平面向量与三角形的四心

平面向量与三角形的四心一、三角形的心（在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ）1.三角形的外心（Circumcenter ）：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，它是这个三角形外接圆的圆心，即外心.①外心到三顶点的距离相等，即|OA →|＝|OB →|＝|OB →|； ②外接圆半径R ＝a 2sin A ＝b 2sin B ＝c 2sin C ＝abc4S △ABC，直角三角形的外接圆半径R ＝c2（c 为斜边长）；③AO →·BC →＝12(b 2－c 2).2.三角形的内心（Incenter ）：三角形三条内角平分线交于一点，这一点到这个三角形的三边的距离相等，是这个三角形的内切圆的圆心，即内心.①内切圆半径r ＝2S △ABC a ＋b ＋c＝S △ABCp ＝(p －a )(p －b )(p －c )p ，Rr ＝abc2(a ＋b ＋c )，（其中R 为△ABC 外接圆半径，p ＝a ＋b ＋c2），直角三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c 2＝aba ＋b ＋c（其中c 为斜边长，a 、b 为直角边长）；② a IA →＋b IB →＋c IC →＝0→； ③ID IA ＝a b ＋c ，IE IB ＝b c ＋a ，IF IC ＝c a ＋b. 3.三角形的重心：三角形三条中线相交于一点，它是这个三角形的重心．①GD GA ＝GE GB ＝GF GC ＝12，AD ＝122b 2＋2c 2－a 2，BE ＝122c 2＋2a 2－b 2，CF ＝122a 2＋2b 2－c 2； ② S △GBC ＝S △GCA ＝S △GAB ，重心G 到三条边的距离与三条边的长成反比；③重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)；④GA →+GB →+GC →＝0→； ⑤AG →·BC →＝13(b 2－c 2).4.三角形的垂心（Orthocenter ）：三角形三条高或其所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．BDBC二、三角形的心与向量的关系 1、三角形四心与各个顶点的关系⑴|OA →|＝|OB →|＝|OB →|； ⑵a IA →＋b IB →＋c IC →＝0→⑶GA →+GB →+GC →＝0→； ⑷HA →·HB →＝HB →·HC →＝HC →·HA → 2、轨迹经过三角形的外心、内心、重心、垂心 若O 是平面ABC 内的一定点，那么⑴若OP →＝OA →＋λ (AB →+AC →) (λ∈R )，则点P 的轨迹经过△ABC 的重心； ⑵若OP →＝OA →＋λ (AB →—|AB →|＋AC →—|AC →|) (λ∈R )，则点P 的轨迹经过△ABC 的内心；⑶若OP →＝OA →＋λ (AB →—|AB →|cos B ＋AC →—|AC →|cos C ) (λ∈R )，则点P 的轨迹经过△ABC 的垂心； ⑷若OP →＝OB →＋OC →2＋λ (AB →—|AB →|cos B ＋AC →—|AC →|cos C ) (λ∈R )，则点P 的轨迹经过△ABC 的外心；⑸若AP →·AB →—|AB →|＝AP →·AC →—|AC →|，则点P 的轨迹经过△ABC 的内心. 4、当O 是△ABC 的各心时有下列结论：⑴若O 是重心，则OA →＋OB →＋OC →＝0→，反之亦然； ⑵若O 是内心，则a OA →＋b OB →＋c OC →＝0→，反之亦然；⑶若O 是外心，则sin2A OA →＋sin2B OB →＋sin2C OC →＝0→，反之亦然； ⑷若O 是垂心，则tan A OA →＋tan B OB →＋tan C OC →＝0→，反之亦然； 三、三角形的重要线段及面积 1、若AD 是△ABC 的中线，则⑴AD →＝12(AB →＋AC →)；拓展，若点D 在BC 边上，BD ：DC ＝m ；n ，则AD →＝n m ＋n AB →＋m m ＋n AC →⑵AB 2＋AC 2＝2(BD 2＋AD 2)，或AD ＝122b 2＋2c 2－a 2；2、若AD 为∠A 的平分线，则⑴BD DC ＝AB AC ；⑵AD →＝ (→AB —|AB →|＋→AC—|AC →|). 3、若AD 是BC 边上的高，则AD →·BC →＝04、三角形面积S △＝12ab sin C ＝p (p －a )(p －b )(p －c )＝2R 2sin A sin B sin C ＝abc4R【练习题】1.（09海南宁夏）已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0→，且P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的（ C ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）2.（2010湖北）已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0→．若存在实数m 使得AB →＋AC →＝m AM →成立，则m ＝ ······························································································· （ B ）A ．2B ．3C ．4D ．53.（2010全国Ⅱ）△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB ．若CB →＝a →，CA →＝b →，|a →|＝1，|b →|＝2，则CD →＝ ···························································································· （ A ）A. 13a →＋23b → B. 23a →＋13b → C. 35a →＋45b → D. 45a →＋35b → 4.（2005年全国I 文科）点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的 ············································································· （ D ） A. 三个内角的角平分线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条高的交点5.（2012年大纲）△ABC 中，AB 边上的高为CD ，若CB →＝a →，CA →＝b →，a →·b →＝0，|a→|＝1，|b →|＝2，则AD →＝ ··························································································· （ D ）A ．13a →－13b →B ． 23a →－23b →C ．35a →－35b →D ．45a →－45b →6.（2005年全国I 理科）△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ， OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m = ；【1】7. （2014全国1高考理15）已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为 ．【90 】8.给定直线l ：y ＝2x －16，抛物线C ：y 2＝ax （a ＞0）. ⑴当抛物线C 的焦点在直线l 上时，求抛物线的方程；⑵若△ABC 的三个顶点在⑴确定的抛物线上，且点A 的纵坐标y A ＝8，△ABC 的重心恰好时抛物线的焦点，求直线BC 的方程.【简答】⑴y 2＝32x ；⑵4x ＋y －40＝09.（北京2002年理科数学第21题）已知O (0，0)，B (1，0)，C (b ，c )是△OBC 的三个顶点.⑴写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线； ⑵当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹.。