几何图形难题集

【例1】

如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．

如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．

由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．

由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为21

8164

⨯

=． 根据面积比例模型，OBC ∆的面积为5

16108

⨯=．

【例2】

如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．

B

A

利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．

由于长方形ABCD的面积为158120

⨯=，所以三角形BOC的面积为

1

12030

4

⨯=，所以三角形AOE和DOG

的面积之和为

3

1207020

4

⨯-=；

又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为

11

12030

24

⎛⎫

⨯-=

⎪

⎝⎭

，所以四边形EFGO的面积为

302010

-=．

另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积=三角形AFC面积+三角形BFD面积-白色部分的面积，而三角形AFC面积+三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050

-=，所以四边形的面积为605010

-=．

【巩固】

如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，2

AE ED

=，则阴影部分的面积为．

B

B

如图，连接OE ．

根据蝴蝶定理，1

:::1:12

COE CDE

CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===， 所以1

2

OEN OED S S ∆∆=

； 1:::1:42BOE BAE

BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以1

5

OEM OEA S S ∆∆=． 又11

334

OED

ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==， 所以阴影部分面积为：11

36 2.725

⨯

+⨯=． 【例3】

【例4】

如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．

G

F

E D

C B

A

A

B

C D

E F

G

连接AF ，BD ．

根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=； 所以，1527BE CBF F S S ∆∆=

，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，7

28

AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827

ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．

【例5】

如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．

H

G

A

B C

D E

H

G

A

B C

D E

连接AC、BD．根据共角定理

∵在ABC

△和BFE

△中，ABC

∠与FBE

∠互补，

∴

111

133

ABC

FBE

S AB BC

S BE BF

⋅⨯

===

⋅⨯

△

△

．又

1

ABC

S=

△，所以

3

FBE

S=

△．

同理可得

8

GCF

S=

△，

15

DHG

S=

△，

8

AEH

S=

△．

所以

8815+3+236 EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD

S S S S S S

=++++=++=△△△△．

所以

21

3618 ABCD

EFGH

S

S

==．

【例6】

如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90

AEB

∠=︒，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．

D