平面向量中的三角形四心问题教师版
平面向量与三角形四心问题老师
平面向量基本定理与三角形四心引理：已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆ =OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++===∴ CB A S S S OD +-=OA ∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴ 0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆引理1.设O 为ABC ∆内一点，321,,λλλ均为正实数，321=++λλλ，则有3213λλλλ++=∆∆ABC AOB S S ，3211λλλλ++=∆∆ABC BOC S S ，3212λλλλ++=∆∆ABC AOC S S引理 2.设O 为ABC ∆内一点，S S S C B ,,分别表示ABC AOB AOC S S S ∆∆∆,,的面积，则AC SS AB S SAO C B +=一．知识梳理：基础知识定义 向量的数量积，若非零向量a , b 的夹角为θ，则a ，b 的数量积记作cos a b a b ，也称内积，其中|b |cos θ叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）.OA BCDOABC定义 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使21PP P P λ=，λ叫P 分21P P 所成的比，若O 为平面内任意一点，则λλ++=121OP OP OP .由此可得若P 1，P ，P 2的坐标分别为(x 1, y 1), (x, y), (x 2, y 2)，则..1121212121y y y y x x x x y y y x x x --=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλλ定义 设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有的点按照向量a =(h, k)的方向，平移|a |=22k h +个单位得到图形'F ，这一过程叫做平移。
三角形“四心”问题
三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
运用平面向量判断三角形的四心公式
运用平面向量判断三角形的四心公式三角形是数学中一个基本的概念，它具有丰富的性质及应用。
三角形的四心公式是三角形重要的性质之一，利用平面向量的知识可以简单地求得。
下面将详细介绍此公式，并给出实际问题的应用。
首先，我们需要了解什么是三角形的四心。
在三角形ABC中，围绕着三角形有四个中心，分别是：重心G、垂心H、外心O、内心I，它们的特点如下：重心G：三角形三个顶点到相对边之间连线的交点。
在等边三角形中，重心就是其唯一的交点；垂心H：三角形的三个顶点落垂线的交点之一；外心O：三角形外接圆的圆心，即三角形三边的垂直平分线的交点之一；内心I：内切圆的圆心，即三角形三条边所在直线的垂直平分线的交点之一。
接下来，我们来推导三角形的四心公式。
设三角形ABC的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)。
那么，三角形的重心坐标可以表示为：G = (1/3)*(A+B+C) = (x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3垂心坐标不同于重心，但它们的横纵坐标可以表示为：tanA = |(y2-y1)/(x2-x1)|, tanB = |(y3-y2)/(x3-x2)|, tanC = |(y3-y1)/(x3-x1)|由于垂线斜率关于法线斜率取负倒数，所以垂线方程分别为：Hx = (y2-y1)/(x2-x1)*(y3-y2)/(x3-x2)*(y3-y1)/(x3-x1)*(y-y2)+x2；Hy = -(x2-x1)/(y2-y1)*(x3-x2)/(y3-y2)*(x3-x1)/(y3-y1)*(x-x2)+y2；外心坐标可以由三边中垂心的直线求出，考虑到三条中垂线相交于一点，所以求解直线交点即可。
该点重要的性质是与三角形顶点距离相等，于是有：OA = OB = OCOx = (a*x1+b*x2+c*x3)/(a+b+c), Oy =(a*y1+b*y2+c*y3)/(a+b+c) 其中，a = BC^2*(y1-y2)-AB^2*(y3-y2)+AC^2*(y3-y1) b = BC^2*(x2-x1)-AB^2*(x3-x1)+AC^2*(x3-x2) c = (y3-y2)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x3-x2)最后，我们将探讨三角形的四心公式的实际应用。
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G ABC G ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆结论6：的外心是（所在平面内一点，则是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()()的外心为故故证明：ABC O OCOB OA OAOC OC OB OB OA OAOC OCOB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+)()())(()(Θ四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
即内切圆的圆心。
结论7：的内心是所在平面内一点，则为若ABC P CB CB CA BC BA AC AB ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=∆)0(321λλλλ的内心为故的平分线上在同理可得，平分线上在即边夹角平分线上在为方向上的单位向量分别，证明：记ABC P C B P A P AC AB e e e e e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎫ ⎛++=,,)()(,21211121λλ结论8：的内心是所在平面内一点，则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0的内心是故是平分线同理可得其他的两条也的平分线是由角平分线定理，不共线，则与由于证明：不妨设ABC P ACB CD ab DB DA b ac b a DB DA PC b a c b a c b a c a PCPD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=,0,)()()()(b λλλλλ。
平面向量四心问题
平面向量四心问题部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑三角形的“四心”与平面向量一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC 的< ）b5E2RGbCAPＡ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P 是△ABC的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕.A、重心B、垂心C、外心 D、内心四、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例4 已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔〕.A．重心 B.垂心 C.外心 D.内心与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：①设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心。
②设，则向量必平分∠BAC的邻补角③设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心④△ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心⑤点是△ABC的外心⑥点是△ABC的重心⑦点是△ABC的垂心⑧点是△ABC的内心(其中a、b、c为△ABC三边>⑨△ABC的外心、重心、垂心共线，即∥⑩设为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，，I为△ABC的内心，则有并且重心G<错误!，错误!）内心I<错误!，错误!）p1EanqFDPw例1：<2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的< ）DXDiTa9E3d<A）外心 <B）内心<C）重心 <D）垂心例2：<2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的< ）RTCrpUDGiT<A）外心 <B）内心 <C）重心 <D）垂心例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的< ）<A）外心 <B）内心 <C）重心 <D）垂心申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
专题02 平面向量解析三角形的“四心”高一数学下学期同步讲义(人教A版2019必修第二册)
专题02 平面向量解析三角形的“四心”一．“四心”的概念介绍及平面向量表示1. 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1.⇔=++O 是ABC ∆的重心.2. 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直.⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.3. 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等． 设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是ABC ∆的内心.O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.4. 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等．==⇔O 为ABC ∆的外心.二．考点讲解 考点一：三角形的重心例1：在ABC ∆中，已知 AB a =，BC b =，G 为ABC ∆的重心，用向量,a b 表示向量AG =______. 【答案】2133a b 【分析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.【详解】由重心的性质可知()111333BG BA BC b a =+=-， 所以11213333AG AB BG a b a a b =+=+-=+.故答案为：2133a b 【点睛】本题考查了重心的几何性质和平面向量基本定理，属于基础题.例2：若P 是ABC ∆内部一点，且满足2PA PB CB +=，则ABP ∆与ABC ∆的面积比为_______. 【答案】13【分析】利用向量的加法运算得出PA PB CP +=，取AB 的中点为O ，进而得出点P 为ABC ∆的重心，根据重心的性质即可得出答案.【详解】2PA PB CB PA PB CB BP CP +=⇒+=+= 取AB 的中点为O ，则2PA PB PO += 即2PO CP =，则点P 为ABC ∆的重心根据重心的性质可得，点P 到AB 的距离是点C 到AB 的距离的13则13ABP ABC S S ∆∆= 故答案为：13【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题.考点二：三角形的垂心例3：已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足()()cos cos AB AC AP R AB BAC Cλλ=+∈，则直线AP 必经过ABC ∆的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】两边同乘以向量BC ，利用向量的数量积运算可求得0AP BC ⋅=从而得到结论． 【详解】()cos cos AB AC AP R AB B AC C λλ⎛⎫⎪=+∈ ⎪⎝⎭两边同乘以向量BC ,得AP BC ∴⊥(1t ∈即点P 在BC 边的高线上，所以P 的轨迹过△ABC 的垂心， 故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题． 考点三：三角形的内心例4：O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【分析】先根据||ABAB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC→方向上的单位向量，确定||||A A B A A C C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力． 考点四：三角形的外心例5：在ABC ∆中，2AC =，6BC =，60ACB ∠=︒，点O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OC mOA nOB =+（,m n ∈R 且1m n +≠）． （1）证明：11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心，求m 、n 的值； （3）若点O 为ABC ∆的外心，求m 、n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1m =-，1n =-；（2）3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【分析】（1）根据条件OC mOA nOB =+,结合向量的加法运算,化简即可证明. （2）根据重心的向量表示为0OA OB OC ++=,即可求得m 、n 的值. （3）根据点O 为ABC ∆的外心,求得21||2CO CB CB ⋅=,21||2CO CA CA ⋅=,CA CB ⋅,再根据已知分别求得CO CB ⋅,CO CA ⋅,结合平面向量基本定理即可求得m 、n 的值. 【详解】（1）CO mAO nBO =+()()m AC CO n BC CO =+++mAC mCO nBC nCO =+++即CO mAC mCO nBC nCO =+++ 所以CO mCO nCO mAC nBC --=+ 则()1m n CO mAC nBC --=+ 所以11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心则0OA OB OC ++= 因为OC mOA nOB =+ 所以0mOA nOB OC --+= 则1m =-,1n =-（3）由O 是ABC 的外心 得21||182CO CB CB ⋅==,21||22CO CA CA ⋅==,6CA CB ⋅=, 所以,1111m n CO CB CA CB CB CB m n m n m n CO CA CA CA CB CAm n m n ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎪+-+-⎨⎪⋅=⋅+⋅⎪+-+-⎩即23321m n m n -=⎧⎨+=-⎩,解得3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.三．课后作业1．在ABC ∆中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．重心 B ．内心C ．外心D ．垂心【答案】A【分析】设sin sin a B b A CH ==，则()mCP a b CH=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；【详解】如图，sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()mCP a b CH=+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.2．已知点O 是ABC ∆所在平面上的一点，ABC 的三边为,,a b c ，若0a OA bOB c OC →→→→++=，则点O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【分析】在AB ，AC 上分别取单位向量,AD AE →→，作AF AD AE →→→=+，则AF 平分BAC ∠，用,,OA AB AC →→→表示出,OB OC →→代入条件式，用,AB AC →→表示出AO→，则可证明A ，F ，O 三点共线，即AO 平分BAC ∠．【详解】在AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得AB AD c →→=，AC AE b →→=，则||||1AD AE →→==．以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，如图，则四边形ADFE 是菱形，且AB AC AF AD AE c b→→→→→=+=+．AF ∴为BAC ∠的平分线．0aOA bOB cOC →→→→++=()()0a OA b OA AB c OA AC →→→→→→∴⋅+⋅++⋅+=，即()0a b c OA b AB c AC →→→→++++=，∴()b c bc AB AC bc AO AB AC AF a b c a b c a b c c b a b c→→→→→→=+=+=++++++++．A ∴，O ，F 三点共线，即O 在BAC ∠的平分线上．同理可得O 在其他两角的平分线上，O ∴是ABC 的内心．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.3．点M ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC ∆的（）A ．重心，外心，内心B ．重心，外心，垂心C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心【答案】B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案． 【详解】解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==， ||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥， 同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题． 4．（多选）已知M 为ABC ∆的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．MA MB MC == B ．0MA MB MC ++= C ．1233CM CA CD =+ D ．2133BM BA BD =+ 【答案】BC【分析】由题可知M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，由此依次计算判断即可得出结果. 【详解】M 为△ABC 的重心，∴M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A ，由于△ABC 为任意三角形，故中线不一定相等，则,,MA MB MC 不一定相等，故A 错误； 对于B ，D 为BC 的中点，2MB M MD C +∴=，2MA MD =-，0MA MB MC ++=∴，故B 正确；对于C ，()22123333CM CA AM CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=+，故C 正确； 对于D ，()22123333BM BA BA BA B AM AD BD BA A BD +=+=+-==+，故D 错误. 故选：BC.5．ABC ∆中，3AB =，6AC =，G 为ABC ∆的重心，O 为ABC ∆的外心，则AO AG ⋅=______． 【答案】152【分析】根据三角形的外心的性质，得出212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，由三角形的重心的性质，得出1()3AO AG AO AB AC ⋅=⋅+，通过向量的数量积运算，即可求出AO AG ⋅的值. 【详解】解：因为G 为ABC 的重心，O 为ABC 的外心，所以212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，所以111()333AO AG AO AB AC AO AB AO AC ⋅=⋅+=⋅+⋅221166AB AC =+93615662=+=， 即152AO AG ⋅=. 故答案为:152．【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，考查三角形的重心和外心的向量表示，考查计算能力. 6．已知A ，B ，C 是平面内不共线的三点，O 为ABC ∆所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足()()()122123OP OD OC R λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的______（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）. 【答案】重心【分析】根据已知条件判断,,P C D 三点共线，结合重心的定义，判断出P 的轨迹过三角形ABC 的重心. 【详解】∵点P 满足()()()122123OP OD OC λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦R ，且()()112212133λλ-++=， ∴P ，C ，D 三点共线.又D 是AB 的中点，∴CD 是边AB 上的中线，∴点P 的轨迹一定过ABC ∆的重心. 故答案为：重心【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的重心的知识，属于基础题. 7．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG PQ λ=，将OG 用λ，OP ，OQ 表示； (2)设OP xOA =，OQ yOB =，证明：11x y+是定值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）寻找包含OG 的图形OPG ，利用向量的加法法则知OG OP PG +＝ ，再根据PG PQ λ=和PQ OQ OP -＝ 即可（2）根据（1）结合OP xOA =，OQ yOB =知：()()11OGOP OQ xOA yOB λλλλ-+-+＝＝ ，再根据G 是OAB 的重心知：()2211133233OG OM OA OB OA OB ⨯++＝＝＝ ，最后根据OA OB 、 不共线得到关于x y λ，， 的方程组即可求解 【详解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明 一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x ＋λy ；① 另一方面，△G 是△OAB 的重心，△＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，△由①②，得解得△＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．。
第6章平面向量专题5 三角形四心问题-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)
三角形四心问题三角形四心的向量形式设O 为△ABC 所在平面上一点,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则 (1) O 为△ABC 的外心⇔|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a2sinA .(2)O 为△ABC 的重心⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.(2) O 为△ABC 的垂心⇔OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +c OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.1、已知是的外心，，，则A ．10B ．9C ．8D ．6【答案】.【解答】解：如图，是的外心，且，，则 ． 故选：．2、已知△ABC 和点M 满足.若存在实数m 使得成立，则O ABC ∆||4AB =||2AC =()(AO AB AC +=)A O ABC ∆||4AB =||2AC =()AO AB AC AO AB AO AC +=+221111||||164102222AB AC =+=⨯+⨯=Am ＝__________.【答案】3【解析】由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以，故选B.3、（多选）在给出的下列命题中，正确的是( )A. 设O A B C 、、、是同一平面上的四个点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点A B C 、、必共线B.若向量a b 和是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量OA OB OC 、、满足则为等腰三角形D.已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=， 则ABC ∆是等边三角形【答案】ACD4．已知O 为ABC ∆的外心，1,,3cosA AO AB AC αβαβ==++若则的最大值为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【分析】如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭ABC △(D 为BC 边的中点）．由外接圆的性质可得BOD COD BAC ∠=∠=∠．由1cos 3A =，不妨设外接圆的半径3R =．则3OA OB OC ===．可得B ，C ，O 的坐标，设(,)A m n ．则ABC ∆外接圆的方程为：22(1)9x y +-=．(*)利用向量相等AO AB AC αβ=+，可得())1m m m n n nαβαβ⎧-=-+⎪⎨-=--⎪⎩，又1αβ+≠时，否则CO CB α=，由图可知是不可能的．可化为)111m n βααβαβ⎧-=⎪+-⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，代入(*)可得22228()()9(1)(1)βααβαβαβ---+=+-+-，化为18()932αβαβ+=+，利用重要不等式可得218()932()2αβαβ+++，化为28()18()90αβαβ+-++，即可解出．【解答】解：如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系(D 为BC 边的中点）．由外接圆的性质可得BOD COD BAC ∠=∠=∠． 由1cos 3A =，不妨设外接圆的半径3R =．则3OA OB OC ===． 1cos 3OD COD OC ∠==， 1.OD DC∴==．(B ∴-，C ，(0,1)O ，(,)A m n ．则ABC ∆外接圆的方程为：22(1)9x y +-=．(*)AO AB AC αβ=+，(m ∴-，1)(,),)n m n m n αβ-=--+-，∴())1m m m n n n αβαβ⎧-=-+⎪⎨-=--⎪⎩，1αβ+≠时，否则CO CB α=，由图可知是不可能的．∴可化为11m n αβ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，代入(*)可得22228()()9(1)(1)βααβαβαβ---+=+-+-， 化为18()932αβαβ+=+，利用重要不等式可得218()932()2αβαβ+++，化为28()18()90αβαβ+-++， 解得34αβ+或32αβ+． 又1αβ+<，故32αβ+应舍去． ∴34αβ+， 故αβ+的最大值为34．故选：D ．【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量的有关运算、圆的标准方程、基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、三角形的外接圆的性质、余弦函数等基础知识与基本技能方法，属于难题．5．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，点N 满足2BN NC =，点O 为ABC ∆的外心，则AN AO 的值为( )A ．17B ．10C ．172D ．596【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将AN 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中112()333AN AC CN AC AB AC AB AC =+=+-=+，所以1212()3333AO AN AO AB AC AB AO AC AO =+=+，12||||||||33AB AS AC AT =⨯+⨯， 1325353232=⨯⨯+⨯⨯， 596=． 故选：D ．【点评】本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义，以及三角形的外心，属于基础题．6．ABC ∆中，||2AC =，||3BC =，3AC BC =，O 为该三角形的外心，则(BA AO = )A ．192B ．192-C ．72-D ．72【分析】设BA 的中点为D ，连接OD ，把所求转化为12- 2AB ；结合余弦定理即可得出结论．【解答】解：如图：设BA 的中点为D ，连接OD ，则OD AB ⊥；∴11()22BA AO BA AD DO BA AD BA DO BAAB =+=+==- 2AB ； ||2AC =，||3BC =，∴123cos 3cos 2AC BC C C =⨯⨯∠=⇒∠=， ∴2222cos 7AB AC BC AC BC C =+-∠=；∴72BA AO =-．故选：C ．【点评】本题考查向量的数量积以及余弦定理的应用，考查向量的三角形法则以及计算，考查计算能力，属于中档题目．7．已知O 是ABC ∆的外心，2AB =，3AC =，21x y +=，若AO x AB y AC =+，(0)xy ≠，则cos (BAC ∠= )A ．34B C ．14D 【分析】设出A ，C ，BAC α∠=，(2cos ,2sin )B αα，O 是ABC ∆的外心，所以O 的横坐标是32，利用21x y +=，若AO x AB y AC =+，(0)xy ≠，求出cos α，即可． 【解答】解：设(0,0)A ，(3,0)C ，BAC α∠=(2cos ,2sin )B ααO 是ABC ∆的外心，所以O 的横坐标是32， 因为若AO x AB y AC =+，(0)xy ≠，所以：23cos 32x y α=+ 因为21x y +=，所以33322x y +=，23cos 332x y x y α+=+32cos 2α=，即：3cos 4BAC ∠=． 故选：A ．【点评】本题考查三角形五心，向量的共线定理，考查计算能力，是中档题．8．在直角ABC ∆中，90A =︒，6AB =，8AC =，D 是ABC ∆的内心，则(BD = )A ．2134AB AC -+B ．2134AB AC - C ．2133AB AC -+D ．2133AB AC -【分析】如图所示，建立直角坐标系．10BC =．由直角三角形的内切圆的性质可得：四边形AEDF 为正方形，可得内切圆的半径681022r +-==．设BD mAB nAC =+，利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．10BC ==．由直角三角形的内切圆的性质可得：四边形AEDF 为正方形，∴内切圆的半径681022r +-==． (2,2)D ∴，(6,0)B ，(0,8)C ．设BD mAB nAC =+，则(4-，2)(6m =，0)(0n +，8)．46m ∴-=，28n =，解得23m =-，14n =．∴2134BD AB AC =-+，故选：A ．【点评】本题考查了向量线性运算性质、直角三角形的内切圆的性质、平面向量基本定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．已知ABC ∆，角ABC 的三边分别为a 、b 、c ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ++=，则P 点为三角形( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【分析】在AB ，AC 上分别取单位向量,AD AE ，作AF AD AE =+，则AF 平分BAC ∠，用,,PA AB AC 表示出,PB PC 代入条件式，用,AB AC 表示出AP ，则可证明A ，F ，P 三点共线，即AP 平分BAC ∠．【解答】解在AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得AB AD c =，ACAE b=，则||||1AD AE ==． 以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，则四边形ADFE 是菱形，且AB ACAF AD AE c b=+=+． AF ∴为BAC ∠的平分线．0a PA b PB c PC ++=()()0a PA b PA AB c PA AC ∴++++=，即()0a b c PA bAB cAC ++++=，∴()b c bc AB AC bc AP AB AC AF a b c a b c a b c c b a b c=+=+=++++++++．A ∴，P ，F 三点共线，即P 在BAC ∠的平分线上．同理可得P 在其他两角的平分线上，P ∴是ABC ∆的内心．故选：B ．【点评】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题．10．O 是非等边ABC ∆的外心，P 是平面ABC 内的一点且OA OB OC OP ++=，则P 是ABC ∆的( )A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心【分析】设AB 的中点为D ，根据题意可得OD AB ⊥．由题中向量的等式化简得2CP OA OB OD =+=，从而得到CP AB ⊥，即CP 在AB 边的高线上．同理可证出AP 在BC 边的高线上，故可得P 是三角形ABC 的垂心．【解答】解：在ABC ∆中，O 为外心，可得OA OB OC ==，平面内点P 满足OA OB OC OP ++=，∴OA OB OP OC CP +=-=，设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2CP OD =，∴CP AB ⊥，可得CP 在AB 边的高线上．同理可证，AP 在BC 边的高线上，故P 是三角形ABC 两高线的交点，可得P 是三角形ABC 的垂心，故选：A ．【点评】本题给出三角形中的向量等式，判断点P 是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题．11．已知P 在ABC ∆所在平面内，且PA PB PB PC PC PA ==，则点P 是ABC ∆的( )A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心【分析】根据PA PB PB PC =，移向并根据向量的数量积的运算法则，得到()0PB CA =，因此有PB CA ⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，根据三角形五心的定义，即可求得结果【解答】解：PA PB PB PC =，∴()0PB CA =，PB CA ∴⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴是ABC ∆的垂心．故选：D ．【点评】本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形垂心等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题12．O 为ABC ∆平面内一定点，该平面内一动点P 满足{|(||sin ||sin )M P OP OA AB B AB AC C AC λ==++，0}λ>，则ABC ∆的( )一定属于集合M ．A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【分析】由题意画出图形，根据正弦定理得出||sin ||sin AB B AC C =，代入关系式由向量的减法化简，得出AP 与AD 共线，由此得出点P 的轨迹，从而得出答案．【解答】解：ABC ∆中，由正弦定理得，||||sin sin AC AB B C =， 即||sin ||sin AB B AC C =，设||sin t AB B =，代入OP ，则()OP OA t AB AC λ=++，D ∴是BC 的中点，∴2AB AC AD +=，∴2OP OA t AD λ=+，且λ、t 都是常数，∴2AP t AD λ=，∴点P 的轨迹是直线AD ，ABC ∴∆的重心一定属于集合M ．故选：A ．【点评】本题考查了向量在平面图形中的应用以及正弦定理、向量的减法和共线的应用问题，是综合性题目．13．已知()h x 为ABC ∆内一点，若分别满足①||||||OA OB OC ==，②OA OB OB OC OC OA ==，③0OA OB OC ++=，④()0,,,,aOA bOB cOC a b c ABC A B C ++=∆其中为中角所对的边，则O 依次是ABC ∆的( )A ．内心、重心、垂心、外心B ．外心、垂心、重心、内心C ．外心、内心、重心、垂心D ．内心、垂心、外心、重心【分析】由平面向量的线性运算及平面向量数量积运算逐一检验即可得解．【解答】解：对于①因为①||||||OA OB OC ==，所以点O 到点A 、B 、C 的距离相等，即点O 为ABC ∆的外心，对于②因为OA OB OB OC =，所以()0OB OA OC -=，所以0OB CA =，即OB CA ⊥，同理OA BC ⊥，OC AB ⊥，即点O 为ABC ∆的垂心，对于③因为0OA OB OC ++=，所以()OA OB OC =-+，设D 为BC 的中点，则2OA OD =-，即点O 为ABC ∆的重心，对于④因为0aOA bOB cOC ++=，易得点O 为ABC ∆的内心，故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．14．平面内ABC ∆及一点O 满足,||||||||AO AB AO AC CO CA CO CB AB AC CA CB ==，则点O 是ABC ∆的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心 【分析】利用表达式，转化推出O 所在的位置，得到结果即可．【解答】解：平面内ABC ∆及一点O 满足||||AO AB AO AC AB AC =，可得()0||||AB AC AO AB AC -=，所以O 在CAB ∠的平分线上， ||||CO CA CO CB CA CB =，可得：()0||||CA CB CO CA CB -=，所以O 在ACB ∠的平分线上， 则点O 是ABC ∆的内心．故选：C ．【点评】本题考查向量的综合应用，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．15．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，点P 满足1(2)4OP OA OB OC =++，则PAB OAB S S ∆∆为( ) A ．32 B ．23 C ．2 D ．12【分析】作出图形：延长CO 交边AB 的中点于D ，根据O 是ABC ∆的重心，以及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义和向量的数乘运算便可以得出14OP OC =，从而便可得到11,62OP CD DP CD ==，而13DO CD =，这样即可求出PAB OAB S S ∆∆的值． 【解答】解：如图，延长CO ，交AB 中点D ，O 是ABC ∆的重心，则：1111(2)(22)(2)4444OP OA OB OC OD OC OC OC OC =++=+=-+=； ∴11214436OP OC CD CD ===； ∴111362DP DO OP CD CD CD =+=+=，13DO CD =； ∴132123PAB OABCD S DP S DO CD ∆∆===． 故选：A ．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，三角形重心的性质，以及向量的数乘运算，三角形的面积公式．16．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足111(2)322OP OA OB OC =++，则点P一定为三角形ABC 的( ) A ．AB 边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心D．AB边的中点【分析】根据O是三角形的重心，得到三条中线上对应的向量的模长之间的关系，根据向量加法的平行四边形法则，求出向量的和，根据共线的向量的加减，得到结果．【解答】解：设AB的中点是E，O是三角形ABC的重心，动点P满足111(2)322OP OA OB OC =++，∴1(2)3OP OE OC =+2OC EO=，∴11(4)333OP OE EO EO EO =+=⨯=，P∴在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选：B．【点评】本题考查三角形的重心，考查向量加法的平行四边形法则，考查故选向量的加减运算，是一个比较简单的综合题目，这种题目可以以选择或填空出现．17．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的 垂 心．【分析】由OA OB OB OC =得到()()0OB CA =，根据向量数量积为零可得OB AC ⊥，同理得到OA BC ⊥，所以点O 是ABC ∆的三条高的交点，从而根据垂心的定义可得结论．【解答】解：()()()()OA OB OB OC =，()()()()0OB OA OB OC -=，即()()())0OB OA OC -=，()()0OB CA =，∴()()OB CA ⊥．同理可得()()OA BC ⊥，()()OC AB ⊥．O ∴是三角形三条高线的交点．故答案为：垂【点评】本题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求，属于基础题．18．如图，在ABC ∆中，若3AB =，BC =，2AC =，且O 是ABC ∆的外心，则AO AC = 2 ．【分析】设外接圆半径为R ，则||||cos AO AC AO AC CAO =∠，故可将向量的数量积转化为【解答】解：设外接圆半径为R3,2AB BC AC ==，AO CO R ==2241cos 22R R OAC R R+-∠== 则1||||cos 22AO AC AO AC CAO R R=∠=⨯⨯= 故答案为：2【点评】本题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义．属于基础题19．设O 是ABC ∆的外心，满足13()24CO tCA t CB =+-，t R ∈，若||3AB =，则ABC ∆面积的最大值为 9 ．【分析】用平面向量基本定理，把面积转化为三角函数，由此即可求出面积最大值．【解答】解：由13()24CO tCA t CB =+-，得到31()42CO t CA CB CB =-+． 所以13()24CO CB t CA CB -=-． 如图，取CB 中点D ，再取BD 中点E ，则DO tEA =因为DO BC ⊥，所以EA BC ⊥则3sin AE B =，3cos BE B =，12cos BC B =．118sin cos 9sin 292ABC S AE BC B B B ∆===． 当4B π=时，三角形ABC 面积取最大值9． 故答案是：9．【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，5BC =，O 点是内心，且12AO AB BC λλ=+，则12λλ+= 56． 【分析】设内切圆半径为r ，由题意得：345122a b c r OE OF AE AF +-+-=======，从而表示出向量AO ，根据向量之间的加减关系，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．【解答】解：设内切圆半径为r ， 由题意得：345122a b c r OE OF AE AF +-+-========， ∴1134AO AE AF AB AC =+=+ 11()34AB AB BC =++ 71124AB BC =+， ∴1712λ=，214λ=． 1256λλ∴+=． 故答案为：56．【点评】本题考查向量知识，考查平面向量基本定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．21．已知H 是ABC ∆的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+，则cos BAC ∠的值为 ． 【分析】先确定点H 的位置，再得到BC AC =，再向量的夹角公式，并运用了向量的坐标运算可求出．【解答】解：1142AH AB AC =+，令AE AC λ=，∴1142AH AB AE λ=+如图，点B ，H ，E 三点共线，则有，11142λ+=，∴23λ=． ∴1344AH AB AE =+，即3BH HE =．∴3()CH CB CE CH -=-，∴131()2444CH CB CE CB CA CF =+=+=（其中点F 为边AB 的中点），则有，边AB 上的中线与垂线重合，即CB CA =．3BH HE =且23AE AC =．由对称性可知，3AH HD =且23BD BC =．建立如图所示的平面直角坐标系，则有，(0,0)D ，(2,0)B ，(1,0)C ，设(0,4)A t ，(0,)H t ∴，0t >．由BC CA =可得，212t =．2cos 16BA BCBAC BA BC ∠===．．【点评】本题运用了向量的坐标法来求解，运算量小了，过程更为清晰．22．在锐角ABC ∆中，H 为垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos AHB ∠= ． 【分析】利用H 为ABC ∆的垂心，可得0HA BC =⇒HA HC HA HB =；同理HC HA HC HB =；再利用已知条件3450HA HB HC ++=，化为22345390HA HA HB HA HC HA HA HB ++=+=与22345840HA HB HB HB HC HA HB HB ++=+=；即可求得答案．【解答】解：H 是ABC ∆的垂心，所以0HA BC =，即0()HA HC HB HA HC HA HB =-=-，所以HA HC HA HB =；同理HC HA HC HB =；因为3450HA HB HC ++=，所以22345390HA HA HB HA HC HA HA HB ++=+=；所以23HA HA HB =-，即2cos 3||||HA AHB HA HB ∠=-①；同理22345840HA HB HB HB HC HA HB HB ++=+=；22HB HA HB =-，即2cos 2||||HB AHB HA HB ∠=-②， 联立①②得：21cos 6AHB ∠=，于是cos||||HA HB AHB HA HB ∠==-=故答案为：．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，考查平面向量数量积的应用，考查转化思想与运算能力，属于难题．23．锐角ABC ∆中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边．点G 为ABC ∆的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为 4[5， ． 【分析】根据余弦定理求出2222cos ()25a b c a b C ab b a+-==+，根据三角形是锐角三角形求出：b a ∈，求出cos C 的范围即可． 【解答】解：如图示：，连接CG ，并延长交AB 于D ，由G 是三角形的重心，得D 是AB 的中点，AG BG ⊥，1122DG AB c ∴==， 由重心的性质得3CD DG =，即3322CD AB c ==， 由余弦定理得：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-∠，2222cos BC BD CD BD CD BDC =+-∠，ADC BDC π∠+∠=，AD BD =，2222222225AC BC a b AD CD c ∴+=+=+=， 则2222cos ()25a b c a b C ab b a+-==+， ABC ∆是锐角三角形，222a b c ∴+>，222b c a +>，222a c b +>，将2225a b c +=代入得：b a ∈，∴4cos 5C <故答案为：4[5．【点评】本题考查了余弦定理的应用，考查三角形的重心以及直角三角形的性质，是一道中档题．24．已知点G 为ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN y AC ==，求11x y+的值． 【分析】由G 为三角形的重心则1()3AG AB AC =+，结合,AM xAB AN y AC ==，我们根据M ，G ，N 三点共线，易得到x ，y 的关系式，整理后即可得到11x y+的值． 【解答】解：根据题意G 为三角形的重心，1()3AG AB AC =+， 111()()333MG AG AM AB AC xAB x AB AC =-=+-=-+， GN AN AG y AC AG =-=-1()3yAC AB AC =-+ 11()33y AC AB =--， 由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ=， 即1111()[()]3333x AB AC y AC AB λ-+=--， 即113311()33x y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴11331133xy -=--即30x y xy +-=两边同除以xy 整理得113x y+=． 【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ=，进而得到x ，y 的关系式，是解答本题的关键．。
平面向量与三角形四心问题
平面向量根本定理与三角形四心O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 那么图1 =OD BC DC OB +BCBDOC 图2推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，那么 有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心 O 是ABC ∆的内心 O 是ABC ∆的外心 O 是ABC ∆的垂心证明：如图O为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = 同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆ 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一“四心〞的相关向量问题一．知识梳理： 四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点〔内切圆的圆心〕，角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点〔外接圆的圆心〕，外心到三角形各顶点的距离相等。
与“重心〞有关的向量问题1 G 是ABC △所在平面上的一点，假设0GA GB GC ++=，那么G 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 如图⑴.A'GCAB2O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，那么P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵. 3 .O是△ABC所在平面内一点，动点P满足〔λ∈〔0，+∞〕〕，那么动点P 的轨图⑴ 图⑵MPCBA迹一定通过△ABC 的〔 〕A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心 解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，由加法法那么知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 应选：B ．与“垂心〞有关的向量问题3 P 是ABC △所在平面上一点，假设PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，那么P 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.4O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，那么动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭， 图⑶ 图⑷由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.5假设H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+那么点H 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 证明: 2222HA HB CA BC -=-得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•=AB HC ∴⊥同理,AC HB BC HA ⊥⊥， 故H 是△ABC 的垂心与“内心〞有关的向量问题6I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．假设0aIA bIB cIC ++=，那么I 是ABC △的( )．A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心【解析】∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，那么由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，图⑸图∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭．∵AB AB 与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.7O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足=OP OA +λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+AC AC AB AB ，(0)λ∈+∞，，那么动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹. 8假设O在△ABC所在的平面内：=，那么O 是△ABC 的〔 〕A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心 解：∵向量的模等于1，因而向量是单位向量 ∴向量、和等都是单位向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，可得AO 在∠BAC 的平分线上同理可得OB 平分∠ABC ，OA 平分∠ACB ， ∴O 是△ABC 的内心． 应选：C ．与“外心〞有关的向量问题8O 是ABC △所在平面上一点，假设222OA OB OC ==，那么O 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】假设222OA OB OC ==，那么222OA OB OC ==，∴OA OB OC ==，那么O 是ABC △的外心，如图⑺。
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平面向量中的三角形四心问题
向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要
工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心（barycenter)
三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与
重心到对边中点的距离之比为2：1。
结论1：
是三角形的重心
所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0
的重心
为故上
在中线同理可得上
在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GC
GB GA GC GB GA GC
GB GD D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,
202
结论2：
的重心
是证明：的重心
是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆0
0)()()()(3
1)(3
1P
二、垂心(orthocenter)
三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：
的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HA HC HC HB HB HA ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H 为三角形垂心
故同理，有证明：H AB
HC CB HA AC
HB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00
)(
结论4：
可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心
是所在平面内一点，则为若3)()(H 222222222
22222HA
HC HC HB HB HA HA
HC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)
三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
结论5：
命题成立
证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则
是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆
结论6：
的外心
是（所在平面内一点，则
是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()() 的外心为故故证明：ABC O OC
OB OA OA
OC OC OB OB OA OA
OC AC OA OC OC
OB CB OC OB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+)()())(()(
四、内心(incenter)
三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心,即内切圆的圆心。
结论7：
的内心
是所在平面内一点，则
为若ABC P CB CB CA CA OC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA OP ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=∆)0(321λλλλ
的内心
为故的平分线上
在同理可得，平分线上
在即边夹角平分线上在由平行四边形法则知，为方向上的单位向量分别，证明：记ABC P C B P A P AC AB e e e e AP AC AB OA OP e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎫ ⎛++=,,)()(,2121112
1λλ 结论8：
的内心
是所在平面内一点，则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0
的内心是故是平分线
同理可得其他的两条也的平分线
是由角平分线定理，不共线，则
与由于证明：不妨设ABC P ACB CD a
b DB DA DB b DA a
c b a DB DA PC DB b DA a PC c b a PC c DB PD b DA PD a PC c PB PA a PC PD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=0
,0,0
)()(0)()(0b λλλλλ。