全国II卷文科数学2016年普通高等学校招生全国统一考试
2016年高考全国卷一文科数学试题及答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合,，则（A ）｛1，3} (B ）{3,5｝ （C ）｛5,7｝ (D){1，7} （2）设的实部与虚部相等,其中a 为实数，则a=(A ）－3 (B)－2 (C ）2 (D ）3（3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(A ） （B) (C ） （D ）（4)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，,，则b=（A ） （B ）(C ）2 (D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的l 距离为其短轴长的41，则该椭圆的离心率为 (A)31 (B ）21 （C ）32 (D ）43（6）若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41个周期后,所得图像对应的函数为 (A ）y =2sin(2x +4π） （B ）y =2sin （2x +3π) (C ）y =2sin （2x –4π) （D ）y =2sin （2x –3π)(7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。
若该几何体的体积是328π,则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（8）若a>b>0，0〈c<1，则(A)log a c<log b c （B）log c a<log c b （C）a c〈b c （D)c a〉c b（9）函数y=2x2–e｜x｜在[–2,2]的图像大致为(A）（B）（C）（D)（10）执行右面的程序框图,如果输入的n=1，则输出的值满足（A）（B）(C) (D ）（11）平面过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，, ,，则m ，n 所成角的正弦值为（A) (B) （C ） (D ）(12）若函数在单调递增，则a 的取值范围是（A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13）设向量a =（x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x =（14）已知θ是第四象限角，且sin （θ+）=，则tan(θ–）= .（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay —2=0相交于A ,B 两点，若32AB ，则圆C 的面积为（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅲ卷)数学试题 (文科)解析版
绝密★启封并使用完毕前注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前,考生务必将自己地，准考证号填写在本试题相应地位置。
3.全部结果在答题卡上完成,答在本试题上无效。
4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==,则A B ð＝（ ）（A ）{48},（B ）{026}，,（C ）{02610}，，,（D ）{0246810}，，，，,【结果】C【思路】试题思路：由补集地概念,得C {0,2,6,10}A B =,故选C ．考点：集合地补集运算．【技巧点拨】研究集合地关系,处理集合地交，并，补地运算问题,常用韦恩图，数轴等几何工具辅助解题．一般地,对离散地数集，抽象地集合间地关系及运算,可借助韦恩图,而对连续地集合间地运算及关系,可借助数轴地直观性,进行正确转化．（2）若43i z =+,则||z z ＝（ ）（A ）1（B ）1- （C ）43i 55+ （D ）43i 55-【结果】D考点：1，复数地运算。
2，共轭复数。
3，复数地模．【举一反三】复数地加，减法运算中,可以从形式上理解为有关虚数单位“i ”地多项式合并同类项,复数地乘法与多项式地乘法相类似,只是在结果中把2i 换成－1．复数除法可类比实数运算地分母有理化．复数加，减法地几何意义可依平面向量地加，减法地几何意义进行理解．（3）已知向量1(2BA =u u v,1),2BC =u u u v 则ABC ∠=（ ）(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200【结果】A考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 地数量积为·cos a b a b θ ＝,其中θ是a 与b 地夹角,要注意夹角地定义和它地取值范围：0180θ︒≤≤︒。
2016全国卷Ⅱ高考理科数学试卷及答案(word版)
2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知i m m z )1()3(-++=在复平面对应的点在第四象限，则实数m 的取值围是（A ）（3-，1） （B ）（1-，3） （C ）（1，∞+） （D ）（∞-，3-）（2） 已知集合{}3,2,1=A ，{}Z x x x x B ∈<-+=，0)2)(1(，则=B A （A ）{}1 （B ）{}2,1 （C ）{}3,2,1,0 （D ）{}3,2,1,0,1- （3） 已知向量),1(m a =，)2,3(-=b 且b b a ⊥+)(，则=m（A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 （4） 圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a（A ）34-（B ）43- （C ）3 （D ）2（5） 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π（C ）28π （D ）32π （7） 若将函数x y 2sin 2=的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为 （A ）)(62Z k k x ∈-=ππ （B ）)(62Z k k x ∈+=ππ 44423（C ）)(122Z k k x ∈-=ππ （D ）)(122Z k k x ∈+=ππ （8） 中国古代有计算多项式值的九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ,依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9） 若53)4cos(=-απ，则=α2sin （A ）257 （B ）51 （C ）51- （D ）257-（10）以从区间[]1,0随机抽取n 2个数n n y y y x x x ，⋯⋯,,,,,,2121，构成n 个数对),(),,(),,(2211n n y x y x y x ，⋯，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）m n 4 （B ）m n 2 （C ）n m 4 （D ）nm 2 （11）已知21,F F 是双曲线E ：12222=-by a x 的左,右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，31sin 12=∠F MF ，则E 的离心率为 （A ）2 （B ）23（C ）3 （D ）2 （12）已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f -=-，若函数xx y 1+=与)(x f y =图像的交点为),(,),,(),,(2211m m y x y x y x ⋯，则=+∑=mi i iy x1)(（A ）0 （B ）m （C ）m 2 （D ）m 4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))
圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标III卷)试题及答案解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（新课标III 卷）试题及答案解析注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð= （A ）{48}，（B ）{026}，，（C ）{02610}，，，（D ）{0246810}，，，，，（2）若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C ）43+i55 （D ）43i55-（3）已知向量BA →=（12，32），BC →=（32，12），则∠ABC =（A ）30°（B ）45°（C ）60°（D ）120°（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是 （A ）各月的平均最低气温都在0℃以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均最高气温高于20℃的月份有5个（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I,N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（A ）815（B ）18（C ）115（D ）130（6）若tan θ=31-，则cos2θ= （A ）45-（B ）15-（C ）15（D ）45（7）已知4213332,3,25a b c ===，则(A)b<a<c(B) a<b<c(C) b<c<a(D) c<a<b（8）执行右面的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6(9）在ABC 中，B=1,,sin 43BC BC A π=边上的高等于则 (A)310 (B)1010 (C)55 (D)31010（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81（11）在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是 （A ）4π（B ）9π2（C ）6π（D ）32π3（12）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22—24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y –5的最小值为______.（14）函数y =sin x –3cos x 的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到.（15）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD|= __________. （16）已知f (x )为偶函数，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线y = f (x )在点(1,2)处的切线方程是_________________________. 【分值】 5分三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1，211(21)20n n n n a a a a ++---=（I ）求a 2，a 3；（II ）求{a n }的通项公式。
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学压轴卷
（2）复数 z1 ， z2 在复平面内对应的点关于直线 y x 对称，且 z1 3 2i ，则 z2 （A） 3 2i （B） 2 3i （C） 3 2i （D） 2 3i
（3）已知命题 p : “ x R, e x x 1 0 ” ，则 p 为 （A） x R, e x x 1 0 （C） x R, e x x 1 0 （B） x R, e x x 1 0 （D） x R, e x x 1 0
（A）
（B）
（C）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（A）9
（B）10
（C）11
（D）12
1 1 （10）函数 y ln x x 2 的零点所在的区间是 2 x 1 （A） ( ,1) （B） (1, 2) （C） (2, e) e
（D） (e,3)
3 x 4 y 10 0 （11）已知不等式组 x 4 表示区域 D ，过区域 D 中任意一点 P 作圆 x 2 y 2 1 的两 y 3
（ 7 ）在平面直角坐标系 xOy 中，满足 x 2 y 2 1, x 0, y 0 的点
P ( x, y ) 的集合对应的平面图形的面积为
4
；类似的， 在空间直角坐
标系 O xyz 中，满足 x 2 y 2 z 2 1 ， x 0, y 0, z 0 的点 P ( x, y, z ) 的集合对应的空间几何体的体积为 （A）
（14）设平面向量 m 1, 2 , n 2, b ，若 m / / n ，则 m n 等于
（15）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗 虚线画出的是某几何体的三视图 （其中虚线弧与实线弧都是以 正视图正方形中心为圆心的四分之一圆弧） ，则该几何体的体 积为 .
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科、全国卷二(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)2.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}3.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )A.-8B.-6C.6D.84.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-43B.-34C.3D.25.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.96.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π7.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A.x=kπ2-π6(k∈Z) B.x=kπ2+π6(k∈Z)C.x=kπ2-π12(k∈Z) D.x=kπ2+π12(k∈Z)8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( )A.7B.12C.17D.34 9.若cos π4-α =35,则sin 2α=( ) A.725B.15C.-15D.-72510.从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1,x 2,…,x n ,y 1,y 2,…,y n ,构成n 个数对(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4m nD.2m n11.已知F 1,F 2是双曲线E:x 2a2-y 2b 2=1的左,右焦点,点M 在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( ) A. 2 B.32C. 3D.212.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x +1x与y=f(x)图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i =1m(x i +y i )=( )A.0B.mC.2mD.4m第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.,cos 13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45C=5,a=1,则b= .1314.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号) 15.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说:“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是.16.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (Ⅰ)求b1,b11,b101;(Ⅱ)求数列{b n}的前1 000项和.18.(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.19.(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点,EF交BD于点H.将△DEF沿EF E,F分别在AD,CD上,AE=CF=54折到△D'EF的位置,OD'=10.(Ⅰ)证明:D'H⊥平面ABCD;(Ⅱ)求二面角B-D'A-C的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆E:x 2t +y23=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA. (Ⅰ)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.21.(本小题满分12分)(Ⅰ)讨论函数f(x)=x-2x+2e x的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e x+x+2>0;(Ⅱ)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=e x-ax-ax(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(Ⅱ)直线l的参数方程是x=t cosα,y=t sinα(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=10,求l的斜率.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)= x-12+ x+12,M为不等式f(x)<2的解集.(Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A由已知可得m+3>0,m-1<0⇒m>-3,m<1⇒-3<m<1.故选A.2.C由(x+1)(x-2)<0⇒-1<x<2,又x∈Z,∴B={0,1},∴A∪B={0,1,2,3}.故选C.3.D由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=0,∴m=8.故选D.4.A圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为a2+1=1,解得a=-43.故选A.5.B分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.6.C由三视图可得圆锥的母线长为22+(23)2=4,∴S圆锥侧=π×2×4=8π.又S圆柱侧=2π×2×4=16π,S圆柱底=4π,∴该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π.故选C.7.B将函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度得到函数y=2sin2 x+π12=2sin2x+π6的图象,由2x+π6=kπ+π2(k∈Z),可得x=kπ2+π6(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=kπ2+π6(k∈Z),故选B.8.C k=0,s=0,输入a=2,s=0×2+2=2,k=1;输入a=2,s=2×2+2=6,k=2;输入a=5,s=6×2+5=17,k=3>2,输出s=17.故选C.9.D解法一:sin 2α=cosπ2-2α =cos 2π4-α=2cos2π4-α -1=2×352-1=-725.故选D.解法二:cosπ4-α =22(cos α+sinα)=35⇒cos α+sinα=325⇒1+sin 2α=1825,∴sin2α=-725.故选D.10.C如图,数对(x i,y i)(i=1,2,…,n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界),两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内,则由几何概型的概率公式可得mn =14π1⇒π=4mn.故选C.11.A解法一:由MF1⊥x轴,可得M-c,b2a ,∴|MF1|=b2a.由sin∠MF2F1=13,可得cos∠MF2F1=1-132=223,又tan∠MF2F1=|MF1||F1F2|=b2a2c,∴b2a2c=13223,∴b2=22ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2-22ac=0⇒e2-22e-1=0,∴e=2.故选A.解法二:由MF1⊥x轴,得M-c,b2a ,∴|MF1|=b2a,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+b2a,又sin∠MF2F1=|MF1||MF2|=b2a2a+b2=13⇒a2=b2⇒a=b,∴e=a2+b2a=故选A.12.B 由f(-x)=2-f(x)可知f(x)的图象关于点(0,1)对称,又易知y=x +1x=1+1x 的图象关于点(0,1)对称,所以两函数图象的交点成对出现,且每一对交点都关于点(0,1)对称,则x 1+x m =x 2+x m-1=…=0,y 1+y m =y 2+y m-1=…=2,∴∑i =1m(x i +y i )=0×m2+2×m2=m.故选B.二、填空题 13.答案2113解析 由已知可得sin A=35,sin C=1213,则sin B=sin(A+C)=35×513+45×1213=6365,再由正弦定理可得asin A =bsin B⇒b=1×636535=2113.14.答案 ②③④解析 由m ⊥n,m ⊥α,可得n ∥α或n 在α内,当n ∥β时,α与β可能相交,也可能平行,故①错.易知②③④都正确. 15.答案 1和3解析 由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2,则乙的卡片上的数字是2和3,甲的卡片上的数字是1和3,满足题意;若丙的卡片上的数字是1和3,则乙的卡片上的数字是2和3,此时,甲的卡片上的数字只能是1和2,不满足题意.故甲的卡片上的数字是1和3.16.答案 1-ln 2解析 直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由y=ln x+2得y'=1x ,由y=ln(x+1)得y'=1x +1,∴k=1x 1=1x2+1,∴x 1=1k ,x 2=1k -1,∴y 1=-ln k+2,y 2=-ln k.即A 1k ,-ln k +2 ,B 1k -1,-ln k ,∵A 、B 在直线y=kx+b 上, ∴ 2-ln k =k ·1k +b,-ln k =k · 1k -1 +b ⇒ b =1-ln2,k =2. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)设{a n }的公差为d,据已知有7+21d=28, 解得d=1.所以{a n }的通项公式为a n =n.b 1=[lg 1]=0,b 11=[lg 11]=1,b 101=[lg 101]=2.(6分) (Ⅱ)因为b n = 0,1≤n <10,1,10≤n <100,2,100≤n <1 000,3,n =1 000,(9分)所以数列{b n }的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.(12分)18.解析 (Ⅰ)设A 表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)(Ⅱ)设B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15. 又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P (AB )P (A )=P (B )P (A )=0.150.55=311.因此所求概率为311.(7分)(Ⅲ)记续保人本年度的保费为X 元,则X 的分布列为EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)19.解析(Ⅰ)由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD =CFCD,故AC∥EF.因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.(2分)由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-A O2=4.由EF∥AC得OHDO =AEAD=14.所以OH=1,D'H=DH=3.于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.(4分)又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D'H⊥平面ABCD.(5分)(Ⅱ)如图,以H为坐标原点,HF的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3),AB=(3,-4,0),AC=(6,0,0),AD'=(3,1,3).(6分)设m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,则m·AB=0,m·AD'=0,即3x1-4y1=0,3x1+y1+3z1=0,所以可取m=(4,3,-5).(8分)设n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,则n ·AC =0,n ·AD' =0,即 6x 2=0,3x 2+y 2+3z 2=0, 所以可取n =(0,-3,1).(10分) 于是cos<m ,n >=m ·n|m ||n |= 50×10=-7 525. sin<m ,n >=2 9525.因此二面角B-D'A-C 的正弦值是2 9525.(12分)20.解析 (Ⅰ)设M(x 1,y 1),则由题意知y 1>0. 当t=4时,E 的方程为x 24+y 23=1,A(-2,0).(1分) 由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y=x+2.(2分) 将x=y-2代入x 24+y 23=1得7y 2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y 1=127.(4分)因此△AMN 的面积S △AMN =2×12×127×127=14449.(5分)(Ⅱ)由题意,t>3,k>0,A(- t ,0).将直线AM 的方程y=k(x+ t ) 代入x 2t +y 23=1得(3+tk 2)x 2+2 t ·tk 2x+t 2k 2-3t=0.(7分) 由x 1·(- t )=t 2k 2-3t 3+tk2得x 1=t (3-t k 2)3+tk 2, 故|AM|=|x 1+ t | 1+k 2=6 t (1+k 2)3+tk .(8分)由题设,直线AN 的方程为y=-1k (x+ t ), 故同理可得|AN|=6k t (1+k 2)3k 2+t.(9分)由2|AM|=|AN|得23+tk 2=k3k 2+t ,即(k 3-2)t=3k(2k-1). 当k= 23时上式不成立,因此t=3k (2k -1)k 3-2.(10分)t>3等价于k 3-2k 2+k-2k 3-2=(k -2)(k 2+1)k 3-2<0,即k -2k 3-2<0.(11分)由此得 k -2>0,k 3-2<0或 k -2<0,k 3-2>0,解得 23<k<2.因此k 的取值范围是( 3分)21.解析 (Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞).(2分) f '(x)=(x -1)(x +2)e x -(x-2)e x(x +2)2=x 2e x (x +2)2≥0,且仅当x=0时, f '(x)=0,所以f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)单调递增. 因此当x ∈(0,+∞)时, f(x)>f(0)=-1. 所以(x-2)e x >-(x+2),(x-2)e x +x+2>0.(4分) (Ⅱ)g'(x)=(x -2)e x +a(x+2)x 3=x +2x 3(f(x)+a).(5分)由(Ⅰ)知, f(x)+a 单调递增.对任意a ∈[0,1), f(0)+a=a-1<0, f(2)+a=a ≥0. 因此,存在唯一x a ∈(0,2],使得f(x a )+a=0,即g'(x a )=0.(6分) 当0<x<x a 时, f(x)+a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x>x a 时, f(x)+a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.(7分) 因此g(x)在x=x a 处取得最小值, 最小值为g(x a )=e x a -a(x a +1)x a2=e x a +f(x a )(x a +1)x a2=e x axa +2.(8分)于是h(a)=e x axa+2,由 e x x +2 '=(x +1)e x(x +2)>0,得y=e xx +2单调递增.所以,由x a ∈(0,2],得12=e 00+2<h(a)=e x ax a +2≤e 22+2=e 24.(10分)因为y=e xx+2单调递增,对任意λ∈12,e24,存在唯一的x a∈(0,2],a=-f(x a)∈[0,1),使得h(a)=λ.所以h(a)的值域是12,e2 4.综上,当a∈[0,1)时,g(x)有最小值h(a),h(a)的值域是12,e24.(12分)22.解析(Ⅰ)因为DF⊥EC,所以△DEF∽△CDF,则有∠GDF=∠DEF=∠FCB,DF CF =DECD=DGCB,所以△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=∠CBF.因此∠CGF+∠CBF=180°,所以B,C,G,F四点共圆.(5分)(Ⅱ)由B,C,G,F四点共圆,CG⊥CB知FG⊥FB.连结GB.由G为Rt△DFC斜边CD的中点,知GF=GC,故Rt△BCG≌Rt△BFG,因此,四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍,即S=2S△GCB=2×12×12×1=12.(10分)23.解析(Ⅰ)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.(3分) (Ⅱ)在(Ⅰ)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.(6分)|AB|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=144cos2α-44.(8分)由|AB|=10得cos2α=38,tan α=±153.(9分)所以l的斜率为153或-153.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)=-2x,x≤-12,1,-12<x<12,2x,x≥12.(2分)当x≤-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;(3分)当-12<x<12时, f(x)<2;(4分)当x≥12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.(5分)所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(6分)(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.(10分)。
【全国Ⅱ卷】2016年普通高校招生全国统一考试数学理科试卷含答案解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)2.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}3.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )A.-8B.-6C.6D.84.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.D.25.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.96.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π7.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若A.7B.12C.17D.349.若cos-=,则sin 2α=( )A. B. C.- D.-10.从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A. B. C. D.11.已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )A. B. C. D.212.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则 (xi+yi)=( )A.0B.mC.2mD.4m第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .14.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)15.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字16.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)S n 为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(Ⅰ)求b1,b11,b101;(Ⅱ)求数列{bn}的前1 000项和.18.(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.19.(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=.(Ⅰ)证明:D'H⊥平面ABCD;(Ⅱ)求二面角B-D'A-C的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(Ⅰ)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.21.(本小题满分12分)(Ⅰ)讨论函数f(x)=-e x的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e x+x+2>0;(Ⅱ)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=--(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(Ⅱ)直线l的参数方程是,(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=-+,M为不等式f(x)<2的解集.(Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A由已知可得-⇒⇒-3<m<1.故选A.2.C由(x+1)(x-2)<0⇒-1<x<2,又x∈Z,∴B={0,1},∴A∪B={0,1,2,3}.故选C.3.D由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=0,∴m=8.故选D.4.A圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为=1,解得a=-.故选A.5.B分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.6.C由三视图可得圆锥的母线长为=4,∴S圆锥侧=π×2×4=8π.又S圆柱侧=2π×2×4=16π,S圆柱底=4π,∴该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π.故选C.7.B将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin 2=2sin的图象,由2x+=kπ+(k∈Z),可得x=+(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=+(k∈Z),故选B.8.C k=0,s=0,输入a=2,s=0×2+2=2,k=1;输入a=2,s=2×2+2=6,k=2;输入a=5,s=6×2+5=17,k=3>2,输出s=17.故选C.9.D解法一:sin 2α=cos-=cos 2-=2cos2--1=2×-1=-.故选D.解法二:cos-=(cos α+sinα)=⇒cos α+sinα=⇒1+sin 2α=,∴sin2α=-.故选D.10.C如图,数对(x i,y i)(i=1,2,…,n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界),两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内,则由几何概型的概率公式可得=⇒π=.故选C.11.A解法一:由MF1⊥x轴,可得M-,∴|MF1|=.由sin∠MF2F1=,可得cos∠MF2F1==,又tan∠MF2F1==,∴=,∴b2=ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0⇒e2-e-1=0,∴e=.故选A.解法二:由MF1⊥x轴,得M-,∴|MF1|=,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又sin∠MF2F1===⇒a2=b2⇒a=b,∴e==.故选A.12.B由f(-x)=2-f(x)可知f(x)的图象关于点(0,1)对称,又易知y==1+的图象关于点(0,1)对称,所以两函数图象的交点成对出现,且每一对交点都关于点(0,1)对称,则x1+x m=x2+x m-1=…=0,y1+y m=y2+y m-1=…=2,∴(x i+y i)=0×+2×=m.故选B.二、填空题13.答案解析由已知可得sin A=,sin C=,则sin B=sin(A+C)=×+×=,再由正弦定理可得=⇒b==.14.答案②③④解析由m⊥n,m⊥α,可得n∥α或n在α内,当n∥β时,α与β可能相交,也可能平行,故①错.易知②③④都正确.15.答案1和3解析由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2,则乙的卡片上的数字是2和3,甲的卡片上的数字是1和3,满足题意;若丙的卡片上的数字是1和3,则乙的卡片上的数字是2和3,此时,甲的卡片上的数字只能是1和2,不满足题意.故甲的卡片上的数字是1和3.16.答案1-ln 2解析直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x 1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得y'=,由y=ln(x+1)得y'=,∴k==,∴x1=,x2=-1,∴y1=-ln k+2,y2=-ln k.即A-,B--,∵A、B在直线y=kx+b上,⇒∴--三、解答题17.解析(Ⅰ)设{a n}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以{a n}的通项公式为a n=n.b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.(6分)(Ⅱ)因为b n=(9分)所以数列{b n}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.(12分)18.解析(Ⅰ)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)(Ⅱ)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)====.因此所求概率为.(7分)(Ⅲ)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)19.解析(Ⅰ)由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得=,故AC∥EF.因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.(2分)由AB=5,AC=6得DO=BO=-=4.由EF∥AC得==.所以OH=1,D'H=DH=3.于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.(4分)又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D'H⊥平面ABCD.(5分)(Ⅱ)如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).(6分)设m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,-则即所以可取m=(4,3,-5).(8分)设n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,则即所以可取n=(0,-3,1).(10分)于是cos<m,n>===-.sin<m,n>=.因此二面角B-D'A-C的正弦值是.(12分)20.解析(Ⅰ)设M(x 1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).(1分)由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.(4分)因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(5分)(Ⅱ)由题意,t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+) 代入+=1得(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2-3t=0.(7分) 由x1(-)=-得x1=-,故|AM|=|x1+ |=.(8分)由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.(9分)由2|AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=--.(10分)t>3等价于---=--<0,即--<0.(11分)由此得--或--解得<k<2.因此k的取值范围是(,2).(12分)疑难突破 第(Ⅰ)问中求出直线 AM 的倾斜角是解决问题的关键;第(Ⅱ)问利用 2|AM|=|AN|得出 t 与 k 的关系式, 由 t>3,建立关于 k 的不等式,从而得出 k 的取值范围. 21. 解析 (Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞).(2 分) f '(x)=- -=≥0,且仅当 x=0 时, f '(x)=0, 所以 f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)单调递增. 因此当 x∈(0,+∞)时, f(x)>f(0)=-1. 所以(x-2)ex>-(x+2),(x-2)ex+x+2>0.(4 分) (Ⅱ)g'(x)=-=(f(x)+a).(5 分)由(Ⅰ)知, f(x)+a 单调递增.对任意 a∈[0,1), f(0)+a=a-1<0, f(2)+a=a≥0. 因此,存在唯一 xa∈(0,2],使得 f(xa)+a=0,即 g'(xa)=0.(6 分) 当 0<x<xa 时, f(x)+a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当 x>xa 时, f(x)+a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.(7 分) 因此 g(x)在 x=xa 处取得最小值, 最小值为 g(xa)= 于是 h(a)= ,由-= '= <h(a)= >0,得 y= ≤=.(8 分) 单调递增.所以,由 xa∈(0,2],得 = 因为 y== .(10 分) .单调递增,对任意 λ∈,存在唯一的 xa∈(0,2],a=-f(xa)∈[0,1),使得 h(a)=λ.所以 h(a)的值域是 .(12 分)综上,当 a∈[0,1)时,g(x)有最小值 h(a),h(a)的值域是疑难突破 本题求解的关键是“设而不求”方法的运用,另外,注意将对 g'(x)符号的判断灵活地转化为对 f(x)+a 符 号的判断. 22. 解析 (Ⅰ)因为 DF⊥EC,所以△DEF∽△CDF,则有∠GDF=∠DEF=∠FCB, = = ,所以△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=∠CBF. 因此∠CGF+∠CBF=180°,所以 B,C,G,F 四点共圆.(5 分)(Ⅱ)由 B,C,G,F 四点共圆,CG⊥CB 知 FG⊥FB.连结 GB. 由 G 为 Rt△DFC 斜边 CD 的中点,知 GF=GC, 故 Rt△BCG≌Rt△BFG, 因此,四边形 BCGF 的面积 S 是△GCB 面积 S△GCB 的 2 倍, 即 S=2S△GCB=2× × ×1= .(10 分) 23. 解析 (Ⅰ)由 x=ρcos θ,y=ρsin θ 可得圆 C 的极坐标方程 ρ2+12ρcos θ+11=0.(3 分) (Ⅱ)在(Ⅰ)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R).(4 分) 设 A,B 所对应的极径分别为 ρ1,ρ2,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2+12ρcos α+11=0. 于是 ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.(6 分) |AB|=|ρ1-ρ2|= 由|AB|= = .(9 分) .(8 分)得 cos2α= ,tan α=± 或.(10 分)所以 l 的斜率为方法总结 利用数形结合的思想方法及整体运算的技巧极大地提高了解题效率. 24. 解析 (Ⅰ)f(x)= (2 分)当 x≤- 时,由 f(x)<2 得-2x<2,解得 x>-1;(3 分) 当- <x< 时, f(x)<2;(4 分) 当 x≥ 时,由 f(x)<2 得 2x<2,解得 x<1.(5 分)所以 f(x)<2 的解集 M={x|-1<x<1}.(6 分) (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当 a,b∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0. 因此|a+b|<|1+ab|.(10 分) 方法总结 解含有两个绝对值的不等式问题主要采用零点分段法求解,另外,若所证不等式的两边均为非负数, 则先把两边平方,然后利用作差法求解.。
数学-2016年高考真题——全国Ⅱ卷(理)(word版含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围 是( )（A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--，（2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =( )（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =( )（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=( )（A ）43-（B ）34- （C （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) （A ）20π （B ）24π （C ）28π（D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) （A ）x =k π2–π6 (k ∈Z )（B ）x =k π2+π6 (k ∈Z )（C ）x =k π2–π12(k ∈Z )（D ）x =k π2+π12(k ∈Z )（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =( )（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=( )（A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为( )（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn（11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为( )（A （B ）32（C （D ）2（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑( )（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = . (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . （3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .（16）若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln （x +2）的切线，则b = .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，. （I ）求111101b b b ，，；（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.18.（本题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（I ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ,F 分别在AD ,CD 上，AE =CF =54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，OD '=（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为的直线交E 于A ,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当t =4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数2()e 2xx f x x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)e 20;x x x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2e =(0)x ax a g x x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.(0)k k >请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲如图，在正方形ABCD ，E ,G 分别在边DA ,DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；(II)若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为.（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣= ，求l 的斜率.22(6)25x y ++=cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数，M 为不等式的解集. （I ）求M ；（II ）证明：当时，．11()||||22f x x x =-++()2f x <,a b M ∈|||1|a b ab +<+参考答案一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）【答案】A考点： 复数的几何意义. （2）【答案】C 【解析】试题分析：集合，而，所以，故选C.考点： 集合的运算. （3）【答案】D 【解析】试题分析：向量，由得，解得，故选D.考点： 平面向量的坐标运算、数量积. （4）【答案】A考点： 圆的方程、点到直线的距离公式. （5）【答案】B 【解析】B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=A {1,2,3}=A B {0,1,2,3}=a b (4,m 2)+=-(a b)b +⊥43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=m 8=试题分析：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有条路，再从F 处到G 处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条，故选B.考点： 计数原理、组合. （6）【答案】C考点： 三视图，空间几何体的体积. （7）【答案】B 【解析】试题分析：由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B. 考点： 三角函数的图象变换与对称性. （8）【答案】C考点： 程序框图，直到型循环结构. （9）【答案】D 【解析】试题分析： ，且，故选D.考点：三角恒等变换. （10）【答案】C24C 13C 214318C C ⋅=2sin 2y x =12π2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+2,62x k k Z πππ+=+∈,62k x k Z ππ=+∈2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C. 考点： 几何概型. （11）【答案】A考点：双曲线的性质.离心率. （12）【答案】C 【解析】试题分析：由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C. 考点： 函数图象的性质二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 (13)【答案】考点： 三角函数和差公式，正弦定理. (14) 【答案】②③④224S R mS R nπ==圆正方形4mnπ=()()2f x f x -+=()1f x x =+111x y x x+==+()()1,2,1,0-12122x x y y +++=2113试题分析：对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④. 考点： 空间中的线面关系. （15）【答案】1和3 【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 考点： 推理.（16）【答案】考点： 导数的几何意义.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.,,//m n m n αβ⊥⊥,αβ//n αn γβc //n c ,,m m c m n α⊥∴⊥∴⊥1ln 2-10b =111b =1012b =考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.18.【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，求的分布列为，在根据期望公式求解..考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望. 19.【答案】（Ⅰ）详见解析；.n X X（II ）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是，因此二面角H HF x H xyz -()0,0,0H ()3,2,0A --()0,5,0B -()3,1,0C -()'0,0,3D (3,4,0)AB =-()6,0,0AC =()'3,1,3AD =()111,,m x y z ='ABD 'm AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩()4,3,5m =-()222,,n x y z ='ACD 'n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222260330x x y z =⎧⎨++=⎩()0,3,1n =-cos ,2550m n m n m n⋅<>===295sin ,m n <>=考点：线面垂直的判定、二面角. 20.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.'B D A C --14449)3t >0k>()A AM (y k x =2213x y t +=()22222330tk xx t k t +++-=(22123tk x tk ⋅=+)21233tk x tk-=+1AM x =+=考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.（21）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.试题解析：（Ⅰ）的定义域为.且仅当时，，所以在单调递增， 因此当时， 所以21(,].24e (0,)x ∈+∞()(0)f x f >()g x 00h()2x e a x =+()f x (,2)(2,)-∞-⋃-+∞222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++0x ='()0f x =()f x (,2),(2,)-∞--+∞(0,)x ∈+∞()(0)1,f x f >=-(2)(2),(2)20xxx e x x e x ->-+-++>因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是考点： 函数的单调性、极值与最值. （22）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.2x e x +21(,],24e λ∈0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =∈(),h a λ=()h a 21(,],24e [0,1)a ∈()g x ()h a ()h a 21(,].24e 12考点： 三角形相似、全等，四点共圆（23）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.212cos 110ρρθ++=3±考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式. （24）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析. 【解析】考点：绝对值不等式，不等式的证明.{|11}M x x =-<<。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)理(精校解析)
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1 至3 页，第Ⅱ卷3 至5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知z (m 3) (m 1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）（A）(3，1) （B）(1，3) （C）(1,+) （D）(-，3)【答案】A【解析】由已知得，解得，所以实数的取值范围是.考点：复数的几何意义.（2）已知集合A {1,2,3}，B {x| (x 1)(x 2) 0, x Z}，则A B （）（A）{1}（B）{1，2} （C）{0，1，2，3} （D）{1，0，1，2，3}【答案】C【解析】集合 B {x | 1x 2,x Z} {0,1}，而 A {1, 2,3}，所以A B {0,1, 2,3}，故选C.考点：集合的运算.（3）已知向量a (1,m)，a =(3,2)，且(a+，则m=（）b ) b（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】向量 ab (4, m 2) ，由 (ab ) b 得 43 (m 2)(2) 0，解得 m 8 ，故选 D.考点： 平面向量的坐标运算、数量积. （4）圆x2y 2 2x 8y 13 0的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1，则a=（）（A ）4（B ） 3（C ） 3（D ）24 （B ） 334【答案】A【解析】由 由配方得，所以圆心为，半径，因为圆的圆心到直线的距离为 1，所以 ，解得 ，故选 A.考点： 圆的方程、点到直线的距离公式.（5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓 参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A ）24 （B ）18 （C ） 12 （D ）9【答案】B【解析】由题意，小明从街道的 E 处出发到 F 处最短有C 2 条路，再从 F 处到 G 处最短共有4C 条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C 2C 1条，故选 B.1 34318考点： 计数原理、组合.（6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A ） 20 （B ） 24 （C ） 28 （D ）32【答案】C【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为.考点： 三视图，空间几何体的体积. （7）若将函数 y 2 sin 2x 的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （）kk（A ） x(k Z ) （B ） x(kZ )26 2 6 k k（C ） x(k Z ) （D ） x(k Z )212212【答案】B【 解 析 】 由 题 意 ， 将 函 数 y2 sin 2x 的 图 像 向 左 平 移个 单 位 得12y 2 sin 2(x) 2sin(2x ) ，则平移后函数的对称轴为 2xk ,kZ ，12 6 62 k 即 x ,k Z ，故选 B.6 2考点： 三角函数的图象变换与对称性.（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框 图，若输入的 x2,n 2，依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s（ ）（A）7 （B）12 （C）17 （D）34【答案】C【解析】第一次运行，，，，，不满足；第二次运行，，，，不满足；第三次运行，，，，满足.输出，故选C．考点：程序框图，直到型循环结构.3（9）若cos( ) ，则sin 2（）4 571 1 （D）7 （A）（B）（C）25 5 5 25【答案】D23 72【解析】cos 2 2 cos 1 2 14 4 525，，故选D.且cos 2 cos 2 sin 24 2考点：三角恒等变换.（10）从区间0,1随机抽取2n个数x,1x，…，2x，ny，1y，…，2y，构成n个数对nx y，x y，…，,1,12, 2x y ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机nn模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 （A ）4nm（B ） 2n m （C ）4m n（D ）2mn【答案】C【解析】利用几何概型，圆 形的面积和正方形的面积比为SR 2 m圆S4Rn2正方形，所以4m .选 C. n考点： 几何概型.（11）已知F 1, F 2 是双曲线E xy22:1的左，右焦点，点 M 在 E上，ab22MF 与 x 轴垂直，11sin MF F ,则 E 的离心率为（）2 133（A ） 2 （B ）（C ） 3（D ）22【答案】A【解析】因为 ， 是双曲线 的左，右焦点，所以 ， ，因为点 在 上， 与 轴垂直，所以 ，因为在 中， ，所以 ，整理得 ，因为，所以，整理得，由得，（舍去）；由得，，因为，所以.考点：双曲线的性质.离心率.（12）已知函数f(x)(x R) 满足f (x ) 2 f(x)，若函数yx 1与y f(x) 图像的x交点为m( , ),( , ), ,( , ),x y x y x y则(x y )（）1 12 2 m m i ii 1（A）0 （B）m（C）2m（D）4m【答案】C【解析】由于f x f x 2 ，不妨设f xx 1，与函数yx 1 11的交点x x为1, 2,1,0，故x x y y ，故选C.1 2 1 2 2考点：函数图象的性质第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13 ～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分(13) ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c，若cos A 4 ，cos 5C，a 1，则5 13b．21【答案】13【解析】在△中，因为，，所以，，所以，因为，由正弦定理得，，所以. 考点：三角函数和差公式，正弦定理.(14) ,是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m n,m ,n / /，那么.（2）如果m ,n / /，那么m n .（3）如果/ /,m ，那么m / /.（4）如果m / /n,/ /，那么m 与所成的角和n 与所成的角相等.其中正确的命题有．.(填写所有正确命题的编号）【答案】②③④【解析】对于①，m n,m ,n // ，则,的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为n //，所以过直线n 作平面与平面相交于直线c ，则n // c ，因为m ,m c,m n ，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.考点：空间中的线面关系.（15）有三张卡片，分别写有1 和2，1 和3，2 和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．【答案】1 和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1 和3，乙的卡片上数字为2 和3，丙卡片上数字为1 和2.考点：推理.（16）若直线y kx b 是曲线y ln x 2 的切线，也是曲线y ln(x 1) 的切线，则b ．【答案】1ln 2【解析】的切线为：（设切点横坐标为）,的切线为：,所以 ，解得 ,所以 ．考点： 导数的几何意义.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12 分） S为等差数列a 的前 n 项和，且 nna ，S记 b =lg a ，其中x表示不超过 x1=1728.a ，S记 b =lg a，其中x表示不超过 xnn的最大整数，如0.9=0，lg 99=1．（Ⅰ）求b ，b ，b ；111101（Ⅱ）求数列b 的前 1 000 项和．n【答案】（Ⅰ） b ， b ，b， b，1 0111b；（Ⅱ）1893.1012【解析】（Ⅰ）设 的公差为 ，据已知有，解得所以的通项公式为（Ⅱ）因为 所以数列的前项和为考点：等差数列的的性质，前 n 项和公式，对数的运算. 18.（本题满分 12 分）某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 5 保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 5概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X，求X的分布列为，在根据期望公式求解..【解析】（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故又，故因此所求概率为（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为考点：条件概率，随机变量的分布列、期望.19.（本小题满分12 分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5, AC6，点E, F分别在AD,CD上，5AE CF，EF交BD于点H．将DEF沿EF折到D'EF位置，4OD．10（Ⅰ）证明：D H平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B D A C的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）2 95 25.【 解 析 】（ I ） 由 已 知 得， ， 又 由 得 ， 故.因此，从而.由, 得 .由 得 .所以， .于是 ，故 . 又 ，而，所以.（II ）如图，以为坐标原点，的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，. 设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是，.因此二面角的正弦值是.考点：线面垂直的判定、二面角.20.（本小题满分12 分）已知椭圆E: x y2 21的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0) 的直线交Et 3于A,M两点，点N在E上，MA NA．（Ⅰ）当t4,| AM|| AN| 时，求AMN的面积；（Ⅱ）当2 AM AN时，求k的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意 ， ， .将 直 线 的 方程 代 入 得.由 得 ，故 .由题设，直线 的方程为 ，故同理可得 ，由 得，即 .当时上式不成立，因此 . 等价于 ，即 .由此得，或 ，解得 .因此 的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. （21）（本小题满分 12 分） (Ⅰ)讨论函数 f (x) x 2 xe 的单调性，并证明当 x 0 时， (x 2)e x x 2 0 ；x 2(Ⅱ)证明：当 a[0,1) 时，函数eax a x（g x ）=(x 0) 有最小值.设 g (x ) 的最 小值为x2h (a ) ，求函数 h (a ) 的值域．1 e2【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ( ,].. 2 4【解析】（Ⅰ） 的定义域为.且仅当时，，所以在单调递增，因此当时，所以（II）由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有最小值，的值域是考点：函数的单调性、极值与最值.请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD中，E,G分别在边DA, DC上（不与端点重合），且DE DG，过D点作DF CE，垂足为F．(Ⅰ) 证明：B,C,G, F四点共圆；(Ⅱ)若AB1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1 2 .【解析】（I）因为,所以则有所以由此可得因此所以四点共圆.（II）由四点共圆，知，连结，由为斜边的中点，知,故因此四边形的面积是面积的2 倍，即考点：三角形相似、全等，四点共圆（23）（本小题满分10 分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2 y2 25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是x t cos y t sin（t 为参数）, l 与C 交于 A , B 两点，| AB | 10 ，求l 的斜率． 【答案】（Ⅰ）212cos 110；（Ⅱ）15. 3【解析】（I ）由 可得圆 的极坐标方程（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得于是由 得 ，所以 的斜率为 或 .考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式. （24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数11f (x ) | x | | x | ， M 为不等式 f (x ) 2的解集．22（Ⅰ）求 M ； （Ⅱ）证明：当 a ,b M 时，| a b ||1 ab |．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（I）当时，学科&网由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（II）由（I）知，当时，，从而，因此考点：绝对值不等式，不等式的证明.。
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2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的
姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是
符合要求的。
（1）已知集合{123}A，，，2{|9}Bxx，则AB
（A）{210123}，，，，， （B）{21012}，，，， （C）{123}，， （D）
{12}，
（2）设复数z满足i3iz，则z=
（A）12i（B）12i（C）32i（D）32i
(3) 函数=sin()yAx的部分图像如图所示，则
（A）2sin(2)6yx
（B）2sin(2)3yx
（C）2sin(2+)6yx
（D）2sin(2+)3yx
(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（A）12（B）323（C）（D）
(5) 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=kx（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=
（A）12（B）1 （C）32（D）2
(6) 圆x2+y
2
−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=
（A）−43（B）−34（C）3（D）2
(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π
(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来
到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
（A）710（B）58（C）38（D）310
(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程
序框图，若输入的a为2，2，5，则输出的s=
（A）7
（B）12
（C）17
（D）34
(10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是
（A）y=x（B）y=lgx（C）y=2x（D）1yx
(11) 函数π()cos26cos()2fxxx的最大值为
（A）4（B）5 （C）6 （D）7
(12) 已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），
(x2,y2)，„，（xm,ym），则1=miix
(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m
二．填空题：共4小题，每小题5分.
(13) 已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.
(14) 若x，y满足约束条件103030xyxyx，则z=x-2y的最小值为__________
（15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4cos5A，5cos13C，a=1，
则b=____________.
（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲
看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙
的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字
是________________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）(本小题满分12分)
等差数列{na}中，34574,6aaaa
（I）求{na}的通项公式；
(II)设nb=[na]，求数列{nb}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如
[0.9]=0,[2.6]=2
（18）(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度
的保费与其上年度出险次数的关联如下：学科.网
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值；
(II)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.
求P(B)的估计值；
（III）求续保人本年度的平均保费估计值.
（19）（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，
EF交BD于点H，将DEF沿EF折到'DEF的位置.
（I）证明：'ACHD；
(II)若55,6,,'224ABACAEOD,求五棱锥'ABCEFD体积.
（20）（本小题满分12分）
已知函数()(1)ln(1)fxxxax.
（I）当4a时，求曲线()yfx在1,(1)f处的切线方程；
(II)若当1,x时，()0fx＞，求a的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
已知A是椭圆E：22143xy的左顶点，斜率为0kk＞的直线交E与A，M两点，点N
在E上，MANA.
（I）当AMAN时，求AMN的面积
(II)当AMAN时，证明：32k.
请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，
过D点作DF⊥CE，垂足为F. 学科.网
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的方程为
22
(+6)+=25xy
.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是cossinxtα,ytα,ì=ïïíï=ïî（t为参数），l与C交于A，B两点，
10AB=
,
求l的斜率
.
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数11()22fxxx=-++，M为不等式()2fx<的解集. 学科.网
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，bMÎ时，1abab+<+.