(完整版)平面向量与三角形四心问题.docx

平面向量基本定理与三角形四心

已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0

A

如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则

O

B C

图 1

BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OC

BC BC

A

O

S B

OB S C OC S B S C S B S C

B

D

C

OD S

BOD

S

COD

S

BOD

S

COD S A

OA S

BOA

S

COA

S

BOA

S

COA S B S C

图2

OD

S A

OA S B S C

S A OA S B OB S C OC

S C S B

S B S C S B S C

S A? OA S B? OB S C? OC 0

推论 O 是 ABC 内的一点，且

x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z

有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心

S BOC: S COA: S

O 是ABC 的内心

S BOC: S COA: S

O 是ABC 的外心

S BOC: S COA: S AOB

AOB

AOB

1:1:1OA OB OC0

a :

b :

c a ?OA b ?OB c ?OC0

sin 2A :sin 2B : sin 2C

sin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0

O 是ABC 的垂心

S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0

C

O

A D B

证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD

, tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DB

S BOC: S COA DB : AD

S BOC: S COA tan A : tan B

同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

4.2 三角形“四心”的相关向量问题

一．知识梳理：

四心的概念介绍：

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2 ：1；

(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；

(3)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

(4)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

与“重心”有关的向量问题

uuur uuur uuur

0 ，则 G 是△ABC的( )．

1 已知G是△ABC所在平面上的一点，若GA GB GC

A．重点B．外心C．内心D．垂心

如图⑴ .

C

P

A'B

M

A G A C

B

O

图⑴图⑵

2已知 O 是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuur uuur uuur uuur

(0，) ，则P的轨迹一定通过△ ABC 的( ).

OP OA( AB AC) ，

A．重点B．外心C．内心D．垂心

uuur uuur uuur

(0，) 时，由于uuur uuur

【解析】由题意 AP(AB AC) ，当( AB AC) 表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过△ ABC 的重心，如图⑵.

3 .O 是△ ABC所在平面内一点，动点 P 满足（λ

∈（ 0，+∞）），则动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的（）

A．内心B．重心C．外心D．垂心

解：作出如图的图形AD⊥BC，由于sinB=sinC=AD，

∴=

由加法法则知， P在三角形的中线上

故动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的重心

故选： B．

与“垂心”有关的向量问题

3P 是△ ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ，则P是△ABC的() A．重点B．外心C．内心D．垂心

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 【解析】由 PA PB PB PC ，得PB (PA PC)0 ，即PB CA0 ，所以 PB ⊥ CA ．同uuur uuur uuur uuur

理可证 PC ⊥ AB ， PA ⊥ BC ．∴P是△ABC的垂心．如图⑶.

A

C

B P

C

E

H

M

P

A F

B

O

图⑶图⑷

4已知 O 是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

uuur uuur

uuur uuur

uuur

AB

uuur

AC

) ，则动点P的轨迹一定通过△ABC

OP OA，(0，

AB cos B AC cosC

的( )．

A．重点B．外心C．内心D．垂心

uuur

uuur uuur uuur

AB

uuur

AC

【解析】由题意 AP，

AB cos B AC cosC