《已知三角函数值求角》习题

《已知三角函数值求角》练习
一、选择题
1．若sinx＝13，x∈(π2，π)，则x等于( )
A．arcsin13 B．π－arcsin13
C.π2＋arcsin13 D．－arcsin13
2．设cosα＝－16，α∈(0，π)，则α的值可表示为( )
A．arccos16 B．－arccos16
C．π－arccos16 D．π＋arccos16
3.arcsin32－arccos(－12)arctan(－3)的值等于( )
A.12 B．0
C．1 D．－12
4．若x∈[0，3π2]，则使等式cos(πcosx)＝0成立的x的值是( )
A.π3
B.π3或4π3
C.π3或2π3
D.π3或2π3或4π3
5．给出下列等式
①arcsinπ2＝1 ②arcsin(－12)＝－π6 ③arcsin(sinπ3)＝π3 ④sin(arcsin12)＝
12
其中正确等式的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．若tan(2x＋π3)＝33，则在区间[0,2π]上解的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
二、填空题
7．方程2cos(x－π4)＝1在区间(0，π)内的解是________．
8．若x＝π3是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________. 9．函数y＝3－2x＋π－arccos(2x－3)的定义域是________．
三、解答题
10．已知tanx＝－1，且cosx＝22，求x的取值集合．
11．已知函数f(x)＝2sin(2x－π3)＋1，
(1)求函数y＝f(x)的最大值、最小值以及相应的x值；
(2)若x∈[0,2π]，求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3)若y>2，求x的取值范围．
12．已知△ABC的三个内角A、B、C满足sin(180°－A)＝2cos(B－90°)，3cosA＝－2cos(180°＋B)，求角A、B、C的大小．
参考答案：
1.B
2.C
3.D
4.D
5.C
6.B
7. 解析：∵2cos(x－π4)＝1，∴cos(x－π4)＝12，∵x∈(0，π)，∴x－π4∈(－π4，3π4)，∴x－π4＝π3，∴x＝7π12. 答案：7π12
8.解析：∵x＝π3是方程2cos(x＋α)＝1的解，∴2cos(π3＋α)＝1，∴cos(π3＋α)＝12. ∵α∈(0,2π)，∴α＋π3∈(π3，7π3)，∴α＋π3＝5π3，∴α＝4π3. 答案：4π3
9. 解析：要使函数有意义，需有：3－2x≥0－1≤2x－3≤1，解得：1≤x≤32.答案：[1，32]
10. 解：∵tanx＝－1<0，且cosx＝22>0，∴x是第四象限角，即2kπ－
π2<x<2kπ(k∈Z)．∵π2<x－2kπ＋π<π(k∈Z)，又cos(x－2kπ＋π)＝cos(x＋π)＝－cosx＝－22(k∈Z)，∴x－2kπ＋π＝arccos(－22)(k∈Z)，即x＝2kπ－π＋3π4＝2kπ－π4(k∈Z)．∴x的取值集合为{x|x＝2kπ－π4，k∈Z}．
11. 解：(1)当2x－π3＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋5π12，k∈Z时，函数y＝f(x)取得最大值为3；当2x－π3＝2kπ－π2，即x＝kπ－π12，k∈Z时，函数y＝f(x)取得最小值为－1. (2)令T＝2x－π3，则当2kπ－π2≤T≤2kπ＋π2，即2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，也即kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)时，函数y＝2sinT＋1单调递增，又
x∈[0,2π]，∴函数y＝f(x)的单调增区间为[0，5π12]，[11π12，17π12]，[23π12，2π]．(3)∵y＝2sin(2x－π3)＋1>2，∴sin(2x－π3)>12，从而2kπ＋π6<2x－π3<2kπ＋5π6(k∈Z)，∴kπ＋π4<x<kπ＋7π12(k∈Z)，故满足条件的x的取值范围为kπ＋
π4<x<kπ＋7π12(k∈Z)．
12.解：∵sin(180°－A)＝2cos(B－90°)，
∴sinA＝2sinB.①
又3cosA＝－2cos(180°＋B)，
∴3cosA＝2cosB，②
①2＋②2得cos2A＝12，
即cosA＝±22.
∵A∈(0，π)，∴A＝π4或3π4.
(1)当A＝π4时，有cosB＝32，
又B∈(0，π)，∴B＝π6，C＝7π12.
(2)当A＝3π4时，
由②得cosB＝3cos3π42＝－32<0，
可知B为钝角，在一个三角形中不可能出现两个钝角，此种情况无解．综上，可知A、B、C的大小分别为π4，π6，7π12。