平面向量与三角形四心学案
平面向量奔驰定理与三角形四心问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案
第07讲 平面向量奔驰定理与三角形四心问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。
平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。
它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。
奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo 相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。
1. 奔驰定理如图，已知P 为ABC V 内一点，则有0PBC PAC PAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2. 奔驰定理的证明如图：延长OA 与BC 边相交于点D则BOD ABD BOD ABD ACD COD ACD COD AOCAOBS S S S S BD DC S S S S S -====-V V V V V V V V V DC BD OD OB OCBC BC=+ AOCAOB AOC AOBAOC AOB S S OB OCS S S S =+++V V V V V V BOD COD BOD CODBOA COA BOA BOC AOC AOBCOA S S S S S OD OA S S S S S S +====++V V VBOCAOC AOBS OD OAS S ∴=-+V V V BOCAOC AOB AOC AOBAOC AOB AOC AOB S S S OA OB OCS S S S S S ∴-=++++V V V V V V V V V 0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∴⋅+⋅+⋅=V V V3. 奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC V 内的一点,且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=,则::::BOC COA AOB S S S x y z=V V V 有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r .（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.3．设P 是ΔABC 所在平面内的一点,若2AB CB CA AB CP ⋅+=⋅且222AB AC BC AP =-⋅.则点P 是ΔABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．已知点P 是ABC D 所在平面内一点，且满足()()cos cos AB ACAP R AB B AC C l l =+Î v vv v v ，则直线AP 必经过ABC D 的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．设是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点， 动点P 满足，，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心1．若O 是ABC V 内一点，且OA OB OA OC OC OB ⋅=⋅=⋅，则O 为ABC V 的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心2．已知点O 是ABC V 所在平面上的一点，ABC V 的三边为,,a b c ，若0a OA bOB cOC ®®®®++=，则点O 是ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3．已知点O 为ABC V 所在平面内一点，在ABC V 中，满足22AB AO AB ⋅= ，22AC AO AC ⋅= ，则点O 为该三角形的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心4．已知A ，B ，C 是不在同一直线上的三个点，O 是平面ABC 内一动点，若12OP OA AB BC l æö-=+ç÷èø，[)0,l Î+¥，则点P 的轨迹一定过ABC V 的（ ）A ．外心B ．重心C ．垂心D ．内心5．在平面上有ABC V 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC V 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O 为ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．已知G ，O ，H 在ABC V 所在平面内，满足0GA GB GC ++=，||||||OA OB OC == ，AH BH BH CH CH AH ⋅=⋅=⋅，则点G ，O ，H 依次为ABC V 的（ ）A ．重心，外心，内心B ．重心、内心，外心C ．重心，外心，垂心D ．外心，重心，垂心1．奔驰定理：已知O 是ABC D 内的一点，BOC D ，AOC D ，AOB D 的面积分别为A S ，B S ，C S，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=v v v ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC D 内的一点，A ，B ，C 是ABCD 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ v v v v v v，则必有（ ）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=v v v B ．cos cos cos 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅= v v v vC ．tan tan tan 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=v v v D ．sin 2sin 2sin 20A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=v v v 2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC V 内一点，BMC AMC AMB △，△，△的面积分别为A B C S S S ，，，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的有（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC V 的重心B ．若M 为ABC V 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若M 为ABC V 的外心，则()()()MA MB AB MB MC BC MA MC AC +⋅=+⋅=+⋅=D ．若M 为ABC V 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB Ð=1．奔驰定理：已知点O 是ABC V 内的一点，若,,BOC AOC AOB V V V 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是ABC V 的垂心，且230OA OB OC ++=，则cos C =（ ）A B C D 2．（多选）如图.P 为ABC V 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=V V V成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）A ．若P 是ABC V 的重心，则有0PA PB PC ++=B ．若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC V 的内心C ．若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC V 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n é+Îë6．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（ ）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．若2OA OB == ，5π6AOB Ð=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =V C ．若O 为△ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C Ð=D ．若O 为△ABC 的垂心，3450OA OB OC ++= ，则cos AOB Ð=一、单选题1．在ABC V 中，动点P 满足222CA CB AB CP =-⋅，则P 点轨迹一定通过ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心2．若O ，M ，N 在ABC V 所在平面内，满足||||||,OA OB OC MA MB MB MC MC MA ==⋅=⋅=⋅，且0NA NB NC ++=，则点O ，M ，N 依次为ABC V 的（ ）A ．重心，外心，垂心B ．重心，外心，内心C ．外心，重心，垂心D ．外心，垂心，重心3．已知O 为ABC V 内一点，若分别满足①OA OB OC == ；②OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅；③0OA OB OC ++= ；④0aOA bOB cOC ++=(其中,,a b c 为ABC V 中，角,,A B C 所对的边).则O 依次是ABC V 的A ．内心、重心、垂心、外心B ．外心、垂心、重心、内心C ．外心、内心、重心、垂心D ．内心、垂心、外心、重心4．给定△ABC ，则平面内使得到A ，B ，C 三点距离的平方和最小的点是△ABC 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心5．若H 为ABC V 所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC V 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心6．已知O ，A ，B ，C 是平面上的4个定点，A ，B ，C 不共线，若点P 满足()OP =OA+AB+AC l，其中R l Î，则点P 的轨迹一定经过ABC V 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心7．平面上有ABC V 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB V ，OBC △， O C A V 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a bc S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．已知点O 在平面ABC 中，且2220||||OA AB OA AC OB BA OB BC OC CA OC CB AB AC BA BC CA CB æöæöæö⋅⋅⋅⋅⋅⋅ç÷ç÷-+-+-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则点O 是ABC V 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心9．奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，若BOC V 、AOC V 、AOB V 的面积分别记为1S 、2S 、3S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是ABC V 的垂心，且240OA OB OC ++=，则cos B =( )AB ．13C ．23D10．已知O 是ABC V 所在平面上的一点,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b ,c ，若aPA bPB cPCPO a b c ++=++ v v vv （其中P 是ABC V 所在平面内任意一点），则O 点是ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++=，设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是（）A ．若0OA OB OC ++=，则O 为△ABC 的重心B ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =C ．则O 为△ABC （不为直角三角形）的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OCÐ⋅+Ð⋅+Ð⋅=D ．若2OA OB == ，5π6AOB Ð=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =V 二、多选题12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，BOC V ，AOC V ，AOB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.若O 是锐角ABC V 内的一点，A ，B ，C 是ABCV 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅.则（ ）A ．O 为ABC V 的外心B ．BOC A pÐ+=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C=D ．::tan :tan :tan A B C S S S A B C=13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，BOC V ，AOC V ，AOB V 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.设O 是锐角ABC V 内的一点，BAC Ð，ABC Ð，ACB Ð分别是ABC V 的三个内角，以下命题正确的有（ ）A ．若0OA OB OC ++=，则O 为ABC V 的重心B ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =C ．若||||2OA OB == ，5π6AOB Ð=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =V D ．若O 为ABC V 的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC Ð⋅+Ð⋅+Ð⋅=14．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC V 内一点，BMC △，AMC V ，AMB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的是（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC V 的重心B ．若M 为ABC V 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若45BAC Ð=°，60ABC Ð=°，M 为ABC V 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC V 的垂心，230MA MB MC ++= ，则cos BAC Ð=15．奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，BOC V ，AOC V ，AOB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O 、P 是锐角ABC V 内的点，A 、B 、C 是ABC V 的三个内角，且满足13PA PB PC CA ++=，OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ，则（ ）A ．::4:2:3PAB PBC PCA S S S =△△△B ．πA BOC Ð+Ð=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C=D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 三、填空题16．在面上有ABC V 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC V 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= ，则O 为ABC V 的 心.17．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OA OB CA CB OP CA A CB B l æö+ç÷=++ç÷èø，R l Î，则P 的轨迹一定经过ABC V 的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）18．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：①若P 是ABC V 的重心，则有0PA PB PC ++= ；②若0aPA bPB cPC ++= 成立，则P 是ABC V 的内心；③若2155AP AB AC =+ ，则:2:5ABP ABC S S =△△；④若P 是ABC V 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+，则)m n é+Îë；⑤若ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且7cos 8A =，O 为ABC V 内的一点且为内心.若AO x AB y AC =+ ，则x y +的最大值为45.则正确的命题有 .（填序号）19．1909年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知O 为ABC V 内一点，OBC △，OAC V ，OAB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++= ，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =，O 为ABC V 内的一点且为内心.若AO x AB y AC =+ ，则x y +的最大值为.20．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若P 是ABC V 内一点，,,BPC APC APB V V V 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B C S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= .已知O 为ABC V 的内心，且1cos 3BAC Ð=，若AO mAB nAC =+ ，则m n +的最大值为 .。
完整版三角形四心与平面向量用
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、 四心的概念介绍 （1） （2） （3） （4）重心——中线的交点：重心将中线长度分成 垂心--- 高线的交点：高线与对应边垂直； 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心） 外心——中垂线的交点 2： 1 ； :角平分线上的任意点到角两边的距离相等; :外心到三角形各顶点的距离相等。
(1)OA OB OC 0 O 是 ABC 的重心. (2) O A OB OB OC OC O A O 为ABC 的垂心 (3)设 a ,b , c 是三角形的三条边长，O 是 ABC 的内心 aoA bOBcoC 0 o 为 ABC 的内心.(4) O A OB |OC | O 为 ABC 的外心。
（外接圆的圆心） 二、 四心与向量的结合典型例题: 例1 : O 是平面上一定点， A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP OA (AB AC)， 0, A .外心 B.内心 ，则点P 的轨迹一定通过 ABC 的（ C .重心 D .垂心 例2 : O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点， P 满足OP OA (AB AC )(AB AC )， A .外心 B. 内心 0, ，则点P 的轨迹一定通过 ABC 的（C .重心D .垂心例3 : O 是平面上一定点 ,A 、B 、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OP OAAB AC 0,，则点P 的轨迹一定通过ABC 的AB cosB AC cosC ）A .外心B . 内心 c.重心D .垂心0 ,则点G 可能通过ABC 的 __________ . 举一反三：通过上述例题及解答，我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式 •若P 点为ABC 内任意一点，若P 点满足：2. D 、E 两点分别是 ABC 的边BC 、CA 上的中点，且 uuu uuu uuur uurDPgPB DPgPC uuu uuiu uuu uuu P 为VABC 的外心；EPgPC EPgPAuiur 1 uuu uuur AP —(AB AC),3uuu 1 uuu uuu BP (BA BC),3 uiur uuur AP gBC 04. uuu uuLTBPgAC 0练习:2.若 ABC 的外接圆的圆心为 0,半径为1, OA OB OC 0 ,则 OA OB ()11A.—B . 0C. 1D . —22J__■3.点O 在 ABC 内部且满足 OA 2OB2OC 0, 则 ABC 面积与凹四边形ABOC 面积之比是（)354A . 0B . -C —D—2 43■■申4.ABC 的外接圆的圆心为 O,若 OHOAOB OC ，则 H 是ABC 的（）A .外心B .内心C. 重心D .垂心2 2 25. O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，若 OA BC OB2■ - 2■ - 2CA OC AB ，则 O 是 ABC 的()A .外心B .内心C .重心D .垂心 6. ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H , OH m （OA OB OC ）,1. uur APuu u BP uuu (AB AB uuu BA t(-uuu~ BA uuurAC.-tHtF), AC uuu BC uu«F ), t BCP 为VABC 的内心P 为VABC 的重心P 为VABC 的垂心 1.已知ABC 三个顶点 A 、 B、C 及平面内一点P ，满足PA PB PC 0 ,若实数满足: AB ACAP ，则的值为（）6D3G3 - 22则实数m = _______~t . ~^卄 rt AB A C — A BA C 1 7.已知非零向量 AB 与AC 两足（— +)• BC=0 且 -,则厶ABC 为（ ）|AB| |AC||A S||A C |2A .三边均不相等的三角形 B. .直角三角形C .等腰非等边三角形D ..等边三角形&已知 ABC 三个顶点A 、B 、C 2，若 AB AB AC AB CB BC CA ，贝V ABC 为（ ）A .等腰三角形B .等腰直角三角形C .直角三角形D .既非等腰又非直角三角形9.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，0是三角形ABC 的重心，动点 P 满足一1 1 一 1 0P = （ 0A + —0B +2 0C ）,则点P 一定为三角形ABC 的（ ）3 2 2A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点一 2 ——210. 在三角形 ABC 中，动点 P 满足：CA CB 2AB?CP ，贝VP 点轨迹一定通过厶ABC 的:()A 外心B 内心C 重心D 垂心uur uuu uuu uuur11.若0点是 ABC 的外心, H 点是 ABC 的垂心,且OH m(0A OB OC ）,求实数 m 的值.ujur umr UJIT ujur 12、已知向量0P ，0F 2,0F 3满足条件0P△ RP 2P 3是正三角形.uuir unr0F 2 0F >r uuu uujr uuur0，|0P| |0P 2| |0F > | 1，求证:2 2 2A 13•在△ ABC内求一点P，使AP BP CP最小.2。
平面向量与三角形“四心”的应用问题_百度文库
平面向量与三角形“四心”的应用问题湖南省箴言中学刘光明三角形的外心,内心,重心及垂心,在高考中的考查是比较棘手的问题,先课程教材中所加的内容,更加引起我们的重视,尤其与平面向量结合在一起,那就更加难于掌握了。
本文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳,供学习时参考.1 课本原题例1、已知向量 123, , OP OP OP 满足条件 1230OP OP OP ++= , 123||||||1OP OP OP ===,求证:123PP P △是正三角形.分析对于本题中的条件 123||||||1OP OP OP ===,容易想到,点 O 是 123PP P △的外心,而另一个条件 1230OP OP OP ++=表明,点O 是 123PP P △的重心. 故本题可描述为,若存在一个点既是三角形的重心也是外心,则该三角形一定是正三角形.在 1951年高考中有一道考题,原题是:若一三角形的重心与外接圆圆心重合,则此三角形为何种三角形?与本题实质是相同的.显然,本题中的条件 123||||||1OP OP OP === 可改为 123||||||OP OP OP ==.2 高考原题例2、 O 是平面上一定点, A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足( [0, . ||||A B A CO P O A A B A C λλ=++⋅∈+∞则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的( .A .外心B .内心C .重心D .垂心分析已知等式即( ||||AB AC AP AB AC λ=+ ,设 , ||||AB ACAE AF AB AC ==,显然 , AE AF 都是单位向量,以二者为邻边构造平行四边形,则结果为菱形,故AP 为 ABC ∠的平分线,选 B .例3、ABC ∆的外接圆的圆心为 O ,两条边上的高的交点为 H , ( OH m OA OB OC =++, 则实数 m = .分析 :本题除了利用特殊三角形求解外,纯粹利用向量知识推导则比较复杂,更加重要的一点是缺乏几何直观.解法如下,由已知,有向量等式 0AH BC =,将其中的向量分解,向已知等式形式靠拢 , 有 ( ( 0OH OA OC OB --=, 将已知代入 , 有 [( ]( 0m OA OB OC OA OC OB ++--= , 即 22( (1 0m OC OB m OA BC -+-= , 由 O 是外心, 得 (1 0m OA BC -=,由于ABC ∆是任意三角形,则 OA BC 不恒为0,故只有 1m =恒成立. 或者,过点 O 作OM BC ⊥与 M ,则 M 是 BC 的中点,有 1( 2OM OB OC =+; H 是垂心,则 AH BC ⊥,故 AH 与 OM共线,设 AH kOM = ,则( 2k OH OA AH OA OB OC =+=++ ,又 ( OH m OA OB OC =++ ,故可得 (1 ( ( 022k k m OA m OB m OC -+-+-= ,有 102km m -=-=,得 1m =.根据已知式子 ( OH m OA OB OC =++中的 OA OB OC ++ 部分,很容易想到三角形的重心坐标公式,设三角形的重心为 G , O 是平面内任一点,均有 3OA OB OC OG ++= ,由题意,题目显然叙述的是一个一般的结论, 先作图使问题直观化, 如图1, 由图上观察, 很容易猜想到 2HG GO =,至少有两个产生猜想的诱因, 其一是, , BF OT 均与三角形的边 AC 垂直,则 //BF OT ; 其二,点 G 是三角形的中线 BT 的三等分点.此时,会先猜想 BHG TOG △∽△ ,但现在缺少一个关键的条件,即2BH OT =,这样由两个三角形的两边长对应成比例,同时,夹角对应相等可得相似.当然,在考试时,只需大胆使用,也可利用平面几何知识进行证明.本题结论是关于三角形的欧拉定理,即设 O 、 G 、 H 分别是△ABC 的外心、重心和垂心,则 O 、 G 、 H 三点共线,且 OG∶GH=1∶2,利用向量表示就是 3OH OG =.例4、点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA OB OB OC OC OA ==,则点 O 是ABC ∆的( .A .三个内角的角平分线的交点B .三条边的垂直平分线的交点C .三条中线的交点D .三条高的交点BC图1分析移项后不难得出 , 0OB CA OC AB OA CB === ,点 O 是ABC ∆的垂心, 选 D .3 推广应用题例5 在△ ABC 内求一点 P ,使 222AP BP CP ++最小.分析如图 2, 构造向量解决 . 取 , CA a CB b ==为基向量 , 设 CP x = , 有, A P x a B P x b=-=- . 于是, 22222222211( ( 3[(]( 33AP BP CP x a x b x x a b a b a b ++=-+-+=-+++-+ .当 1( 3x a b =+ 时, 222AP BP CP ++最小, 此时, 即 1( 3OP OA OB OC =++ , 则点 P 为△ ABC的重心.例 6 已知 O 为△ ABC 所在平面内一点,满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+ ,则 O 为△ ABC 的心.分析将 2222||( 2BC OC OB OC OB OC OB =-=+-, 22||,||CA AB 也类似展开代入,已知等式与例4的条件一样.也可移项后,分解因式合并化简, O 为垂心.例7 已知 O 为△ ABC 的外心,求证:sin sin sin 0OA BOC OB AOC OC AOB++=.分析构造坐标系证明.如图3,以 A 为坐标原点 , B 在 x 轴的正半轴 , C 在 x 轴的上方 . 2012AOB S x y =△ , 直线 BC 的方程是 32323(0y x x x y x y +--=, 由于点 A 与点 O 必在直线 BC 的同侧 , 且 230x y -<, 因此有03302020x y x y x y x y -+-<,得302303201( 2BOC S x y x y x y x y =+--△ . 直线 AC 的方程是 330y x x y -=, 由于点 (1,0 与点 O 必在直线 AC 的同侧 , 且 33100y x ⨯-⨯>,因此有 03300x y x y ->,得03301( 2AOC S x y x y =-△ .图2AB于是 , 容易验证 ,BOC AOC AOB OA S OB S OC S ⨯+⨯+⨯= △△△ , 又1||||s i n 2B OC S O B O C B O C =△ , 1||||sin 2BOAS OB OA AOB = △ , 1||||sin 2AOC S OA OC AOC =△ ,又 ||||||OA OB OC == ,则所证成立.。
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)
微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC+CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB=PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD=DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=______．例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB+cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yACx ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )A.23B.6-65C.7-76D.8-227题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN=公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公NC,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB=PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=( )A.4B.-4C.2D.-2例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO=( )A.-12B.12C.-1D.23题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC=0，则I 是△ABC 的垂心例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA+5HB+6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO=( )A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与AB AB cos B +ACACcos C 共线3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.34.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.15.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或357.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP=公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO =13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30° B.45° C.60° D.90°11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC+OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.7212.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO =λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.3513.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB=OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心 B.重心，内心 C.外心，垂心 D.外心，内心二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =016.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =017.(2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA+3OB +4OC =0 ，OA=1，则下列结论中正确的是( )A.OB ⋅OC =-78 B.AB =62C.∠A =2∠CD.sin ∠A =1418.(2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是( )A.GH =2OGB.GA +GB +GC =0C.AH =2ODD.S △ABG =S △BCG =S △ACG19.(2023·全国·模拟预测)在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点O 为△ABC 内的一点，则下列结论正确的是( )A.若AO =OD ，则AO =12OB +OCB.若AO =2OD ，则OB =2EOC.若AO =3OD ，则OB =58AB +38ACD.若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OB ⋅BC=-420.(2023春·河北石家庄·高一统考期末)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，且AB =3，AC =4，下列说法正确的是( )A.AH ⋅BC=0 B.AG ⋅BC =-73C.AO ⋅BC =72D.OH =OA +OB +OC三、填空题公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公21.(2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)已知△ABC 的顶点坐标A -6,2 、B 6,4 ，设G 2,0 是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为_________.22.(2023秋·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA +3OB +4OC =0，OA =1，下列结论中正确的序号为______．①OB ⋅OC =-78；②AB =2；③∠A =2∠C ．23.(2023·河北·模拟预测)已知O 为△ABC 的外心，AC =3，BC =4，则OC ⋅AB =___________．24.(2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知A ､B ､C 为△ABC 的三个内角，有如下命题：①若△ABC 是钝角三角形，则tan A +tan B +tan C <0；②若△ABC 是锐角三角形，则cos A +cos B <sin A +sin B ；③若G ､H 分别为△ABC 的外心和垂心，且AB =1,AC =3，则HG ⋅BC =4；④在△ABC 中，若sin B =25,tan C =34，则A >C >B ，其中正确命题的序号是___________.25.(2023秋·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)在△ABC 中，AB =3，AC =5，点N 满足BN=2NC ，点O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO 的值为__________.26.(2023·全国·高三专题练习)已知G 为△ABC 的内心，且cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0，则∠A =___________．27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为______．28.(2023·全国·高三专题练习)设I 为△ABC 的内心，若AB =2，BC =23，AC =4，则AI ⋅BC=___________公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC+CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB=PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【解析】因为GA +GB +GC =0 ，所以GA +GB =-GC =CG .以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG =GD ，所以GO =13CO ，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC的重心.故选：D例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD=DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】因为BD =DC，所以D 为BC 中点，又因为G 是△ABC 的重心，所以GD =13AD，又因为D 为BC 中点，所以AD =12AB +12AC ，所以GD =1312AB +12AC =16AB +16AC，所以x =y =16，所以x +y =13.故选：A例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175【答案】D公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公【解析】依题意，作出图形，因为点G 是△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，故AM =12AB +AC，由已知得BC=a ,AC =b ,AB =c ，因为BG ⊥CG ，所以GM =12BC =12a ，又因为点G 是△ABC 的重心，所以GM =12GA ，则AM =12a +a =32a ，又因为AM 2=14AB +AC 2，所以94a 2=14c 2+b 2+2bc cos A ，则9a 2=c 2+b 2+2bc cos A ，又由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，所以9c 2+b 2-2bc cos A =c 2+b 2+2bc cos A ，整理得2c 2+2b 2-5bc cos A =0，因为5b =6c ，令b =6k k >0 ，则c =5k ，所以2×5k 2+2×6k 2-5×6k ×5k cos A =0，则cos A =122150=6175.故选：D .题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=______．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-372例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，ACAC为AC 方向上的单位向量，则AB |AB |+AC |AC |的方向与∠BAC 的角平分线一致，由OP =OA +λAB AB +AC AC ，可得OP -OA =λAB AB +ACAC，即AP =λAB AB +ACAC，所以点P 的轨迹为∠BAC 的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心.故选：C .例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB+cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B【解析】因为IB =IA+AB ,IC =IA +AC ，所以aIA +bIB+cIC =aIA +b IA +AB +c IA +AC =a +b +c IA +bAB +cAC =0 ，所以(a +b +c )IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC)，所以IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC)a +b +c =-b a +b +c ⋅AB +c a +b +cAC =-1a +b +c b ⋅AB +c ⋅AC =-bca +b +c AB c +AC b=-bca +b +c AB AB +AC AC，所以IA在角A 的平分线上，故点I 在∠BAC 的平分线上，同理可得，点I 在∠BCA 的平分线上，故点I 在△ABC 的内心，故选：B .例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yACx ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公A.23B.6-65C.7-76D.8-227【答案】D【解析】如图：圆O 在边AB ,BC 上的切点分别为E ,F ，连接OE ,OF ，延长AO 交BC 于点D设∠OAB =θ，则cos A =cos2θ=1-2sin 2θ=34，则sin θ=24设AD =λAO =λxAB +λyAC∵B ,D ,C 三点共线，则λx +λy =1，即x +y =1λ1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OF =11+OF AO =11+OE AO=11+sin θ=11+24=8-227即x +y ≤8-227故选：D ．题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN=NC,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94【答案】B【解析】因为BN =NC，则N 是BC 的中点，所以AN =12AB +12AC ，设外接圆的半径为r ，所以AO ⋅AN =AO ⋅12AC +12AB =12AO ⋅AC +12AO ⋅AB =12r ×3×cos ∠OAC +12r ×2×cos ∠OAB =12×3×32+12×2×1=134．故选：B ．例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB =PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】A【解析】PA =PB=PC 表示P 到A ,B ,C 三点距离相等，P 为外心．公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公故选：A ．例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=( )A.4B.-4C.2D.-2【答案】B【解析】∵直角△ABC 中，∠C =90°，AB =4，O 为△ABC 的外心，∴O 为AB 的中点，即OA =OB =2，∴OA +OB =0 且OA ⋅OB =|OA |⋅|OB|⋅cos180°=-4，∴OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-4+OC ⋅(OA+OB )=-4+0=-4，故选：B ．例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO=( )A.-12B.12C.-1D.23【答案】B【解析】因为点O 为△ABC 的外心，设AB 的中点为D ，连接OD ，则OD ⊥AB ，如图所以AB ⋅AO =AB ⋅(AD +DO )=AB ⋅AD +AB ⋅DO =12AB 2+0=12×12=12.故选：B .题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA2，得BH ⋅HC=CH ⋅HA ⇒HC ⋅BA =0，即HC ⊥BA ；HA 2+BC 2=HC 2+AB 2⇒HA 2+BH +HC 2=HC2+AH +HB 2，得BH ⋅HC =AH ⋅HB ⇒BH ⋅AC =0，即BH⊥AC ；HB 2+CA 2=HC 2+AB 2⇒HB 2+CH +HA 2=HC 2+AH +HB 2，CH ⋅HA =AH ⋅HB ⇒HA ⋅CB =0，即HA ⊥CB，所以H 为△ABC 的垂心.故选：D .例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC=0，则I 是△ABC 的垂心【答案】ABCD【解析】对A ，根据外心的定义，易知A 正确；对B ，PB ⋅PA -PC =PB ⋅CA =0⇒PB ⊥CA ，同理可得：PA ⊥CB ,PC ⊥AB ，所以P 是垂心，故B正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意NA +NB =2ND =-NC ，则|NC |=2|ND |，同理可得：|NA |=2|NE |,|NB |=2|NF |，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，CB ⊥IA ,AC ⊥IB ,BA ⊥IC ，则I 是垂心，故D 正确故选：ABCD .例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA+5HB+6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【答案】-2211【解析】∵H 是△ABC 的垂心，∴HA ⊥BC ，HA ⋅BC =HA ⋅HC -HB =0，∴HA ⋅HB =HC ⋅HA ，同理可得，HB ⋅HC =HC ⋅HA ，故HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ，∵4HA +5HB+6HC =0 ，∴4HA 2+5HA ⋅HB +6HA ⋅HC=0，∴HA ⋅HB =-411HA 2，同理可求得HA ⋅HB =-12HB 2，∴cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-411HA 2HB HA ，cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-12HB 2HB HA，∴cos 2∠AHB =211，即cos ∠AHB =-2211.故答案为：-2211．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO=( )公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC【答案】C【解析】设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点，由于O 是三角形ABC 的重心，所以BO =23BE =23×AE -AB =23×12AC -AB =-23AB +13AC.故选：C .2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与AB AB cos B +ACACcos C 共线【答案】B【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM ⊥AB ，∴AO cos ∠OAM =AM ，∴AO ·AB =AO AB cos ∠OAB =AB AO cos ∠OAB =AB ⋅AB2=12AB 2，故A 正确；OA ·OB =OA ·OC 等价于OA ·OB -OC=0等价于OA ·CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故B 错误；设BC 的中点为D ，则AG =23AD =13AB +AC =131λAE +1μAF=13λAE +13μAF，∵E ，F ，G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，故C 正确；AB ABcos B +AC AC cos C ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCAC cos C =AB BC cos π-B AB cos B +AC BC cos C ACcos C =-BC +BC =0，∴AB AB cos B +ACACcos C 与BC 垂直，又∵AH ⊥BC ，公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公∴AB AB cos B +ACACcos C与AH 共线，故D 正确.故选：B .3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.3【答案】C【解析】如图，设AC 与BD 相交于点O ，由G 为△BCD 的重心，可得O 为BD 的中点，CG =2GO ，则AG =AO +OG =AO +13OC =43AO =43×12AB +AD =23AB +23AD，可得x =y =23，故3x +y =83.故选：C .4.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】设△ABC 的重心为点G ，延长AG 交BC 于点M ，则M 为线段BC 的中点，因为D 、G 、E 三点共线，设DG =λDE，即AG -AD =λAE -AD ，所以，AG =1-λ AD +λAE =1-λ xAB +λyAC ，因为M 为BC 的中点，则AM =AB +BM =AB +12BC =AB+12AC -AB =12AB +12AC ，因为G 为△ABC 的重心，则AG =23AM =13AB +13AC，所以，1-λ x =λy =13，所以，1x +1y=31-λ +3λ=3.故选：B .5.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心C.重心D.垂心【答案】C公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公【解析】取线段BC 的中点E ，则AB +AC =2AE ．动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC )，λ>0，则OP -OA=2λAE 则AP =2λAE .则直线AP 一定通过△ABC 的重心．故选：C ．6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或35【答案】D【解析】当O 在AC 上，则O 为AC 的中点，x =0,y =12满足2x +10y =5，符合题意，∴AB ⊥BC ，则cos ∠BAC =AB AC=35；当O 不在AC 上，取AB ,AC 的中点D ,E ，连接OD ,OE ，则OD ⊥AB ,OE ⊥AC ，则AB ⋅AO =AB AO cos ∠OAD =AB ×AO ×ADAO =12AB 2=18，同理可得：AC ⋅AO =12AC 2=50∵AB ⋅AO =AB ⋅xAB +yAC =xAB 2+yAB ⋅AC=36x +60y cos ∠BAC =18，AC ⋅AO =AC ⋅xAB +yAC =xAC ⋅AB +yAC 2=60x cos ∠BAC +100y =50，联立可得36x +60y cos ∠BAC =1860x cos ∠BAC +100y =502x +10y =5，解得x =14y =920cos ∠BAC =13，故选：D .7.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】D【解析】因为PA ⋅PB=PB ⋅PC ，则PB ⋅PC -PA =PB ⋅AC=0，所以，PB ⊥AC ，同理可得PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，故P 是△ABC 的垂心.故选：D .公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB 中点为D ，因为OA +OB +OC =0，所以OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，即-2OD =OC ，因为OD ,OC有公共点O ，所以，O ,D ,C 三点共线，即O 在△ABC 的中线CD ，同理可得O 在△ABC 的三条中线上，即为△ABC 的重心；因为PA =PB=PC ，所以，点P 为△ABC 的外接圆圆心，即为△ABC 的外心综上，点O ,P 依次是△ABC 的重心，外心.故选：A9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP=OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC 边的中点为D ，则AB +AC =2AD，因为点P 满足OP =OA+λAB +AC ，其中λ∈R所以，OP -OA=AP =λAB +AC =2λAD ，即AP =2λAD ，所以，点P 的轨迹为△ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：A10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO=13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】依题意，因为AO =13AB +13AC ，所以O 也是△ABC 的重心，又因为O 是△ABC 的外心，所以△ABC 是等边三角形，所以∠BAC =60°.公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公故选：C .11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC+OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.72【答案】C【解析】解:由题知,记△ABC 的三边为a ,b ,c ,因为O 是△ABC 的外心,记AB 中点为D ,则有OD ⊥AB ,所以OD ⋅AB =0且CD =12CA +CB ,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB =CA ⋅CB +OD +DC ⋅AB =CA ⋅CB +OD ⋅AB +DC ⋅AB =CA ⋅CB -12CA +CB ⋅AB=CA ⋅CB -12CA +CB ⋅CB -CA=CA ⋅CB +12CA 2-CB 2=b ⋅a ⋅cos ∠ACB +12b 2-a 2=122ab +b 2-a 2 ①,在△ABC 中,由余弦定理得:cos ∠ACB =a 2+b 2-c 22ab=22,即a 2+b 2-c 2=2ab ,即a 2+b 2-2=2ab ,代入①中可得:AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1,在△ABC 中,由正弦定理得:a sin A=b sin B =csin C =222=2,所以b =2sin B ≤2,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1≤3,当b =2,a =c =2,A =C =45∘,B =90∘时取等,故AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为3.公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公故选:C12.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO=λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.35【答案】C【解析】由AO =λAB +μBC 得AO =λOB -OA +μOC -OB，则1-λ OA +λ-μ OB +μOC =0，因为O 为△ABC 的内心，所以BC OA +AC OB +AB OC =0，从而1-λ :λ-μ :μ=5:4:3，解得λ=712，μ=14，所以λ+μ=56.故选：C .13.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】D【解析】因为|OA |=|OB |=|OC |，所以OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心；因为MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，所以MB ⋅(MA-MC )=0，即MB ⋅CA=0，所以MB ⊥AC ，同理可得：MA ⊥BC ，MC ⊥AB ，所以M 为△ABC 的垂心；因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，设AB 的中点D ，则NA +NB =2ND，所以-NC =2ND，所以C ，N ，D 三点共线，即N 为△ABC 的中线CD 上的点，且NC =2ND ，所以N 为△ABC 的重心．故选：D ．公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB =OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心 B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心【答案】C【解析】由于OA =OB =OC ，所以O 是三角形ABC 的外心.由于PA ⋅PB =PB ⋅PC ，所以PA -PC ⋅PB =0,CA ⋅PB=0⇒CA ⊥PB ，同理可证得AB ⊥PC ,BC ⊥PA ，所以P 是三角形ABC 的垂心.故选：C二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =0【答案】BD【解析】对于A ，在△OAB 中，因为D 为AB 的中点，所以OD =12(OA +OB )，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确，对于B ，因为△ABC 为正三角形，O 为△ABC 的重心，所以OA =OB =OC ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =120°，设OA =OB =OC =a ，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =OA ⋅OB cos ∠AOB +OB ⋅OC cos ∠BOC +OC ⋅OAcos ∠AOC=a 2cos120°+a 2cos120°+a 2cos120°=-32a 2≠0，所以B 错误，对于C ，因为AO ⋅AB -AC =0，所以AO ⋅CB =0，所以AO ⊥CB，所以OA ⊥BC ，所以C 正确，对于D ，因为边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公所以OD =12(OA +OB )，OE =12(OB +OC )，OF =12(OA +OC )，因为O 为△ABC 的重心，所以CO =2OD ，所以2OD =-OC，所以OD +OE +OF =12(OA +OB )+12(OC +OB )+12(OA+OC )=OA +OB +OC=2OD +OC=-OC +OC =0 ，所以D 错误，故选：BD16.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0【答案】BCD【解析】对于A 选项，由题意可知，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，所以，AD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，同理可得BE =12BA +BC ，CF =12CA +CB，所以，AD +BE =12AB +AC +12BA +BC =12AC +BC =-CF ，A 错；对于B 选项，由重心的性质可知AD =32AO ，BE =32BO ，CF =32CO，由A 选项可知，AD +BE +CF =32AO +BO +CO =0，所以，MA +MB +MC =MO +OA +MO +OB +MO +OC =3MO -AO +BO +CO =3MO ，B 对；对于C 选项，由重心的性质可知OD =12AO，OE =12BO ，OF =12CO ，所以，MD +ME +MF=MO +OD +MO +OE +MO +OF =3MO +12AO +BO +CO=3MO ，C 对；对于D 选项，BC ⋅AD =12AC -AB ⋅AC +AB =12AC 2-AB 2，同理可得CA ⋅BE =12BA 2-BC 2 ，AB ⋅CF =12CB 2-CA 2，公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公。
关于三角形的“四心”与平面向量的结合学案
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.的重⇔OE 是垂∴(λ=∴AO b c +)，令cb a ++=λ ∴cb a bc++=（b c +) 化简得)(=++++c b c b a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边ACBC 、的中点.∴//∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ，则点PP 满足.∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D . 练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（）A ．2B ．23C ．3D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅OB OA ()BCDA ．21B ．0 C ．1D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足22=++，则A B C ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（）A ．0B ．23C ．45D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若++=，则H 是ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 2222CA +A 6， 78为（） 1.;心”2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合. 一、 典型例题分析[例]已知点G 是ABC ∆内任意一点,点M 是ABC ∆所在平面内一点.试根据下列条件判断G 点可能通过ABC ∆的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).(1)若存在常数λ,满足()(0)A B A CM G M AA BA Cλλ=++≠,则点G 可能通过ABC ∆的__________.(2)若点D 是ABC ∆的底边BC 上的中点,满足→→→→⋅=⋅GC GD GB GD ,则点G 可能通过ABC ∆的__________.(3)ABC ∆的(4)ABC ∆的二、2.若且()OH m OA OB OC =++,求实数.若P 点为ABC ∆内任意一点，若P 点满足:1．(),0()0AB ACAP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩为的内心，; 2.D E 、两点分别是ABC ∆的边BC CA 、上的中点,且来DP PB DP PCP ABC EP PC EP PA⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的外心; 3.1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心，; 4.0AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心. 1A.AB C.1. B OP=31OA +212+，边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选2．及一点Ｏ满足关系式：2O A ＋2BC ＝2OB ＋2CA OCABC∆的（2满足：0PA PB PC ++=，则3是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP 40PA PC PA PB PB PC ∙+∙+∙=，则5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+∙=，则P 点为三角形的（?B???）Ａ外心Ｂ内心C 重心D 垂心6．在三角形ABC 中，动点P 满足：CP AB CB CA ∙-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的：（B ） Ａ外心Ｂ内心C 重心D 垂心7.已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC 为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形 解析：非零向量与满足(||||AB ACAB AC +)·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴AB =AC ，又cos A =||||AB ACAB AC ⋅=，∠A =3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ．8.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m=19.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（B ）（A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点。
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G ABC G ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆结论6：的外心是（所在平面内一点，则是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()()的外心为故故证明：ABC O OCOB OA OAOC OC OB OB OA OAOC OCOB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+)()())(()(Θ四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
即内切圆的圆心。
结论7：的内心是所在平面内一点，则为若ABC P CB CB CA BC BA AC AB ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=∆)0(321λλλλ的内心为故的平分线上在同理可得，平分线上在即边夹角平分线上在为方向上的单位向量分别，证明：记ABC P C B P A P AC AB e e e e e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎫ ⎛++=,,)()(,21211121λλ结论8：的内心是所在平面内一点，则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0的内心是故是平分线同理可得其他的两条也的平分线是由角平分线定理，不共线，则与由于证明：不妨设ABC P ACB CD ab DB DA b ac b a DB DA PC b a c b a c b a c a PCPD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=,0,)()()()(b λλλλλ。
平面向量与三角形四心问题教案资料
平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCΘ CB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
5.4平面向量与三角形的“四心”问题
三角形“四心”的向量特征：
（1）垂心：三角形三边上的高交于一点H，这一点叫三角形的垂心。 A
HA BC=HB AC=HC AB=0 HA HB=HA HC=HB HC
uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC 变形： （1） OP OA ( uuu uuu ), (0, ) r r AB sin B AC sin C
Ｃ
uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC （2） OP OA ( uuu r sin C uuu r sin B), (0, ) AB AC uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC (3)OP OA ( uuu uuu ), (0, ) r r AB cos B AC cos C uuu r uuu r uu u r uuu r AB AC （4） PB PC ( uuu uuu ), (0, ) r r AB cos B AC cos C
AI bc a b c | AB | | AC |
AB AC ) (A，B，C所对的边分别是a,b.c) (
aIA bIB cIC 0
F c
I
Da
E
b
SIBC IA SIAC IB SIAB IC 0
B
C
例1. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
AB AC 动点P满足 OP = OA +λ ( + ), λ ∈[0,+∞). |AB| |AC|
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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、典例分析
[例]已知点G 是ABC ∆内任意一点,点 M 是ABC ∆所在平面内一点.
（1）动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的_________.
(2)若存在常数λ,满足()(0)AB AC MG MA AB AC
λλ=++≠ ,则点G 的轨迹可能通过ABC ∆的__________.
（3）动点P 满足：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=B AC C MA MP sin sin λ，()0,λ∈+∞，则直线AG 一定通过ABC ∆的 .
(4)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB B AC C
λλ=++≠ ,则点G 的轨迹可能通过ABC ∆的__________.
(5)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC C
λλ=++≠ ,则点G 的轨迹可能通过ABC ∆的__________.
(6)若点D 是ABC 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC = ,则点G 的轨迹可能通过
ABC ∆的__________.
（7）⇔⋅=⋅=⋅GA GC GC GB GB GA G 为ABC ∆的___________.
（8）⇔=++G 是ABC ∆的___________.
（9
）==⇔G 为ABC ∆的___________.
三、练习：
1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足=++，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）
A ．2
B ．2
3 C ．3 D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅OB OA ( )
A ．21
B ．0
C ．1
D ．2
1- 3．点O 在ABC ∆内部且满足22=++，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）
A ．0
B ．23
C ．45
D ．3
4 4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若++=，则H 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
5．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=， 则实数m =
6．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222=+ 2
22AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB
→| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形
8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等腰直角三角形
C ．直角三角形
D ．既非等腰又非直角三角形。