矩阵位移法的计算步骤及示例

单元①②和③：
35
⎡ 500 0 0 − 500 0 0 ⎤
⎢ ⎢
0
12 24
0
− 12
24
⎥ ⎥
(1)
k
=
(2)
k
=
(3)
k
=
10
3
⎢ ⎢⎢−
0 500
24 0
64 0
0 − 24 32 ⎥
500 0
0
⎥ ⎥
⎢ 0 −12 − 24 0 12 − 24⎥
⎢ ⎢⎣ 0
24 32
0
− 24
⎥ 64 ⎥⎦
8-8 矩阵位移法的计算步骤及示例 1
矩阵位移法的计算步骤：（以后处理为例）
（1）对结点和单元进行编号，建立结构（整
体）坐标系和单元（局部）坐标系，并对结
点位移进行编号。
（2）计算各杆的单元刚度矩 k (e)、k (e) 。
（3）形成结构原始刚度矩阵K。
（4）计算固端力
F
(e) F
、等效结点荷载FE及综合
⎢⎣0.0 0.0 6.0 12.0⎥⎦
由于连续梁的单元刚度矩阵为非奇异矩阵， 由此组集而成的结构刚度矩阵K 也是非奇异 的，故无需再进行支座约束条件处理。
（4）计算固端力列阵及等效结点 15 荷载列阵。
②单元的固端力列阵
F (2) F
=
⎧ 300 ⎫ ⎩⎨− 300⎭⎬kN
⋅
m
等效结点荷载列阵：
k(3)
=
⎢ ⎢ ⎢
l(3) 2EI
⎢⎣ l ( 3 )
4
2EI l(3) 4EI l(3)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3 4
（3）集成结构刚度矩阵K
12
由各单元刚度矩阵的上方和右侧的单元定位 向量，集成结构刚度矩阵K，此时结构刚度 矩阵K 为4阶方阵。
1
2
3
⎡ 4EI
2 EI
⎢ ⎢ ⎢
l 2
(1)
EI
30 32 35 36 37
（2）形成局部坐标系中的单刚34
先将所需有关数据计算如下：
EA = 500 ×103 kN/m l
6EI = 24 ×103 kN l2
2EI = 32 ×103 kN ⋅ m l
12EI = 12 ×103 kN/m l3 4EI = 64 ×103 kN ⋅ m l
1 −2 2 −2 2
−2 2 22 22
−2
⎥ 2⎥
2
2
⎥ ⎥
2 2 ⎥⎦
FPl
⎪⎪ ⎨
EA⎪
1.60738⎪⎪⎪⎬1=
⎪⎩−.0384⎪⎭97
⎧−0.6442⎫
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
0.60442⎪⎪⎪⎬FP
⎪⎩ 0 ⎪⎭
（拉力）
31
(3)
F
= T ( 3)k( 3)δ ( 3)
=
T
(
3
)k
(
3
)
⎨⎧Δ4
1
2
3
4
K
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
k (2) 11
0
⎡2 2
⎢
k (2)
=
EA
⎢ ⎢
2
2
8l ⎢⎢− 2 2
⎢⎣− 2 2
0
22 22 −2 2 −2 2
1
−2 2 −2 2 22 22
2
−2 2⎤ 0
⎥
−2
2
⎥ ⎥
0
2
2
⎥1 ⎥
2 2 ⎥⎦ 2
计算结构坐标系中的单刚
26
单元(3)： θ (3) = 90D
sin θ = 1 cosθ = 0
⎫ ⎬ ⎭
=
FP l EA
⎧ 1.67381 ⎫ ⎩⎨− 0.38497⎭⎬Δ2=⎩ Nhomakorabea⎧uv22
⎫ ⎬ ⎭
=
0
Δ3
=
⎩⎨⎧uv33
⎫ ⎬ ⎭
=
0
Δ4
=
⎩⎨⎧uv44
⎫ ⎬ ⎭
=
0
（6）计算各杆轴力
29
( 1)
F
= T (1)k (1)δ(1)
=
T
(1)
k
(1)
⎨⎧Δ2
⎫ ⎬
⎩Δ1 ⎭
⎡ 3/2 1/2 0 0 ⎤ ⎡ 3 3 −3 − 3⎤ ⎧ 0 ⎫
各单元的杆端弯矩为：
F (1)
=
k (1 )δ (1 )
=
k
(
1
)
⎧θ ⎩⎨θ
1 2
⎫ ⎬ ⎭
=
⎡8 ⎢⎣4
4⎤ 8⎥⎦
×
10
4
kN
⋅
⎧ 1.78 ⎫ m⎨ ⎬
⎩- 3.57⎭
×
10
−3
=
⎧ ⎩⎨−
0⎫ ⎬kN
214⎭
⋅
m
18
F(2)
=
k ( 2 )δ ( 2 )
+
F (2) F
=
k
(
2
)
⎧θ ⎩⎨θ
=
⎪⎪ ⎪⎨−
0.07699⎪⎪⎪⎬FP
⎪⎩ 0 ⎪⎭
（压力）
矩阵位移法示例3
32
试求图示刚架的内力。各杆材料及截面均相 同，E＝200GPa，I = 32×10-5m4，
A＝1×10-2m2。
（1）对结点和单元进行编号 33
此题采用后处理法，结点位移分量编号、结 构坐标系、各单元的局部坐标系如图所示。
+
(e)
FF
杆
调
端 输力 出计
算
子 程 序
用 矩 阵 乘
和
法
生 成 子 程 序
调 用 单 元 刚 度
调
子 程 序
用 座 标 转
换
调 成用 子固 程端 序力
生
矩阵位移法示例1
9
试用矩阵位移法计算图示的三跨连续梁，绘 出M 图。设EI = 常数。
（1）对结点和单元进行编号 10
对于连续梁来说，各单元的整体坐标系和局 部坐标系重合，因而没有坐标变换问题。本 题采用右手坐标系。
⎪⎪⎬FP ⎪
⎪⎩ 0 ⎪⎭
（拉力）
30
(2)
F
=T(2)k(2)δ (2)
=
T(
2)k(
2
)
⎩⎨⎧ΔΔ13
⎫ ⎬ ⎭
⎡ 2/2
=⎢⎢⎢− ⎢
2/ 2 0
⎢⎣ 0
2/2 0 2/2 0 0 2/2 0 − 2/2
0 ⎤ ⎡ 2 2 2 2 −2 2 −2 2⎤ ⎧ 0 ⎫
⎥⎢ 0 ⎥EA⎢ 2 2/2⎥⎥ 8l ⎢⎢−2 2 2/2⎥⎦ ⎢⎣−2 2
2 3
⎫ ⎬ ⎭
+
F (2) F
=
⎡4 ⎢⎣2
2⎤ 4⎥⎦
× 10 4
kN
⋅
⎧m⎨
3.57⎫ ⎬
×
10
−3
⎩ 2.86 ⎭
+
⎧ 300 ⎫ ⎩⎨− 300⎭⎬
=
⎧ 214 ⎫ ⎩⎨− 257⎭⎬kN
⋅
m
19
F (3)
=
k ( 3 )δ
(3)
=
k
(
3
)
⎧θ ⎩⎨θ
3 4
⎫ ⎬ ⎭
=
⎡12
⎢ ⎣
6
6⎤ 12⎥⎦
×10
4
kN
⋅
⎧ 2.86 ⎫ m⎩⎨- 1.43⎭⎬
×
10
−3
=
⎧257⎫
⎨ ⎩
0
⎬kN ⎭
⋅
m
连续梁的最后弯矩图
20
矩阵位移法示例2
21
试用矩阵位移法计算图示桁架的内力。单元 ①、② 的截面面积为A，单元③的截面面积 为2A，各杆E 相同。
（1）对结点和单元进行编号 22
解：（1）对结点和单元进行编号并选定整体 坐标系和局部坐标系。各杆杆轴上的箭头方 向为方向，此题采用前处理法，对结点位移 分量编号时位移为零的一律编为零码。
F = (0 − 3.0 3.0 0)T ×102 kN ⋅ m
12
（5）解方程求未知结点位移 16
KΔ = F
⎧θ1 ⎫ ⎧ 1.78 ⎫
Δ
=
K
−1F
=
⎪⎪⎪⎨θθ32
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
⎪⎪ ⎨
−
3.57⎪⎪ ⎬
×10−3
rad
⎪ 2.86 ⎪
⎪⎩θ4 ⎪⎭ ⎪⎩−1.43⎪⎭
（6）计算各单元杆端弯矩 17
度 矩 阵 集 成
生 成 子 程 序
k调 e
用 单 元 刚 度
λ元e 调
子 程 序
、 坐 标 信
用 结 点 、
息单
整体分析
7
F荷
e
F F调
载
成用
矩
子固
阵
程端
集
序力
成
生
T
e
调
Fe
=调
T
−T e
e
FF
子 程 序
用 座 标 转
子 程 序
用 矩 阵 相
换
乘
单元分析
8
(e)
F
=
(e)
kT
δ (e) (e)
=
EA l
⎡0.72855 ⎢⎣0.57006
0.57006⎤ 1 2.47855⎥⎦ 2
（5）解算结构刚度方程
28