连续梁的矩阵位移法
工程力学电子教案(第三版)第5章 矩阵位移法精品文档
示连续梁，承受结点力偶作用。结构中的结点统 一编号为1、2、3、4，单元编号为①、②、③。
M1 ①
M2
②
M3
③
M4
1
2
3
4
§5－2 用矩阵位移法计算连续梁
对单元进行分析时，任取一典型单元如 e , 如图所示。为分析方便，对单元的两端重新编号 为I、J。
2i2
0
0
2i2
4i2 4i3 2i3
0
0
2i3 4i3
有了整体刚度矩阵，可得到如下的整体刚
度方程：
4i1 2i1
0
0
2i1 4i14i2
2i2 0
0
2i2 4i2 4i3
2i3
4200ii331432M M M M1432
在单元①中，单元I结 点对应结点1， J结点对应 结点2，则有
4i1 2i1 0 0
k1
2i1
4i1
0
0
0 0 0 0
0
0
0
0
在单元②中，单元I结 点对应结点2， J结点对应 结点3，则有
0 0 0 0
k 2 0 4i2 2i2 0
0
2i2
4i2
M
F1 I
M
F 2
M
F1 J
M
F2 I
M3F
M
F2 J
§5－2 用矩阵位移法计算连续梁
然后去掉各结点的约束，使结构恢复原状，
结构力学之矩阵位移法
第十二章 矩阵位移法【例12-1】 图 a 所示 连 续 梁 ，EI=常数，只 考 虑 杆 件 的 弯 曲 变 形 。
分别用位移法和矩阵位移法计算。
图12-1解：（1）位移法解•基本未知量和基本结构的确定用位移法解的基本结构如图c 所示。
这里我们将结点1处的转角也作为基本未知数，这样本题仅一种基本单元，即两端固定梁。
•位移法基本方程的建立⎪⎭⎪⎬⎫=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ000333323213123232221211313212111P P P R K K K R K K K R K K K 将上式写成矩阵形式⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000321321333231232221131211P P P R R R K K K K K K K K K•系数项和自由项 计算（须绘出单位弯矩图和荷载弯矩图）由图d ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 EI K 411=，l EI K 221=，031=K由图e ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得l EI K 212=，l EI l EI l EI K 84422=+=，l EI K 232=由图f ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 013=K ，l EI K 223=，l EI EI EI K 84433=+=由图g ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得81Pl R p -=，2Pl R P -=，03=P R将系数项和自由项代入位移法基本方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000118820282024321Pl l EI •解方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ14114162321EI Pl •由叠加法绘弯矩图，如图h 所示。
（2）矩阵位移法解•对单元和结点编号（图a ） 本题只考虑弯曲变形的影响，故连续梁每个结点只有一个角位移未知数。
结构力学基础矩阵位移法基本概念、计算程序和例题讲解
例形成图示刚架可动结点劲度矩阵，E,I ,A为常数。
解： 1.编号，如图（b) 2.确定单元杆端自由度序号。
3.计算 kmi 4.计算单元转换矩阵
5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵
6.根据单元杆端自由度序号叠加
二、可动结点劲度矩阵性质
1.对称方阵
反力互等定理
2.非奇异矩阵 考虑了约束条件，排除了刚体位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力 支座反力由下式
计算，得
9.内力图
例2 求图2-21(a)所示平面刚架的内力,已知各杆 I 0.005m4
A0.05m2，E2106kNmA2B杆、CD杆杆
返回
§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
6.按”对号入座”原则，将ki叠加到 k 中。
结构力学基础 矩阵位移法基本概念、计算程
序和例题讲解
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
4.求 K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1
杆长：l 同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
矩阵位移法-1
1/2
2
M
五.(零位移)边界条件处理
方法: 后处理法: 先处理法 后处理法
6kN.m
3kN.m
i1 = 1 i2 = 2
2 3
P3
1
置0置1法 乘大数法
1
(1) (2)
2
(3)
(1)置0置1法 (2)乘大数法 若 δi 元素 ⎡4 ⎢2 ⎢ ⎢ ⎣0
= 0 ,则将总刚主对角 kii 乘以大数N.
1
=1
×δ3
1 k22
1 k12
1 1 2 3 2 单元刚度矩阵中元素的物理意义 δ3 δ δ i = i i = i 1 1 2 2 ⎡k11 k12 k13 ⎤ ⎥ [k ] = ⎢ k k k 总刚的形成方法 ---“对号入座” ⎢ 21 22 23 ⎥ ⎢ 1 2 ⎣k31 k32 k33 ⎥ ⎦ 1 2 1 1 kij ---发生 δ j = 1, 其它结点位 ⎡ ⎤ 11 k k 1 11 12 移为零位移时在 i结点所需 [k ] = ⎢ 1 1 ⎥ k21 k22 ⎦ 2 2 ⎣ 加的结点力. 1 2 3 1 1 结构刚度矩阵性质:对称矩阵 0⎤1 ⎡k11 k12 1 1 2 2⎥ [k ] = ⎢ ⎢k21 k22+ k11 k12⎥ 2 2 2⎥ 简记为 {P} = [k ]{Δ} ---结构刚度方程 ⎢ k k 0 ⎣ 21 22⎦ 3 2 3 [k ] --结构刚度矩阵(总刚) 1 2 1 1 k = 0 k11 = k11 k 21 = k 21 2 2 31 2 1 ⎡ ⎤ k k 2 11 12 2 1 1 2 [k ] = ⎢ 2 2 ⎥ k32 = k 21 k12 = k12 k 22 = k 22 + k11 3 2 k k 21 22 ⎣ ⎦ 2 2 k13 = 0 k 23 = k12 k33 = k 22
连续梁的整体刚度矩阵
回顾Î局部坐标系下单元刚度方程{[]{eeek F Δ=Î单元坐标转换矩阵{}[]{}eeeF T F ={[]{}eeeT Δ=Δ[][][][]T kT k eTe=Î整体坐标系下单元刚度方程Î整体坐标系下单元刚度方程{}[]{}eeeF k =Δ9-4 连续梁的整体刚度矩阵教学目标：理解单元定位向量的物理意义； 掌握连续梁的整体刚度矩阵的计算。
教学内容：传统位移法 单元集成法 单元定位向量 连续梁的整体刚度矩阵1. 传统位移法11EI i l =22EI i l =①②1Δ2Δ3Δ2F 1F 3{}123Δ⎧⎫⎪⎪Δ=Δ⎨⎬⎪⎪Δ⎩⎭节点整体力向量{}123F F F F ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭节点整体位移向量例：求图示结构整体刚度矩阵。
1Δ2Δ3Δ2F 1F 3由△1引起的结点力偶1Δ114i Δ0112i Δ由△2引起的结点力偶122i Δ()12244i i +Δ2Δ222i Δ0232i Δ3Δ34i Δ由△3引起的结点力偶分别考虑每个结点位移对{F }的单独贡献叠加原理：{}111121122232234202442024F i i F F i i i i F i i Δ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥==+Δ⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪Δ⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭{}[]{}F K =Δ[]111122224202442024i i K i i i i i i ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦整体刚度矩阵4224eei i k i i ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别考虑每个单元对[F ]的单独贡献，然后进行叠加。
单元①的贡献1Δ2Δ3Δ2F 1F 3①②20i =0=1Δ2Δ3Δ2F 1F 3①②1i 2i []11114224i i k i i ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦①111121124224F i i F i i Δ⎧⎫⎡⎤⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎢⎥Δ⎩⎭⎣⎦⎩⎭①123300000F Δ⎧⎫⎤⎪⎪⎪⎪⎥=Δ⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪Δ⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭2. 单元集成法1111211233420240000F i i F i i F Δ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=Δ⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪Δ⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭①{}[]{}F K =Δ①①[]1111420240000i i K i i ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦①单元①的贡献矩阵单元②的贡献1Δ2Δ3Δ2F 1F 3①②10i =0=[]22224224i i k i i ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦②{}[]{}F K =Δ②②[]2222000042024K i i i i ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦②222233224224F i i F i i Δ⎧⎫⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎨⎬⎢⎥Δ⎣⎦⎩⎭⎩⎭①1122223223000042024F i i F i i Δ⎧⎫⎤⎪⎪⎪⎪⎥=Δ⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪Δ⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭①②叠加原理：{}{}{}[][](){}F F F K K =+=+Δ①②①②[][][][]eeK K K K =+=∑①②[]1111420240000i i K i i ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦①[]2222000042024K i i i i ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦②111122224202442024i i i i i i i i ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ek ⎡⎤⎣⎦[]ek 思路：[]K局部码——单元分析中，每个单元的结点位移编码。
结构力学基础矩阵位移法基本概念、计算程序和例题讲解
序和例题讲解
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
4.求 K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1
杆长：l 同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
5.求： 对于桁架，一般只有结点荷
载，于是
得 6.求结点位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力
例 设 EI=常数，EA=常数， EI=20EA，试用矩阵位移法分析
5
6
1 2
88.889 0.0
0.0 5.268
0.0 11.852
-88.889 0.0
0.0 -5.268
0.0 11.852
1 2
k②
EA l1
3 4
0.0 88.889
5 0.0
11.852 0.0
5.268
35.556 0.0
11.852
0.0 88.889
0.0
11.852 0.0
返回
§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
矩阵位移法基本原理
D T D
e e
e
T
e
cos sin 0 0
sin cos 0 0
0 0 cos sin
0 0 sin cos
称为单元转换矩阵。是正交矩阵
D
e
i u
vi
uj
vj
T
为整体坐标系下的单元位移向量 对杆端力向量也有这种转换关系，即
uj
vj
x
0 ui vi 0 0 u j v j 0
上式称为单元坐标系下的单元刚度方程。简写为：
F K D
e e
e
-----------（1）
Yj
T
F X
e
i
Yi
Xj
称为单元坐标系下的单元荷载向量
式中，E为杆的弹模，A为截面积，L为杆长
在整个结构中，各杆的方向不同，所有的结点力与结点位移都
是两个方向。为了统一，补充两个y方向的力与两个位移，即，
Y i ，Yj ；v i ，v j （在图示坐标系下它们都是零）。 Yi Y
Xi
j
y
Xj
vi
这样，把上面的矩阵方 ui 程扩写为： EA EA X i 0 L L 0 Yi 0 0 EA EA X j 0 L Y j L 0 0 0
x
其形成已随结点号和单元号的形成而产生。但还要指定
始结点和终结点（随意指定），这很重要。
1 ③ 4 ⑨ ④
①
2 ⑤
②
⑥ 6
3 ⑧ 7 11 P2
P1
⑦
5
⑩
图示结构的关联节点表可如下：
连续梁的矩阵位移计算
连续梁的矩阵位移计算1、问题描述通过矩阵位移法计算连续梁的杆端弯矩，画出弯矩图。
报告通过用matlab 编程序，实现了连续梁杆端弯矩的计算机计算，并且输出弯矩图。
2、知识介绍矩阵位移法的要点是先将结构整体拆开，分解成若干个单元，然后再将这些单元通过定位向量集合成整体，包括单元分析和集合成整体两部分。
单元分析中，要建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵；整体分析中，要将单元集合成整体，由单元刚度矩阵按照刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法方程，从而求出解答。
计算连续梁的杆端弯矩的步骤如下：将连续梁的结点和位移进行编号，写出定位向量；对应于连续梁的单元刚度矩阵是根据连续梁上的实际情况，分别写出每一段的单元刚度矩阵；根据定位向量，写出整体刚度矩阵；根据外加荷载，求等效结点荷载；解方程组，求位移；根据单元刚度矩阵和定位向量，求出杆端弯矩；画出弯矩图。
3、程序代码>> L=[4,6,8];%定义梁长度的数组，L(1)=4M,L(2)=6M,L(3)=8M>> EI=[1,1.5,2];%定义梁刚度，EI（1）=EI，EI（2）=1.5EI，EI（3）=2EI >> P=[40,50,80];%定义跨中荷载的大小，P（1）=40，P（2）=50，P（3）=80>> q=[15,30,20];%定义跨上的连续荷载大小，q(1)=15,q(2)=30,q(3)=20 >> n=5;>> rEI=[EI(1),EI(3),EI(1),EI(1),EI(2)];>> rL=[L(1),L(2),L(3),L(2),L(1)];>> ri=[rEI(1)/rL(1),rEI(2)/rL(2),rEI(3)/rL(3),rEI(4)/rL(4),rEI(5)/rL(5)];>> %下面是固端荷载>> outerP=[0,P(3),0,P(2),0];>> outerQ=[q(2),0,q(2),0,0];>> direct=zeros(n,2);>> for i=1:n direct(i,1)=i-1;direct(i,2)=i;end %输入定位向量和连续梁的数据>> element=zeros(2*n,2);for i=1:nelement(2*i-1,1)=4*ri(i);element(2*i-1,2)=2*ri(i);element(2*i,1)=2*ri(i);element(2*i,2)=4*ri(i);end %单元刚度矩阵>> structure=zeros(n,n);for i=1:(n-1)structure(i,i)= structure(i,i)+element(2*i,2)+element(2*i+1,1);structure(i,i+1)= structure(i,i+1)+element(2*i+1,2); end>> structure(n,n)= structure(n,n)+element(2*n,2);>> %这是整体刚度矩阵>> for i=2:nstructure(i,i-1)=structure(i-1,i);end >> %得到对称的整体刚度矩阵>> %下面是结点固端荷载P=zeros(1,n);for i=1:(n-1)P(i)=P(i)+(1/8)*outerP(i)*rL(i)+(1/12)*outerQ(i)*rL(i)*rL(i)-(1/8)*outerP(i+1 )*rL(i+1)-(1/12)*outerQ( i+1)*rL(i+1)*rL(i+1);End>> P(n)=P(n)+(1/8)*outerP(n)*rL(n)+(1/12)*outerQ(n)*rL(n)*rL(n);>> P=-P; >> P=P';>> %下面解方程组，求位移向量>> X=structure\P;>> %下面求杆端弯矩>> F=zeros(2*n,1);>>F(1:2)=element(1:2,:)*[0,X(1,1)]'+[-(1/8)*outerP(1)*rL(1),(1/8)*outerP(1)*r L(1)]'+[-(1/12)*outerQ( 1)*rL(1)*rL(1),(1/12)*outerQ(1)*rL(1)*rL(1)]';>> for i=2:nF((2*i-1):(2*i))=element((2*i-1):(2*i),:)*X((i-1):i)+[-(1/8)*outerP(i)*rL(i),(1/ 8)*outerP(i)*rL(i)]'+[-(1/12)*outerQ(i)*rL(i)*rL(i),(1/12)*outerQ(i)*rL(i)*rL(i)]';end>> %下面开始画弯矩图>> line=zeros(1,2*n+1);>> for i=2:(2*n+1)line(i)=line(i-1)+(1/2)*rL(floor(i/2));end>> torque=zeros(1,2*n+1);>> torque(1)=-F(1);>> torque(2*n+1)=-F(2*n);>> for i=1:(n-1) torque(2*i+1)=F(2*i);end>> for i=1:ntorque(2*i)=(1/2)*(torque(2*i-1)+torque(2*i+1))-(1/8)*outerQ(i)*rL(i)*rL(i)-(1/4)*outerP(i)*rL(i);end >> plot(line,torque,'r*');>> hold on, z=0*line;plot(line,z),hold off;程序说明：可以改变输入的n 值，相应地改变输入的连续梁各跨的长度、EI、i，可以改变相应向量的维数，但是维数必须等于每次输入的n；输入好数据之后，将以上代码粘贴到matlab 里面，就可以输出弯矩图了，输出的弯矩图是散点图，可以自己根据实际作用的外加荷载，将散点连接起来。
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M
2
6kN.m 3kN.m
五.(零位移)边界条件处理
P3
方法: 先处理法 后处理法
i1 1
i2 2
1
2
3
后处理法: 置0置1法 乘大数法
1
2
(1)
(2)
(3)
(1)置0置1法
(2)乘大数法
若 i 0 ,则将总刚主对角
元素 k ii 乘以大数N.
总结为：“化整为零，积零为整”
§ 3.2 连续梁的单元刚度矩阵
y
M1,1
x1
① i1
M2,2
2
② i2
M3,3
3
M , (1) (1)
M1
12 1
1
M (1) 12
① M , (1) (1) 21 2
M2
M ,(2) (2) 23 2
②
i1
M (1) 21
2 M (2) 23
i2
M ,(2) (2) 32 3
(5)根据边界条件修改结构原始刚度矩阵计算自由结点位移。 (6)计算在结构坐标系中由杆端位移产生的杆端力；再计算单 元在局部坐标系中的杆端力。
(7)计算支座反力。 (8)校核。
§ 3.4 非结点荷载的处理
以上关于矩阵位移法的讨论，是说结构的结点位移作为基 本未知量。在讨论中，我们只考虑了作用结点荷载的情况。由 此所得到的矩阵位移法基本方程，即整体刚度方程，表述了结 点位移和给点荷裁的关系。而实际上，不论是恒载还是活载常 常是作用在杆件单元上的均布荷载、分布荷载或集中荷载。对 于这种非结点荷载的处理，一种方法是，不论均布或分布荷载 都适当地改用若干集中荷载加以代替，并把集中荷载的作用点 也看作结点。这样处理的结果是，加多了单元和结点位移，从 而增加了计算工作量。另一种则是目前通用的处理方法，即采
P3
后处理法
i1 后处理法:
1
置0置1法i2
2
1
2
3
1
2
作弯乘矩大图数法
(1)
(2)
(3)
(1)置0置1法
4 2
20 120
0412
6 3
00
4 0
183
P3 0
3 0
3/ 2
0 0
F284
40 0 800
F12 4 4 2 30/2 6 3
4 2
2 12
0012
6 3
第三章 连续梁的矩阵位移法
§ 3.1 概述 § 3.2 连续梁的单元刚度矩阵 § 3.3 整体刚度矩阵 § 3.4 非结点荷载的处理 § 3.5 连续梁的矩阵位移法举例
§ 3.1 概述
一、结构矩阵分析方法
结构矩阵分析方法的广泛应用是近年来结构力学最重要的
发展之一，这与计算机技术的迅速发展有直接的关系。它是以 传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以 电子计算机作为计算手段的三位一体的方法。
------称为单元杆端力列阵。
(1)
12
(1)
(2)
2 3
(2)
------称为单元杆端位移列阵。
§ 3.3 整体刚度矩阵
将方程组也用矩阵表示：
4i1 2i1 0
2i1 4i1 4i2
2i2
420ii22132
M M12 M3
简写为： K F ------称为整体刚度方程
4i1 2i1
分析过程：
1．对结构的结点和单元进行编号；
2．进行结构的离散化：将结构拆成两个杆件单元①和②；
3．进行单元分析：建立单元刚度矩阵；
4．进行整体分析：将离散化的各单元重新集合，满足原结
构的平衡条件和位移连续条件，而得到整体刚度方程。我们利 用已求得的各单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵。形成整体刚度 矩阵的方法，以直接刚度法最为常用。
0(e)
M3 M3(22) M3 0
2 4ii1 11 1 (24i1i12 4iM 2)1 2 02i23M20 (f)
2i224i23M30
即为位移法 方程
引入矩阵形式（式a、b)可写为：
M M1 22 1 (1) 2 4ii1 1 4 2ii1 1 1 2 (1)g M M 3 22 3 (2)2 4ii2 2 4 2ii2 2 3 2 (2)g
3）解方程组：求出结构的结点位移和内力。
二、结构矩阵分析方法的分类
与传统的力法、位移法和混合法对应，也有矩阵力法、矩 阵位移法和矩阵混合法。矩阵位移法具有易于实现计算过程程 序化的优点而被广泛应用，我们主要介绍矩阵位移法。
矩阵位移法又分为刚度法和直接刚度法。两者的基本原理 并无本质的区别，只是在形成所谓整体刚度矩阵时使用的方法
3 1.5 0 0
k 1.5 11 4
0
0 4 11 1.5
0
0
1.5
3
4kN/m 2
48
ql2 /1248
Fq
2
48 48
FE2
481
482
2 3
3.求总荷 10kN
PD0Fq
1
10 10
1 P/l810
10
FE1
10
10
1 2
10
1PE
38
48
2
0
2.推导图示单元的单刚
F
e 1
e 1
EI
l
e 2
F
e 2
3.计算图示梁总刚中元素 k44 k 23 k 25
EI
2EI
3EI
4EI 5EI
l
2l
3l
2l
l
4.思考题 (1).连续梁的总刚为何应是一个三对角矩阵? (2).荷载不作用于结点上时怎么办? (3).连续梁单刚和总刚是奇异还是非奇异矩阵?
例题2 矩阵位移法解图示梁,作M图. 10kN
用所谓的等效结点荷载。
举例说明如下：
a)
b)
c)
q(x)
F
e q1
q(x)
F
e q2
F
e q1
F
e q2
=
=
+
1 1
2 2
1
2
1
2
1、在施加荷载之前先在结点处各加上一个刚臂用以限制结 点角位移，这样，单元即成为固端梁，而后施加荷载。由于荷 载作用，在各杆端将产生固端剪力和固端弯矩。
2、在原结构的结点处分别施加与约束反力数值相等、方
2、由于连续梁结构为几何不变体系，因此其整体刚度矩阵为 非奇异矩阵。
3、结构刚度矩阵是一带状矩阵。
*
*
\
*
*
\
*
0
\
*
\
\
*
*
\
\
*
*
\
*
0
\
*
\
\
*
*
\
\
*
*
综上所述，可将直接刚度法的解算步骤归纳如下：
(1)将结点和单元进行编号；选择结构坐标系和局部坐标系。 (2)把所有结点力沿结构坐标系分解；建立结点位移列向量和 结点力列向量(两者的分量要一一对应)。 (3) 计算结构坐标系中各单元刚度矩阵的四个子块。 (4)将各单元刚度矩阵的四个子块，按其两个下标在结构原始 刚度矩阵中“对号入座”。
2
2 (c)
(2) 3
3
M M M
(1) 12
(1) 21
(2) 23
4i11 2i1 2 2i11 4i1 2 4i2 2 2i2
3
(d
)
M (2) 32
2i2 2
4i2
3
由结点平衡条件：
再将(d)式代入，得：
M1 M2
M1(12) M1 0 M2(11) M2(23) M2
0
K 2i1
4i1 4i2
2i2
0 2i2 4i2
------称为整体刚度矩阵
1 2
3
------为结点 位移列阵
F
M
M
1
2
M 3
------为结点力 （荷载）列阵
结构刚度矩阵 的性质：
1、对称性：结构刚度矩阵是一个对称矩阵，即位于主对角线 两边对称位置的两个元素是相等的。
4 2
2 12
0412
6 3
0 4 83 P3
3 0
4 2 2 12
0 4
1263
0 4 8N3 P3
第三个方程变为:
0 1 4 2 8 N 3 P 3 3 (P 3 0 1 4 2 )/8 (N )
3 0
作业: 1.作图示结构弯矩图
i1 1
10kN.m i2 3
M3
M (2) 32
3
单元 ①：
M(1) 12
4i1
M2(11) 2i1
(1)
1
2i1
(1)
1
4i1
22((11))(a)
由位移连续条件得：
单元 ②:
M(2) 23
4i2
M(2) 32
2i2
(2) 2
2i2
(2) 2
4i2
3 3((2 2)) (b)
(1) 1
(1) 2
1 (2)
10
P
38
48
0
例题2 矩位移法解图示梁,作M图.
10kN
4kN/m
解: 1.离散化 2.求总刚
EI1 6 EI2 24 EI1 6
k1k341.65/8
1.5 3