13 矩阵位移法

2 3 2 3
0 12 EI l 6 EI l
2 3
-
6 EI l 2 EI l
一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n 时，称为 n 阶方阵。
3、行矩阵和列矩阵
一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：
a12 a13 · · · a1n
a11 ê a ê 21 A= ê ê┇ ê ê m1 a
A= a11
[
]
由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：
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第十三章
§13-1 概
矩 阵 位 移 法
述
进入 进入
§13-2 单元刚度矩阵(局部座标) §13-3 单元刚度矩阵(整体座标 系) §13-4 连续梁的整体刚度矩阵 §13-5 刚架的整体刚度矩阵 §13-6 等效结点荷载 §13-7计算步骤和算例
进入 进入
进入
进入 进入
§13-8忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析
(e)
Y2
X1 Y1 M1 = X2 Y 2 M 2
(e)

(e)
F
(e)
凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。
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§13-2
单元刚度矩阵(局部座标系)
进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。 现在讨论单元刚度方程。单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆 端力时的一组方程，可以用“ F ”表示，由位移求力称为正问题。
0 1 0 0
0 0 O 0
0 0 0 1
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A
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IA =A
5
10、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若 此处 A-1 则 AB =C 称为矩阵 A 的逆矩阵。
B=A 1 C
从力学上的理解是，根据单元刚度方程
F
e
= k

e
e

F
e e
F

e
有一组力的解答(唯一的)，即正问题。 如果 F
由
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e

e
不是一组平衡力系则无解；若是一
14
组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。
三、特殊单元
以连续 梁为例：
若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该
一、一般单元
在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指
定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。 1
v1
X1
e
M1
2
e
2
e
u1
1
e M
2
v2
X
Y1
e
e
2
u2
我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向
2013-4-20 变形和弯曲变形的刚度方程。 10
用矩阵形式表示位 移法基本方程
7
二、杆端位移、杆端力的正负号规定
一般单元： 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元， 杆件两端各有三个位移分量，
这是平面结构杆件单元的一般情况。
符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的 x 座标与杆轴重合；图(b)表示的杆端位移均为正方向。 1 (a)
其转置矩阵为
a11 a21 a31 A = a12 a22 a32
T
当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置 矩阵之乘积。若
A=B C D
则
7、零矩阵
AT =DT CT BT
元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。 若 AB=0， 但不一定 A=0 或 B=0。
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e
v2 = 0
0 6 EI l 4 EI l 0 EA l
2
e
6 EI 2 l 2 EI l 0 6 EI 2 l 4 EI l 0
0 12 EI l 6 EI l
2 3
-
EA l 0 0 -
0 12 EI l 6 EI l 0 12 EI l 6 EI l
Y2
e
分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。
X1
e
u1
M1
e
e
M2
e
X
e Y
1
e
2
u2
Y2
e
首先，由两个杆端轴向位移 u 1 和 u 2 可推算出相应的杆端轴向力 X 1e和 X 2 e e 1 2
X1
e
u1
X
1
u2
= EA l = -
X
M
e
2
u 1
- u2
X
EA l
2
u 1
- u 2
进入
§13-8桁架及组合结构的整体分析
进入
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1
矩阵代数复习
1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵 的元素排列为m 行和n列，称为mn 阶矩阵。
a11 a12 a21 a22 A= M am1 am2
2、方阵
L a1n a2 n L O M L amn
单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。
e
1
u1 = 0
1
v1 = 0
e
2
2
u2 = 0
X1 EA l Y1 0 0 M1 = EA X 2 l 0 Y2 0 2013-4-20 M 2
u1 v1 1 u 2 v2 2
e
12
上面的式子可以用矩阵符号记为 通过这个式子由单元杆端位移 (1)
u1 = 1
F

e
= k

e
e
这就是局部座标系中的单元刚度方程。

1
M
2
其次，由杆端横向位移 v 1 , v 2 和转角
1 , 2 ,
Y1 Y2
可以用角变位移方程推导出相应的杆端
横向力 Y 1 e, Y 2 e 和杆端力矩
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M
1
e,M e
2
2 l l l 2 EI 4 EI 6 EI v1 - v 2 = 1 2 2 l l l 6 EI 12 EI 1 2 3 v 1 - v 2 = 2 l l 6 EI 12 EI 1 2 - 3 v 1 - v 2 = 2 l l = 4 EI
2 ×1
非 共形
b11 a11 a12 B A= ê ê b21 a21 a22
2 ×1 2 ×2
（2）不具有交换律，即
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AB BA
3
6、转置矩阵
将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为
原矩阵的转置矩阵，如：
a11 a12 A= a21 a22 a31 a32
e
e
0 12 EI l 6 EI l
2 3
0 6 EI l 4 EI l 0 6 EI l 2 EI l
2 2
-
EA l 0 0 EA l -
0 12 EI l 6 EI l 0 12 EI l 6 EI l
2 3 2 3
0 12 EI l 6 EI l
2 3
0 0
-
6 EI 2 l 2 EI l 0 6 EI 2 l 4 EI l 0
1
2 EI
2
6 EI
v1
- v2
X1 EA l Y1 0 0 M1 = EA X 2 l 0 Y2 0 2013-4-20 M 2
y
EAI
2
e
l
1
u1
x
单元编号 杆端编号 局部座标 杆端位移编号
(b)
1
v1
2
2
u2
v2
(c) X 1 2013-4-20
1 M1
Y1
2
M2
X
2
杆端力编号
8
Y2
（1）单元杆端位移向量
1
u1
（2）单元杆端力向量
1 M1
X1
1
v1
(1) ( 2 ) ( 3) = ( 4 ) ( 5) ( 6)
4
8、 对 角 矩 阵
对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如：
a 11 0 D= 0 0
0 a 22 0 0
0 0 O 0
0 0 0 a mm
9、 单 位 矩 阵
单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示 ，如
1 0 I = 0 0
e (3) k = (4)
(5)
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0
EA l 0 0
2EI l
0 -6EI l2
只与杆件本身性质有 关而与外荷载无关
0 0
-12EI -6EI l3 l2 6EI l2 2EI l
(6)
4EI l
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二、单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
k ij —代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。