(完整版)三角形四心与向量.docx

三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O 是ABC 的重心OAOBOC0 ;若 O 是S BOC S AOCS AOB1S ABCOA OBOC0 ;ABC 的重心，则3 故uuur uuur uuuruuur G 为 ABC的重心. PG 1( PA PB PC )32．O 是ABC 的垂心OA OB OB OCOC OA ;若 O 是ABC (非直角三角形 )的垂心，则 SBOC：S：Stan A ： ：AOCAOBtan B tan C故 tan AOAtan BOBtan C OC 02223．O 是ABC 的外心| OA | | OB | | OC | (或 OAOBOC)若 O 是： ：sin：：ABC 的外心则 SBOCSAOCSAOBBOC sin AOC sin AOB sin2A : sin2B: sin2C故 sin 2A OAsin 2BOBsin 2C OCOA( AB AC OBBABCOCCACB) 04． O 是内心ABC的充要条件是 ) ()(| AB | AC| BA | | BC || CA | | CB|引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记 AB , BC , CA 的单位向量为 e 1, e 2,e3，则刚才 O 是ABC 内心的充要条件可以写成OA (e 1 e 3 ) OB (e 1e 2 ) OC (e 2 e 3 )， O 是ABC 内心的充要条件也可以是aOAb OB cOC 0 。

若 O 是ABC 的内心，则 S BOC：S AOC ：S AOBa ：b ： c故aOAbOBcOC0或 sin A OA sin BOB sin COC 0 ;uuur uuur uuur uuur uuur uuur r ABC 的内心 ;A| AB | PC | BC | PA |CA | PB 0 P 是e 1e 2uuur uuur向量 AB AC )( 0) 所在直线过ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分线所在直BC( uuur uuur| AB | | AC |线) ；P范 例( 一)将平面向量与三角形内心结合考查例 1．O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OPOA( ABAC ) ， 0,则ABACP 点的轨迹一定通过ABC 的（）（A ）外心（ B ）内心（ C ）重心（ D ）垂心ABuuur uuur uuur又 OP OA AP ，则原解析：因为是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e 1和 e 2 ，AB式可化为AP(e 1 e 2 ) ，由菱形的基本性质知 AP 平分BAC ，那么在 ABC 中， AP 平分BAC ，则知选 B.(二 )将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2． H 是△ ABC 所在平面内任一点， HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ ABC 的垂心 .由 HA HB HB HC HB ( HC HA ) 0 HB AC0HBAC ,同理 HC AB ， HA BC .故 H 是△ ABC 的垂心 . （反之亦然（证略） ）例 3.(湖南 )P 是△ ABC 所在平面上一点，若 PA PBPB PCPC PA ，则 P 是△ ABC 的（ D）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析 :由 PA PB PB PC 得 PA PBPB PC0 .即 PB ( PA PC) 0,即PB CA则 PBCA,同理 PA BC, PCAB 所以 P 为 ABC 的垂心 . 故选 D.(三 )将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4．G 是△ ABC 所在平面内一点， GA GBGC =0 点 G 是△ ABC 的重心 .证明 作图如右，图中 GB GC GE连结 BE 和 CE ，则 CE=GB ， BE=GC BGCE 为平行四边形D 是 BC 的中点， AD 为 BC 边上的中线 .将 GB GCGE 代入 GA GB GC =0，得 GAEG =0 GA GE2GD ，故 G 是△ ABC 的重心 .（反之亦然（证略） ）例 5． P 是△ ABC 所在平面内任一点 . G 是△ ABC 的重心1PG(PA PB PC) .证明PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG ) ( PA PB PC )∵ G 是△ ABC 的重心 ∴ GA GB GC =0 AG BG CG =0，即 3PG PA PBPC由此可得 PG1( PA PB PC) .（反之亦然（证略） ）3例 6 若 O 为uuur uuur uuur rABC 的（ABC 内一点， OA OB OC 0 ，则 O 是）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心uuur uuur uuur r uuur uuuruuuruuur uuur uuur 解析：由 OA OB OC 0得 OB OCOA ，如图以 OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则 OB OC OD ，由uuur1 uuur2 OE ，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

平行四边形性质知OE2 OD ，OA(四 ) 将平面向量与三角形外心结合考查uuuruuur uuurA ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由向量模的定义知O 到 ABC 的三顶点距离相等。

故 O 是 ABC 的外心 ，选 B 。

(五 )将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量OP 1 ， OP 2 ， OP 3 满足条件 OP 1 + OP 2 + OP 3 =0，| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 |=1，求证 △ P 1P 2P 3 是正三角形 .（《数学》第一册（下） ，复习参考题五 B 组第 6 题）证明由已知OP 1 + OP 2 =- OP 3 ，两边平方得 OP 1 · OP 2 =1 ，2OP 2 · OP 3 = OP 3 · OP 11同理 =，2∴ | P 1 P 2 |=| P 2 P 3 |=| P 3 P 1 |= 3 ，从而△ P 1P 2P 3 是正三角形 .反之，若点 O 是正三角形△ P 1 P 2 P 3 的中心，则显然有 OP + OP+ OP =0 且| OP |=| OP2|=| OP |.12313即 O 是△ ABC 所在平面内一点，OP 1 + OP 2 + OP 3 =0 且 | OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 |点 O 是正△ P 1P 2 P 3 的中心 .例 9 ．在△ABC 中，已知 Q 、G 、 H 分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证：Q 、 G 、H 三点共线，且 QG:GH=1:2 。

【证明】：以 A 为原点， AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。

设 A(0,0) 、B （ x 1,0 ）、C(x 2,y 2) ，D 、E 、F 分别为 AB 、BC 、AC 的中点，则有：D （x1,0)、E ( x 1 x222G ( x 1uuuur x 2 , y 2 ) AH3 3uuurBC (x 2 x 1 , y 2 )y 2 、 x 2 y 2x 1,,)Q （, y 3 )、H (x 2 , y 4 )) F ( ,由题设可设 22 2 2uuur x 2 x 1 , y 2 y 3 )y，(x 2 , y 4 ) QF ( 2 2 2C(x 2,y 2)uuuur uuurFH Q AHBCEuuuuruuurG AH ? BC x 2 (x 2 x 1 ) y 2 y 4 0y 4x 2 (x 2 x 1 )Qxy 2AD1uuuruuuurB( x ,0)Q QF ACuuur uuuur ( x 2 x 1 ) y 2 ( y 2QF ?ACx 2 y 3 ) 0 2 2 2y 3 x 2 (x 2 x 1 ) y 22 y 2 2uuuurx 1, y 4（2x2x1 ,3x 2 ( x 2x 1)y2)QH (x 2y 3 )222y 22uuurx 1 , y 2y 3 ) （ 2x 2 x 1 , y 2 x 2 (x 2x 1 ) y 2 )QG ( x2x 132 36 32y 22( 2x 2x 1 , 3x 2 ( x 2 x 1) y 2 )1 ( 2x 22 x 1 , 3x 2 (x 2x 1) y 2 )66y 2 632y 2 2uuuuruuuur uuur即 QH =3QG ，故 Q 、G 、H 三点共线，且 QG ：GH =1： 2例 10．若 O H 分别是△ ABC 的外心和垂心 .求证OH OAOB OC .、证明若△ ABC 的垂心为 H ，外心为 O ，如图 .连 BO 并延长交外接圆于 D ，连结 AD ， CD.∴ ADAB ， CD BC .又垂心为 H ， AH BC ，CHAB，∴ AH ∥CD ，CH ∥ AD ，∴四边形 AHCD 为平行四边形，∴ AHDC DO OC ，故 OH OA AH OA OB OC .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （ 1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（ 2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题 . 例 11． 设 O 、G 、 H 分别是锐角△ ABC 的外心、重心、垂心 .求证 OG1OH3证明按重心定理G 是△ ABC 的重心OG1(OA OB OC)3按垂心定理OHOA OB OC由此可得OG1OH .3补充练习1．已知 A 、B 、 C 是平面上不共线的三点， O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足OP = 1 ( 1 OA + 1OB +2 OC ),则点 P 一定为三角形 ABC 的 （ B）3 2 2A. AB 边中线的中点B. AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点11OA + 1OB1.B 取 AB 边的中点 M ，则 OA OB 2OM ，由 OP=(+2 OC )可得 3 OP 3OM 2MC ，32 2∴MP2MC ，即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点，且点 P 不过重心，故选 B.uuuuuur3uuuuur uuuuuur uuuuuuruuuuur uuuuuurABC22OB 222AB22．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：O A＋ BC＝＋ CA＝ OC＋ ，则Ｏ为 ABC的（ D ）Ａ外心Ｂ内心C 重心D垂心uuur uuur uuur0 ， 则ABC 的2 ． 已 知 △ ABC 的 三 个 顶 点 A 、 B 、 C 及 平 面 内 一 点 P 满 足 ： PA PB PC P 为 （C ）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心3．已知 O 是平面上一 定点， A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP OA( AB AC) ，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的（ C） Ａ外心Ｂ内心C 重心D垂心4．已知△ ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满足：uuur uuur uuur uuur uuur uuur0 ，则 P 点为三角形的PA ? PC PA ? PB PB ? PC（D）Ａ外心Ｂ内心C 重心 D垂心P 满足： a uuur uuuruuur5 ．已 知△ ABC ， P 为三角形所在平面上的 一点 ，且点PA b PBc? PC 0 ，则 P 点为三角形的（ B ）Ａ外心Ｂ内心C 重心D 垂心2CB26 ． 在 三 角 形 ABC 中 ， 动 点P 满 足 ： CA 2 AB ?CP， 则P 点 轨 迹 一 定 通 过 △ ABC 的 ：（ B ）Ａ 外心Ｂ 内心 C 重心 D垂心→→→→ → → →+ ACAB · AC = 1 , 则△ ABC 为( )7.已知非零向量 AB 与 AC 满足 (AB)· BC =0 且→→→→2|AB | |AC| |AB | |AC |A. 三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形uuuruuur解析：非零向量与满足ABAC( uuuruuur| AB | | AC |uuuruuur) ·=0，即角 A 的平分线垂直于ABAC= 1，∠A= ，BC ，∴ AB=AC ，又 cosAuuuruuur2| AB | | AC |3所以△ ABC 为等边三角形，选 D ．8.ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ， OH m(OA OB OC) ，则实数 m = 19. 点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OCOC OA ，则点 O 是ABC 的（ B ）（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点10. 如图 1，已知点 G 是ABC 的重心，过 G 作直线与 AB ，AC 两边分别交于 M ， N 两点，且uuuuv uuuv AM xAB ，uuuv uuuv1 1 3 。