【数学】江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考2017届高三(下)试卷(理)(解析版)

江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校

联考

2017届高三（下）数学试卷（理科）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．（5分）已知全集I ={1，2，3，4，5，6}，集合A ={1，3，5}，B ={2，3，6}，则（∁I A ）∩B = ． 2．（5分）复数1+

的实部为

．

3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n 的值是

．

4．（5分）某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为 ．

5．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，1），则双曲线

的离心率为 ．

6．（5分）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则两位数为偶数的概率为 ．

7．（5分）已知点P （x ，y ）满足

，则z =的最大值为 ．

8．（5分）设正项等比数列{a n }满足2a 5=a 3﹣a 4．若存在两项a n 、a m ，使得a 1=4

，则m +n 的值为 ．

9．（5分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为AA 1中点，Q 为CC 1的中点，AB =2，则三棱锥B ﹣PQD 的体积为 ．

10．（5分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x 2﹣2x +1，不等式f （x 2﹣3）＞f （2x ）的解集用区间表示为 ． 11．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，设直线x ﹣y +m =0（m ＞0）与

圆x 2+y 2=8交于不同的两点A ，B ，若圆上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则正数m 的值为 ．

12．（5分）已知P 是曲线y =x 2﹣ln x 上的动点，Q 是直线y =x ﹣1上的动点，则PQ 的最小值为 ．

13．（5分）矩形ABCD 中，P 为矩形ABCD 所在平面内一点，且满足P A =3，PC =4．矩形对角线AC =6，则= ．

14．（5分）在△ABC 中，若

+

=3，则sin A 的最大值为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14分）已知f （x ）=2

sin x cos x +2cos 2x ﹣1．

（1）求f （x ）的最大值，以及该函数取最大值时x 的取值集合； （2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长，且a =1，b =，f （A ）=2，求角C ．

16．（14分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，每条棱长均相等，D 为棱AB 的中点，E 为侧棱CC 1的中点．

（1）求证：OD ∥平面A 1BE ；（2）求证：AB 1⊥平面A 1BE ．

17．（14分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，），圆O：x2+y2=b2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l与圆O相切，切点在第一象限内，且直线l与椭圆C交于A、B两点，△OAB的面积为时，求直线l的方程．

18．（16分）如图，在某商业区周边有两条公路l1和l2，在点O处交汇；该商业区为圆心角、半径3km的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB，与l1，l2分别交于A，B，要求AB与扇形弧相切，切点T 不在l1，l2上．

（1）设OA=a km，OB=b km试用a，b表示新建公路AB的长度，求出a，b满足的关系式，并写出a，b的范围；

（2）设∠AOT=α，试用α表示新建公路AB的长度，并且确定A，B 的位置，使得新建公路AB的长度最短．19．（16分）设a＞0且a≠1函数f（x）=a x+x2﹣x ln a﹣a

（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；（其中e为自然对数的底数）

（2）求函数f（x）的最小值；

（3）指出函数f（x）的零点个数，并说明理由．

20．（16分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于3，则称这个数列为“S型数列”．

（1）已知数列{a n}满足a1=4，a2=8，a n+a n﹣1=8n﹣4（n≥2，n∈N*），求证：数列{a n}是“S 型数列”

；

（

2）已知等比数列{a n}的首项与公比q 均为正整数，且{a n}为“S型数

列”，记b n=a n，当数列{b n}不是“S型数列”时，求数列{a n}的通项公式；

（3）是否存在一个正项数列{c n}是“S型数列”，当c2=9，且对任意大于等于2的自然数n都满足（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）？如果存在，给出数列{c n}的一个通项公式（不必证明）；如果不存在，请说明理由．

[选修4-1：几何证明选讲]

21．（10分）如图，A ，B ，C 是圆O 上不共线的三点，OD ⊥AB 于D ，BC 和AC 分别交DO 的延长线于P 和Q ，求证：∠OBP =∠CQP ．

[选修4-2：矩阵与变换] 22．已知a ，b ∈R ，矩阵A =，若矩阵A 属于特征值1的一个特

征向量为α1=

，属于特征值5的一个特征向量为α2=

．求矩阵

A ，并写出A 的逆矩阵．

[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．已知在极坐标系下，圆C ：p =2cos （）与直线l ：ρsin （

）

=，点M 为圆C 上的动点．求点M 到直线l 距离的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知x ，y ，z 均为正数．求证：．

三、解答题（共2小题，满分10分）

25．如图，已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AB =2，AA 1=1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点． （1）求异面直线AE

与BF 所成角的余弦值；

（2）求平面

BDF 与平面AA 1B 1B 所成二面角（锐角）的余弦值．

26．（10分）设集合S ={1，2，3，…，n }（n ≥5，n ∈N *），集合A ={a 1，a 2，a 3}满足a 1＜a 2＜a 3且a 3﹣a 2≤2，A ⊆S （1）若n =6，求满足条件的集合A 的个数；

（2）对任意的满足条件的n 及A ，求集合A 的个数．