内容．知识探究1．判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是____________．2．直角三角形全等的判定方法有________(用简写)．自学反馈1．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D=∠A=90°，EB=FC，AB=DF.则△ABC≌________，全等的根据是________．2．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由．①一个锐角和这个角的对边对应相等；( )②一个锐角和这个角的邻边对应相等；( )③一个锐角和斜边对应相等；( )④两直角边对应相等；( )⑤一条直角边和斜边对应相等．( )3．下列说法正确的是( )A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等点拨：直角三角形除了一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．活动1小组讨论例1.已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC.求证：(1)AB=DC；(2)AD∥BC.证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD=∠CDB=90°.在Rt△ABD与Rt△CDB中，∵AD=CB，BD=DB，∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)．∴AB=DC.(2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB(已证)，∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC.例2.已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD=BC.证明：连接CD.∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°.在Rt△ADC与Rt△BCD中，∵AC=BD，DC=CD，∴Rt△ADC≌Rt△BCD.∴AD=BC.课堂小结1．“HL”判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法．2．证明两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，以及用HL，注意SSA和AAA条件不能判定两个三角形全等．课堂小练一、选择题1.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D2.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF3.在△ABC和△A/B/C/中,已知∠A=∠A/,AB=A/B/,在下面判断中错误的是( )A.若添加条件AC=A/C/,则△ABC≌△△A/B/C/B.若添加条件BC=B/C/,则△ABC≌△△A/B/C/C.若添加条件∠B=∠B/,则△ABC≌△△A/B/C/D.若添加条件∠C=∠C/,则△ABC≌△△A/B/C/4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对5.如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC6.如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是（）A．∠A=∠D B．∠B=∠E C．∠C=∠F D．以上三个均可以7.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC8.如图,已知△ABC的三个元素,则甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是（）A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙9.如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，则补充的这个条件是（）A．BC=B′C′B．∠A=∠A′C．AC=A′C′D．∠C=∠C′10.如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（）A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C二、填空题11.如图,∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是．（将你认为正确的结论的序号都填上）12.如图，已知AB∥CD，AE=CF，则下列条件：①AB=CD；②BE∥DF；③∠B=∠D；④BE=DF.其中不一定能使△ABE≌△CDF的是（填序号）13.在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E，在BC上，BE=BF，连结AE，EF和CF，此时，若∠CAE=30°，那么∠EFC= ．14.如图：在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）15.图示，点B在AE上，∠CBE=∠DBE，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件是（填上适当的一个条件即可）参考答案1.C2.C3.B4.C.5.C.6.B7.B8.B9.C10.B11.答案为：①②③．12.答案为：④.13.答案为：30°．14.答案为：BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF．15.答案为：BC=BD。
`122 三角形全等的判定(第3课时)(人教版八年级上)
D O B
E
C
∴BD=CE
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，
△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ A C B D
E
F
有两角和其中一个角所对的边对应相等的两个
三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）.
有几种填法?
B
1.如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD C ∠A=∠B（已知） AC=BD （已知） _______ ∠C=∠D（已知） ∴△AOC≌△BOD（ ASA ）
=∠C(即使两角和它们的夹边对应相等).
(3)把你画好的Δ A′B′C′放到刚才同桌的Δ ABC上重叠 （对应角对齐，对应边对齐）.你发现了什么？ (4)所画得三角形和同桌画的三角形都能相互（ 重合）.
三角形全等判定三
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）.
O D
A
B
如图，应填什么就有△AOC≌△BOD∠A源自∠B（已知）C O
）
CO=DO ________ （已知）
∠C=∠D （已知）
∴△AOC≌△BOD（ AAS
D
A
B
如图，应填什么就有△AOC≌△BOD ∠A=∠B（已知）
C O D
AO=BO （已知） _______
∠C=∠D （已知） ∴△AOC≌△BOD（ AAS ）
A
4 2
1
E
3
F
D
B
C
G
【解析】 （1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD.
2 1 在△ABE和△DAF中, AB DA 4 3
∴△ABE≌△DAF（ASA）.
2019秋八年级数学上册12.2 三角形全等的判定 第3课时“角边角”“角角边”导学案(无答案)新人教版
第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第3课时 “角边角”和“角角边”学习目标：1.了解1.探索三角形全等的“角边角”和“角角边”的条件2.应用“角边角”和“角角边”证明两个三角形全等，进而证线段或角相等. 重点：已知两角一边的三角形全等探究. 难点：理解，掌握三角形全等的条件：“ASA ”“AAS ”.一、知识链接1.能够 的两个三角形叫做全等三角形.2.判定两个三角形全等方法有哪些?边边边： 对应相等的两个三角形全等.边角边： 和它们的 对应相等的两个三角形全等. 二、新知预习1. 在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探 究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角一边又分成哪两 种呢？2.现实情境一张教学用的三角板硬纸不小心被撕坏了， 如图：你能制作一张与原来同样大小的新道具吗？ 能恢复原来三角形的原貌吗？ （1） 以①为模板，画一画，能还原吗？ （2） 以②为模板，画一画，能还原吗？ （3） 以③为模板，画一画，能还原吗？（4） 第③块中，三角形的边角六个元素中，固定不变的元素是_____________. 猜想：两角及夹边对应相等的两个三角形_______.三、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分ABCFED一、要点探究探究点1：三角形全等的判定定理3--“角边角”活动：先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？你能得出什么结论？要点归纳：相等的两个三角形全等(简称“角边角”或“ASA ”). 几何语言：如图，在△ABC 和△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF. 典例精析例1：如图，已知：∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝ ∠DBC ，求证：△ABC ≌△DCB ．例2：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C,求证：AD=AE.方法总结：证明线段或角度相等，可先证两个三角形全等，利用对应边或对应角相等来解决. 针对训练如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，求证：△ADF ≌△CBE .课堂探究教学备注 配套PPT 讲授1.情景引入 （见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-9）A B CA BCFED探究点2：三角形全等的判定定理3的推论--“角角边”做一做：已知一个三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边的边长为3cm ，你能画出这个三角形吗?追问：这里的条件与“角边角”中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为“角边角”中的条件吗？要点归纳： 相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS ”).几何语言：如图，在△ABC 和△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF.典例精析例3：在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝ ∠E ，BC=EF. 求证：△ABC ≌△DEF ．例4：如图，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .求证：(1)△BDA ≌△AEC ；(2)DE ＝BD ＋CE .方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 针对训练如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是( )教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片10-15）二、课堂小结全等三角形判定定理3简称图示符号语言有两角及夹边（或一角的对边）对应相等的两个三角形全等“角边角”（ASA）或“角角边”(AAS)∴△ABC≌△A1B1C1(ASA)．推论：“角角边”是利用三角形内角和定理转化成“角边角”来证明两个三角形全等.1.△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，则下列补充的条件中错误的是（）A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F2. 在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（）A．一定不全等 B．一定全等C．不一定全等 D．以上都不对3.如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.4.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件，才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可），并说明理由.5.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：AB=AD.拓展提升6.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的试说明AD＝A′D′ ，并用一句话说出你的发现.当堂检测教学备注配套PPT讲授4.课堂小结5.当堂检测（见幻灯片16-22）⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,1111BBBAABAA。
12-2第3课时利用“角边角”“角角边”判定三角形全等-2021年初中八年级《数学》(福建专版)-配
轻松尝试应用
快乐预习感知
1
2
互动课堂理解
3
轻松尝试应用
4
1.如图,已知△ABC的六个元素,则在甲、乙、丙三个三角形中,和
△ABC全等的图形是(
)
关闭
甲图中只有两个已知元素,不能确定与△ABC是否全等;乙图与△ABC满
A.甲、乙
B.乙、丙
C.只有乙
D.只有丙
足“SAS”的条件,所以两个图形全等;丙图与△ABC满足“AAS”的条件,所
∴△AED≌△BFC.
∴DE=CF.
答案
以两个图形也全等.
B
关闭
解析
答案
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2.在下列叙述中,两个三角形一定全等的是(
).
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.各有一个角是45°,腰长都是3 cm的两个等腰三角形
D.腰和底角对应相等的两个等腰三角形
关闭
D
答案
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1
2
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
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4
4.如图,点A,C,D,B四点共线,且AC=BD,∠E=∠F,∠ADE=∠BCF,求
证:DE=CF.
关闭
证明 ∵AC=BD,
∴AC+CD=BD+CD,
∴AD=BC.
在△AED 与△BFC 中,
∠ = ∠,
∠ = ∠,
= ,
互动课堂理解
3
轻松尝试应用
4
3.如图,要判定△ACF≌△BDE,根据给定的条件和指明的依据,将应
12.2三角形全等的判定第3课时 角边角与角角边
三个三角形中和△ABC全等的是( B )
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
8 ． (9 分 ) 如 图 ， 已 知 ∠ ABC ＝ ∠ DEF ， AB ＝ D △ABC≌△DEF，
(1)若以“SAS”为依据，还需添加的条件为 _______ BC ＝EF或
∠A＝ (2)若以“ASA”为依据，还需添加的条件为_______
第十二章
全等三角形
12．2 三角形全等的判定
第3课时 角边角与角角边
1 ． 两角 _____ 和它们的 ______ 夹边 分别相等的两个三角形全
“________” ASA ． 角边角 或“_______”
2．两角和其中一角的_____ 对边 分别相等的两个三角形 角角边 或“_____” “_______” AAS ．
∴∠CBE＝∠ACD，又∵AFra bibliotek＝BC，∴△BEC≌△CD
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。 3、影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野和成就，甚至一生。 4、无论你觉得自己多么了不起，也永远有人比更强;无论你觉得自己多么不幸，永远有人比你更不幸。 5、也许有些路好走是条捷径，也许有些路可以让你风光无限，也许有些路安稳又有后路，可是那些路的主角，都不是我。至少我会觉得，那些路不是自己想要的。 6、在别人肆意说你的时候，问问自己，到底怕不怕，输不输的起。不必害怕，不要后退，不须犹豫，难过的时候就一个人去看看这世界。多问问自己，你是不是已经为了梦想而竭尽全力了? 7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。 9、成功的道路上，肯定会有失败;对于失败，我们要正确地看待和对待，不怕失败者，则必成功;怕失败者，则一无是处，会更失败。 10、一句简单的问候，是不简单的牵挂;一声平常的祝福，是不平常的感动;条消息送去的是无声的支持与鼓励，愿你永远坚强应对未来，胜利属于你! 11、行为胜于言论，对人微笑就是向人表明：我喜欢你，你使我快乐，我喜欢见到你。最值得欣赏的风景，就是自己奋斗的足迹。 12、人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，只要一个人的心中还怀着一粒信念的种子，那么总有一天，他就能走出困境，让生命重新开花结果。 13、当机会呈现在眼前时，若能牢牢掌握，十之八九都可以获得成功，而能克服偶发事件，并且替自己寻找机会的人，更可以百分之百的获得成功。 14、相信自己，坚信自己的目标，去承受常人承受不了的磨难与挫折，不断去努力去奋斗，成功最终就会是你的! 15、相信你做得到，你一定会做到。不断告诉自己某一件事，即使不是真的，最后也会让自己相信。 16、当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。领悟会使你永远立于不败之地。 17、出发，永远是最有意义的事，去做就是了。当一个人真正觉悟的一刻，就是他放弃追寻外在世界的财富，开始追寻他内心世界的真正财富。 18、幻想一步成功者突遭失败，会觉得浪费了时间，付出了精力，却认为没有任何收获;在失败面前，懦弱者痛苦迷茫，彷徨畏缩;而强者却坚持不懈，紧追不舍。 19、进步和成长的过程总是有许多的困难与坎坷的。有时我们是由于志向不明，没有明确的目的而碌碌无为。但是还有另外一种情况，是由于我们自己的退缩，与自己“亲密”的妥协没有坚持到底的意志，才使得机会逝去，颗粒无收。 20、任何人都不可以随随便便的成功，它来自完全的自我约束和坚韧不拔的毅力。永远别放弃自己，哪怕所有人都放弃了你。
人教版八年级数学上册第12章：“角边角”、“角角边”
D
∴ △ABC≌△ADC（AAS),
∴AB=AD.
C
随堂即练
【学以致用】如图,小明不慎将一块三角形模具打 碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店 去,就能配一块与原来一样的三角形模具? 如果 可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?
答：带1去,因为有两角且 夹边相等的两个三角形全 等.
1 23
因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中,
∠ADB=∠A'D'B',∠ABD=∠A'B'D',AB=AB,
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
发现：全等三角形对应边上的高也相等.
内容
课堂总结
边角边 角 角 边 应用
为证明线段和角相等 提供了新的证法
A
▼几何语言：
在△ABC和△A′ B′ C′中, ∠A=∠A′ ,
B
C
A′
AB=A′ B′ ,
∠B=∠B′ ,
B′
C′
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
新课讲解
例1 已知：∠ABC＝∠DCB,∠ACB＝ ∠DBC, 求证：△ABC≌△DCB．
证明：在△ABC和△DCB中,
A
D
∠ABC＝∠DCB,
能力提升
【拓展】已知：如图,△ABC ≌△A′B′C′ ,AD、A′ D′
分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ,并
用一句话说出你的发现.