讲义平面向量与三角形四心的交汇
专题：平面向量与三角形四心问题
专题:平面向量与三角形四心问题三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助.如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识. 一、三角形的内心（1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的内心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0OC c OB b OA a . （注：本文中的边a ，b ，c 分别表示BC ，AC ，AB .角A ，B ，C 分别表示BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠.）证明：→→→→→→→→→→=+⋅++⋅+⋅⇔=⋅+⋅+⋅0)()(0AC OA c AB OA b OA a OC c OB b OA a→→→→=⋅+⋅+⋅++⇔0)(AC c AB b OA c b a →→→⋅+⋅=⋅++⇔AC c AB b AO c b a )(||||||||)(→→→→→→→⋅⋅+⋅⋅=⋅++⇔AC AC AC c AB AB AB b AO c b a)||||()(→→→→→+⋅=⋅++⇔AC ACAB ABbc AO c b a)||||(→→→→→+⋅++=⇔AC ACAB AB c b a bc AO （图1）⇔点O 在角A 的角平分线上，同理点O 也在角B 、C 的角平分线上. ⇔O 为△ABC 的内心.（3）常用性质性质1：))(||||(R AC ACAB AB∈+⋅→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.证明：如图所示，||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→AD ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→AE .设→→→+=AE AD AP ，由平行四边形法则知，四边形ADPE 为菱形， 故直线AP 为A ∠的角平分线.))(||||(RAC ACAB AB∈+⋅∴→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.性质2：r c b a S ABC ⋅++=∆)(21（r △ABC 内切圆的半径）. 证明：由等面积法易证.性质3：O 为△ABC 的内心c b a S S S OAB OAC OBC ::::=⇔∆∆∆. 证明：由面积公式易证. （4）典例剖析例1-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)||||(→→→→→→++=AC ACAB ABOA OP λ,),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由性质1知，答案为A .例1-2：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若cb a PCc PB b PA a PO ++++=→→→→（其中P 是△ABC 所在平面内任意一点），则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题意知→→→→→→++=++PC c PB b PA a PO c PO b aPO ，即+-→→)(PO PA a→→→→→=-+-0)()(PO PC c PO PB b ，化简得→→→→=⋅+⋅+⋅0OC c OB b OA a .根据内心的向量表示知，O 是△ABC 的内心，答案为A .例1-3：已知O 是△ABC 内的一点，且满足0)||||(=-⋅→→→→→AC ACAB ABOA ，则OA 所在的直线一定经过三角形的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→1e ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→2e .故0)(21=-⋅→→→e e OA ，即→→→→⋅=⋅21e OA e OA ,即>>=<<→→→→21,,e OA e OA .∴直线OA 与A ∠的角平分线重合，故OA 所在的直线一定经过三角形的内心，答案A .二、三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的外心||||||→→→==⇔OC OB OA . （3）常用性质：奔驰定理*：已知O 为△ABC 内的一点（不一定为外心）， 则→→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅0OC S OB S OA S OAB OAC OBC .（该定理反之也成立）证明：不妨延长AO 到D （如下图），则 （图2）=++===∆∆∆∆∆∆∆∆ACD ABD OAC OAB ACD OAC ABD OAB S S S S S S S S AD AO ABC OACOAB S S S ∆∆∆+， 即→∆∆∆→+=AD S S S AO ABCOAC OAB .且根据B ，D ,C 三点共线知，→∆∆∆→∆∆∆→+++=AB S S S AC S S S AD OAC OAB OACOAC OAB OAB ，故→∆∆→∆∆→+=AB S S AC S S AO ABC OAC ABC OAB ，即)()(→→∆∆→→∆∆→-+-=-OA OB S S OA OC S S OA ABCOAC ABC OAB . →→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅∴0OC S OB S OA S OAB OAC OBC （反之易证）性质1*：O 为△ABC 的外心C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆.证明：如图2所示，O 为△ABC 的外心A R BOC R S OBC 2sin 212sin 2122=∠=⇔∆，B R AOC R S OAC 2sin 212sin 2122=∠=∆，C R AOB R S OAB 2sin 212sin 2122=∠=∆ C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆（R 为△ABC 外接圆半径）.性质2*：O 为△ABC 的外心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0)2(sin )2(sin )2(sin OC C OB B OA A . 证明：结合性质1与奔驰定理易证.（4）典例剖析例2-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足++=→→→2OCOB OP )cos ||cos ||(CAC AC BAB AB →→→→+λ，),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：设线段BC 的中点为D ，故)cos ||cos ||(C AC AC BAB AB OD OP →→→→→→++=λ，即)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB DP →→→→→+=λ,而)cos ||cos ||(CAC BC AC BAB BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+⋅=⋅λ，即)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||(CAC CBC AC B AB B BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+-⋅=⋅πλ0|)|||(=+-=→→BC BC λ 即→→⊥BC DP ，故点P 在线段BC 的垂直平分线上. ∴动点P 的轨迹一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-2：在△ABC 中，动点O 满足→→→→⋅=-BC AO AB AC 222，则点O 一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→→⋅=+-BC AO AB AC AB AC 2))((，设D 为BC 的中点，则=⋅→→AD BC 2→→⋅BC AO 2,故0=⋅→→OD BC ,即→→⊥OD BC ，O ∴在BC 的垂直平分线上，故点O 一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-3：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，满足→→→→⋅=⋅BA OB AB OA ，=⋅→→BC OB→→⋅CB OC ，则O 为△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由→→→→⋅=⋅BA OB AB OA 知0)(=+⋅→→→OA OB AB ,即0)()(=+⋅-→→→→OA OB OA OB ，即||||→→=OA OB ,同理可得：||||→→=OC OB ，O ∴为△ABC 的外心，答案B .三、三角形的垂心（1）定义：三角形三条高的交点（如图3）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的垂心→→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OC OB OC OA OB OA . 证明：→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⋅⇔⋅=⋅BC OA BC OA OB OC OA OC OA OB OA 0)(.同理→→⊥AC OB ,O AB OC ⇔⊥→→为△ABC 的垂心.（3）常用性质性质1*：O 为锐角△ABC 的垂心⇔=∆∆∆OAB OAC OBC S S S ::C B A tan :tan :tan . （图3）证明：ACDOC b BCDOC a OF b OE a S S OAC OBC ∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅⋅=∆∆sin sin ,且在直角△BCD 和直角△ACD 中有 B BCD cos sin =∠，A ACD cos sin =∠.故BAA B B A A b B a S S OAC OBC tan tan cos sin cos sin cos cos =⋅⋅=⋅⋅=∆∆. 同理，CBS S OAB OAC tan tan =∆∆. C B A S S S OAB OAC OBC tan :tan :tan ::=∴∆∆∆，反之易证.性质2*：当O 为锐角△ABC 的垂心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0tan tan tan C OC B OB A OA .证明：利用性质1和“奔驰定理”易证. （4）典例剖析例3-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ,得=⋅+-⋅=⋅+⋅=⋅→→→→→→→→→→→→→→)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||()cos ||cos ||(CAC CBC AC B AB B BC AB CAC BC AC BAB BC AB BC AP πλλ0|)|||(=+-→→BC BC λ，即→→⊥BC AP .P ∴在BC 边上的高上，过垂心，答案C .例3-2：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足=+=+→→→→2222||||||||AC OB BC OA22||||→→+AB OC ,则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知2222||||||||→→→→-=-BC AC OB OA ，即=+⋅-→→→→)()(OB OA OB OA)()(→→→→+⋅-BC AC BC AC ，即0)()(=+⋅++⋅→→→→→→OB OA AB BC AC AB ,即02=⋅→→OC AB ，故→→⊥OC AB ，同理→→⊥OB AC ，→→⊥OA BC∴O 是△ABC 的垂心，答案C .例3-3：设O 是△ABC 的外心，点P 满足→→→→=++OP OC OB OA ,则P 是△ABC 的（ ）A .内心B .任意一点C .垂心D .重心 解析：由题知→→→→→=-=+CP OC OP OB OA ，由于O 是△ABC 的外心，故→→→=+OD OB OA 2（D 为线段AB 的中点）且→→⊥AB OD ，即→→=OD CP 2，→→⊥∴AB CP ，同理→→⊥AC BP ，→→⊥BC AP ，故P 是△ABC 的垂心，答案C .四、三角形的重心（1）定义：三角形三条中线的交点（如图4）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的重心→→→→=++⇔0OC OB OA . （3）常用性质 （ 图4 ）性质1：若O 为△ABC 的重心ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆===⇔31性质2：若O 为△ABC 的重心→→=⇔AF AO 32，→→=BD BO 32，→→=CF CO 32性质3：已知),(11y x A ，),(22y x B ,),(33y x C .若O 为△ABC 的重心)3,3(321321y y y x x x O ++++⇔.（4）典例剖析例4-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ，其中hC AC B AB ==→→sin ||sin ||（h 表示BC 边上的高），故)(hACh AB AP →→→+=λ→=AF h λ2（F 为线段BC 的中点）. P ∴在BC 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-2：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足])21()1()1[(31→→→→++-+-=OC OB OA OP λλλ，R ∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设AB 的中点为D ，故])21()1(2[31→→→++-=OC OD OP λλ，由于+-3)1(2λ1321=+λ，即点P ，C ，D 三点共线. P ∴在AB 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-3：已知O 在△ABC 内，且满足→→→→=++0432OC OB OA ，现在到△ABC 内随机取一点，次点取自△OAB ，△OAC ，△OBC 的概率分别记为1P 、2P 、3P ,则（ ）A .321P P P ==B .123P P P >>C .321P P P >>D .312P P P >> 解析：法一：如图，延长OA ，OB ，OC 使得OA OD 2=,OB OE 3=，OC OF 4=, 故→→→→=++0OF OE OD ，即O 是△DEF 的重心，即△OED 、△ODF 、 △OEF 的面积相等，不妨令它们的面积都为1. 61=∴∆OAB S ，81=∆OAC S ，121=∆OBC S ,故321P P P >>，答案C . 法二：由“奔驰定理”知，k S OBC 2=∆，k S OAC 3=∆，kS OAB 4=∆（k 为比例系数），故321P P P >>，答案C .法三：根据三角形内心的向量表示，不妨设O 是以2k ，3k ，4k （k 为比例系数）为边长的三角形的内心，所以OBC OAC OAB S S S ∆∆∆>>,即321P P P >>，答案C .五、等腰（边）三角形的四心 （1）等腰三角形等腰三角形只有顶角的角平分线与中线、高三线重合，其余的线不重合.另外，等腰三角形的四心不重合. （2）等边三角形性质1：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 四心合一. 性质2：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 三线合一. 六、欧拉线*瑞士数学家欧拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形 的几何学》中首次提出：（如图5）任意△ABC （非等边三角形）的垂心D 、重心E 、外心F 三点共线，即欧拉线. （图5）特别地，（如图6）当△ABC 为直角三角形时（A 为直角），垂心D 与A 重合，外心F 在BC 的中点上，欧拉线为直角△ABC 的外接圆半径（或BC 边上的中线）.（图6）性质1：在任意三角形中，垂心与重心的距离是重心与外心距离的2倍，即EF DE 2=.。
高中数学专题复习《向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇》
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC∆的重心. 证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA ∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bAC c AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令cb a bc++=λ ∴cb a bcAO ++=（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a ∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
微专题 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)
微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0 ．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0 ．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0 ．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +AC AC 所在的直线上. AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB =PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0 ⇔P 为△ABC 的重心.【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【解析】因为GA +GB +GC =0 ，所以GA +GB =-GC =CG .以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG =GD ，所以GO =13CO ，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC 的重心.故选：D例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD =DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】因为BD =DC ，所以D 为BC 中点，又因为G 是△ABC 的重心，所以GD =13AD ，又因为D 为BC 中点，所以AD =12AB +12AC ，所以GD =1312AB +12AC =16AB +16AC ，所以x =y =16，所以x +y =13.故选：A例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175【答案】D【解析】依题意，作出图形，因为点G 是△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，故AM =12AB +AC ，由已知得BC =a ,AC =b ,AB =c ，因为BG ⊥CG ，所以GM =12BC =12a ，又因为点G 是△ABC 的重心，所以GM =12GA ，则AM =12a +a =32a ，又因为AM 2=14AB +AC 2，所以94a 2=14c 2+b 2+2bc cos A ，则9a 2=c 2+b 2+2bc cos A ，又由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，所以9c 2+b 2-2bc cos A =c 2+b 2+2bc cos A ，整理得2c 2+2b 2-5bc cos A =0，因为5b =6c ，令b =6k k >0 ，则c =5k ，所以2×5k 2+2×6k 2-5×6k ×5k cos A =0，则cos A =122150=6175.故选：D .题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC ，则λ+μ=______．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC ⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-372例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +AC ACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C 【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，AC AC 为AC 方向上的单位向量，则AB |AB |+AC |AC |的方向与∠BAC 的角平分线一致，由OP =OA +λAB AB +AC AC ，可得OP -OA =λAB AB +AC AC，即AP =λAB AB +AC AC，所以点P 的轨迹为∠BAC 的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心.故选：C .例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB +cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B 【解析】因为IB =IA +AB ,IC =IA +AC ，所以aIA +bIB +cIC =aIA +b IA +AB +c IA +AC =a +b +c IA +bAB +cAC =0 ，所以(a +b +c )IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )，所以IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )a +b +c =-b a +b +c ⋅AB +c a +b +c AC =-1a +b +c b ⋅AB +c ⋅AC=-bc a +b +c AB c +AC b=-bc a +b +c AB AB +AC AC ，所以IA 在角A 的平分线上，故点I 在∠BAC 的平分线上，同理可得，点I 在∠BCA 的平分线上，故点I 在△ABC 的内心，故选：B .例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yAC x ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )A.23B.6-65C.7-76D.8-227【答案】D【解析】如图：圆O 在边AB ,BC 上的切点分别为E ,F ，连接OE ,OF ，延长AO 交BC 于点D设∠OAB =θ，则cos A =cos2θ=1-2sin 2θ=34，则sin θ=24设AD =λAO =λxAB +λyAC∵B ,D ,C 三点共线，则λx +λy =1，即x +y =1λ1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OF =11+OF AO =11+OE AO=11+sin θ=11+24=8-227即x +y ≤8-227故选：D ．题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN =NC ,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94【答案】B【解析】因为BN =NC ，则N 是BC 的中点，所以AN =12AB +12AC ，设外接圆的半径为r ，所以AO ⋅AN =AO ⋅12AC +12AB =12AO ⋅AC +12AO ⋅AB =12r ×3×cos ∠OAC +12r ×2×cos ∠OAB =12×3×32+12×2×1=134．故选：B ．例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB =PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】A 【解析】PA =PB =PC 表示P 到A ,B ,C 三点距离相等，P 为外心．故选：A ．例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =( )A.4B.-4C.2D.-2【答案】B 【解析】∵直角△ABC 中，∠C =90°，AB =4，O 为△ABC 的外心，∴O 为AB 的中点，即OA =OB =2，∴OA +OB =0 且OA ⋅OB =|OA |⋅|OB |⋅cos180°=-4，∴OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-4+OC ⋅(OA +OB )=-4+0=-4，故选：B ．例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO =( )A.-12B.12C.-1D.23【答案】B【解析】因为点O 为△ABC 的外心，设AB 的中点为D ，连接OD ，则OD ⊥AB ，如图所以AB ⋅AO =AB ⋅(AD +DO )=AB ⋅AD +AB ⋅DO =12AB 2+0=12×12=12.故选：B .题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D 【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA 2，得BH ⋅HC =CH ⋅HA ⇒HC ⋅BA =0，即HC ⊥BA ；HA 2+BC 2=HC 2+AB 2⇒HA 2+BH +HC 2=HC 2+AH +HB 2，得BH ⋅HC =AH ⋅HB ⇒BH ⋅AC =0，即BH ⊥AC ；HB 2+CA 2=HC 2+AB 2⇒HB 2+CH +HA 2=HC 2+AH +HB 2，CH ⋅HA =AH ⋅HB ⇒HA ⋅CB =0，即HA ⊥CB ，所以H 为△ABC 的垂心.故选：D .例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC ，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC =0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC =0，则I 是△ABC 的垂心【答案】ABCD【解析】对A ，根据外心的定义，易知A 正确；对B ，PB ⋅PA -PC =PB ⋅CA =0⇒PB ⊥CA ，同理可得：PA ⊥CB ,PC ⊥AB ，所以P 是垂心，故B 正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意NA +NB =2ND =-NC ，则|NC |=2|ND |，同理可得：|NA |=2|NE |,|NB |=2|NF |，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，CB ⊥IA ,AC ⊥IB ,BA ⊥IC ，则I 是垂心，故D 正确故选：ABCD .例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA +5HB +6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【答案】-2211【解析】∵H 是△ABC 的垂心，∴HA ⊥BC ，HA ⋅BC =HA ⋅HC -HB =0，∴HA ⋅HB =HC ⋅HA ，同理可得，HB ⋅HC =HC ⋅HA ，故HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ，∵4HA +5HB +6HC =0 ，∴4HA 2+5HA ⋅HB +6HA ⋅HC =0，∴HA ⋅HB =-411HA 2，同理可求得HA ⋅HB =-12HB 2，∴cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-411HA 2HB HA ，cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-12HB 2HB HA，∴cos 2∠AHB =211，即cos ∠AHB =-2211.故答案为：-2211．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO =( )A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC 【答案】C【解析】设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点，由于O 是三角形ABC 的重心，所以BO =23BE =23×AE -AB =23×12AC -AB =-23AB +13AC .故选：C .2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB 2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与ABAB cos B +AC ACcos C 共线【答案】B【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM ⊥AB ，∴AO cos ∠OAM =AM ，∴AO ·AB =AO AB cos ∠OAB =AB AO cos ∠OAB =AB ⋅AB 2=12AB2，故A 正确；OA ·OB =OA ·OC 等价于OA ·OB -OC =0等价于OA ·CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故B 错误；设BC 的中点为D ，则AG =23AD =13AB +AC =131λAE +1μAF =13λAE +13μAF ，∵E ，F ，G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，故C 正确；AB AB cos B +AC AC cos C ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BC AC cos C=AB BC cos π-B AB cos B +AC BC cos C AC cos C =-BC +BC =0，∴AB AB cos B +AC AC cos C与BC 垂直，又∵AH ⊥BC ，∴AB AB cos B +AC AC cos C与AH 共线，故D 正确.故选：B .3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD ，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.3【答案】C【解析】如图，设AC 与BD 相交于点O ，由G 为△BCD 的重心，可得O 为BD 的中点，CG =2GO ，则AG =AO +OG =AO +13OC =43AO =43×12AB +AD =23AB +23AD ，可得x =y =23，故3x +y =83.故选：C .4.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】设△ABC 的重心为点G ，延长AG 交BC 于点M ，则M 为线段BC 的中点，因为D 、G 、E 三点共线，设DG =λDE ，即AG -AD =λAE -AD ，所以，AG =1-λ AD +λAE =1-λ xAB +λyAC ，因为M 为BC 的中点，则AM =AB +BM =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +12AC ，因为G 为△ABC 的重心，则AG =23AM =13AB +13AC ，所以，1-λ x =λy =13，所以，1x +1y=31-λ +3λ=3.故选：B .5.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】C【解析】取线段BC 的中点E ，则AB +AC =2AE ．动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC )，λ>0，则OP -OA =2λAE 则AP =2λAE .则直线AP 一定通过△ABC 的重心．故选：C ．6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC ,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或35【答案】D【解析】当O 在AC 上，则O 为AC 的中点，x =0,y =12满足2x +10y =5，符合题意，∴AB ⊥BC ，则cos ∠BAC =AB AC =35；当O 不在AC 上，取AB ,AC 的中点D ,E ，连接OD ,OE ，则OD ⊥AB ,OE ⊥AC ，则AB ⋅AO =AB AO cos ∠OAD =AB ×AO ×AD AO =12AB 2=18，同理可得：AC ⋅AO =12AC 2=50∵AB ⋅AO =AB ⋅xAB +yAC =xAB 2+yAB ⋅AC =36x +60y cos ∠BAC =18，AC ⋅AO =AC ⋅xAB +yAC =xAC ⋅AB +yAC 2=60x cos ∠BAC +100y =50，联立可得36x +60y cos ∠BAC =1860x cos ∠BAC +100y =502x +10y =5，解得x =14y =920cos ∠BAC =13 ，故选：D .7.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】D 【解析】因为PA ⋅PB=PB ⋅PC ，则PB ⋅PC -PA =PB ⋅AC =0，所以，PB ⊥AC ，同理可得PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，故P 是△ABC 的垂心.故选：D .8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB 中点为D ，因为OA +OB +OC =0 ，所以OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，即-2OD =OC ，因为OD ,OC有公共点O ，所以，O ,D ,C 三点共线，即O 在△ABC 的中线CD ，同理可得O 在△ABC 的三条中线上，即为△ABC 的重心；因为PA =PB=PC ，所以，点P 为△ABC 的外接圆圆心，即为△ABC 的外心综上，点O ,P 依次是△ABC 的重心，外心.故选：A9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP =OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC 边的中点为D ，则AB +AC =2AD ，因为点P 满足OP =OA+λAB +AC ，其中λ∈R所以，OP -OA=AP =λAB +AC =2λAD ，即AP =2λAD ，所以，点P 的轨迹为△ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：A10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO =13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】依题意，因为AO =13AB +13AC ，所以O 也是△ABC 的重心，又因为O 是△ABC 的外心，所以△ABC 是等边三角形，所以∠BAC =60°.11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.72【答案】C【解析】解:由题知,记△ABC 的三边为a ,b ,c ,因为O 是△ABC 的外心,记AB 中点为D ,则有OD ⊥AB ,所以OD ⋅AB =0且CD =12CA +CB ,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB =CA ⋅CB +OD +DC ⋅AB =CA ⋅CB +OD ⋅AB +DC ⋅AB =CA ⋅CB -12CA +CB ⋅AB=CA ⋅CB -12CA +CB ⋅CB -CA=CA ⋅CB +12CA 2-CB 2=b ⋅a ⋅cos ∠ACB +12b 2-a 2=122ab +b 2-a 2 ①,在△ABC 中,由余弦定理得:cos ∠ACB =a 2+b 2-c 22ab =22,即a 2+b 2-c 2=2ab ,即a 2+b 2-2=2ab ,代入①中可得:AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1,在△ABC 中,由正弦定理得:a sin A=b sin B =csin C =222=2,所以b =2sin B ≤2,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1≤3,当b =2,a =c =2,A =C =45∘,B =90∘时取等,故AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为3.12.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO=λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.35【答案】C【解析】由AO =λAB +μBC 得AO =λOB -OA +μOC -OB ，则1-λ OA +λ-μ OB +μOC =0，因为O 为△ABC 的内心，所以BC OA +AC OB +AB OC =0，从而1-λ :λ-μ :μ=5:4:3，解得λ=712，μ=14，所以λ+μ=56.故选：C .13.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】D【解析】因为|OA |=|OB |=|OC |，所以OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心；因为MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，所以MB ⋅(MA-MC )=0，即MB ⋅CA=0，所以MB ⊥AC ，同理可得：MA ⊥BC ，MC ⊥AB ，所以M 为△ABC 的垂心；因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，设AB 的中点D ，则NA +NB =2ND，所以-NC =2ND，所以C ，N ，D 三点共线，即N 为△ABC 的中线CD 上的点，且NC =2ND ，所以N 为△ABC 的重心．故选：D ．14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB=OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心【答案】C【解析】由于OA =OB =OC ，所以O 是三角形ABC 的外心.由于PA ⋅PB =PB ⋅PC ，所以PA -PC ⋅PB =0,CA ⋅PB=0⇒CA ⊥PB ，同理可证得AB ⊥PC ,BC ⊥PA ，所以P 是三角形ABC 的垂心.故选：C二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =0【答案】BD【解析】对于A ，在△OAB 中，因为D 为AB 的中点，所以OD =12(OA +OB )，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确，对于B ，因为△ABC 为正三角形，O 为△ABC 的重心，所以OA =OB =OC ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =120°，设OA =OB =OC =a ，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =OA ⋅OB cos ∠AOB +OB ⋅OC cos ∠BOC +OC ⋅OAcos ∠AOC=a 2cos120°+a 2cos120°+a 2cos120°=-32a 2≠0，所以B 错误，对于C ，因为AO ⋅AB -AC =0，所以AO ⋅CB =0，所以AO ⊥CB，所以OA ⊥BC ，所以C 正确，对于D ，因为边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，所以OD =12(OA +OB )，OE =12(OB +OC )，OF =12(OA +OC)，因为O 为△ABC 的重心，所以CO =2OD ，所以2OD =-OC，所以OD +OE +OF =12(OA +OB )+12(OC +OB )+12(OA+OC )=OA +OB +OC=2OD +OC=-OC +OC =0 ，所以D 错误，故选：BD16.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0【答案】BCD【解析】对于A 选项，由题意可知，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，所以，AD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，同理可得BE =12BA +BC ，CF =12CA +CB，所以，AD +BE =12AB +AC +12BA +BC =12AC +BC =-CF ，A 错；对于B 选项，由重心的性质可知AD =32AO ，BE =32BO ，CF =32CO，由A 选项可知，AD +BE +CF =32AO +BO +CO =0，所以，MA +MB +MC =MO +OA +MO +OB +MO +OC =3MO -AO +BO +CO =3MO ，B 对；对于C 选项，由重心的性质可知OD =12AO ，OE =12BO ，OF =12CO ，所以，MD +ME +MF=MO +OD +MO +OE +MO +OF =3MO +12AO +BO +CO=3MO ，C 对；对于D 选项，BC ⋅AD =12AC -AB ⋅AC +AB =12AC 2-AB 2，同理可得CA ⋅BE =12BA 2-BC 2 ，AB ⋅CF =12CB 2-CA 2，因此，BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0，D 对.故选：BCD .17.(2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA+3OB +4OC =0 ，OA=1，则下列结论中正确的是( )A.OB ⋅OC =-78B.AB =62C.∠A =2∠CD.sin ∠A =14【答案】ABC【解析】有题意可知：OA =OB =OC =1．对于A ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA =-3OB -4OC．两边同时平方得到：4OA 2=9OB 2+16OC 2+24OB ⋅OC．解得OB ⋅OC =-78，故A 正确．对于B ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA -2OB =-5OB -4OC ⇒2AB =5OB +4OC．两边再平方得到：4AB 2=25OB 2+16OC 2+40OB ⋅OC．结合A 可得：AB =62．所以B 正确．对于C ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒3BO =2OA +4OC．两边平方得到：9BO 2=4OA 2+16OC 2+16OA OCcos ∠AOC ．解得cos ∠AOC =-1116．同理可得cos ∠AOB =14，cos ∠BOC =-78．∵∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．∴cos2∠C =14<12，所以π3<2∠C <π2，则2π3<4∠C <π，cos2∠A =-78<-22，所以3π4<2∠A <π，∵cos4∠C =2cos 22∠C -1=2×142-1=-78=cos2∠A ，2∠A =4∠C ．∴∠A =2∠C ．故C 正确；由cos2∠A =2cos 2∠A -1=-78，所以cos 2∠A =116，所以sin 2∠A =1516，所以sin ∠A =±154，显然sin ∠A =154，故D 错误．故选：ABC ．18.(2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是( )A.GH =2OGB.GA +GB +GC =0C.AH =2ODD.S △ABG =S △BCG =S △ACG【答案】ABCD【解析】在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示．对于B 选项，根据三角形的重心性质由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且GA =-2GD ，又D 为BC 的中点，所以GB +GC =2GD ，所以GA +GB +GC =-2GD+GD =0 ，故选项B 正确；对于A 与C 选项，因为O 为△ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD ⊥BC ，所以AH ∥OD ，∴△AHG ∽△DOG ，∴GH OG =AH OD =AGDG=2，∴GH =2OG ，AH =2OD ，故选项A ，C 正确；对于D ，过点G 作GE ⊥BC ，垂足为E ，∴△DEG ∽△DNA ，则GE AN =DG DA=13，∴△BGC 的面积为S △BGC =12×BC ×GE =12×BC ×13×AN =13S △ABC ；同理，S △AGC =S △AGB =13S △ABC ，选项D 正确.故选：ABCD19.(2023·全国·模拟预测)在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点O 为△ABC 内的一点，则下列结论正确的是( )A.若AO =OD ，则AO =12OB +OCB.若AO =2OD ，则OB =2EOC.若AO =3OD ，则OB =58AB +38ACD.若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OB ⋅BC=-4【答案】AB【解析】选项A ：因为AO =OD ，所以O 为AD 中点，由题易知AO =OD =12OB +OC ，故A 正确．选项B ：若AO =2OD ，则点O 为△ABC 的重心，(三角形重心的性质)则OB =2EO，故B 正确．选项C ：若AO =3OD ，则OB =OD +DB =14AD +12CB =14×12AB +AC +12AB -AC=58AB -38AC，故C 错误．选项D ：若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OD ⊥BC ，(三角形外心的性质)故OB ⋅BC =OD +DB ⋅BC =-12BC 2=-8，故D 错误．故选：AB20.(2023春·河北石家庄·高一统考期末)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，且AB =3，AC =4，下列说法正确的是( )A.AH ⋅BC =0B.AG ⋅BC =-73 C.AO ⋅BC =72D.OH =OA +OB +OC【答案】ACD【解析】对于A 选项，由垂心的性质可知AH ⊥BC ，则AH ⋅BC=0，A 对；对于B 选项，设D 为BC 的中点，则AG =23AD，AD =AB +BD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，所以，AG =23AD =13AB +AC ，所以，AG ⋅BC =13AC +AB ⋅AC -AB =13AC 2-AB 2 =73，B错；对于C 选项，由外心的性质可知OB =OC ，则OD ⊥BC ，∴AO ⋅BC =AD +DO ⋅BC =AD ⋅BC =12AB +AC ⋅AC -AB =12AC 2-AB 2 =72，C 对；对于D 选项，由AH ⎳OD 得AH OD =AGGD=2，所以AH =2OD ，因为OD =OB +BD =OB +12BC =OB +12OC -OB =12OB +OC，所以OH -OA =AH =2OD =OB +OC ，即OH =OA +OB +OC，D 对.故选：ACD .三、填空题21.(2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)已知△ABC 的顶点坐标A -6,2 、B 6,4 ，设G 2,0 是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为_________.【答案】6,-6 【解析】设点C a ,b ，∵G (2,0)是△ABC 的重心，所以，-6+6+a 3=22+4+b 3=0，解得a =6b =-6 ，故点C 的坐标为6,-6 .故答案为：6,-6 .22.(2023秋·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA +3OB +4OC =0，OA=1，下列结论中正确的序号为______．①OB ⋅OC =-78；②AB =2；③∠A =2∠C ．【答案】①③【解析】由题意可知：OA =OB =OC =1．①2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA =-3OB -4OC ，两边同时平方得到：4=9+24OB ⋅OC +16，解得：OB ⋅OC =-78，故①正确．②2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA -2OB =-5OB -4OC ，2BA =-5OB -4OC ，两边再平方得到：4AB 2=25+16+40OB ⋅OC=6．所以|AB =62，所以②不正确．③2OA +3OB +4OC =0 ，4OC =-3OB -2OA ，两边平方得到：16=9+4+12OA ⋅OB =13+12OA OB cos ∠AOB ，cos ∠AOB =14，∠AOB ∈0,π2，同理可得：cos ∠BOC =-78，∠BOC ∈π2,π ，∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．故cos2C =14，cos2A =-78，且∠C ∈0,π4 ，∠A ∈π4,π2，cos4C =2cos 22C -1=2×14 2-1=-78=cos2A ，即∠A =2∠C ．故③正确．故答案为：①③23.(2023·河北·模拟预测)已知O 为△ABC 的外心，AC =3，BC =4，则OC ⋅AB=___________．【答案】-72【解析】如图：E ,F 分别为CB ,CA 的中点，则OE ⊥BC ,OF ⊥AC∴OC ⋅AB =OC ⋅CB -CA =OC ⋅CB -OC ⋅CA=OE +EC ⋅CB -OF +FC ⋅CA=OE ⋅CB +EC ⋅CB -OF ⋅CA -FC ⋅CA=-12|CB |2--12|CA |2 =12CA |2- CB |2 =12×9-16 =-72.故答案为：-72.24.(2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知A ､B ､C 为△ABC 的三个内角，有如下命题：①若△ABC 是钝角三角形，则tan A +tan B +tan C <0；②若△ABC 是锐角三角形，则cos A +cos B <sin A +sin B ；③若G ､H 分别为△ABC 的外心和垂心，且AB =1,AC =3，则HG ⋅BC =4；④在△ABC 中，若sin B =25,tan C =34，则A >C >B ，其中正确命题的序号是___________.【答案】①②③④【解析】对于①，若△ABC 是钝角三角形，由tan C =-tan (A +B )=-tan A +tan B1-tan A tan B得tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C <0，故①正确，对于②，若△ABC 是锐角三角形，则A +B >π2，有0<π2-B <A <π2且0<π2-A <B <π2，则cos B =sin π2-B<sin A ，同理得cos A <sin B ，故cos A +cos B <sin A +sin B ，故②正确，对于③，由HG ⋅BC =(AG -AH )⋅BC =AG ⋅(AC -AB )=12(AC 2-AB 2)=4，故③正确，对于④，若sin B =25,tan C =34，则sin C =35，sin B <sin C <22，则B <C <π4，故A >π2>C >B ，故④正确，故答案为：①②③④25.(2023秋·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)在△ABC 中，AB =3，AC =5，点N 满足BN =2NC ，点O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO 的值为__________.【答案】596【解析】分别取AB ,AC 的中点E ,F ，连接OE ,OF ，因为O 为△ABC 的外心，∴OE ⊥AB ,OF ⊥AC ，∴AB ⋅OE =0,AC ⋅OF =0，∵BN =2NC ，∴BN =23BC ，∴AN =AB +BN =AB +23BC =AB +23(AC -AB )=13AB +23AC ，∴AO ⋅AB =12AB +EO ⋅AB =12AB 2=92，AO ⋅AC =12AC +FO ⋅AC =12AC 2=252，∴AN ⋅AO =13AB +23AC ⋅AO =13AB ⋅AO +23AC ⋅AO =13×92+23×252=596故答案为：59626.(2023·全国·高三专题练习)已知G 为△ABC 的内心，且cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，则∠A =___________．【答案】π3【解析】首先我们证明一个结论：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，a ,b ,c 为△ABC 的三边长，若a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ,则O 是△ABC 的内心.证明:OB =OA +AB ,OC =OA +AC ,则a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ⇔(a +b +c )⋅OA +b ⋅AB +c ⋅AC =0 ,等式两边同时除以a +b +c 得，AO =bc a +b +c AB |AB |+AC |AC | ，AB |AB |表示AB 方向上的单位向量，同理AC |AC |表示AC 方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知bc a +b +c AB |AB |+AC |AC |表示∠BAC 的角平分线方向上的向量，则AO 为∠BAC 的角平分线，同理BO 、CO 分别为∠ABC ,∠ACB 的角平分线，所以O 是△ABC 的内心.于是我们得到本题的一个结论aGA +bGB +cGC =0 ．又∵cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，∴由正弦定理与题目条件可知sin A :sin B :sin C =a :b :c =cos A :cos B :cos C ．由sin A :sin B =cos A :cos B 可得sin A cos B -cos A sin B =sin (A -B )=0，可得A =B ，同理可得B =C ,C =A ，即A =B =C =π3．故答案为：π3.27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为______．【答案】3-32【解析】延长AO 交BC 于D ，设BC 与圆O 相切于点E ，AC 与圆O 相切于点F ，则OE =OF ，则OE ≤OD ，设AD =λAO =λxAB +λyAC ，因为B 、C 、D 三点共线，所以λx +λy =1，即x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE OA =11+OF OA=11+sin A 2，因为cos A =1-2sin 2A 2=13，0<A <π,0<A 2<π2，所以sin A 2=33，所以x +y ≤11+33=3-32．故答案是：3-3228.(2023·全国·高三专题练习)设I 为△ABC 的内心，若AB =2，BC =23，AC =4，则AI ⋅BC =___________【答案】6-23【解析】解法1：不难发现，△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I 与AB ､AC ､BC 分别相切于点D ､E ､F ，设圆I 的半径为r ，则ID =IE =IF =r ，显然四边形BDIF 是正方形，所以BD =BF =r ，从而AD =2-r ，CF =23-r ，易证AE =AD ，CE =CF ，所以AE =2-r ，CE =23-r ，故AE +CE =2+23-2r =AC =4，从而r =3-1，AD =2-r =3-3，AI ⋅BC =AI ⋅AC -AB =AI ⋅AC -AI ⋅AB =AI ⋅AC ⋅cos ∠IAC -AI ⋅AB ⋅cos ∠IAB=AE ⋅AC -AD ⋅AB =AD AC -AB =2AD =6-23.故答案为:6-23.解法2：按解法1求得△ABC 的内切圆半径r =3-1，由图可知AI在BC 上的投影即为3-1，所以AI ⋅BC =3-1 ×23=6-23.故答案为:6-23.。
讲义---平面向量与三角形四心的交汇
讲义---平面向量与三角形四心的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）⇔=++O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC∆的重心.证法2：如图OC OB OA ++ 2=+=∴2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅⊥⇔同理⊥，⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心. 证明：b c 、分别为方向上的单位向量， ∴bc +平分BAC ∠, (λ=∴AO bc +)，令c b a bc++=λ ∴c b a bc++=（bc +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴=++c b a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
三、典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例2：（03全国理4）O是平面上一定点，CB A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例3：1)O是平面上一定点，CB A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心2)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++ ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心3)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++ , [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例4、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++= ，123||||||1OP OP OP === ，求证：123PPP △是正三角形．例5、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m = ．例6、点O 是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的（）．A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点例7在△ABC 内求一点P ，使222AP BP CP ++最小．例8已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，则O 为△ABC 的心．例9．.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例10 已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+ =22||||OC AB + ，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心例11已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅ =()OB OC BC +⋅ =()OC OA CA +⋅= 0，则O点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++(其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心四、配套练习：1．已知ABC∆三个顶点CB A 、、及平面内一点P，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．62．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21-3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC面积之比是（ ）A ．0B ．23 C ．45 D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若++=，则H是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222=+222ABOC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =7．（06陕西）已知非零向量与满足(+)〃=0且〃=12, 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形 8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形9.已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++, [0,)λ∈+∞.则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心10.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++= 0, 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心11.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )健康文档 放心下载 放心阅读A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心。
专题02 平面向量解析三角形的“四心”高一数学下学期同步讲义(人教A版2019必修第二册)
专题02 平面向量解析三角形的“四心”一．“四心”的概念介绍及平面向量表示1. 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1.⇔=++O 是ABC ∆的重心.2. 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直.⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.3. 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等． 设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是ABC ∆的内心.O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.4. 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等．==⇔O 为ABC ∆的外心.二．考点讲解 考点一：三角形的重心例1：在ABC ∆中，已知 AB a =，BC b =，G 为ABC ∆的重心，用向量,a b 表示向量AG =______. 【答案】2133a b 【分析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.【详解】由重心的性质可知()111333BG BA BC b a =+=-， 所以11213333AG AB BG a b a a b =+=+-=+.故答案为：2133a b 【点睛】本题考查了重心的几何性质和平面向量基本定理，属于基础题.例2：若P 是ABC ∆内部一点，且满足2PA PB CB +=，则ABP ∆与ABC ∆的面积比为_______. 【答案】13【分析】利用向量的加法运算得出PA PB CP +=，取AB 的中点为O ，进而得出点P 为ABC ∆的重心，根据重心的性质即可得出答案.【详解】2PA PB CB PA PB CB BP CP +=⇒+=+= 取AB 的中点为O ，则2PA PB PO += 即2PO CP =，则点P 为ABC ∆的重心根据重心的性质可得，点P 到AB 的距离是点C 到AB 的距离的13则13ABP ABC S S ∆∆= 故答案为：13【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题.考点二：三角形的垂心例3：已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足()()cos cos AB AC AP R AB BAC Cλλ=+∈，则直线AP 必经过ABC ∆的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】两边同乘以向量BC ，利用向量的数量积运算可求得0AP BC ⋅=从而得到结论． 【详解】()cos cos AB AC AP R AB B AC C λλ⎛⎫⎪=+∈ ⎪⎝⎭两边同乘以向量BC ,得AP BC ∴⊥(1t ∈即点P 在BC 边的高线上，所以P 的轨迹过△ABC 的垂心， 故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题． 考点三：三角形的内心例4：O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【分析】先根据||ABAB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC→方向上的单位向量，确定||||A A B A A C C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力． 考点四：三角形的外心例5：在ABC ∆中，2AC =，6BC =，60ACB ∠=︒，点O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OC mOA nOB =+（,m n ∈R 且1m n +≠）． （1）证明：11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心，求m 、n 的值； （3）若点O 为ABC ∆的外心，求m 、n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1m =-，1n =-；（2）3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【分析】（1）根据条件OC mOA nOB =+,结合向量的加法运算,化简即可证明. （2）根据重心的向量表示为0OA OB OC ++=,即可求得m 、n 的值. （3）根据点O 为ABC ∆的外心,求得21||2CO CB CB ⋅=,21||2CO CA CA ⋅=,CA CB ⋅,再根据已知分别求得CO CB ⋅,CO CA ⋅,结合平面向量基本定理即可求得m 、n 的值. 【详解】（1）CO mAO nBO =+()()m AC CO n BC CO =+++mAC mCO nBC nCO =+++即CO mAC mCO nBC nCO =+++ 所以CO mCO nCO mAC nBC --=+ 则()1m n CO mAC nBC --=+ 所以11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心则0OA OB OC ++= 因为OC mOA nOB =+ 所以0mOA nOB OC --+= 则1m =-,1n =-（3）由O 是ABC 的外心 得21||182CO CB CB ⋅==,21||22CO CA CA ⋅==,6CA CB ⋅=, 所以,1111m n CO CB CA CB CB CB m n m n m n CO CA CA CA CB CAm n m n ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎪+-+-⎨⎪⋅=⋅+⋅⎪+-+-⎩即23321m n m n -=⎧⎨+=-⎩,解得3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.三．课后作业1．在ABC ∆中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．重心 B ．内心C ．外心D ．垂心【答案】A【分析】设sin sin a B b A CH ==，则()mCP a b CH=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；【详解】如图，sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()mCP a b CH=+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.2．已知点O 是ABC ∆所在平面上的一点，ABC 的三边为,,a b c ，若0a OA bOB c OC →→→→++=，则点O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【分析】在AB ，AC 上分别取单位向量,AD AE →→，作AF AD AE →→→=+，则AF 平分BAC ∠，用,,OA AB AC →→→表示出,OB OC →→代入条件式，用,AB AC →→表示出AO→，则可证明A ，F ，O 三点共线，即AO 平分BAC ∠．【详解】在AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得AB AD c →→=，AC AE b →→=，则||||1AD AE →→==．以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，如图，则四边形ADFE 是菱形，且AB AC AF AD AE c b→→→→→=+=+．AF ∴为BAC ∠的平分线．0aOA bOB cOC →→→→++=()()0a OA b OA AB c OA AC →→→→→→∴⋅+⋅++⋅+=，即()0a b c OA b AB c AC →→→→++++=，∴()b c bc AB AC bc AO AB AC AF a b c a b c a b c c b a b c→→→→→→=+=+=++++++++．A ∴，O ，F 三点共线，即O 在BAC ∠的平分线上．同理可得O 在其他两角的平分线上，O ∴是ABC 的内心．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.3．点M ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC ∆的（）A ．重心，外心，内心B ．重心，外心，垂心C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心【答案】B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案． 【详解】解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==， ||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥， 同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题． 4．（多选）已知M 为ABC ∆的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．MA MB MC == B ．0MA MB MC ++= C ．1233CM CA CD =+ D ．2133BM BA BD =+ 【答案】BC【分析】由题可知M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，由此依次计算判断即可得出结果. 【详解】M 为△ABC 的重心，∴M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A ，由于△ABC 为任意三角形，故中线不一定相等，则,,MA MB MC 不一定相等，故A 错误； 对于B ，D 为BC 的中点，2MB M MD C +∴=，2MA MD =-，0MA MB MC ++=∴，故B 正确；对于C ，()22123333CM CA AM CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=+，故C 正确； 对于D ，()22123333BM BA BA BA B AM AD BD BA A BD +=+=+-==+，故D 错误. 故选：BC.5．ABC ∆中，3AB =，6AC =，G 为ABC ∆的重心，O 为ABC ∆的外心，则AO AG ⋅=______． 【答案】152【分析】根据三角形的外心的性质，得出212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，由三角形的重心的性质，得出1()3AO AG AO AB AC ⋅=⋅+，通过向量的数量积运算，即可求出AO AG ⋅的值. 【详解】解：因为G 为ABC 的重心，O 为ABC 的外心，所以212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，所以111()333AO AG AO AB AC AO AB AO AC ⋅=⋅+=⋅+⋅221166AB AC =+93615662=+=， 即152AO AG ⋅=. 故答案为:152．【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，考查三角形的重心和外心的向量表示，考查计算能力. 6．已知A ，B ，C 是平面内不共线的三点，O 为ABC ∆所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足()()()122123OP OD OC R λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的______（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）. 【答案】重心【分析】根据已知条件判断,,P C D 三点共线，结合重心的定义，判断出P 的轨迹过三角形ABC 的重心. 【详解】∵点P 满足()()()122123OP OD OC λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦R ，且()()112212133λλ-++=， ∴P ，C ，D 三点共线.又D 是AB 的中点，∴CD 是边AB 上的中线，∴点P 的轨迹一定过ABC ∆的重心. 故答案为：重心【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的重心的知识，属于基础题. 7．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG PQ λ=，将OG 用λ，OP ，OQ 表示； (2)设OP xOA =，OQ yOB =，证明：11x y+是定值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）寻找包含OG 的图形OPG ，利用向量的加法法则知OG OP PG +＝ ，再根据PG PQ λ=和PQ OQ OP -＝ 即可（2）根据（1）结合OP xOA =，OQ yOB =知：()()11OGOP OQ xOA yOB λλλλ-+-+＝＝ ，再根据G 是OAB 的重心知：()2211133233OG OM OA OB OA OB ⨯++＝＝＝ ，最后根据OA OB 、 不共线得到关于x y λ，， 的方程组即可求解 【详解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明 一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x ＋λy ；① 另一方面，△G 是△OAB 的重心，△＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，△由①②，得解得△＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．。
平面向量的应用之三角形的四心
△ABC 的
心.
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8. 若 O# A» + O# B» + O# C» = #0»，则点 O 是 △ABC 的
心.
9.
若
#» PO
=
1 3
# (P
» A
+
# P
» B
+
# P
C»)，则点
O
是
△ABC
的
心.
10.
已知
△ABC
的角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c,
若
#» PO
=
#» #» #» aP A + bP B + cP C ，则点
§1 平面向量与三角形的四心
一 知识梳理
1. 三角形的重心
(1) 定义
C
三角形三条中线的交点叫作重心，它到三角形顶点距离与该点到对
边中点距离之比为 2 : 1.
(2) 向量表达式
#» OA
+
#» OB
+
#» OC
=
#0»
#» PO
=
1 3
# (P
» A
+
#» PB
+
# P
C»).
E
F
O
A
D
B
2. 三角形的垂心
C (1) 定义
三角形三条高线的交点叫垂心.
(2) 向量表达式 O# A» · O# B» = O# B» · O# C» = O# A» · O# C» O# A»2 + B# C»2 = O# B»2 + A# C»2 = O# C»2 + A# B»2. A
关于三角形的“四心”与平面向量的结合
一、
基本概念
1.定义： 我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心, 即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形 的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三 角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角 形的“内心” 、 “外心” 、 “重心” 、 “垂心”合称为三角形的“四心”. 2.性质: 三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角 形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相 应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的 对边.
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邮政编码：225444
数学复习课教案
二、 例
典型例题 已知点
M 是 ΔABC 所在平面内一点，点 G 是 ΔABC 所在平面内的 G
一动点,试根据下列条件判断
点 的 轨 迹 可 能 通 过 ΔABC 的
__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”). (1)若存在常数 λ ,满足 MG = MA + λ ( 可能通过 ΔABC 的__________. (2)若点
D
AB AB
+
AC AC
)(λ ≠ 0) ,则点 G ห้องสมุดไป่ตู้轨迹
是 ΔABC 的底边
BC
上的中点,满足 GDiGB = GDiGC ,则点
G
的轨迹可能通过 ΔABC 的__________. (3)若存在常数 λ ,满足 MG = MA + λ (
AB AB ⋅ sin B + AC AC ⋅ sin C )(λ ≠ 0) ,则点
平面向量三角形四心(有详解)
平面向量三角形四心(有详解)平面向量三角形四心(有详解)平面向量是数学中的重要概念，可以用来表示空间中的点、线、面等几何对象。
在平面向量的运算和应用中，三角形是常见的几何形状之一。
本文将介绍平面向量与三角形四心的关系，并详细解析其性质和应用。
1. 三角形的四心概述三角形的四心是指三角形内部的四个特殊点，包括重心、外心、内心和垂心。
这四个点有着各自的特点和性质，对于研究三角形的形状和性质非常重要。
1.1 重心三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点与对应中点的连线交于一点。
重心在三角形中心位置，对称性较强，具有重要的几何意义。
1.2 外心三角形的外心是外接圆的圆心，即三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
外心离三角形各顶点的距离相等，是三角形的外接圆的圆心。
1.3 内心三角形的内心是内切圆的圆心，即三角形三条边的角平分线的交点。
内心到三角形三边的距离相等，是三角形的内切圆的圆心。
1.4 垂心三角形的垂心是三条高线的交点，即三角形三个顶点与对边垂线的交点。
垂心所在的直线被称为垂心线，与三角形的三条边垂直。
2. 平面向量与四心关系的性质平面向量与三角形的四心之间具有一些重要的几何性质和关系，下面将分别介绍。
2.1 重心与向量以三角形的重心为原点建立直角坐标系，三角形三个顶点的位置向量相对于重心的位置向量之和为零。
即，三角形三个顶点的位置向量和为零向量。
2.2 外心与向量三角形的三个顶点为A、B、C，以外心O为原点建立直角坐标系。
则三角形顶点A、B、C的位置向量之和等于三倍的外心O的位置向量。
即，OA + OB + OC = 3OO。
2.3 内心与向量设三角形的内心为I，以内心I为原点建立直角坐标系。
则三角形三个顶点的位置向量与对边的位置向量之和分别为倍数的内心I的位置向量。
即，AI + BI = CI = 2II。
2.4 垂心与向量以三角形的垂心为原点建立直角坐标系，三角形三个顶点的位置向量与对边垂线的位置向量之和为零。
高考数学专题平面向量与三角形的四心(含解析)
2023届高考专题——平面向量与三角形的“四心”一、三角形的“四心”(1)重心：三角形的三条中线的交点；O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0. 注意：向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．类型一 平面向量与三角形的“重心”问题例1 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( C )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点 [解析] 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， ∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝21－λ3OD →＋1＋2λ3OC →， 而21－λ3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．类型二 平面向量与三角形的“外心”问题例2 设P 是△ABC 所在平面内一点，若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，且AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，则点P 是△ABC 的( A )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[解析] 由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0，即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0，所以AB →·(PB →＋PA →)＝0.设D 为AB 的中点，则AB →·2PD →＝0，故AB →·PD →＝0.由AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝－2BC →·AP →，即(AB →＋AC →－2AP →)·BC →＝0.设E 为BC 的中点，则(2AE →－2AP →)·BC →＝0，则2PE →·BC →＝0，故BC →·PE →＝0.所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点，所以P 是△ABC 的外心．故选A ．跟踪练习在△ABC 中，O 为其外心，OA ―→·OC ―→＝3，且 3 OA ―→＋7OB ―→＋OC ―→＝0，则边AC 的长是________．[解析] 设△ABC 外接圆的半径为R ，∵O 为△ABC 的外心，∴|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝R ，又 3 OA ―→ ＋7 OB ―→＋OC ―→＝0，则 3 OA ―→＋OC ―→＝－7OB ―→，∴3OA ―→2＋OC ―→2＋2 3OA ―→·OC ―→＝7OB ―→2，从而OA ―→·OC ―→＝32R 2，又OA ―→·OC ―→＝3，所以R 2＝2，又OA ―→·OC ―→＝|OA ―→||OC ―→|cos ∠AOC ＝R 2cos ∠AOC ＝3，∴cos ∠AOC ＝32，∴∠AOC ＝π6，在△AOC 中，由余弦定理得AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos∠AOC ＝R 2＋R 2－2R 2×32＝(2－3)R 2＝4－23．所以AC ＝3－1． 类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题例3 (2022·济南质检)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB―→|AB ―→|cos B ＋|AC ―→||AC ―→|cos C ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心 [解析] OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，BC ―→·AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC ―→·AB ―→|AB ―→|cos B ＋BC ―→·AC ―→|AC ―→|cos C ＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫|BC ―→||AB ―→|cos π－B |AB ―→|cos B ＋|BC ―→||AC ―→|cos C |AC ―→|cos C ＝λ(－|BC ―→|＋|BC ―→|)＝0，所以BC ―→⊥AP ―→，动点P 在BC 的高线上，动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心，故选C ．类型四 平面向量与三角形的“内心”问题例4 在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝2，AD →＝12AB →＋34AC →，则直线AD 通过△ABC 的( D ) A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心[解析] ∵|AB →|＝3，|AC →|＝2，∴12|AB →|＝34|AC →|＝32.设AE →＝12AB →，AF →＝34AC →，则|AE →|＝|AF →|.∵AD →＝12AB →＋34AC →＝AE →＋AF →，∴AD 平分∠EAF ， ∴AD 平分∠BAC ，∴直线AD 通过△ABC 的内心．跟踪练习(2022·海南模拟)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A ．1063B ．1463C ．4 3D ．6 2 [解析] 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7．设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763．故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463． 二、三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB →|＝|AC →|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB →·AC →＝0，则△ABC 为直角三角形；③若AB →·AC →<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB →·AC →>0，BA →·BC →>0，且CA →·CB →>0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形．例5 (2022·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( C )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 [解析] 由题意知CB →·(AB →＋AC →)＝0.所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．〔变式训练4〕(1)若P 为△ABC 所在平面内一点．①若(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则动点P 的轨迹必过△ABC 的垂心.②若OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)(λ≥0)，则动点P 的轨迹必过△ABC 的重心.③若CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则动点P 的轨迹必过△ABC 的外心.(2)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( D )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形[解析] (1)①由题意知AP →·CB →＝0，∴AP ⊥BC ，∴动点P 必过△ABC 的垂心；②由题意知AP →＝λ(AB →＋AC →)＝2λAM →(M 为BC 中点)∴P 、A 、M 共线，∴P 必过△ABC 的重心；③2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0.∴以BP →，AP →为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．∴点P 在线段AB 的中垂线上，∴P 必过△ABC 的外心．(2)因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ．又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D ．。
5.4平面向量与三角形的“四心”问题
三角形“四心”的向量特征：
（1）垂心：三角形三边上的高交于一点H，这一点叫三角形的垂心。 A
HA BC=HB AC=HC AB=0 HA HB=HA HC=HB HC
uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC 变形： （1） OP OA ( uuu uuu ), (0, ) r r AB sin B AC sin C
Ｃ
uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC （2） OP OA ( uuu r sin C uuu r sin B), (0, ) AB AC uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC (3)OP OA ( uuu uuu ), (0, ) r r AB cos B AC cos C uuu r uuu r uu u r uuu r AB AC （4） PB PC ( uuu uuu ), (0, ) r r AB cos B AC cos C
AI bc a b c | AB | | AC |
AB AC ) (A，B，C所对的边分别是a,b.c) (
aIA bIB cIC 0
F c
I
Da
E
b
SIBC IA SIAC IB SIAB IC 0
B
C
例1. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
AB AC 动点P满足 OP = OA +λ ( + ), λ ∈[0,+∞). |AB| |AC|
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讲义---平面向量与三角形四心的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）⇔=++0OC OB
OA O 是ABC ∆的重心.
证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O
⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33
321
321y y y y x x x x ⇔O 是ABC
∆的重心. 证法2：如图
++
02=+=OD OA
∴OD AO 2=
∴D O A 、、三点共线，且O 分AD
为2：1
∴O 是ABC ∆的重心
（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB
OA O 为ABC ∆的垂心.
证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC
OB OB OA
⊥⇔
同理BC OA ⊥，AB OC ⊥
⇔O 为ABC ∆的垂心
（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心
O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.
证明：b
AC c AB 、
分别为
AC AB 、方向上的单位向量，
∴
b
c +平分BAC ∠,
(
λ=∴b
c +)，令c
b a bc
++=
λ
B C
D
∴c
b a bc
AO ++=
（b AC c AB +)
化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a
∴=++c b a
（4
==⇔O 为ABC ∆的外心。
三、典型例题：
例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，
[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
例2：（03
全国理4）
O
是平面上一定点，
C
B A 、、是平面上不共线的三个点，动点
P
满
足
+
+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
例3
：1)
O
是平面上一定点，
C
B A 、、是平面上不共线的三个点，动点
P
满
足
+
+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
2)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
(
)||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C
λ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
3)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
()2||cos ||cos OB OC AB AC
OP AB B AC C
λ+=
++, [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
例4、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123||||||1OP OP OP ===，求证：
123PP P △是正三角形．
例5、ABC ∆的外接圆的圆心为
O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数
m
= ．
例6、点
O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的（
）．
A ．三个内角的角平分线的交点
B ．三条边的垂直平分线的交点
C ．三条中线的交点
D ．三条高的交点
例7
在△ABC 内求一点P ，使
222AP BP CP ++最小．
例8已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2
22222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 为
△ABC 的
心．
例9．.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
例10 已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+=22||||OC AB +，则O 点
是△ABC 的( )
A. 垂心
B. 重心
C. 内心
D. 外心
例11已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅=()OB OC BC +⋅=()OC OA CA +⋅= 0，则
O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
例12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++= 0，则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
例13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPC
PO a b c
++=
++(其中P 是△ABC 所在平面内任意一
点)，则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
四、配套练习：
1．已知
ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P
，满足
=++PC PB PA ，若实数
λ
满足：
λ=+，则λ的值为（ ）
A ．2
B ．
2
3
C ．3
D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )
A ．
21 B ．0 C ．1 D ．2
1- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA
，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）
A ．0
B ．
23 C ．45 D ．3
4
4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH
++=，则H 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
5．O 是平面上一定点，
C B A 、、是平面上不共线的三个点，若2
2
2
=+
2
22AB
OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，
则实数m =
7．（06陕西）已知非零向量与满足(+)·=0且·=1
2
, 则△ABC 为( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形 8．已知ABC ∆三个顶点
C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2
，则ABC ∆为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等腰直角三角形
C ．直角三角形
D ．既非等腰又非直角三角形
9.已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++, [0,)λ∈+∞.
则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
10.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++= 0, 则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心 11.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1
()3
PO PA PB PC =++(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心。