平面向量与三角形的四心
平面向量与三角形四心
一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）OA OB OC0++=⇔O 是∆ABC 的重心.证法1：设O x y A x y B x y C x y 112233(,),(,),(,),(,)OA OB OC 0++=⇔x x x x x x y y y y y y 123123()()()0()()()0-+-+-=-+-+-=⎧⎨⎩x x x x y y y y 12312333⇔=++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇔O 是∆ABC的重心. 证法2：如图++OA OB OCOA OD =+=20∴=2AO OD∴、、A O D 三点共线，且O 分AD为2：1∴O 是∆ABC 的重心（2）OA OB OB OCOC OA ⋅=⋅=⋅⇔O 为∆ABC 的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.OA OB OB OCOB OA OC OB CA ⋅=⋅⇔-=⋅=()0⇔⊥OB AC同理⊥OA BC ，⊥OC AB⇔O 为∆ABC 的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心0++=⇔aOA bOB cOC O 为∆ABC 的内心.证明：、AB c AC b分别为、AB AC 方向上的单位向量，∴+AB c AC b平分∠BAC,D CB 平面向量与三角形四心(λ=∴AO bACc AB +)，令cb a bc++=λ∴cb a bcAO ++=（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为的外心。
平面向量与三角形“四心”
解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA 121平面向量与三角形“四心”◎胡建勋刘健( 永吉实验高中132200)平面向量是高中数学的重要工具之一，它不仅可以把几何问题转化为代数问题求解，也可以把代数问题转化为几何问题求解． 它与高中数学的许多模块( 三角函数，平面解析几何，立体几何，数列，不等式等) 都有紧密联系． 借助平面向量研究三角形“四心”问题更会起到意想不到的效果． 本文仅从几个方面加以说明，以餐读者．一、“三角形四心”的向量表示1． 三角形重心的向量表示→ → →G 是△ABC 重心 GA + GB + GC = 0 若 D ，E ，F 分别为→ → → → → →AB ，BC ，CA 中点则CG = 2 GD ( 或AG = 2 GE ，BG = 2GF ) 2． 三角形外心的向量表示 →→ →O 是 △ABC 外 心，==OB OC ( → →→ → →→ → →→OA + OB )·AB = ( OB + OC )·BC = ( OA + OC ) ·AC = 0．3． 三角形内心的向量表示 (→ → )→ →I 是 △ABC 内 心IA ·= IB ·( → → ( →→= IC·= 0．4． 三角形垂心的向量表示H 是 △ABC→→ → → → →垂心 HA ·BC = HB ·AC = HC ·AB→ → → → → →HA·HB = HB·HC = HC·HA ．二、“三角形四心”相关问题 1．“三角形四心”的判定解题策略 利用向量运算化简题干中的向量等式，再据“三角形四心”的向量表示判定． 例，(→→)1 点 O 为 △ABC 所在平面内一点OA + OB ·→ ( → →) → ( → →) →AB = OB + OC ·BC = OA + OC ·OB = 0，则 O 是△ABC() ．A ． 重心B ． 外心C ． 内心D ． 垂心→解析 设 D 为 AB→ →边中点，( OA + OB ) = 2 OD ，由→ →→ → →( OA + OB )·AB = 0，∴ OD·AB = 0，O 在 AB 垂直平分线上，同理 O 应在 BC ，AC 垂直平分线上．∴ O 是△ABC 外心． 应选 B ．例 2 点 O 为△ABC 所在平面内一点，且满足→2 +OA BC → 2 = OB → 2 + AC → 2 = OC → 2 +AB →2 ，则 O 是 △ABC的( ) ． A ． 重心 B ． 外心 C ． 内心 D ． 垂心解析由→2 +→2 = → 2 +→ 2得，OABC OB AC → → → →→ → →→→ ( AC － BC ) ( AC + BC ) + ( OB － OA ) ( OB + OA ) =0， AB( → →) →( → →)AC + BC + AB OB + OA = 0．→ →2 AB·OC = 0，则 O 是△ABC 中 AB 边的高上，同理 O 应在△ABC 中 AC ，BC 边的高上， ∴O 是△ABC 垂心． 应选 D ．2．“三角形四心”与动点轨迹解题策略: 探究动点经过特殊点问题，首先据题干给出的向量等式，利用向量运算化简后，结合向量运算的几何意义，判定动点轨迹特征． 例 3 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所→ →( → → )，则 P 点轨在平面内一动点，若OP = OA + λ 迹一定通过△ABC 的() ．A ． 重心B ． 外心C ． 内心D ． 垂心( → → )解析由若+ →OP = OA + λ→→AP =→→→→分别为→，→同向的单位向λ量，AP 与∠A 平分线所在直线共线， ∴ P 过△ABC 内心，应选 C ．例 4 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所( → →) ( → →)在平面内一动点，若 OP － OA · AB － AC = 0，则 P 点轨迹一定通过△ABC 的A ． 重心B ． 外心C ． 内心D ． 垂心解析→ → → → → →→ →AB － AC = CB ，OP － OA = AP ，又∵ ( OP － OA )·( → →)AB － AC= 0，→ →→ →∴ AP·CB = 0，AP ⊥BC ． ∴ P 在过 A 点且垂直于 BC 的垂线上，点 P 轨迹过 △ABC 的垂心应选 D ．例 5 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所→ →→→，则 P 点轨迹一定通过△ABC 的() ． A ． 重心 B ． 外心C ． 内心 D．垂心→ → →→得:解析由OA = OP + λ+→→，→ →= λ= 0．→ →∴ PA ⊥BC ．∴ P 在过 A 点且垂直于 BC 的直线上，( 转下页)数学学习与研究 2016. 9解题技巧与方法122 JIETI JIQIAO YU FANGFA数列{ n2 }和 S n 的新求法◎郑晶晶 ( 永嘉县东瓯街道办事处消防办，浙江温州 325100) 【摘要】介绍数列{ n2}和 S n的新求法．【关键词】数列; 初等数学= 4 + 4 + 4 + 4笔者在文中介绍了数列{ n2}和 S n的新求法．其很好的= 3 + 3 + 3 = 2 + 2展现了数学之美且易懂．= 1．即: T n + S n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］一式: n2 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n － 3) + ( 2n － 1) +［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］= 2 + 4 + 6 + 8 + … + ( 2n － 2) + 2n － n=［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］·2 － n．+［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］得到三式:( n2 + n) /2 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n +［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］(在这里我们把等号的右边部分看作数列{ n( n + 1) /2}其+［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］．和 T n．(上共有( n + 1)个［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］相T n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］+ 加)［1 + 2 + 3 + … + ( n － 1)］所以容易得出T n + S n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］·( n + 1) + ( 1 + 2 + 3 + 4) = n·( n + 1) /2·( n + 1)+ ( 1 + 2 + 3) =［n·( n + 1)2］/2．+ ( 1 + 2) 又因为 T n为数列{ n( n + 1) /2}和，+ 1．因为 n( n + 1) /2 = ( n2 + n) /2，二式: n2 = n + n + n + … + n + n．(此处共有 n 个 n 相所以 Tn=［n( n + 1) /2 + S ］/2．加) 所以 T n + S n =［n( n + 1) /2 + S n］/2 + S n．所以所以［n( n + 1) /2 + S n］/2 + S n =［n·( n + 1)2］/2．S n = n + n + n + … + n + n．(此处共有 n 个 n 相加) 最后得出 S n = n( n + 1) ( 2n + 1) /6．= n + n + n + … + n(此处共有 n － 1 个 n － 1 相加)( 接上页)∴ P 在 BC 边高上，应过△ABC 的垂心，应选 D．→例 6 在△ABC 中，动点 M →2 －→2 →满足AC AB = 2 AM·BC，则点 M 一定通过△ABC 的( ) ．A．重心B．外心C．内心→2－→2D．垂心→ →→→解析由 AC AB = 2 AM · BC 得: ( AC － AB )→ →→→( AC + AB) = 2 AM·BC→→→→→→设 D 为 BC 中点，AC + AB = 2 AD，2 BC·AD = 2 AM·→ → →BC，BC·MD = 0．M 点应在 BC 的垂直平分线上．应选B．3．“三角形四心”的应用解题策略: 利用向量法解决有关“三角形四心”相关问题，首先确定一组基底，再根据“三角形四心”的向量表示，用向量线性运算，模的运算，向量数量积运算等简化( 经常利用正弦定理和余弦定理) 题干条件．例 7 G 是△ABC 的重心，AB，AC 的边长为 2 和 1，→→) ．∠BAC = 60°，则AG·BG等于(A．8 B．－1099C．5 －槡3 D．－5 + 槡39 9→ 1 → →解析AG = ( AB + AC)，3→ 1 →→ 1 →→BG = ( BC + BA) = ( AC － 2 AB)．3 3→ → 1 →→ 1 →→AG·BG = ( AB + AC) ×( AC － 2 AB)3 31 →2 →→→2)8= ( AC － AB·AC － 2 AB = －．9 9→例 8 O 是外接圆半径为 1 的△ABC 外心，且满足了 3 →→→→OA + 4 OB + 5 OC = 0，则OA·BC =→→→→→→解法 1 →→→OA·BC = OA ( OC － OB) = ，OA ·OC － OA ·→= →= →，OB又∵OA OB OC→→→3 OA +4 OB +5 OC = 0，∴ 9 → 2 →→→= 25 → 2OA + 12 OA·OB + 16 OB OC→→→→→→ 2 →→OA·OB = 0，3 OA + 5 OC = － 4 OB，9 OA + 30 OA·→ 2 = 16 → 2OC + 25 OC OB→ → 3 → → 3∴ OA·OC = －，∴ OA·BC = －．5 5→→解法 2 →→→→由 3 OA + 4 OB + 5 OC = 0，则以 3 OA，4 OB，5 →→OC为边可构成一个边长为3，4，5 的三角形，OA ·BC =→·→cos ∠AOC －→·→cos ∠AOB = cos OA OC OA OB∠AOC － cos∠AOB．∵ cos∠AOB = ，cos∠AOC = －3 →→ 3，∴ OA·BC = －．5 5数学学习与研究2016. 9。
三角形的四心与平面向量知识点总结
三角形的四心与平面向量知识点总结
三角形的四心与平面向量是一个关于平面几何的较为深奥的概念，它的概念要求学生
具备一定的几何知识，掌握这一概念对于学习几何领域的深入学习是十分有用的。
三角形的四心指的是在特定三角形ABC内构成特殊位置
三个点I（三角形BC边AB中点），J（三角形AC边BC中点），K（三角形AB边AC
中点），四点ABCIK组成的四边形，四边形的面积等于三角形的三分之一，此四边形称为BCIK三角形的四心．
此外，三角形的四心还有一个与平面向量密切相关的概念，在三角形的四心中，任
意三个角的夹角均为60°，在三角形四心ABCIK任意三点构成的三角形内构成平行四边形，平行四边形内两条边构成的三角形含有相同的角，平行四边形内两条边所在平面垂直于BCIK三角形的两条边，BCIK三角形的两条边构成的平面是BCIK三角形的平面向量．
三角形的四心与平面向量让学生熟悉一些它不同于其他几何图形所具有的形态特征，
有助于更深入地了解几何相关的知识，学习者不仅可以学习三角形的四心，还可以将其结
合实际的问题，学习如何用四心确定三角形的面积等相关的实际问题．。
运用平面向量判断三角形的四心公式
运用平面向量判断三角形的四心公式三角形是数学中一个基本的概念，它具有丰富的性质及应用。
三角形的四心公式是三角形重要的性质之一，利用平面向量的知识可以简单地求得。
下面将详细介绍此公式，并给出实际问题的应用。
首先，我们需要了解什么是三角形的四心。
在三角形ABC中，围绕着三角形有四个中心，分别是：重心G、垂心H、外心O、内心I，它们的特点如下：重心G：三角形三个顶点到相对边之间连线的交点。
在等边三角形中，重心就是其唯一的交点；垂心H：三角形的三个顶点落垂线的交点之一；外心O：三角形外接圆的圆心，即三角形三边的垂直平分线的交点之一；内心I：内切圆的圆心，即三角形三条边所在直线的垂直平分线的交点之一。
接下来，我们来推导三角形的四心公式。
设三角形ABC的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)。
那么，三角形的重心坐标可以表示为：G = (1/3)*(A+B+C) = (x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3垂心坐标不同于重心，但它们的横纵坐标可以表示为：tanA = |(y2-y1)/(x2-x1)|, tanB = |(y3-y2)/(x3-x2)|, tanC = |(y3-y1)/(x3-x1)|由于垂线斜率关于法线斜率取负倒数，所以垂线方程分别为：Hx = (y2-y1)/(x2-x1)*(y3-y2)/(x3-x2)*(y3-y1)/(x3-x1)*(y-y2)+x2；Hy = -(x2-x1)/(y2-y1)*(x3-x2)/(y3-y2)*(x3-x1)/(y3-y1)*(x-x2)+y2；外心坐标可以由三边中垂心的直线求出，考虑到三条中垂线相交于一点，所以求解直线交点即可。
该点重要的性质是与三角形顶点距离相等，于是有：OA = OB = OCOx = (a*x1+b*x2+c*x3)/(a+b+c), Oy =(a*y1+b*y2+c*y3)/(a+b+c) 其中，a = BC^2*(y1-y2)-AB^2*(y3-y2)+AC^2*(y3-y1) b = BC^2*(x2-x1)-AB^2*(x3-x1)+AC^2*(x3-x2) c = (y3-y2)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x3-x2)最后，我们将探讨三角形的四心公式的实际应用。
平面向量与三角形“四心”(较全面)
平面向量与三角形“四心”（较全面）一、“四心”概念（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心1）：外心到三角形各顶点的距离相等.二、“四心”的充要条件（1）⇔=++→→→→0OC OB OA 是△ABC 的重心.【证法1】：设()y x O ,，()11,y x A ，()22,y x B ，()33,y x C⇔=++→→→→0OC OB OA ()()()()()()⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-00321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔是的重心.【证法2】：∵→→→→→→=+=++02ODOAOCOBOA,∴→→=ODAO2∴A,O,D三点共线，且O分AD为2：1，∴是△ABC的重心.（2）⇔⋅=⋅=⋅→→→→→→OA OC OC OB OB OA 为△ABC 的垂心.【证明】：如图,O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ，D 、E 是垂足.→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⇔⋅=⋅AC OB CA OB OC OA OB OC OB OB OA 0)(同理→→⊥OB OA ，⇔⊥→→AB OC O 为△ABC 的垂心. (3) ⇔=++→→→→0OC c OB b OA a O 为△ABC 的内心. 【证明】：∵bAC c AB →→,分别为→→AC AB ,方向上的单位向量，bACc AB →→+平分BAC ∠,(λ=→AO )bAC c AB →→+，令c b a bc ++=λ cb a bcAO ++=→)(bAC c AB →→+,化简得→→→→=++++0)(AC c AB b OA c b a ,→→→→=++0OC c OB b OA a .（4）⇔==→→→||||||OC OB OA 为△ABC 的外心.三、“四心”的向量表达1.⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=→→→→→→)(31)(31BC BA BO AC AB AO O 为△ABC 的重心；【证】：由),0[,sin sin +∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP ，即)(sin →→→+=AC B A C b AP λ，故→AP 与→→+AC AB 共线，又→→+AC AB 过BC 中点D ，故P 点的轨迹也过中点D ， 故点P 过三角形的重心．2. ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00AC BO BC AO O 为△ABC 的垂心.（1）由C B A S S S AOB AOC BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇒→→→→=++0tan tan tan OC C OB B OA A . （2）222222→→→→→→+=+=+B A OC CA OB BC OA .【证】：由⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→AC b B A c OA OP λ知，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→AC b B B A c C AP cos cos λ， =⋅→→BC AP )cos cos (→→→→⋅+⋅⋅BC AC bB C B AB c C λ 0)cos cos cos cos (=+-=C B C B a λ，故→AP 与向量→BC 垂直， 故点P 的轨迹过垂心．【证】：由),0[,2sin 2sin 22+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP 知，,2sin 2sin 22⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→C b AC B c AB AP λ故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=⋅→→→→→→C b BC AC B c BC AB BC AP 2sin 2sin 22λ，则0)sin sin (2=+-=⋅→→C b a B c a BC AP λ， 故点P 轨迹过三角形的垂心．【解】：AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.→→→→→⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+BC C AC AC B AB AB cos ||cos ||C AC BC AC B AB BC AB cos ||cos ||→→→→→→⋅+⋅=C AC C BC AC B AB B BC AB cos ||cos ||||cos ||cos ||||→→→→→→⋅+⋅-=0=+-=→→BC BC ∴点的轨迹一定通过△ABC 的垂心.3. ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=>+=→→→→→→→→→→0),||||(0),||||(t BC BCBA BA t BO AC AC AB AB AO λλO 为△ABC 的内心；（1）c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆⇒→→→→=++0sin sin sin OC C OB B OA A（2）→→→→→→→→→→→→→→→→=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅0||||||||||||CB CB CA CAOC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA【解】：由),0[,sin sin 22+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP 知，)0)(||||(sin >+=→→→→→λλAC AC AB AB B c AP ， 故动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心.满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→→→||||AC AC AB AB OA OP λ，),0[+∞∈λ ，则点的轨迹一定通过△ABC 的____.【解】：∵如图,设||,||→→→→→→==AC AC AF AB ABAE 分别为→→AC AB ,方向上的单位向量， 易知四边形AETF 是菱形,∴||||→→→→+AC AC AB AB 平分BAC ∠,∴点的轨迹一定通过△ABC的内心.4.两点分别是△ABC的边上的中点,且⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅⋅=⋅→→→→→→→→OA EO OC EO OC DO OB DO O 为△ABC 的外心； (1)0=++→∆→∆→∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC (外心向量定理） (2)由AOB AOC BOC S S S AOB AOC BOC ∠∠∠=∆∆∆sin :sin :sin ::C B A 2sin :2sin :2sin =⇒→→→→=⋅+⋅+⋅02sin 2sin 2sin OC C OB B OA A .四、欧拉线及其向量法证明三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线叫三角形的欧拉线. 在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心.求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2. 【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系。
平面向量与三角形四心问题.docx
平面向量基本定理与三角形四心已知O 是厶ABC 内的一点， BOC^ AOC^ AOB 的面积分别为 S A , S B ,S C ,求证:S A ∙OA S B ∙OB S C ∙OC = 0S B S CS A ∙OA S B ∙OB S C ∙O^ 0推论0是ABC 内的一点，且X ・OA y ∙OB z*O^ = 0 ,则S BOC : S COA S AOB =x: y:ZOD洼OBID OCS BOBSB ' S CS B⅛OCOD OA_ S BOD SBOA_ S COD SlSCOABOD■ S CODSBOA ' S COAS A S B S COD =-S A OA—OAS B S CS⅛OBS⅛OC如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BD DC图1有此定理可得三角形四心向量式S AOB =1:1:1= OA QB OC = 0O 是:ABC 的外心二 S BQC : S-CQA : S AoB =Sin2A:Sin2B: Sin2C =Sin2AQA sin2B∙0B Sin2C QC = 0O 是ABC 的垂心U S-BOC : S 'COA : S AOB =tan A: tan B: tanC =tan A ∙0A tan B ∙0B tanC ∙0C = 0S BOC : S COA=DB : ADS 岳OC : S^COA =tan A: tan B同理得 S COA : S AO B ^tan B：tanC , S BOC : S-AO B^tan A ：tanCS BoC : S COA : S AOB H tan A: tan B : tanC奔驰定理是三角形四心向量式的完美统O 是ABC 的内心=abc =a ∙OA b*OBtan^≤D,tanBAD CD — =——=tan A: ta n B = DB: AD DBO 是ABC 的重心B证明：如图O 为三角形的垂心,4.2三角形“四心”的相关向量问题一•知识梳理:四心的概念介绍：垂心：高线的交点，高线与对应边垂直;如图⑴.Op=OA …（AB ∙AC）, ■（0, •：：）,则P 的轨迹一定通过△ ABC 的（）.A.重点B.外心C.内心D.垂心【解析】由题意AP=^.(AB AC),当…(0, •时，由于■ (AB ■ AC)表示BC边上3 Q程ABC所在平面内一点，动点P满足' -"λ(∈( 0, +∞)),则动点P的轨迹一定通过厶ABC的( )A.内心B.重心C.外心D.垂心重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2 : 1；内心：角平分线的交点(内切圆的圆心) ,角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心：中垂线的交点(外接圆的圆心) ,外心到三角形各顶点的距离相等。
(完整版)平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
平面向量的应用之三角形的四心
△ABC 的
心.
第2页 共3页
8. 若 O# A» + O# B» + O# C» = #0»，则点 O 是 △ABC 的
心.
9.
若
#» PO
=
1 3
# (P
» A
+
# P
» B
+
# P
C»)，则点
O
是
△ABC
的
心.
10.
已知
△ABC
的角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c,
若
#» PO
=
#» #» #» aP A + bP B + cP C ，则点
§1 平面向量与三角形的四心
一 知识梳理
1. 三角形的重心
(1) 定义
C
三角形三条中线的交点叫作重心，它到三角形顶点距离与该点到对
边中点距离之比为 2 : 1.
(2) 向量表达式
#» OA
+
#» OB
+
#» OC
=
#0»
#» PO
=
1 3
# (P
» A
+
#» PB
+
# P
C»).
E
F
O
A
D
B
2. 三角形的垂心
C (1) 定义
三角形三条高线的交点叫垂心.
(2) 向量表达式 O# A» · O# B» = O# B» · O# C» = O# A» · O# C» O# A»2 + B# C»2 = O# B»2 + A# C»2 = O# C»2 + A# B»2. A