平面向量与三角形四心问题
(完整版)平面向量中的三角形四心问题(可编辑修改word版)
讲义-一平面向量与三角形四心的交汇一. 四心的概念介绍(1) 重心一-中线的交点：重心将中线长度分成2： 1;(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等.二、 四心与向量的结合(I)鬲+亦+冼= 6Q 0是AABC 的*心.(2) OA OB = OB'OC = OC OA^ 0 为 AABC 由墓心.(3)设zb. C 是三兔形的三条边瓠0旻A A RC 的内心 aOA-i~bOB ±cOC = 0 o O 为 MBC 的内卍，三、典型例题:例1： 0是平®上L 定点• A. B 、C 是平®上不共ft 的三个勲 动点P 満足丽M 页+ >1(而+疋. X e [O.-i-oo) • «点P 的轨谜一定遷过例 2： (03全ffl 理4 )。
是孚面上一定点.A. B 、C 是孚®上不共些的三个点.动点P 満足AR AC T K- + =7), e [0,+oo).则点P 的轨连一定夏过MBC 的() AC是平面上的一定点• A . B , C 畏平B 上不共ft 的三个点，一 ------ + —).Ze[0.4oo). W 动点P 的轨迹L 定通过MBC 的(I AB \sinB I ACI sin C3》巳知0爰平《上的一定点.A. B. C 是平®上不共线的三个点，屁字gog.则动心轨―通过“吶2 lAfilcosfi lACIcosC (4)岡= OB = 0C oO 为AABCW 外心.A.外心B.内心 D.垂心0P = 04 +几(=• AB A.外心 B ・内心 C ・4心例 3： 1) 是平》上一定点，4. B. C 是平》上不共a 的三个点，0P = 0A + 2( AB I AC TfljcoH A.外心 )• A e [0,+®) •则点卩的紈逐一宦4过口5(?的(B,内心 C 重心 D.垂心2)巳知0 A ・童心 B ・垂心 C ・外心 D ・内心例4.已知商》0彳0戛0片満足条件+ O&+邮 =（h 丨少；曰O&14O 片1=1・求证：是正三角殆.例5. AABC 的外接B 的08心为Q •诵条边上的«的交点为R. O//=w （Q4 + O8 + OC ）・W 実*«・ 例6•点0晏三角恐ABC 卿i 平®内的一乩 為足moB=5B5c=oc54.則点o 赴人肋（？的（C.三条中ft 的交点 在△ABC 内求一点戸・ftAp2 + 3P'+Cp2*小.已知。
专题：平面向量与三角形四心问题
专题:平面向量与三角形四心问题三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助.如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识. 一、三角形的内心（1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的内心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0OC c OB b OA a . （注：本文中的边a ，b ，c 分别表示BC ，AC ，AB .角A ，B ，C 分别表示BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠.）证明：→→→→→→→→→→=+⋅++⋅+⋅⇔=⋅+⋅+⋅0)()(0AC OA c AB OA b OA a OC c OB b OA a→→→→=⋅+⋅+⋅++⇔0)(AC c AB b OA c b a →→→⋅+⋅=⋅++⇔AC c AB b AO c b a )(||||||||)(→→→→→→→⋅⋅+⋅⋅=⋅++⇔AC AC AC c AB AB AB b AO c b a)||||()(→→→→→+⋅=⋅++⇔AC ACAB ABbc AO c b a)||||(→→→→→+⋅++=⇔AC ACAB AB c b a bc AO （图1）⇔点O 在角A 的角平分线上，同理点O 也在角B 、C 的角平分线上. ⇔O 为△ABC 的内心.（3）常用性质性质1：))(||||(R AC ACAB AB∈+⋅→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.证明：如图所示，||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→AD ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→AE .设→→→+=AE AD AP ，由平行四边形法则知，四边形ADPE 为菱形， 故直线AP 为A ∠的角平分线.))(||||(RAC ACAB AB∈+⋅∴→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.性质2：r c b a S ABC ⋅++=∆)(21（r △ABC 内切圆的半径）. 证明：由等面积法易证.性质3：O 为△ABC 的内心c b a S S S OAB OAC OBC ::::=⇔∆∆∆. 证明：由面积公式易证. （4）典例剖析例1-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)||||(→→→→→→++=AC ACAB ABOA OP λ,),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由性质1知，答案为A .例1-2：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若cb a PCc PB b PA a PO ++++=→→→→（其中P 是△ABC 所在平面内任意一点），则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题意知→→→→→→++=++PC c PB b PA a PO c PO b aPO ，即+-→→)(PO PA a→→→→→=-+-0)()(PO PC c PO PB b ，化简得→→→→=⋅+⋅+⋅0OC c OB b OA a .根据内心的向量表示知，O 是△ABC 的内心，答案为A .例1-3：已知O 是△ABC 内的一点，且满足0)||||(=-⋅→→→→→AC ACAB ABOA ，则OA 所在的直线一定经过三角形的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→1e ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→2e .故0)(21=-⋅→→→e e OA ，即→→→→⋅=⋅21e OA e OA ,即>>=<<→→→→21,,e OA e OA .∴直线OA 与A ∠的角平分线重合，故OA 所在的直线一定经过三角形的内心，答案A .二、三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的外心||||||→→→==⇔OC OB OA . （3）常用性质：奔驰定理*：已知O 为△ABC 内的一点（不一定为外心）， 则→→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅0OC S OB S OA S OAB OAC OBC .（该定理反之也成立）证明：不妨延长AO 到D （如下图），则 （图2）=++===∆∆∆∆∆∆∆∆ACD ABD OAC OAB ACD OAC ABD OAB S S S S S S S S AD AO ABC OACOAB S S S ∆∆∆+， 即→∆∆∆→+=AD S S S AO ABCOAC OAB .且根据B ，D ,C 三点共线知，→∆∆∆→∆∆∆→+++=AB S S S AC S S S AD OAC OAB OACOAC OAB OAB ，故→∆∆→∆∆→+=AB S S AC S S AO ABC OAC ABC OAB ，即)()(→→∆∆→→∆∆→-+-=-OA OB S S OA OC S S OA ABCOAC ABC OAB . →→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅∴0OC S OB S OA S OAB OAC OBC （反之易证）性质1*：O 为△ABC 的外心C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆.证明：如图2所示，O 为△ABC 的外心A R BOC R S OBC 2sin 212sin 2122=∠=⇔∆，B R AOC R S OAC 2sin 212sin 2122=∠=∆，C R AOB R S OAB 2sin 212sin 2122=∠=∆ C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆（R 为△ABC 外接圆半径）.性质2*：O 为△ABC 的外心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0)2(sin )2(sin )2(sin OC C OB B OA A . 证明：结合性质1与奔驰定理易证.（4）典例剖析例2-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足++=→→→2OCOB OP )cos ||cos ||(CAC AC BAB AB →→→→+λ，),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：设线段BC 的中点为D ，故)cos ||cos ||(C AC AC BAB AB OD OP →→→→→→++=λ，即)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB DP →→→→→+=λ,而)cos ||cos ||(CAC BC AC BAB BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+⋅=⋅λ，即)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||(CAC CBC AC B AB B BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+-⋅=⋅πλ0|)|||(=+-=→→BC BC λ 即→→⊥BC DP ，故点P 在线段BC 的垂直平分线上. ∴动点P 的轨迹一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-2：在△ABC 中，动点O 满足→→→→⋅=-BC AO AB AC 222，则点O 一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→→⋅=+-BC AO AB AC AB AC 2))((，设D 为BC 的中点，则=⋅→→AD BC 2→→⋅BC AO 2,故0=⋅→→OD BC ,即→→⊥OD BC ，O ∴在BC 的垂直平分线上，故点O 一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-3：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，满足→→→→⋅=⋅BA OB AB OA ，=⋅→→BC OB→→⋅CB OC ，则O 为△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由→→→→⋅=⋅BA OB AB OA 知0)(=+⋅→→→OA OB AB ,即0)()(=+⋅-→→→→OA OB OA OB ，即||||→→=OA OB ,同理可得：||||→→=OC OB ，O ∴为△ABC 的外心，答案B .三、三角形的垂心（1）定义：三角形三条高的交点（如图3）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的垂心→→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OC OB OC OA OB OA . 证明：→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⋅⇔⋅=⋅BC OA BC OA OB OC OA OC OA OB OA 0)(.同理→→⊥AC OB ,O AB OC ⇔⊥→→为△ABC 的垂心.（3）常用性质性质1*：O 为锐角△ABC 的垂心⇔=∆∆∆OAB OAC OBC S S S ::C B A tan :tan :tan . （图3）证明：ACDOC b BCDOC a OF b OE a S S OAC OBC ∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅⋅=∆∆sin sin ,且在直角△BCD 和直角△ACD 中有 B BCD cos sin =∠，A ACD cos sin =∠.故BAA B B A A b B a S S OAC OBC tan tan cos sin cos sin cos cos =⋅⋅=⋅⋅=∆∆. 同理，CBS S OAB OAC tan tan =∆∆. C B A S S S OAB OAC OBC tan :tan :tan ::=∴∆∆∆，反之易证.性质2*：当O 为锐角△ABC 的垂心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0tan tan tan C OC B OB A OA .证明：利用性质1和“奔驰定理”易证. （4）典例剖析例3-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ,得=⋅+-⋅=⋅+⋅=⋅→→→→→→→→→→→→→→)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||()cos ||cos ||(CAC CBC AC B AB B BC AB CAC BC AC BAB BC AB BC AP πλλ0|)|||(=+-→→BC BC λ，即→→⊥BC AP .P ∴在BC 边上的高上，过垂心，答案C .例3-2：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足=+=+→→→→2222||||||||AC OB BC OA22||||→→+AB OC ,则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知2222||||||||→→→→-=-BC AC OB OA ，即=+⋅-→→→→)()(OB OA OB OA)()(→→→→+⋅-BC AC BC AC ，即0)()(=+⋅++⋅→→→→→→OB OA AB BC AC AB ,即02=⋅→→OC AB ，故→→⊥OC AB ，同理→→⊥OB AC ，→→⊥OA BC∴O 是△ABC 的垂心，答案C .例3-3：设O 是△ABC 的外心，点P 满足→→→→=++OP OC OB OA ,则P 是△ABC 的（ ）A .内心B .任意一点C .垂心D .重心 解析：由题知→→→→→=-=+CP OC OP OB OA ，由于O 是△ABC 的外心，故→→→=+OD OB OA 2（D 为线段AB 的中点）且→→⊥AB OD ，即→→=OD CP 2，→→⊥∴AB CP ，同理→→⊥AC BP ，→→⊥BC AP ，故P 是△ABC 的垂心，答案C .四、三角形的重心（1）定义：三角形三条中线的交点（如图4）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的重心→→→→=++⇔0OC OB OA . （3）常用性质 （ 图4 ）性质1：若O 为△ABC 的重心ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆===⇔31性质2：若O 为△ABC 的重心→→=⇔AF AO 32，→→=BD BO 32，→→=CF CO 32性质3：已知),(11y x A ，),(22y x B ,),(33y x C .若O 为△ABC 的重心)3,3(321321y y y x x x O ++++⇔.（4）典例剖析例4-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ，其中hC AC B AB ==→→sin ||sin ||（h 表示BC 边上的高），故)(hACh AB AP →→→+=λ→=AF h λ2（F 为线段BC 的中点）. P ∴在BC 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-2：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足])21()1()1[(31→→→→++-+-=OC OB OA OP λλλ，R ∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设AB 的中点为D ，故])21()1(2[31→→→++-=OC OD OP λλ，由于+-3)1(2λ1321=+λ，即点P ，C ，D 三点共线. P ∴在AB 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-3：已知O 在△ABC 内，且满足→→→→=++0432OC OB OA ，现在到△ABC 内随机取一点，次点取自△OAB ，△OAC ，△OBC 的概率分别记为1P 、2P 、3P ,则（ ）A .321P P P ==B .123P P P >>C .321P P P >>D .312P P P >> 解析：法一：如图，延长OA ，OB ，OC 使得OA OD 2=,OB OE 3=，OC OF 4=, 故→→→→=++0OF OE OD ，即O 是△DEF 的重心，即△OED 、△ODF 、 △OEF 的面积相等，不妨令它们的面积都为1. 61=∴∆OAB S ，81=∆OAC S ，121=∆OBC S ,故321P P P >>，答案C . 法二：由“奔驰定理”知，k S OBC 2=∆，k S OAC 3=∆，kS OAB 4=∆（k 为比例系数），故321P P P >>，答案C .法三：根据三角形内心的向量表示，不妨设O 是以2k ，3k ，4k （k 为比例系数）为边长的三角形的内心，所以OBC OAC OAB S S S ∆∆∆>>,即321P P P >>，答案C .五、等腰（边）三角形的四心 （1）等腰三角形等腰三角形只有顶角的角平分线与中线、高三线重合，其余的线不重合.另外，等腰三角形的四心不重合. （2）等边三角形性质1：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 四心合一. 性质2：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 三线合一. 六、欧拉线*瑞士数学家欧拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形 的几何学》中首次提出：（如图5）任意△ABC （非等边三角形）的垂心D 、重心E 、外心F 三点共线，即欧拉线. （图5）特别地，（如图6）当△ABC 为直角三角形时（A 为直角），垂心D 与A 重合，外心F 在BC 的中点上，欧拉线为直角△ABC 的外接圆半径（或BC 边上的中线）.（图6）性质1：在任意三角形中，垂心与重心的距离是重心与外心距离的2倍，即EF DE 2=.。
平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心之阿布丰王创作已知O 是ABC ∆内的一点,AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ,B S ,C S ,求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则图1 =OD BC DC OB +BC BDOC图2推论O 是ABC ∆内的一点,且0=++•••OC OB OA z y x ,则 有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心 O 是ABC ∆的内心 O 是ABC ∆的外心 O 是ABC ∆的垂心证明：如图O为三角形的垂心,DB CDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan =同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆,C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆ 奔跑定理是三角形四心向量式的完美统一“四心”的相关向量问题一．知识梳理： 四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点,重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点,高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）,角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）,外心到三角形各极点的距离相等.与“重心”有关的向量问题1 已知G 是ABC △所在平面上的一点,若0GA GB GC ++=,则G 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 如图⑴.A'A2已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足()OP OA AB AC λ=++,(0)λ∈+∞，,则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意()AP AB AC λ=+,那时(0)λ∈+∞，,由于()AB AC λ+暗示BC 边上的中线所在直线的向量,所以动点P 的轨迹一定通过图⑴图⑵ABC △的重心,如图⑵.3 .O 是△ABC 所在平面内一点,动点P 满足（λ∈（0,+∞））,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心 解：作出如图的图形AD ⊥BC,由于sinB=sinC=AD,∴=由加法法则知,P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B ．与“垂心”有关的向量问题3 P 是ABC △所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅,得()0PB PA PC ⋅-=,即0PB CA ⋅=,所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥,PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.4已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭,(0)λ∈+∞，,则动点P 的轨迹图⑶图⑷一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭, 由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭,即cos cos AB BCAC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 暗示垂直于BC 的向量,即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上,所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心,如图⑷. 5若H 为ABC △所在平面内一点,且222222HA BC HB CA HC AB+=+=+则点H 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 证明:2222HA HB CA BC-=-得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•=AB HC ∴⊥ 同理,AC HB BC HA ⊥⊥, 故H 是△ABC 的垂心与“内心”有关的向量问题6已知I 为ABC △所在平面上的一点,且AB c =,AC b =,BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=,则I 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心图⑸图⑹【解析】∵IB IA AB =+,IC IA AC =+,则由题意得()0a b c IA bAB cAC ++++=,∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫ ⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+⎪⎝⎭, ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+⎪++⎝⎭．∵AB AB 与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单元向量,∴AI 与BAC ∠平分线共线,即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠,CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心,如图⑸.7已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足=OP OA +λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+AC AC AB AB ,(0)λ∈+∞，,则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭,∴那时(0)λ∈+∞，,AP 暗示BAC∠的平分线所在直线方向的向量,故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心,如图⑹.8若O 在△ABC 所在的平面内：=,则O 是△ABC 的（ ）O CA B解：∵向量的模即是1,因而向量是单元向量∴向量、和等都是单元向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形,∵可得AO 在∠BAC 的平分线上同理可得OB 平分∠ABC,OA 平分∠ACB, ∴O 是△ABC 的内心． 故选：C ．与“外心”有关的向量问题8已知O 是ABC △所在平面上一点,若222OA OB OC ==,则O 是ABC△的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】若222OA OB OC ==,则222OA OB OC==,∴OA OB OC==,则O 是ABC △的外心,如图⑺.9 已知O 是平面上的一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭,(0)λ∈+∞，,则动点P的轨迹一定通过ABC △的( ).图⑺ 图⑻【解析】由于2OB OC+过BC的中点,那时(0)λ∈+∞，,cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭暗示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释.）,所以P 在BC 垂直平分线上,动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心,如图⑻四心的相互关系设ABC △的外心为O,则点H为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++.设ABC△的外心为O,则点G为ABC△的重心的充要条件是1()3OG OA OB OC =++3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ,则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线）,且12OG GH=.相关题目10．设△ABC 外心为O,重心为G ．取点H,使．求证：（1）H 是△ABC 的垂心；（2）O,G,H 三点共线,且OG ：GH=1：2． 【解答】证明：（1）∵△ABC 外心为O, ∴又∵∴则=•==0即AH⊥BC同理BH⊥AC,CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）∵G为△ABC的重心∴=3=3+=即=3即O,G,H三点共线,且OH=3OG即O,G,H三点共线,且OG：GH=1：2时间：二O二一年七月二十九日。
平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心之迟辟智美创作已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则图1 =OD BC DC OB +BC BDOC图2推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则 有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心 O 是ABC ∆的内心 O 是ABC ∆的外心 O 是ABC ∆的垂心证明：如图O为三角形的垂心，DB CDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan =同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆ 奔跑定理是三角形四心向量式的完美统一“四心”的相关向量问题一．知识梳理： 四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各极点的距离相等.与“重心”有关的向量问题1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 如图⑴.A'A2已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 【解析】由题意()AP AB AC λ=+，那时(0)λ∈+∞，，由于()AB AC λ+暗示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足图⑴图⑵（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心 解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，∴=由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B ．与“垂心”有关的向量问题3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.4已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．图⑶图⑷A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭， 由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，即cos cos AB BCAC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 暗示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷. 5若H为ABC△所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB+=+=+则点H 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 证明:2222HA HB CA BC-=-得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•=AB HC ∴⊥同理,AC HB BC HA ⊥⊥， 故H 是△ABC 的垂心与“内心”有关的向量问题6已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】∵IB IA AB=+，IC IA AC=+，则由题意得()0a b c IA bAB cAC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫ ⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+⎪⎝⎭， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+⎪++⎝⎭．∵AB AB 与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单元向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠． 同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.7已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足=OP OA +λ⎫⎛AC AB ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭，∴那时(0)λ∈+∞，，AP 暗示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.图⑸图⑹OCAB8若O 在△ABC 所在的平面内：=，则O 是△ABC 的（ ）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心 解：∵向量的模即是1，因而向量是单元向量∴向量、和等都是单元向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，∵可得AO 在∠BAC 的平分线上同理可得OB 平分∠ABC ，OA 平分∠ACB ， ∴O 是△ABC 的内心． 故选：C ．与“外心”有关的向量问题8已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OAOB OC ==，则O 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】若222OA OB OC==，则222OA OB OC==，∴OA OB OC==，则O 是ABC △的外心，如图⑺.图⑺图⑻9 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 【解析】由于2OB OC+过BC的中点，那时(0)λ∈+∞，，cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+⎪⎝⎭暗示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释.），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻四心的相互关系设ABC △的外心为O ，则点H 为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++.设ABC △的外心为O ，则点G 为ABC △的重心的充要条件是1()3OG OA OB OC =++3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ，则O 、G 、H三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线），且12OG GH=.相关题目10．设△ABC 外心为O ，重心为G ．取点H ，使．求证：（1）H是△ABC的垂心；（2）O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．【解答】证明：（1）∵△ABC外心为O，∴又∵∴则=•==0即AH⊥BC同理BH⊥AC，CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）∵G为△ABC的重心∴=3=3+=即=3即O，G，H三点共线，且OH=3OG即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2。
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G ABC G ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆结论6：的外心是（所在平面内一点，则是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()()的外心为故故证明：ABC O OCOB OA OAOC OC OB OB OA OAOC OCOB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+)()())(()(Θ四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
即内切圆的圆心。
结论7：的内心是所在平面内一点，则为若ABC P CB CB CA BC BA AC AB ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=∆)0(321λλλλ的内心为故的平分线上在同理可得，平分线上在即边夹角平分线上在为方向上的单位向量分别，证明：记ABC P C B P A P AC AB e e e e e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎫ ⎛++=,,)()(,21211121λλ结论8：的内心是所在平面内一点，则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0的内心是故是平分线同理可得其他的两条也的平分线是由角平分线定理，不共线，则与由于证明：不妨设ABC P ACB CD ab DB DA b ac b a DB DA PC b a c b a c b a c a PCPD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=,0,)()()()(b λλλλλ。
平面向量中三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心(baryce nter)三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论1 :若G为/ ABC所在平面内一点，贝U GA • GB • GC = 6 二G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GD二GB • GCGA GB GC = 6二-GA = GB GC-GA = 2GD,B 这表明，G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为厶ABC 的重心1 一——若P为ABC所在平面内一点，贝U PG (PA，PB PC)3=G是厶ABC的重心—i - 一—(PG - PA) (PG - PB) (PG - PC) = 0证明：PG (PA PB PC)u =GA GBGC = 0二G是厶ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3:若H为厶ABC所在平面内一点，则HA HB二HB HC二HC HA=H是厶ABC的垂心证明：HAHB 二HB HC= HB (HA-HC) = 0 二HB AC = 0= HB — AC 同理，有HA —CB,HC 一AB故H为三角形垂心2 ------ 2 ------ 2 ------ 2 -------- 2 ------ 2若H为丄ABC所在平面内一点，贝U HA BC = HB AC = HC AB =H 是ABC的垂心-- '2 ------ 2 ------ 2 2 2 ■ * ------------------------------------ 2 * 证明：由HA BC 二HB CA 得,HA (HB - HC)2二HB (HC - HA)2 =HB HC 二HC HA同理可证得，HA HB = HB HC = HC HA由结论3可知命题成立三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。
【高考数学】平面向量与三角形四心问题
平面向量与三角形四心问题问题探究：已知点G 是ABC 内任意一点,点 M 是ABC 所在平面内一点.试根据下列条件判断G 点可能通过ABC 的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).(1)若存在常数λ,满足()(0)ABACMG MA AB AC λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的____. (2)若点D 是ABC 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC =,则点G 可能通过ABC 的_______.(3)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的_______. (4)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的________.一．基础梳理（一）重心：中线的交点 重心性质：（1）重心是中线的三等分点—重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1 （2）重心的向量公式：0=++GC GB GA G ⇔是ABC ∆的重心O ⇔是平面内任意一点，且1()3OG OA OB OC =++ （3）重心的坐标公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x（4）重心面积公式：G 是ABC ∆的重心ABC BCG ACG ABG S S S S ∆∆∆∆===⇔31 ⇔重心到3条边的距离与3条边的边长成反比（二）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直 垂心的向量表示：⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.（三）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），（1）角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（2）内心的向量式：AB c =，AC b =，BC a =，且0aIA bIB cIC ++=，⇔I 是ABC △的内心（3）设O 为△ABC 所在平面内任意一点，c b a OC c OB b OA a OI ++++=，⇔I 是 ABC △的内心（4）内心坐标公式：内心I ),(cb a cy by ayc b a cx bx ax C B A C B A ++++++++ （四）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）（1）外心到三角形各顶点的距离相等；（2）外心的向量式：222OA OB OC ==⇔O 是ABC △的外心．⇔().().().0OA OB AB OB OC BC OA OC AC +=+=+=※ 锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边的中点.二、典例分析例1、证明：（1）重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1.（2）已知G 是ABC △的重心，证明：0GA GB GC ++=（3）已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，证明：G 是ABC△的重心变式1、O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心变式2、已知是所在平面上的一定点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的( ) A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心例2、P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，证明：P 是ABC △的垂心．变式3、已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的__________.例3、已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，证明：I 是ABC △的内心．变式4、O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)||||AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心例4、已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，试说明动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心.三、巩固练习1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21B ．0C ．1D ．21- 3．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+ 222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =6．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|+AC →|AC →|)·BC →=0且AB →|AB →|·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 7．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆ 为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形8、已知P 点为ABC 内任意一点，若P 点分别满足下列，试确定点P 是ABC 的什么心. （1）(),0()0AB AC AP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩为的__.， （2）D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且DP PB DP PC P ABC EP PC EP PA⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的_____. （3）1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的_______.， （4）00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的_______. 思考：在△ABC 内求一点P ，使222AP BP CP ++最小．。
平面向量与三角形四心问题
(２)O，G,Ｈ三点共线,且ＯG：ＧH＝1：２。
【解答】证明：（１）∵△ＡBＣ外心为Ｏ,
∴
又∵
∴
则=•＝=0
即ＡH⊥BC
同理BH⊥AＣ,ＣH⊥AＢ
即H就是△ABＣ得垂心；
(2)∵G为△ＡBC得重心
∴=3=3+=
即=3
即Ｏ,G,Ｈ三点共线,且ＯＨ=3OG
即O,Ｇ，Ｈ三点共线,且ＯG：ＧH=1：2
３、O就是△ABＣ所在平面内一点，动点P满足（λ∈(0,+∞)），则动点P得轨迹一定通过△ABC得(）
A．内心Ｂ.重心ﻩC。外心Ｄ．垂心
解:作出如图得图形AD⊥BC,由于sｉnB=sinＣ＝ＡD，
∴=
由加法法则知，P在三角形得中线上
故动点P得轨迹一定通过△AＢC得重心
故选：B.
与“垂心”有关得向量问题
5若为所在平面内一点，且
则点就是得(）
A.重点ﻩＢ．外心C.内心ﻩＤ．垂心
证明：
得
即同理,故H就是△源自ＢC得垂心与“内心”有关得向量问题
6已知为所在平面上得一点,且,，．若，则就是得（）
。Ａ．重点ﻩB．外心ﻩC.内心ﻩD.垂心
【解析】∵,，则由题意得,
∵ ，
∴.∵与分别为与方向上得单位向量，∴与平分线共线，即平分。
平面向量基本定理与三角形四心
已知就是内得一点,得面积分别为，,，求证：
如图2延长与边相交于点则
图1
图2
推论就是内得一点，且，则
有此定理可得三角形四心向量式
就是得重心
就是得内心
就是得外心
就是得垂心
证明:如图为三角形得垂心，
同理得，
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平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
与“重心”有关的向量问题1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心如图⑴.A'GCAB2已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足（λ∈（0，+∞）），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心图⑴图⑵MPCBA解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，∴=由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B ．与“垂心”有关的向量问题3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.ABC4已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭， 图⑶ 图⑷H FEM AOP由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.5若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心证明:2222HA HB CA BC -=-()()HA HB BA CA CB BA ∴+•=+•得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•= AB HC ∴⊥ 同理,AC HB BC HA ⊥⊥， 故H 是△ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题6已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的( )．A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心B【解析】∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭．∵AB AB 与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.7已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足 =OP OA +λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+AC AC AB AB ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.8若O 在△ABC 所在的平面内：=，则O 是△ABC的（ ） A ．垂心 B ．重心C ．内心D ．外心解：∵向量的模等于1，因而向量是单位向量图⑸图⑹OCAB∴向量、和等都是单位向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，∵可得AO 在∠BAC 的平分线上同理可得OB 平分∠ABC ，OA 平分∠ACB ， ∴O 是△ABC 的内心． 故选：C ．与“外心”有关的向量问题8已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】若222OA OB OC ==，则222OA OB OC ==，∴OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心，如图⑺。
9 已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过图⑺M OB CAP图⑻ABC △的( )。
A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由于2OB OC +过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭表示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释。
），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻四心的相互关系1.三角形外心与垂心的向量关系及应用设ABC △的外心为O ，则点H 为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++。
2.三角形外心与重心的向量关系及应用设ABC △的外心为O ，则点G 为ABC △的重心的充要条件是1()3OG OA OB OC =++3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ，则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线），且12OG GH =。
相关题目10．设△ABC 外心为O ，重心为G ．取点H ，使．求证：（1）H 是△ABC 的垂心；（2）O ，G ，H 三点共线，且OG ：GH=1：2． 【解答】证明：（1）∵△ABC 外心为O ， ∴又∵∴ 则=•==0即AH⊥BC同理BH⊥AC，CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）∵G为△ABC的重心∴=3=3+=即=3即O，G，H三点共线，且OH=3OG即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2。