结构力学：矩阵位移法
结构力学——矩阵位移法
整理版ppt
4
第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础; 以矩阵作为数学表达形式; 以电子计算机作为计算手段
三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。
采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一，便 于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子计 算机进行自动化计算的要求。
结构力学
整理版ppt
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩
阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整
体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
整理版ppt
16
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
与单元刚度方程相应的正、反两类问题
力学 模型
解的 性质
正问题 e
F e
将单元视为两端有人为 约束控制的杆件。
控e 制附加约束加以指
定。
e 为任何值时，F e都
有对应的唯一解，且总 是平衡力系。
整理版ppt
1、整体刚度矩阵的集成 将单元刚度矩阵按单元定位向量扩展为单元贡献矩阵
（换码扩阵）
1
1
3
K
1
k11
0
1
k21
1
0 0
0
k12
1
0
k22
1
2
2
3
0
K 2
结构力学之矩阵位移法
第十二章 矩阵位移法【例12-1】 图 a 所示 连 续 梁 ，EI=常数，只 考 虑 杆 件 的 弯 曲 变 形 。
分别用位移法和矩阵位移法计算。
图12-1解：（1）位移法解•基本未知量和基本结构的确定用位移法解的基本结构如图c 所示。
这里我们将结点1处的转角也作为基本未知数，这样本题仅一种基本单元，即两端固定梁。
•位移法基本方程的建立⎪⎭⎪⎬⎫=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ000333323213123232221211313212111P P P R K K K R K K K R K K K 将上式写成矩阵形式⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000321321333231232221131211P P P R R R K K K K K K K K K•系数项和自由项 计算（须绘出单位弯矩图和荷载弯矩图）由图d ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 EI K 411=，l EI K 221=，031=K由图e ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得l EI K 212=，l EI l EI l EI K 84422=+=，l EI K 232=由图f ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 013=K ，l EI K 223=，l EI EI EI K 84433=+=由图g ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得81Pl R p -=，2Pl R P -=，03=P R将系数项和自由项代入位移法基本方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000118820282024321Pl l EI •解方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ14114162321EI Pl •由叠加法绘弯矩图，如图h 所示。
（2）矩阵位移法解•对单元和结点编号（图a ） 本题只考虑弯曲变形的影响，故连续梁每个结点只有一个角位移未知数。
结构力学十三讲矩阵位移法
-6EI l2
4EI l
4
§13-3 单元刚度矩阵(整体座标系)
一、单元座标转换矩阵 Y1
X1
X1
Y1
MM21
e
x
M2 X2
正交矩阵 [T]-1 =[T]T
e e
e T T e
v1
y e
X 2
Y2
Fⓔ T T F ⓔ
ee
F T F ee
座标转换矩阵
5
二、整体座标系中旳单元刚度矩阵
[k] e = [T]T k e [T]
(4)
(6)
00
(5)
y
单元 局部码总码
单元 局部码总码
（1） 1 （2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 4
1
2
3 0
0
4
（1） 1
1
（2） 2
2
（3） 3 （4） 0
3 0
（5） 0
0
（6） 0
0
18
1 2
[k] 1 = 3
0 0 4
1 2
[k] 2= 3
0 0 0
123004 101 102 103 104 105 106 201 202 203 204 205 206 301 302 303 304 305 306 401 402 403 404 405 406 501 502 503 504 505 506 601 602 603 604 605 606 123000 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
《结构力学》第十章矩阵位移法
《结构力学》第十章矩阵位移法矩阵位移法是结构力学中的一种重要分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
本文将分为四个部分来介绍矩阵位移法的基本原理和应用。
第一部分将介绍矩阵位移法的基本原理。
矩阵位移法基于结构的受力平衡方程和变形条件，建立了适用于不同类型结构的一般形式的位移函数。
通过对这些位移函数进行适当组合，可以得到一个较为简化的位移矩阵方程。
这个方程可以通过矩阵运算求解，从而得到结构的位移和应力分布。
第二部分将介绍矩阵位移法的应用。
矩阵位移法可以用于求解各种类型的结构，包括梁、柱、框架等。
具体应用时，首先需要确定结构的边界条件和受力情况，然后根据结构的几何形状和材料性质，建立相应的位移函数。
之后，将位移函数按照一定的规则组合起来，建立一个位移矩阵方程。
通过解这个方程，可以得到结构的位移和应力分布。
第三部分将介绍矩阵位移法的优点。
相比于传统的力方法，矩阵位移法具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点。
这是因为矩阵位移法可以通过矩阵运算将结构的受力分析转化为代数运算，减少了繁琐的计算过程，并且可以应用于各种不规则结构。
第四部分将介绍矩阵位移法的局限性。
矩阵位移法虽然具有很多优点，但也有一些限制。
首先，矩阵位移法对结构的刚度矩阵的求取较为复杂，需要通过精确和谐振数法等途径进行求解。
其次，矩阵位移法不能用于解决非线性和动力问题。
总结起来，矩阵位移法是一种重要的结构力学分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
它具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点，但也有一些局限性。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，矩阵位移法的进一步研究和发展也是一个非常重要的方向。
结构力学应用-矩阵位移法
3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加 定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7-1）局部坐标系单元固端力 （7-2）整体坐标系单元固端力 （7-3）单元等效结点荷载。 单元等效结点荷载。
等效原则： 等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。 两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架 计算机计算――程序化） 程序化） （计算机计算 程序化
1. 编码、整理原始数据 编码、
（1）整体与局部坐标系 ） （2）结点位移编码 ） 单元编码 （3）原始数据： ）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量 、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件
2、铰结点处理： 铰结点处理： 铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 基本原理与位移法相同 矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识 矩阵： （1）矩阵：A 方阵： 方阵： 阶方阵A相应的行列式 （2）行列式：n阶方阵 相应的行列式 ）行列式： 阶方阵 相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵 （3）矩阵运算 相等：加减：数乘： 相等：加减：数乘： l aik 乘法： 乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =
结构力学(I)-结构静力分析篇6 矩阵位移法
用数字描述体系的位置，单元的属性。
10 / 105
第六章
例如
单元 FP
矩阵位移法
3(5,6)FP
2
1
2
2
结点
1
1(1,2) 单元方向 1
1
2(3,4)
2
1,2,3 ----结构结点编码（总码） (1,2,3) ----结点位移编码
1 2 ----杆端结点编码（局码）
1 2 ----单元编码
11 / 105
9 / 105
第六章
矩阵位移法
六、结构的离散化工作
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干 个各自独立的单元，单元之间是由结点连接，用 此计算模型模拟原结构的受力和变形特性。 模型和原结构是有差别的，这个差别可以通 过单元的适当选取给予降低。 主要工作：单元的划分；体系的数字化。
直杆体系按自然选取杆件的汇交点、截面的 变化点、支撑点或荷载作用点作为结点，将结构 划分成一系列只在结点相连的单元集合。
EA l e
矩阵位移法
0
6 EI l2 4 EI l
0
12 EI l3 6 EI l2
EA l
0 12l EI 3 6lEI 2 0
12 EI l3 6 EI l2
0 0
EA l
0 12l EI 3
6 EI l2
0 6lEI 2
2 EI l
0 0
0 1 6 EI l2 2 2 EI 3 l 0 4 6lEI 5 2 4 EI 6 l
单元刚度方程
F k
e e
e
结构力学第8章 矩阵位移法
单元两端的杆端位移分别在单元坐标系和整体坐标系 下分解，其位移分量就构成上面的杆端位移向量。
与坐标轴的正方向一致者为正;
返回目录
作业1：已知单元的内力图，列出单元坐标下 及整体坐标下的杆端力向量。
3.04
1.24
y 0.43
4.38N)
x
作业2：已知单元的杆端力如图，写出单元坐 标及整体坐标表示的单元杆端力向量，并 作出单元的内力图。
2EI
l
x
2EI EI
l 6EIl x x
l2
EuIj 1
6EIl
x
l 2 uj 1
EA
l
x
EI
EuIj 1
l
平l面梁单元ul j 的1 x单元刚度矩阵
l
y
ui=1
6EI
l2
N ElA i y
6EI
l
12 2EI l3
12EI
Qi
0l 3
y
2EI
0 Ml iy
2EI 6EI
l
l2
vi =1 θi=1
等截面直杆的刚度方程
适用于两端都是刚结点的杆， 基本未知量为杆两端的转角和侧移；
刚度方程：
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
QAB
QBA
1 l
(
M
AB
M BA)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
1 2i l2
4i
❖ 写成矩阵的形式：
❖ 杆端弯矩、剪力、杆端 侧移均以绕杆端顺时针 为正。关键掌握每个系
结构力学-矩阵位移法
以上杆端力和杆端线位移与相应的坐标轴正 方向一致为正，相反为负。
M1e，M 2e，1e，2e，M1e，M 2e，1e ,2e
以上杆端力矩和杆端转角均以顺时针方向为 正，逆时针方向为负。
10
3. 单元坐标转换矩阵
③
4
④
7
⑤
⑥
1
36
曲杆可用多段直杆近似代替(以直代曲)。
进行结点编号时，要尽量使单元两端结点编号 的差值最小。
4
三、单元杆端力和杆端位移的坐标变换
1．坐标系
结构整体分析 —整体坐标系xy
x
2
②
4
y
①③
④
单元分析—局部坐标系 x y 1
3
单元始端指向末端的方向就
是 x 轴的正方向
1
x
坐标轴遵循右手法则，即
Fx1e
M
e 1
1
M
e 1
e
y
x
2
y
x
单元杆端力
x
2
②
4
y
①③
④
1
3
y v1e 1
1
u1e
u1e
v1e
1e
1e
e
y
x
2
x
2
单元杆端位移
7
Fxe1 Fye1
uv11ee
F
e
MFxe12e
e
u12ee
Fye2
v2e
M
e 2
e 2
Fxe1 Fye1
uv11ee
点，单元与单元、单元与支座均通
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 i2 i
3
k21 k31
=1 k22
k32
若 1 1,2 3 0
P1 P2 p3
k11 k21 k31
kij ---发生 j 1, 其它结点位
移为零位移时在 i结点所需
加的结点力.
k13
k23 k33
=1
结构刚度矩阵性质:对称矩阵
总刚的形成方法 ---“对号入座”
P3
k22112
k222
2 2
结构刚度矩阵中元素的物理意义
k11 k12 k13
k k21
k22
k23
k31 k32 k33
P1 k11 k12 k13 1
P2
k21
k22
k23
2
p3 k31 k32 k33 3
1 P1 1
1 i1 i
k11
=1
k12
P2
2
2
P3
3
k31 0 k32 k221 k33 k222
四.计算杆端力
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
1 P1 1
1 i1 i
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
四.计算杆端力
6kN.m 3kN.m 3kN.m
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
i1 1
i2 2
1
2
1/ 2
3
7/2
3.解方程,求位移 17 /12
变形条件
P1
①
P2
②
P3
F11
F21
F12
F22
单元刚度方程
F1e
k1e11e
k1e2
e 2
F2e
k2e11e
k2e2
e 2
1 11
2
1 2
12
3
2 2
P1
k11111
k112
1 2
P2
k21111
k212
1 2
k12112
k122
2 2
P3
k22112
k222
2 2
P1 k1111 k1122 P2 k2111 k2122 k1212 k1223
----整体编码
P1
i1 i l1 l
1
1
(1)
P2
P3
i2 i l2 l
2
3
2
(2)
(3)
二.单元分析
P1
P2
P3
1,2----局部编码
i1 i
i2 i
Fe
FF12ee
----单元杆端力
l1 l
l2 l
1
2
3
e
e 1
e 2
----单元杆端位移
(1)
单元杆端力和单元杆端位移 逆时针为正.
k e kk12ee11
k1e2 k2e2
4ie 2ie
2ie
4ie
1
e 1
e F2e
2
F1e
e 2
e 1
e 2
F1e
F2e
1
kiej
---发生
e j
1,
e i
0 位移时在
i端所需加的杆端力.
4ie
2ie
e 1
1
单元刚度矩阵性质:对称矩阵 2ie
F1e
4ie
e 1
2ie
e 2
F2e
2ie
3
例: 计算图示梁,作弯矩图
1
2
解: 1.离散化 2.计算总刚,总荷
12
23
12
12
(1)
(2)
4.求杆端力
(3)
k
1
4 2
2 1 1 4 2 2
k 2
8 4
4 1 2 8 2 3
F1
4 2
217 /12 6
4
1/ 6
7
/
2
4 2 0
k 2 12 4
0 4 8
6
P 3
3
F2
8 4
4 1/ 6 811/ 24
单元分析的目的: 建立单元杆端力和单元杆端位移的关系. 2ie
F1e
4ie
e 1
2ie
e 2
F2e
2ie
e 1
4ie
e 2
FF12
e
4ie 2ie
2ie 4ie
12
e
1
e 2
4ie
简记为 Fe ke e ---单元刚度方程
其中 k e 称作单元刚度矩阵(简称作单刚)
二.单元分析
单元刚度矩阵中元素的物理意义
e 1
4ie
e 2
FF12
e
4ie 2ie
2ie 4ie
12
e
e 2
4ie
简记为 Fe ke e ---单元刚度方程
其中 k e 称作单元刚度矩阵(简称作单刚)
三.整体分析
整体分析的目的:
1 P1 1
1 i1 i
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
建立结点力与结点位移的关系.
由结点平衡条件，有 P1 F11 P2 F21 F12 P3 F22
1
1
对单元和结点编码. 基本未知量:结点位移
•单元分析
单元杆端力 单元杆端位移
e
•集零为整 ------ 整体分析
结点外力 单元杆端力
结点外力 单元杆端位移
(杆端位移=结点位移)
结点外力 结点位移
6
5
4
4
2
6.2 矩阵位移法解连续梁
一.离散化
结点位移逆时针为正, 结点力逆时针为正. 1 2 ----单元编码 1,2,3 ----结点编码 (1),(2),(3) ----结点位移编码
1 P1 1
1 i1 i
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
P3 k2212 k2223
P1
P1 k11 k12 k13 1
P2 p3
k21 k31
k22 k32
k23 k33
2 3
k11 k111 k12 k112 k13 0
k21 k211 k22 k212 k121 k23 k122
1 P1 1
1 i1 i
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
12
12
k 1 kk121111
k112 k212
11 22
2
1
k 2 kk122211
3
2
k122 k222
12 23
1
k111
k
k
1 21
0
23
k112 0 1
k212 k121
k122
2
k221 k222 3
k11 k111 k21 k211 k12 k112 k22 k212 k121 k13 0 k23 k122
第六章 矩阵位移法
6.1 概 述
矩阵位移法是以结构位移为基本未知量， 借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系 结构受力、变形等计算的方法。
理论基础：位移法 分析工具：矩阵 计算手段：计算机
基本思想:
56
•化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件,杆件称作单元.
2 3
3
单元的连接点称作结点.
k31 0
k32
k
2 21
k33 k222
简记为
P k ---结构刚度方程
k --结构刚度矩阵(总刚)
①
P2
②
P3
F11
F21
F12
F22
单元刚度方程
F1e
k1e11e
k1e2
e 2
F2e
k2e11e
k2e2
e 2
P1
k11111
k112
1 2
P2
k21111
k212
1 2
k12112
k122
2 2
12ຫໍສະໝຸດ 1e 1(2)
e F2e
F1e ie
e 2
(3) 2
单元分析的目的:
建立单元杆端力和单元杆端位移的关系.
二.单元分析
1,2----局部编码
1
e 1
e F2e
2
F1e
e 2
Fe
FF12ee
----单元杆端力
e 1
F1e
e 2
F2e
e
e 1
e 2
----单元杆端位移
1
4ie
2ie
e 1