三角形“四心” 与向量的完美结合(精.选)
三角形的重心、内心、外心、垂心与向量联系的高考题之构造过程
三角形的重心、内心、外心、垂心与向量联系的高考题之构造过程三角形的“四心”（重心、内心、外心、垂心）与向量相结合是近年来高考命题的热点，让我们站在命题人的角度谈谈这类试题的构造过程.一、 构造的基础之一：共线向量：若动点P 满足AP AB λ=u u u v u u u v ，则P 在直线AB 上，或者说P 点的轨迹是直线.AB因为，对任意一点O ，AP AB λ=u u u v u u u v 即()OP OA OB OA λ-=-u u u v u u v u u u v u u v ，所以(1)OP OA OB λλ=-+u u u v u u v u u u v ，又常记为OP xOA yOB =+u u u v u u v u u u v （其中1x y +=），这个结论在下面的证明中我们将直接使用.二、 构造的基础之二：三个向量AD uuu v 、AE uu u v 、AF uu u v 如何用AB uu u v 、AC u u u v 或BC uu u v 及其夹角或长度来表示，其中AD 、AE 、AF 分别是三角形ABC 的中线、角平分线、高.（1）1()2AD AB AC =+uuu v uu u v uuu v ； 证明：111()()222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v . （注：也可以构造平行四边形，利用向量加法的平行四边形法则来证明）（2）||||||||||||AC AB AE AB AC AB AC AB AC =+++uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ；证明：由EAB EAC ∠=∠，即cos cos EAB EAC ∠=∠， 由夹角公式得||||AB AE AC AE AB AC ⋅⋅=uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ，① 由A E C 、、三点共线，(1)AE xAB x AC =+-u u u v u u u v u u u v ②，联立①、②可以求得||||,1,||||||||AC AB x x AB AC AB AC =-=++uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v 于是||||||||||||AC AB AE AB AC AB AC AB AC =+++uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v . （注：也可以构造平行四边形，利用向量加法的平行四边形法则及平行线分线段成比例来证明）（3）||cos ||cos ||||AC C AB B AF AB AC BC BC =+uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v .证明：由AF BC ⊥uu u v uu u v 得0AF BC ⋅=uu u v uu u v①由A F C 、、三点共线，设(1)AF xAB x AC =+-u u u v u u u v u u u v ②，联立①、②可以求得||cos ,||cos ||cos AC C x AB AB B AC C=+uu u v uu u v uu u v uu u v ||cos 1||cos ||cos AB B x AB B AC C-=+uu u v uu u v uu u v . 注意到||cos ||cos ||AB B AC C BC +=u u u v u u u v u u u v （这个结论可以用余弦定理证明，又称射影定理）. 所以||cos ||cos ,1.||||AC C AB B x AB x BC BC =-=uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v 于是||cos ||cos ||||AC C AB B AF AB AC BC BC =+uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v . 三、构造过程：（一）、重心：因为中线AD 对应向量1()2AD AB AC =+uuu v uu u v uuu v ，取与1()2AD AB AC =+uuu v uu u v uuu v 共线的非零向量AB AC +uu u v uu u v ，取过A 的任意向量AP uu u v ，使AP uu u v 与AB AC +uu u v uu u v 共线，即满足()AP AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v ，于是P 点的轨迹就是中线AD 所在的直线，根据三条中线的交点是三角形的重心，可以知道P 点的轨迹经过三角形的重心.于是有下面的题目：1、若动点P 满足()AP AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v ，R λ∈，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）.（答案：A ）A. 重心B. 内心C. 垂心D. 外心欲使题目复杂化，可以利用减法法则把AP uu u v 改写为OP OA -uu u v uu v，于是题目进一步变为 2、若动点P 满足对于平面内任意点O ，存在R λ∈，使()OP OA AB AC λ=++u u u v u u v u u u v u u u v ，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）.（答案：A ）A. 重心B. 内心C. 垂心D. 外心（二）、内心：因为角平分线AE 对应向量||||||||||||AC AB AE AB AC AB AC AB AC =+++uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ，取与||||||||||||A C AB A E A B AC A B A C A B A C =+++uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v 共线的非零向量||||AC AB AB AC ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v （或者||||AB AC AB AC +uu u v uu u v uu u v uu u v ），取过A 的任意向量AP uu u v ，使AP uu u v 与||||AC AB AB AC ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v （或者||||AB AC AB AC +uu u v uu u v uu u v uu u v ）共线，即满足(||||)AP AC AB AB AC λ=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，或()||||AB AC AP AB AC λ=+uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ，于是P 点的轨迹就是角平分线AE 所在的直线，根据三条角平分线的交点是三角形的内心，可以知道P 点的轨迹经过三角形的内心.于是有下面的题目：1、若动点P 满足(||||)AP AC AB AB AC λ=⋅+⋅uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v ，R λ∈，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）.（答案：B ）A. 重心B. 内心C. 垂心D. 外心2、若动点P 满足()||||AB AC AP AB AC λ=+uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ，R λ∈，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）.（答案：B ）A. 重心B. 内心C. 垂心D. 外心欲使题目复杂化，可以利用减法法则把AP uu u v 改写为OP OA -uu u v uu v ，于是题目进一步变为3、若动点P 满足对于平面内任意点O ，存在R λ∈，使(||||)O P O A A C A B A B A C λ=+⋅+⋅u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v ，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）.（答案：B ）A. 重心B. 内心C. 垂心D. 外心4、若动点P 满足对于平面内任意点O ，存在R λ∈，使()||||AB AC OP OA AB AC λ=++uu u v uu u v uu u v uu v uu u v uu u v ，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）.（答案：B ）A. 重心B. 内心C. 垂心D. 外心（三）、垂心：因为高AF 对应向量||cos ||cos ||||AC C AB B AF AB AC BC BC =+uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ， 取与||cos ||cos ||||AC C AB B AF AB AC BC BC =+uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v 共线的非零向量||cos ||cos AC C AB AB B AC ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ，为了使式子比较“对称”，可以另取为||cos ||cos AB AC AB B AC C+uu u v uuu v uu u v uuu v ，取过A 的任意向量AP uu u v ，使AP uu u v 与||cos ||cos AB AC AB B AC C +uu u v uu u v uu u v uu u v 共线，即满足()||cos ||cos AB AC AP AB B AC Cλ=+uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ，于是P 点的轨迹就是高AD 所在的直线，根据三条高所在直线的交点是三角形的垂心，可以知道P 点的轨迹经过三角形的垂心.于是有下面的题目：1、若动点P 满足()||cos ||cos AB AC AP AB B AC Cλ=+uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ，R λ∈，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）.（答案：C ）A. 重心B. 内心C. 垂心D. 外心欲使题目复杂化，可以利用减法法则把AP uu u v 改写为OP OA -uu u v uu v，于是题目进一步变为2、若动点P 满足对于平面内任意点O ，存在R λ∈，使()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC Cλ=++uu u v uu u v uu u v uu v uu u v uu u v ，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）.（答案：C ） A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心（四）、外心：下面的“外心”题目的演变留给读者自己思考：若动点P 满足对于平面内任意点O ，存在R λ∈，使()2||cos ||cos OA OB AB AC OP AB B AC Cλ+=++uu v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）.（答案：D ）A. 重心B. 内心C. 垂心D. 外心四、构造过程的深入探究：（一）、重心：P 点是ABC ∆重心0AP BP CP ⇔++=u u u v u u v u u v我们知道，这一结论可以用几何法来证明（限于篇幅，本文从略），有趣的是，P 点是ABC ∆重心0AP BP CP ⇒++=uu u v uu v uu v ，这个结论可以由()AP AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v ，()BP BA BC μ=+u u v u u v u u u v ，()CP CA CB δ=+u u v u u v u u v 这三个等式同时成立推导出来，而且可以求出符合条件的λμδ、、.探究过程如下：显然，λμδ、、均不为0，于是1AP AB AC λ=+uu u v uu u v uuu v ，1BP BA BC μ=+uu v uu v uu u v ，1CP CA CB δ=+uu v uu v uu v ，三式相加有1110AP BP CP λμδ++=uu u v uu v uu v ，注意我们这里是寻找λμδ、、，因此，假设存在λμδ、、两两相等，于是0AP BP CP ++=uu u v uu v uu v ，此式可以化0AP AP AB AP AC +-+-=uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v，即为3AP AB AC =+uu u v uu u v uu u v ，又因为1A P A B A C λ=+uu u v uu u v uuu v ，所以13λ=，即存在13λμδ===，使得()AP AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v ，()BP BA BC μ=+u u v u u v u u u v ，()CP CA CB δ=+u u v u u v u u v 这三个等式同时成立.这个推导的结果完全与几何意义一致.（二）、垂心：P 点是ABC ∆垂心PA PB PB PC PC PA ⇔⋅=⋅=⋅uu v uu v uu v uu u v uu u v uu v，这个结论的证明很简单，读者可以自己完成.对于内心和外心的一些结论，有兴趣的读者可以自己探究.通过上面的分析，我们看到共线向量定量是构造三角形的“四心”题的基础，共线向量也是平面向量基本定理的基础，这两个定理结合数量积的运算性质，可以解决很多平面几何问题.通过上面的分析，我们看到共线向量定量是构造这类题目的基础，共线向量也是平面向量基本定理的基础，这两个定理结合数量积的运算性质，可以解决很多平面几何问题.。
向量与三角形四心的关系
向量与三角形四心的关系三角形中的“四心”的向量表示向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。
作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。
使用向量的第一步，是要在图中指定基向量（基底），这组基底一般是线性无关的。
一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中，以此为依据而进行计算。
在确定点的位置时，经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决;在处理垂直关系，长度关系及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决。
一、线共点问题。
解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。
=例1、用向量法求证：△ABC 的三条高共点.分析：得BC 与AC 边上的高AD 与BE 交于H ，连接CH ，只要证明CH ⊥AB 即可。
因此，关键是选好基向量. 设l =，m =，n =，则 由⊥，⊥得 ()()()⎩⎨⎧=-⋅=-⋅⋅=⋅=-⋅000l m n l n m n l n l 即由此得 ∴CH ⊥AB ，同理，BC AH ⊥得证。
类似方法，还可以证明：（1）三角形的三条内角平分线交于一点。
(2)三角形的三条中线交与一点。
二、三角形的四心——重心、垂心、外心、内心的向量表示例2、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若-=+，则点O 是△ABC 的重心。
分析：利用-=+及加法的平行四边形法则可证。
拓展：若()AC AB OA OP ++=λ，λ∈(0，+∞)，则点P 的的轨迹一定是△ABC 的_______心。
(重心)例3、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若·=·=·，则点O 是△ABC 的垂心。
分析：·=·得·==0，∴OB ⊥AC 同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB 可证。
拓展1：已知O 是△ABC 平面上一定点，若=+λ⎫⎛+C AC B AB cos cos ，λ∈（0，+∞），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的_______心。
三角形“四心”优美的向量统一形式
三角形“四心”优美的向量统一形式三角形“四心”的向量的统一形式：x是△abc的心λxa+μxb+υxc=0其中，重心的充要条件最简单，也容易证明。
而内心、外心、重心的证明则比较困难，受此启发，笔者联想到既然有统一的结构，是否可以借用重心的充要条件证明其它“三心”的情况呢？因为要借用重心的向量形式来证明，所以还要给出重心的另一性质：g为△abc的重心的充要条件是s=△gab=s△gbc=s△gca= s△abc.（图1）一、重心（中线交点）1.g是△abc的重心ga+gb+gc=0证明：设g是△abc的重心，如图2，延长ag交bc于点d.因为g为△abc的重心，所以d为bc的中点，有gd= （gb+gc）且ga=-2gd 因此ga+gb+gd+gc=0，反之亦成立.2.设p是△abc所在平面内任意一点，则pg= （pa+pb+pc）g为△abc的重心证明：g是△abc的重心ga+gb+gc=0 gp+ap+gp+pb+gp+pc=03pg=pa+pb+pc pg= （pa+pb+pc）二、内心（内角平分线交点，内切圆圆心）1.i是△abc的内心aia+bib+cic=0（其中a，b，c分别为△abc 的三个内角a，b，c所对的边长）.证明：设i是△abc的内心，如图3，作向量ia’=aia，ib=bib，ic’=cic连结，得到△a’b’c’.因为i为△abc内心，所以内心i到△abc各边的距离为△abc的内切圆的半径，设为r.s△ib’c’= |ib’|·|ic’|sin∠bic= b|ib|·c|ic|·sin∠bic=b·cs△ibc=bc· ar= abcr同理可得s△ibc= abcr，s△ic’a’= abcr所以s△ia’b’=s△ib’c’=s△ic’a’= abcr，i为的重心，有ia+ib+ic=0即ala+bib+cic=0成立，反之亦成立.2.i是△abc的内心（sina）la+（ainb）ib+（sinc）ic=0证明：根据i是△abc的内心aia+bib+cic=0，由正弦定理得i是△abc的内心（sina）ia+（subb）ib+（sinc）ic=03.设p是△abc所在平面内任意一点，i为△abc内心pi=证明：i是△abc的内心aia+bib+cic=0aip+aip+bip+bpb+cip+cpc=0 pi=三、外心（三边垂直平分线交点，外接圆圆心）1.p是△abc外心（sin2a）pa+（sin2b）pb+（sin2c）pc=0证明：设p是△abc的外心，如图4，作向量pa=（sin2a）pa，pb=（sin2b）pb，pc（sin2c）pc连结a′，b′，c′，得△a′b′c′.因为p为△abc外心，所以外心p到△abc各顶点的距离为△abc 的外切圆的半径，设为r，且∠bpc=2a.s△pb’c’= |pb’|·|pc’|sin∠b’p’c’= sin2b|pb|sin2c·|pc|sin∠bpc=sin2bsin2c r2sin2a= r2sin2asin2bsin2c同理可得s△pa’b’= r2sin2asin2b·sin2c，s△p’c’a’= r2sin2asin2bsin2c△所以s△pa’b’=s△pa’b’=s△pa’b’ s△pa’b’，得p为△a′b′c′的重心，有pa’+pb’+pc’=0即（sin2a）pa+（sin2b）pb+（sin2c）pc=0成立，反之亦成立.2.p是△abc的外心（acosa）·pa+（bcosb）·pb+（ccosc）pc=0 证明：根据p是△abc的外心（sin2a）·pa+（sin2b）·pb+（ccosc）pc=0由正弦定理得p是△abc的外心（acosa）·pa+（bcosb）·pb+（ccosc）pc=03.设p是△abc 所在平面内任意一点，o为△abc的外心po=证明：o为△abc的外心（sin2a）oa+（sin2b）+（sin2c）oc=0 （sin2a）op+（sin2a）pa+（sin2b）op+（sin2b）pb+（sin2b）op+（sin2c）pc=0po=四、垂心（高线交点）1.h是△abc的垂心ha·hb=hb·hc=hc·ha证明：由ha·hb=hb·hc hb（hc-ha）=0 hb·ac=0 hb⊥ac同理hc⊥ab故h是△abc的垂心，反之亦然.2.h是△abc的垂心证明：由ha2+bc2=hb+ac2ha2-hb2+bc2+bc2-ac2=0（ha+hb+bc+ac）·ba=02hc·ba=0 hc⊥ab同理ha⊥bc，故h是△abc的垂心，反之亦然.3.h是△abc（非直角三角形）的垂心（tana）ha+（tanb）hb+（tanc）hc=0证明：设h是△abc的垂心，如图5，作向量连结a′，b′，c′，得到△a′b′c′.s△hcb= |hb’|·|hc‘|sin∠b’hc’= （tanb）|hb|·（tanc）|hc|·sin∠bhc=tanbtanc·s△hbc=tanc· |bc|·|hd|因为h为△abc垂心，所以∠bhd=∠acb，∠chd=∠abc.所以有|bd|=|hd|tan∠bhd=|hd|tanc|bd|=|hd|tan∠bhd=|hd|tanc|cd=|hd|tan∠chd=|hd|tanb.又因为|ad|=|bd|tanb.|ad|=|cd|tanc，所以|ad|2=|bd|·|cd|tanbtanc=|hd|2 （tanbtanc）2即|ad|=|hd|tanbtanc所以s△hbc= |bc|·|ad|=s△hbc同理可得s△hbc=s△abc；s△hb’c’=s△abc所以s△ha’b’=s△hb’c’=s△hc’a’= s△a’b’c’h为△a′b′c′的重心，从而ha’+hb’+hc’=0，即（tana）ha’+（tanb）hb+（tanc）hc=0成立，反之亦成立.4.h是△abc（非直角三角形）的垂心·ha+ ·hb+ ·hc=0·ha+ ·hb+ ·hc=0.证明：由 =tana， =tanb， =tanc及正弦定理得h是△abc的垂心（tana）ha+（tanb）hb+（tanc）=0 ·ha+ ·hb+ ·hc=0 ·ha+ ·hb·hc=0（tana）hp+（tana）pa+（tanb）hp+（tanb）pb+（tanc）hp+（tanc）pc=0再由余弦定理得h是△abc的垂心·ha ·hb ·hc=05.设p是△abc（非直角三角形）所在平面内任意一点，h是△abc 的垂心pa=证明：h是△abc的垂心（tana）ha+（tanb）hb+（tanc）hc=0（tana）hp+（tana）pa+（tanb）hp=（tanc）hp+（tanc）pc=0 ph=向量是高中教材的重要内容之一，它具有代数和几何的“双重身份”，所以它的引入给传统的中学数学带来了无限生机和活力，使我们对量的数学表达的认识进入了一个崭新的领域。
三角形四心与向量的关系
三角形四心与向量的关系三角形是几何学中的基本图形之一，它有许多重要的性质和特点。
在三角形中，有四个特殊的点，它们被称为三角形的四心，分别是重心、外心、垂心和内心。
本文将探讨这四个特殊点与向量之间的关系。
我们来介绍一下三角形的四心。
重心是三角形三条中线交于一点的点，它被定义为三角形三个顶点的坐标的平均值。
外心是三角形外接圆的圆心，它被定义为三角形三个顶点和三个外接圆弧的交点之一。
垂心是三角形三个高线交于一点的点，它被定义为三角形三个顶点和三个高线的交点之一。
内心是三角形的内切圆的圆心，它被定义为三角形三条边的垂直平分线的交点之一。
接下来，我们来研究这些四心与向量之间的关系。
首先，我们来看重心。
重心可以表示为三个顶点向量的平均值。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c，则重心G可以表示为G=(a+b+c)/3。
这个公式说明了重心与向量之间的关系，即重心是三个顶点向量的平均值。
然后，我们来看外心。
外心可以表示为三个顶点向量的线性组合。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c，则外心O可以表示为O=(a+b+c)/2。
这个公式说明了外心与向量之间的关系，即外心是三个顶点向量的线性组合。
接下来，我们来看垂心。
垂心可以表示为三个顶点向量的和的负数。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c，则垂心H可以表示为H=-(a+b+c)。
这个公式说明了垂心与向量之间的关系，即垂心是三个顶点向量的和的负数。
我们来看内心。
内心可以表示为三条边的单位法向量的线性组合。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的边向量为AB、BC、CA，单位法向量为n1、n2、n3，则内心I可以表示为I=(n1+n2+n3)/(|n1|+|n2|+|n3|)。
这个公式说明了内心与向量之间的关系，即内心是三条边的单位法向量的线性组合。
我们可以得出结论：三角形的四心与向量之间有着紧密的关系。
三角形“四心”优美的向量统一形式
三角形“四心”优美的向量统一形式三角形是几何学中的重要概念，其形状可以通过边长和角度来描述。
而在研究三角形的过程中，人们发现了一些特殊点，被称为“四心”。
这四个心分别是外心、内心、垂心和重心。
本文将从向量的角度探讨这四个心，并给出它们的统一形式。
1. 外心外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，使得三个顶点都在同一条圆周上的点。
可以用向量表示外心。
设三角形的顶点分别为A、B、C，对应的向量分别为A→、A→、A→。
向量的加法满足三角形的形状，即A→+A→+A→=A→。
则外心A→可以表示为：A→=(A→+A→+A→)/32. 内心内心是指三角形内切圆的圆心，即与三条边都相切的圆的圆心。
同样可以用向量表示内心。
设三角形的边向量分别为A→、A→、A→，则内心I→可以表示为：A→=(A→AA+A→AA+A→AA)/(A→A+A→A+A→A)其中，A→A、A→A、A→A分别为边向量A→、A→、A→的单位向量。
3. 垂心垂心是指三角形的三条高线交于一点的点。
同样可以用向量表示垂心。
设三角形的顶点分别为A、B、C，对应的向量分别为A→、A→、A→。
则垂心H→可以表示为：A→=A→+A→+A→4. 重心重心是指三角形的三条中线交于一点的点。
同样可以用向量表示重心。
设三角形的顶点分别为A、B、C，对应的向量分别为A→、A→、A→。
则重心G→可以表示为：A→=(A→+A→+A→)/3综上所述，四个心的向量统一形式可以表示为：A→=(A→+A→+A→)/3A→=(A→AA+A→AA+A→AA)/(A→A+A→A+A→A)A→=A→+A→+A→A→=(A→+A→+A→)/3这样的向量统一形式在研究三角形时具有很大的应用价值。
通过向量的使用，我们可以更加方便地计算并理解三角形“四心”的几何性质。
这种统一形式为解决三角形相关问题提供了一种新的思路和方法。
结论本文从向量的角度，对三角形的“四心”进行了探讨，并给出了它们的统一向量表示形式。
向量与三角形的四心问题
Go the distance
一定通过 ABC 的（
）
到顶点的距离与到对边中点的距离之比是 2 :1 ；
A. 外心
【变式 2】
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
（2）重心坐标公式： (
x1 x2 x3 y1 y2 y3 , )； 3 3
（1） （2009 海南） 已知 O, N , P 在 ABC 所在平面内， 且 | OA || OB || OC | ，
(OC OA) CA ，则 O 是 ABC 的（
A. 外心
（3） M 是
）
OP ( AB AC ), [ 0, ，则 ) P 点的轨迹一定通过 ABC 的（
D. 垂心 A. 外心
【变式 3】
）
B. 内心
C. 重心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
ABC 所 在 平 面 上 一 点 ， N 是 BC 的 中 点 ， 若
【变式 4】
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
（ 4 ） O 是 平 面 上 一 定 点 ， A, B, C 是 平 面 上 不 共 线 三 点 ， 动 点 P 满 足
（1） （2005 全国）点 O 是 ABC 所在平面内一点，满足 OA OB OB OC
（3） ABC 的重心 G 的向量表示： GA GB GC 0 ． 【例题 3】
NA NB NC 0 ，PA PB PB PC PC PA ，则 O, N , P 依次是 ABC
的（ ）
（1） （2010 湖北）已知 ABC 和点 M 满足 MA MB MC 0 ．若存在实数
三角形“四心”问题与向量的关系
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的 中 线 仙 上 的 任意 向 量 其所 在直线 必 过重 心
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例
１
已知
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９
是 △ 从Ｃ 所 在 平 面 内 的
０
一
点 若
ｎｎ
外 心 是 三 角 形 三 条 边 的 中 垂 线 的 交 点 也 是 三 Ｄ
，
图
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角 形 外接 圆 的 圆 心 它 到 三 角 形 三个 顶 点 的 距 离 相
，
等 在向 量 表达 形 式 中 若 点
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，
０
是 Ｍ ＢＣ 的 外 心 则
，
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（
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三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
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三角形的“四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔=++; 若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是(=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 C sin B sin A sin c b a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r rABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ruu u r u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(ACABOA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为ABAB 是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u ur 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.ACB1e 2e PC证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=.证明 +=+=+=⇒)()(3+++++= ∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r ，由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为21λ=。
本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。
(四)．将平面向量与三角形外心结合考查例7若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。
故O 是ABC ∆ 的外心 ，选B 。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题） 证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =21-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.AB(x 1,0)C(x 2,y 2)yx HQG DEF即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。
设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222x x x y x y E F +D （、、 由题设可设1324,)(,)2xQ y H x y （、,122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--u u u u r u u u r ，212(,)BC x x y =-u u u r2212422142()0()AH BC AH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-u u u u r u u u r Q u u u u r u u u r212223221232()()0222()22QF AC x x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+u u u r u u u u r Q u u u r u u u u r121221224323()(,),)22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--u u u u r 2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321 =3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--u u u r u u uu r 222（62y 66y 22y 即=3QH QG u u u u r u u u r，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2 【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。
例10．若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证 OC OB OA OH ++=.证明 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图.连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .∴AB AD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BC AH ⊥，AB CH ⊥， ∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，∴四边形AHCD 为平行四边形，∴OC DO DC AH +==，故OC OB OA AH OA OH ++=+=.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。