1991年考研数学(三)试题

1991年数学三试题

一、填空题

(1)设sin ,xy z e =则dz =_______.

(2)设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,−且在点()10,−有公共

切线,则a =_______,b =_______,c =_______.

(3)设()x f x xe =,则()()n f x 在点x =_______处取极小值_______.

(4)设A 和B 为可逆矩阵,00A X B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠

为分块矩阵,则1X −=_______.(5)设随机变量X 的分布函数为0,1,0.4,11,(){}0.8,13,1,

3.x x F x P X x x x <−⎧⎪−≤<⎪=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩，则X 的概率分布为_______.

二、选择题

(1)下列各式中正确的是

()(A)01lim 11x x x +→⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠(B)01lim 1x x e x +→⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠(C)1lim 1x x e x →∞⎛⎞−=−⎜⎟⎝⎠(D)1lim 1x x e x −→∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠(2)设10(1,2,)n a n n ≤≤

=⋯则下列级数中肯定收敛的是()(A)1

n

n a ∞=∑(B)1(1)n n n a ∞=−∑

(C)n ∞=(D)21(1)n n

n a ∞=−∑(3)设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是()(A)1n A λ−(B)1A λ−(C)A λ(D)n

A λ(4)设A 和

B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是()

(A)A 与B 不相容(B)A 与B 相容(C)()()()P AB P A P B =(D)()()

P A B P A −=(5)对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则

()(A)()()()

D XY D X D Y =⋅(B)()()()D X Y D X D Y +=+(C)X 和Y 独立

(D)X 和Y 不独立三、求极限1

20lim x x nx x x e e e n →⎛⎞+++⎜⎟⎝⎠

⋯,其中n 是给定的自然数.四、计算二重积分D I ydxdy =∫∫,其中D 是由x 轴,y

1所围成的区域,0,0a b >>.五、求微分方程22dy xy x y dx

=+满足条件2x e y e ==的特解.六、假设曲线1L ：()2101y x x =−≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分

为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.

七、某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分

别为1q 和2q ；需求函数分别为112402q .p =−和2210005q .p =−,总成本函数为

()123540C q q .=++.

试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、试证明函数1()(1x f x x

=+在区间(0,)+∞内单调增加.九、设有三维列向量12321110111111,,,,λααλαβλλλ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

问λ取何值时,

(1)β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一?

(2)β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一?

(3)β不能由123,,ααα线性表示?

十、考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++−+.问λ取何值时,f 为正

定二次型.

十一、试证明n 维列向量组12,,,n ααα⋯线性无关的充分必要条件是

1112121222120T T T n

T T T n T T T n n n n D αααααααααααααααααα=≠⋯⋯⋮⋮⋮

⋯,

其中T i α表示列向量i α的转置,1,2,,i n =⋯.

十二、一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X 的概率分布.十三、假设随机变量X 和Y 在圆域222x y r +≤上服从联合均匀分布.

(1)求X 和Y 的相关系数ρ;(2)问X 和Y 是否独立?

十四、设总体X 的概率密度为1,0,(;)0,0,

a a x ax e x p x x λλλ−−⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，其中0λ>是未知参数,0a >是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本

12,,,n X X X ⋯,求λ的最大似然估计量ˆλ.