2007年高考数学全国II文科详细解析
2007年高考文科数学试题及参考答案(湖北卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文 史类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．32-12．8 13．314．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．解：（Ⅰ）π()1cos 23cos 21sin 23cos 22f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+-=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，．17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角．依题意π6CBH ∠=，所以 在CHD Rt △中，2sin 2CH a θ=； 在BHC Rt △中，πsin62a CH a ==， 2sin 2θ=∴． π02θ<<∵，π4θ=∴．故当π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解法2：（Ⅰ）以CA CBC V ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则2(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V a θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，2tan 222a a VD a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，，(0)AB a a =- ，，．从而2211(0)0002222a a AB CD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭ ，，，，··，即AB CD ⊥．同理22211(0)tan 0022222a a AB VD a a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··， 即AB VD ⊥．又CD VD D = ，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，··n n ．得02tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，． 可取(112cot )θ=，，n ，又(00)BC a =-，，，A DB CVxyz于是2π2sin sin 6222cot BC a BC a θθ===+n n ···， 即2sin 2θ=π02θ<<∵，π4θ∴=．故交π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则222(000)0000222D A a B a C a⎛⎫⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，220tan 22V a a θ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是220tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，2002DC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，(020)AB a =，，．从而(020)AB DC a = ，，·20002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥． 同理22(020)0tan 022AB DV a a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，·，即AB DV ⊥． 又DC DV D = ，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB DV == ，··n n ，得2022tan 022ay ax az θ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，． 可取(tan 01)n θ=，，，又22022BC a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 于是22tan π22sin sin 621tan a BC BC a θθθ===+ n n ···， 即πππsin 0224θθθ=<<，，∵∴=． ADBCVxy故交π4θ=时， 即直线BC 与平面VAB 所成角为π6． 18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）设商品降价x 元，则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ， 则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+，又由已知条件，2242k=·，于是有6k =， 所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，．（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有2()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---．x[)02，2 (212)，12 (]1230，()f x ' - 0 +0 - ()f x极小极大故12x =时，()f x 达到极大值．因为(0)9072f =，(12)11264f =，所以定价为301218-=元能使一个星期的商品销售利润最大．19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力． 解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，011322322a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，，或，0322a ⇔<<-． 故所求实数a 的取值范围是(0322)-，．（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -== ，令2()2h a a =．当a >时，()h a 单调增加，∴当0322a <<-时，20()(322)2(322)2(17122)h a h <<-=-=-1121617122=<+ ，即1(0)(1)(0)16f f f -< ．解法2：（I ）同解法1．（II ） 2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I ）知0322a <<-， 41122170a -<-<∴2．又4210a +>，于是 221112(321)(421)(421)0161616a a a a -=-=-+<， 即212016a -<，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得121x x a +=-，12x x a =，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->⎩，，，，01322322a a a a ⎧>⎪⇔<⎨⎪<->+⎩，，或0322a ⇔<<-． 故所求实数a 的取值范围是(0322)-，．（II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--2211221112216x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 20．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（I ）证：由1n n b q b +=，有1221n n n n n n a a a q a a a ++++==，∴ 22()n n a a q n +=∈N*．（II ）证：22n n a q q -= ，22221231n n n a a q a q ---∴=== ，222222n n n a a q a q --=== ， 22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=．{}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）得2221111nn qa a --=，222211n n q a a -=，于是 1221321242111111111n n na a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24222422121111111111n n a q q q a q q q --⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2122311112n q q q -⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭． 当1q =时，2422122111311112n n a a a q q q-⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭32n =． 当1q ≠时，2422122111311112n n a a a q q q-⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭223121n q q --⎛⎫-= ⎪-⎝⎭2222312(1)n n q q q -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦． 故21222223121111 1.(1)nn n n q q a a a q q q -⎧=⎪⎪+++=⎨⎡⎤3-⎪≠⎢⎥⎪2-⎣⎦⎩ ， ，， 解法2：（I ）同解法1（I ）．（II ）证：222*1212221221221222()22n n n n nn n n n nc a a q a q a q n c a a a a +++---++===∈++N ，又11225c a a =+=， {}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）的类似方法得222221212()3n n n n a a a a q q ---+=+=，34212121221234212111n n n n na a a a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ， 2222212442123322k k k k k k k a a q qa a q --+---+== ，12k n = ，，，．2221221113(1)2n k q q a a a --+∴+++=+++ ． 下同解法1．21．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-． 于是12122AMN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．2121212()4p x x p x x x x =-=+- 222224822p p k p pk =+=+，∴当0k =，2min ()22ABN S p =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，设AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，QPQ ，的中点为H ， 则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．2222111111()222O P AC x y p y p '==+-=+∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--，222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+--- 1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．NOACB yxNO AC ByxO 'l解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得222222212121211()4148AB k x x k x x x x k p k p =+-=++-=++··22212p k k =++·，又由点到直线的距离公式得221p d k=+．从而2222211221222221ABN p S d AB p k k p k k ==++=++△·····，∴当0k =时，2m ax ()22ABN S p =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，， 则有34114()2()22p p PQ x x a y a p a a y a p a ⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．。
2007年高考数学试题湖南卷(文科)
2007年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学（文史类）全解全析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．不等式2x x >的解集是A ．(),0-∞B . ()0,1 C. ()1,+∞ D . ()(),01,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】由2x x >得x （x-1）>0，所以解集为()(),01,-∞⋃+∞2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是A ．EF OF OE =+B . EF OF OE =-C. EF OF OE =-+ D . EF OF OE =--【答案】B【解析】由向量的减法知EF OF OE =-3. 设()2:400p b ac a ->≠，()2:00q x ax bx c a ++=≠关于的方程有实根，则p 是q的A ．充分不必要条件B . 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】判别式大于0，关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 有实根；但关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 有实根，判别可以等于04．在等比数列{}()n a n N*∈中，若1411,8aa ==，则该数列的前10项和为 A ． 8122- B . 9122- C. 10122- D . 11122-【答案】B【解析】由21813314=⇒===q q q a a ，所以91010212211)21(1-=--=S5．在()()1nx n N *+∈的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .11 【答案】C【解析】只有5x 的系数最大，5x 是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=106．如图1，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11AB C 、B 的中点，则以下结论中不成立的是A ．1EF BB 与垂直 B . EF BD 与垂直 C. EF 与CD 异面 D . EF 11与AC 异面 【答案】D【解析】连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1形B 1AC 中EF //AC 21，所以EF ∥平面ABCD ，而B 1B ⊥面1AC ⊥BD ，所以EF BD 与垂直，EF 与CD 异面。
2007年高考试题——数学文(全国卷2)
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷文科数学（必修 + 选修Ⅱ）注意事项：1．本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,共4页,总分150分,考试时间120分钟.2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上.3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.4．非选择题必须使用0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效.6．考试结束、将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P (A ·B )=P (A )·P (B )球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()( ),,2,1,0(n k =一、选择题（1）=330cos（A ）21 （B ）21-（C ）23 （D ）23-（2）设集合},4,2{},2,1{},4,3,2,1{===B A U U =（A B ）=（A ）{2}（B ）{3}（C ）{1,2,4}（D ）{1,4}（3）函数|sin |x y =的一个单调增区间是（A ）)4,4(ππ- （B ）)43,4(ππ（C ）)23,(ππ（D ）)2,23(ππ（4）下列四个数中最大的是（A ）2)2(ln（B ）)2ln(ln （C ）2ln （D ）2ln（5）不等式032>+-x x 的解集是（A ）（－3，2）（B ）（2，+∞）（C ）),2()3,(+∞--∞（D ）),3()2,(+∞--∞（6）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=+==λλ则,31,2CB CA CD DB AD（A ）32（B ）31 （C ）31-（D ）32-（7）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（A ）63 （B ）43 （C ）22 （D ）23 （8）已知双曲线42x y =的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9）把函数x e y =的图像按向量a =（2,3）平移,得到)(x f y =的图像,则=)(x f（A ）2+x e（B ）2-x e（C ）2-x e（D ）2+x e（10）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 （A ）10种（B ）20种（C ）25种（D ）32种（11）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（A ）31（B ）33 （C ）21 （D ）23（12）设F 1、F 2分别为双曲线122=-y x 的左、右焦点,若点P 在双曲线上,且 =+=⋅||||,02121PF PF PF PF 则 （A ）10（B ）210（C ）5（D ）25第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ① .（14）已知数列的通项25+-=n a n ，其前n 项和为S n = ② .（15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 ③ cm 2.（16）82)1)(21(xx x -+的展开式中常数项为 ④ .（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）设等比数列}{n a 的公比1<q ,前n 项和为S n .已知,5,2243S S a ==求}{n a 的通项 公式.（18）（本小题满分12分）在△ABC 中，已知内角,32,3==BC A 边π设内角B =x ，周长为y .（Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式和定义域；（Ⅱ）求y 的最大值. 19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件.假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P （A ）=0.96.（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ;（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件, 求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P (B ).（20）（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱SD ⊥底面ABCD , E 、F 分别为AB 、SC 的中点.（Ⅰ）证明EF//平面SAD .（Ⅱ）设SD =2DC . 求二面角A —EF —D 的大小.（21）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切.（Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列，求·的取值范围.（22）（本小题满分12分） 已知函数 1)2(31)(23+-+-=x b bx ax x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且 21021<<<<x x （Ⅰ）证明a>0；（Ⅱ）求z =a +3b 的取值范围.①②2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同.可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半,如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3．解答后段所注分数,表示考生正确做到这一步应得到累加分数. 4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（1）C （2）B （3）C （4）D （5）C （6）A （7）A （8）A （9）C （10）D （11）D （12）B 二、填空题（13）201 （14）252nn -- （15）2+42 （16）57三、解答题（17）解：由题设知,1)1(,011qq a S a n n --==则⎪⎩⎪⎨⎧--⨯=--=q q a qq a q a 1)1(51)1(,2214121由②得)1(5124q q -=-. .0)1)(4(22=--q q.0)1)(1)(2)(2(=+-+-q q q q因为1<q ，解得1-=q 或2-=q当1-=q 时，代入①得21=a ，通项公式;)1(21--⨯=n n a 当2-=q 时，代入①得211=a ，通项公式.)2(211--⨯=n n a（18）解：（Ⅰ）△ABC 的内角和A+B+C =π,由.3200,0,3ππ<<>>=B C B A 得 应用正弦定理,知,sin 4sin 3sin 32sin sin x x B ABC AC ===).32sin(4sin sin x C A BC AB -==π因为 ,AC BC AB y ++= 所以 ).320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y （Ⅱ）因为 32)s i n 21c o s 23(s i n 4+++=x x x y =),6566(32)6sin(34ππππ<+<++x x 所以,当26ππ=+x ,即y x ,3时π=取得最大值36.（19）解（Ⅰ）记A 0表示事件“取出2件产品中无二等品”,A 1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品” 则A 0,A 1互斥,A =A 0+A 1,故P （A ）=P （A 0+A 1）=P （A 0）+P （A 1）=)1()1(122p p C p -+-21p -=于是 0.96=21p -=解得 2.02.021-==p P （舍去）（Ⅱ）记B 0表示事件“取出的2件产品中无二等品” 则B=0B若该批产品共100件,由（Ⅰ）知其二等品有100×0.2=20件,故.495316)(21002800==C C B P.4951794953161)(1)()(00=-=-==B P B P B P （20）解法一（Ⅰ）作FG//DC 交SD 于点G ,则G 为SD 的中点.连结AG FG ////,21CD CD 又AB , 故FG //AE,AEFG 为平行四边形.EF//AG ,又AG ⊂平面SAD,EF ⊄平面SAD . 所以EF //平面SAD .（Ⅱ）不妨设DC =2,则SD =4,DG =2,△ADG 为等腰直角三角形. 取AG 中点H ,连结DH ,则DH ⊥AG .又AB ⊥平面SAD ,所以AB ⊥DH ,而AB AG =A . 所以DH ⊥面AEF .取EF 中点M ，连结MH ，则HM ⊥EF . 连结DM ，则DM ⊥EF .故∠DMH 为二面角A —EF —D 的平面角.212tan ===∠HM DH DMH 所以二面角A —EF —D 的大小为arctan 2 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系D —xyz设A (a ,0,0),S(0,0,b ),则)2,2,0(),0,2,(),0,,0(),0,,(ba F a a E a C a a B ,)2,0,(b a EF -=,取SD 的中点)2,0,0(bG ,则)2,0,(ba -=,,,,//,SAD EF SAD AG AG EF AG EF 平面平面⊄⊂=所以EF //平面SAD .（Ⅱ）不妨设A (1,0,0),则 B (1,1,0),C (0,1,0),S (0,0,2),E(1,21,0),F (0, 21,1). EF 中点M (21,21,21),.,0,),1,0,1(),21,21,21(EF MD EF ⊥=-=---= 又EF EA ⊥=⋅-=,0),0,21,0(,所以向量EA MD 和的夹角等于二面角A —EF —D 的平面角，33||||,cos =⋅>=<EA MD ，所以二面角A —EF —D 的大小为arccos 33.（21）解：（Ⅰ）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线43=-y x 的距离，即 2314=+=r得圆O 的方程为422=+y x .（Ⅱ）不妨设4.),0,(),0,(22121=<x x x x B x A 由即得A （－2，0），B （2，0）设),(y x P ，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得222222)2()2(y x y x y x +=+-⋅++即 .222=-y x).1(24),2(),2(222-=+-=--⋅---=⋅y y x y x y x内于点P 在圆O 内做⎪⎩⎪⎨⎧=-<+24222y x y x由此得：y 2<1所以 ⋅的取值范围为).0,2[-（22）解：求函数)(x f 的导数b bx ax x f -+-='22)(2（Ⅰ）由函数)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知21,x x 是0)(='x f 的两个根所以b bx ax x f -+-='22)(2当1x x <时为增函数0,0,0)(21<-<->'x x x x x f 由得0>a（Ⅱ）在题设下，21021<<<<x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧>'<'>'.0)2(,0)1(,0)0(f f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>-+-<-+->-.0244.022.02b b a b b a b 化简得⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+->-.0254.023.02b a b a b此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线；0254,023,02=+==+-=-b a b a b所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为：)2,4(),2,2(),76,74(C B A .z 在这三点的值依次为.8,6,716所以z 的取值范围为)8,716(。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)全解全析
20xx年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）全解全析xx年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分考试用时120分钟第卷1至2页第卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利第卷注意事项1答第卷前，考生务必将自己的姓名.准考号.科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效3本卷共10小题，每小题5分，共50分参考公式如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径一.选择题在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合，，则（） A B C D1.B【解析】直接法,, 故.排除法由可知中的元素比0要大, 而C.D项中有元素0，故排除C.D项，且中含有元素比1，故排除A项.故答案为B. （2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）213142.C【解析】先画出约束条件的可行域如右图得到当时目标函数有最大值为, （3）“”是“直线平行于直线”的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3.C【解析】当则直线平行于直线,则是充分条件; 直线平行于直线时有 ,则是必要条件,故是充分必要条件. （4）xx年天津文设，，，则（） A B C D 解析由指.对函数的性质可知,, 有. （5）xx年天津文函数的反函数是（） A B C D 解析由得,即,故反函数是,再根据原函数的值域为反函数的定义域则有 ,则, ,故反函数的定义域为,则有. （6）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（） A若与所成的角相等，则 B若，，，则 C若，，，则 D若，，，则6.D【解析】项中若与所成的角相等，则可以平行.相交.异面故错；项中若，，则可以平行.异面故错；项中若则可以平行.相交；而D项是对，因为此时所成的角与所成的角是相等或是互补的，则（7）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（）7.D【解析】抛物线的准线为,故有------ 又双曲线的离心率为,故有-------, 得到,进而求出, 双曲线的方程为（8）设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则（）24688.B【解析】由等差数列且，得，又是与的等比中项，则有即得，解之得（舍去）（9）设函数，则（） A在区间上是增函数 B在区间上是减函数 C在区间上是增函数 D在区间上是减函数9.A【解析】由函数图象的变换可知的图象是将的图象轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为,则函数在区间即上为增函数,当时有 ,故在区间上是增函数. （10）xx年天津文设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（） A B C D10.A【解析】（排除法）当则得, 即在时恒成立, 而最大值,是当时出现,故的最大值为0, 则恒成立,排除B,C项,同理再验证时, 不成立,故排除D项.第卷注意事项1答卷前将密封线内的项目填写清楚2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3本卷共12小题，共100分二.填空题本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在题中横线上（11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位克）数据分布表如下分组频数123 则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的11.70【解析】由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为故约占苹果总数的. （12）的二项展开式中常数项是（用数字作答）12.84【解析】根据二项式展开式通项公式到展开式中常数项是,令得,故有（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为13.【解析】长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径，设球的直径为则，由于球的表面积为. （14）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是14.【解析】----------- 由-得到. （15）在中，，，是边的中点，则15.【解析】根据向量的加减法法则有 ,此时 . （16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）16.630【解析】分为三类第一类是只用两种颜色则为种,第二类是用三种颜色则为种,第三类是用四种颜色则为种,故共计为630种.三.解答题本大题共6小题，共76分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）在中，已知，，（）求的值；（）求的值（18）（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球现从甲.乙两个盒内各任取2个球（）求取出的4个球均为红球的概率；（）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点（）求和平面所成的角的大小；（）证明平面；（）求二面角的大小（20）（本小题满分12分）在数列中，，，（）证明数列是等比数列；（）求数列的前项和；（）证明不等式，对任意皆成立（21）（本小题满分14分）设函数（），其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的极大值和极小值；（）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立（22）（本小题满分14分）设椭圆的左.右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为（）证明；（）求使得下述命题成立设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则 xx年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一.选择题本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B （9）A （10）A二.填空题本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分24分（11）（12）（13）（14）（15）（16）三.解答题（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式.两角和公式.倍角公式.正弦定理等的知识，考查基本运算能力满分12分（）解在中，，由正弦定理，所以（）解因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是，，（18）本小题主要考查互斥事件.相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分12分（）解设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件由于事件相互独立，且，，故取出的4个球均为红球的概率是（）解设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件由于事件互斥，且，故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为（19）本小题考查直线与平面垂直.直线和平面所成的角.二面角等基础知识考查空间想象能力.记忆能力和推理论证能力满分12分（）解在四棱锥中，因底面，平面，故又，，从而平面故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角在中，，故所以和平面所成的角的大小为（）证明在四棱锥中，因底面，平面，故由条件，，面又面，由，，可得是的中点，，综上得平面（）解过点作，垂足为，连结由（）知，平面，在平面内的射影是，则因此是二面角的平面角由已知，可得设，可得，，，在中，，，则在中，所以二面角的大小（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念.等比数列的通项公式及前项和公式.不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力满分12分（）证明由题设，得，又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列（）解由（）可知，于是数列的通项公式为所以数列的前项和（）证明对任意的，所以不等式，对任意皆成立（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质.曲线的切线方程，函数的极值.解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法满分14分（）解当时，，得，且，所以，曲线在点处的切线方程是，整理得（）解令，解得或由于，以下分两种情况讨论（1）若，当变化时，的正负如下表因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（2）若，当变化时，的正负如下表因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（）证明由，得，当时，，由（）知，在上是减函数，要使，只要即设，则函数在上的最大值为要使式恒成立，必须，即或所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质.直线方程.两条直线垂直.圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理.运算能力满分14分（）证法一由题设及，，不妨设点，其中，由于点在椭圆上，有，，解得，从而得到，直线的方程为，整理得由题设，原点到直线的距离为，即，将代入原式并化简得，即证法二同证法一，得到点的坐标为，过点作，垂足为，易知，故由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一圆上的任意点处的切线方程为当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组的解当时，由式得代入式，得，即，于是，若，则所以，由，得在区间内此方程的解为当时，必有，同理求得在区间内的解为另一方面，当时，可推出，从而综上所述，使得所述命题成立。
2007年高考文科数学试题及参考答案(福建卷)
解决问题教学中教师的困惑：
1、到底怎样的情境创设才是最合理最 有效的？ 2、情景图的设计是否能够真正提高学 生们的分析问题和解决问题的能力？ 3、解决问题融入情景图中，既不讲概 念，也不讲数量关系，教师应如何把握? 4、如何处理好既培养学生的解题能力， 又要符合新课改的理念和要求呢？ 5、应用题的结构还用不用训练，一些分析
应用题具备三个基本的要素：
题、情境性和数量关系
题——一种具体的学习内容，可以用数学方式(主要 是运算方式)解答。 情境性——应用题必然有情境。情境可以是现实生 活的，也可以是学科性的；情境的呈现既可以是 语言文字形态，也可以是图画表格等方式。 数量关系——作为题，必定有数据形态的条件与问 题，并且这些已知量与未知量之间通过情境和学 科术语的融合具备了运算意义上的逻辑关系，即 数量关系。
（2）突破运用转化策略的关键，把 新问题转化为熟悉的、能够解决的 问题。
假设
课标人教版六上
运用此策略时要注意： （1）根据题目的已知条件或结 论作出合理的假设。 （2）要弄清由于假设而引起的 数量上出现的矛盾并作适当调整。 （3）根据一个单位相差多少与 总数共差多少之间的数量关系解 决问题。
变式
您思考过下列问题吗？
5、为什么解决问题教学特别强调在具体的情景中解决问题？ 6、课改后应用题不在成为独立单元，是否弱化了应用题教 学？ 7、应用题和计算放在一起进行学习，有无主次之分？如何 整体把握？
8、新课改后，您认为解决问题的教学着力点应该在哪？
课改前对应用题的认识：
（1）、由沈百英、梁镜清编著的《小学数学 教学法》中认为：“应用题是根据生产或生 活中的实际问题，用语言或文字表示数量关 系的题目。 （2）、周玉仁教授主编的《小学数学教学论》 中也指出：“应用题是根据日常生活和生产 中的实际问题，用语言或文字表示数量关系 并求解的题目。
2007年全国高考数学(山东卷)试卷分析概要
2007年全国高考数学（山东卷）试卷分析山东省高考数学阅卷点领导小组一．试卷的整体评价2007年是我省实施普通高中新课程后的首次普通高校全国统一招生考试，命题依据教育部《2007年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》和《2007年普通高等学校招生全国统一考试山东卷考试说明》（以下简称考试说明）的要求，遵循“有利于高等学校选拔新生、有利于中学推进素质教育和课程改革、有利于扩大高校办学自主权、有利于考试科学、公正、安全、规范”的命题原则．努力实现2007年度高考平稳过渡，在稳定的基础上有所创新，基本上延续了前两年我省高考数学自主命题的风格．从试卷整体上看，试题侧重考查中学数学通性通法；突出文理科试题难度的差异及合理搭配；注意考查学生的创新意识和实践能力；重视在知识的交汇点处命题，加强对考生数学能力的综合考查；文理试卷难度设计比较恰当，较去年明显降低，具有较高的区分度、效度和信度．1．实现平稳过渡，突出考查主干知识试卷长度、题型比例配置保持不变，与《考试说明》一致．全卷共22题，其中选择题12个，共60分，占总分的40%；填空题4个，共16分，约占总分的10%；解答题6个，共74分，约占总分的50%，全卷合计150分．全卷重点考查中学数学主干知识和方法(见表1)；侧重于中学数学学科的基础知识和基本方法的考查；侧重于知识交汇点的考查．表1：知识点分布表2．全力支持课改，凸现新课标新要求从表1不难发现，考试内容体现了新课标的要求．算法与框图、统计、函数的零点、条件概率和常用逻辑用语，以及文科的复数等课标新增内容在试卷中都有所体现（见表2）．这个调整变化反映了高考命题的取向，体现“高考支持课程改革”的命题思路，同时又照顾到试卷涵盖的各部分内容的平衡．并注意对这些新增内容的考查把握适当的难度，注意到这部分内容的应用．如利用统计中的直方图考查学生收集、分析和整理数据的能力以及应用数学的意识；利用程序框图简约地表示解决问题的算法过程等．另外，根据《考试说明》的考试要求的变化，对相应内容的考试要求也进行了调整．如文科（20）立体几何题随着考试要求的改变发生了变化，缩减了考试范围，降低了考试要求；文科（21）题，利用导数研究函数的性质，已不再限于多项式函数，扩展到对数函数等．表2：新课标新增部分内容课时数与在试卷中占分数比例对照表命题注意到文理科学生在数学学习上的差异，对文理科学生提出不同的考查要求．在06年文科试题偏难、分数偏低的情况下，07年数学试卷保持相同题占有比例基本不变（见表3），增加了不同题、减少了姊妹题的个数和分数．如文（9）理（13）题都是解析几何中的抛物线问题，题干完全相同，但文科是选择题，而理科是填空题．由于选择题有选择支可作参考答案，显然文科较理科要求有所降低；理（16）文（14）都是考查基本不等式问题，但是理科题以对数函数图象恒过定点为条件，而文科题以指数函数图象恒过定点为条件，显然文科题要容易一些．另外在应用基本不等式时，理科题更具有技巧性；再如文科第（20）题和理科第（19）题都是立体几何题，虽然几何载体都相同，但是由于文理科考生的考试范围和要求不同，求解的问题和工具也不同，两者化简和运算的难度拉开了档次．不同题更是体现了文理科考生的不同考查要求，如文（21）和对应的理（22）都是利用导数研究函数的性质，但是给出的函数不相同，而且对分类与整合的能力要求也不一样，明显地提高了对理科学生数学能力的考查．这样处理符合新课标对文理科学生有不同学习要求的精神，符合当前中学数学教学以及学生的实际学习状况．4．重视创新意识，保持应用题的考查在数学学习和考试中怎样培养和考查学生的创新意识？怎样避免过多地考查学生死记硬背的内容？命题者在试题结构和解法设计上作了一些尝试，如今年文科立体几何第2小题是一个条件开放的探究性问题；文科15题和理科22题第3小题都需要构造一个函数来求解不等式问题；理（12）题的解法需要构造一个独立重复试验或网格图等，这些构造法要求考生的思维具有一定的灵活性和创新性，以往这种问题只是在数学竞赛中才会出现．应用题是考查实践能力的一个很好的载体，通过设置应用题来考查学生在新的情景中实现知识迁移的能力，应用数学知识解决实际问题，可以体现考生的基本数学素养，更好地实现高考的选拔功能，真正考查出学生的学习潜力．可以更好的实现新课标中倡导的学生实践能力的培养，无疑会对中学数学教学改革起到良好的导向作用．今年高考题文理科均出现一大一小两个应用题（见表4）．应用题的数量和分值与去年持平，难度变化不大．今年试卷中文理第（8）题是一个统计应用题．文（19）是一个线性规划的应用题：求解一个公司向两个电视台投放广告获取收益的问题．理（20）是一个正余弦定理的应用题，利用正余弦定理解三角形，求轮船的航速的实际问题．这些应用题涉及到的实际问题，背景公平，学生熟悉，解法灵活多样，难度适中．由此可以让学生平时多去关心周围的社会和生活的世界，培养学生的数学应用意识．表4：应用题分布表5．适度综合考查，提高试题的区分度本次数学试卷的另一个特点是小综合的题目明显增多，很多题目是由多个知识点构成的（见表1打星号的题目）．如：理（9）是充要条件与集合运算、函数性质、不等式、函数的零点等知识的综合；文理（10）是程序框图与等差数列求和的综合；文（9）理（13）是抛物线与向量的综合；理（16）是指数函数、直线方程与基本不等式的综合；文（19）是线性规划在实际问题中的应用；文（17）是三角函数与平面向量的综合；文（21）理（22）是导数与函数的综合等．另外，理科第（9）题含有4个小题，是一个拼盘式的多选题，具有一定的覆盖面．通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高地要求，提高了试题的区分度，体现出高考的选拔功能．应该说这和当前课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的．6．突出学科特色，彰显数学学科特点数学试卷要突出数学学科特点，数学学科的主要特点是对数学语言的学习和应用．数学语言包括：符号语言、图形语言和文字语言，命题注意考查学生对数学语言的正确理解与规范使用的程度．如文理科第（6）题、第（7）题和理科第（9）题着重数学符号语言的考查；文理科第（3）题、第（8）题、第（10）题突出数学图形语言理解及应用；文科第（19）题和理科第（20）题强化数学语言之间的转化；文科（20）题和理科（19）题，立体几何的推理与证明是检验学生能否正确地运用数学语言的有效手段．重视考查学生掌握和使用数学语言的能力，体现了数学学科的特点．二．试题分析1．重视“双基”落实，侧重通性通法今年数学试卷与往年相同的一个特点就是“大路题”仍占多数，没有怪题、偏题，学生比较容易上手，特别是选择题和填空题运算量小、整体难度不大．重点考查中学数学的“双基”和通性通法．例1：（理（2）文（2））已知集合11{1,1},{|24,Z}2x M N x x +=-=<<∈，则M N ⋂=（A ）{1,1}- （B ） {1}- （C ）{0} （D ）{1,0}-解析：本小题主要考查学生集合的概念及运算与指数函数单调性．化简集合N 得，{1,0}N =-．故答案为（B ）．例2：（理（4））设1{1,1,,3}2α∈-，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为（A ）1，3 （B ）1-，1 （C ）1-，3 （D ）1-，1，3解析：本小题主要考查幂函数的概念及性质．显然，答案为（A ）．例3：（1）（理（1））若cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是（A ）π6 （B ）π4 （C ） π3 （D ）π2解析：本小题主要考查复数的概念和乘法运算以及简单的三角变换． 因为222cos sin isin 2z θθθ=-+，观察选择支对照题设，可得答案为（D ）．（2）（文（1））复数43i 12i++的实部是 （A ）2- （B ）2 （C ） 3 （D ）4解析：本小题主要考查复数的概念和复数的除法运算． 因为43i (43i)(12i)2i 12i 5++-==-+，可得答案为（B ）．例4：（理（5））函数ππsin(2)cos(2)63y x x =+++的最小正周期和最大值分别是（A ）π,1 （B）π （C ）2π,1 （D）2π解析：本小题主要考查三角函数的基本公式、周期和最值的概念．因为ππ11sin(2)cos(2)2cos 2cos 226322y x x x x x x =+++=++ c o s 2x=． 故答案为（A ）．例5：（理（7）文（7））命题“对任意的32R,1x x x ∈-+0≤”的否定是（A ） 不存在32R,1x x x ∈-+0≤ （B ）存在32R,1x x x ∈-+0≤（C ）存在32R,1x x x ∈-+>0 （D ）对任意的32R,1x x x ∈-+>0解析：本小题主要考查否定命题的概念．答案为（C ）．例6：（理（9））下列各小题中，p 是q 的充要条件的是① p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点．② p ：()1()f x f x -=；q ：()y f x =是偶函数． ③p ：cos cos αβ=；q ：tan tan αβ=．④p ：A B A ⋂=；q ：C C U U B A ⊆．（A ） ①② （B ）②③ （C ） ③④ （D ）①④解析：本小题主要考查充要条件、函数的零点与奇偶性、三角函数以及集合的运算等概念．题目难度不大，但是知识点的覆盖面比较广．答案为（D ）．例7：（1）（文（5））已知向量a =(1，n )，b =(–1，n )，若2a –b 与b 垂直，则|a |=（A ）1 （B ）（C ） 2 （D ） 4解析：本小题主要考查向量数量积运算的应用和运算求解能力．计算可得答案为（C ）．（2）（理（11））在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ） 2AC AC AB =⋅ （B ）2BC BA BC =⋅（C ） 2AB AC CD =⋅ （D ）22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=解析：本小题主要考查向量数量积的概念．根据向量数量积的概念，不难判断（A ）（B ）（D ）是正确的．故答案为（C ）． 例8：（文（13））设函数1122123(),(),()f x x f x x f x x -===，则 123(((2007)))f f f = ．解析：本小题主要考查复合函数的概念和分数指数的运算．221123121(((2007)))((2007))(2007)2007f f f f f f --===．2．渗透数学思想，重视数学能力从表1可以看出，今年数学试卷的一个明显的特点是，“小综合”的题目比较多，突出考查学生综合运用知识的能力．同时，还侧重于考查学生正确地运用数学思想方法，分析问题和解决问题的能力，在保证多数考生得到基础分的同时，提高整张试卷的区分度．2．1数形结合的思想例9：（理（3）文（3））下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是①正方体；②圆锥；③三棱台；④正四棱锥（图略）（A ）①② （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④解析：本小题主要考查几何体三视图的基本概念，考查数形结合的数学思想． 正方体的三个视图皆为正方形，因此可以否定A 、B 、C ．所以答案为（D ）． 例10：（理（8）文（8））某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒； 第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可以分析出x 和y 分别为（A ） 0.9，35 （B ）0.9，45 （C ） 0.1，35 （D ）0.1，45解析：本小题主要考查频率分布直方图的概念，考查学生的观察分析图形和数据处理能力．如原图（图略）可知 (0.340.360.180.02)10.90x =+++⨯=，(0.360.34)150y =+⨯⨯=．故答案为（C ）．例11：（理（10）文（10））阅读右边的程序框图（略），若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（A ） 2500，2500 （B ） 2550，2550（C ） 2500，2550 （D ） 2550，2500解析：本小题主要考查程序框图的有关概念和应用以及等差数列求和，考查数形结合的能力．根据循环结构的特点知道，当输入n =100时，10021009825025502S +=+++=⨯= ，991999715025002T +=+++=⨯= ．故答案为（D ）． 例12：（文（11））设函数3y x =与21()2x y -=的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是（A ） （0，1） （B ）（1，2） （C ）（2，3） （D ）（3，4）解析：本小题主要考查幂函数与指数函数的图象以及数形结合的数学思想方法． 作出两个函数图象不难发现其交点的横坐标0x 落在区间（1，2）内．故答案为（B ）．例13：（理（14））设D 是不等式组210,23,04,1x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≤≤≥表示的平面区域，则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值是 ．解析：本小题主要考查线性规划的方法和点到直线的距离公式，考查数形结合的数学思想．画出平面区域D 后，可知直线23x y +=和1y =的交点（1，1）到直线10x y +=的距离最大，且最大值是例14：（理（15）文（16））与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．解析：本小题主要考查直线和圆的方程、直线与圆以及圆与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法．作出已知直线20x y +-=和圆22(6)(6)18x y -+-=的图形，可以发现直线和圆相离（如图）．当所求圆圆心在已知圆向已知直线所引垂线上时，半径最小（或最大）．最小半径是2R ==2，2）． 因此，半径最小的圆的标准方程是22(2)(2)2x y -+-=．2．2函数与方程的思想例15：（1）（文（9））设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60︒，则OA 为（A ） 214p （B（Cp （D ）1336p 解析：本小题主要考查抛物线的定义和向量的夹角与模的基本概念，考查函数与方程的数学思想．设A (,)2p a b +(0)a >，则由抛物线定义2a p p +=，得a p =．所以2OA p == ．答案为（B ）． （2）（理（13））设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60︒，则OA 为 ．解析：本小题与文（9）是姊妹题．题干相同，题型不同．文科由于有选择支可以参照，进行答案修正，因此相对于理科填空题，文科略易．例16：（文（15））当x ∈（1，2）时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ．解析：此题主要考查二次函数与二次不等式之间的关系，考查函数与方程以及数形结合的数学思想方法．设 2()4f x x mx =++，由题设()0,(1,2)f x x <∈恒成立，则(1)0,(2)0.f f ⎧⎨⎩≤≤ 即50,420.m m +⎧⎨+⎩≤≤ 解得5m -≤． 2．3分类与整合的思想例17：（文（12））设集合{1,2},{1,2,3}A B ==，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上一个点(,)P a b ，记“点(,)P a b 落在直线x y n +=上”为事件(25,N)n C n n ∈≤≤，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（A ）3 （B ）4 （C ）2和5 （D ）3和4解析：本小题主要考查古典概型和分类与整合的数学思想方法．由于11:1,()0C x y P C +=∴= ；221:2,(1,1),()6C x y P P C +=∴= ； 3321:3,(1,2),(2,1)()63C x y P P P C +=∴== ；4421:4,(1,3),(2,2)()63C x y P P P C +=∴== ； 551:5,(2,3),()6C x y P P C +=∴= ．故答案为（D ）． 2．4或然与必然的思想例18：（1）（理（12））位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12．质点P 移动五次后位于点（2，3）的概率是 （A ） 51()2（B ） 2551C ()2 （C ）3351C ()2 （D ）235551C C ()2 解析：本小题主要考查独立事件发生的概率，考查或然与必然的数学思想．解法一：设事件A 为向上移动一个单位，事件B 为向右移动一个单位．则事件A 、B 为相互独立事件，且其发生的概率皆为12．因此，质点P 移动五次后位于点（2，3）的概率是2232555111C ()(1)C ()222P =-=． 解法二：本小题可以结合二项展开式系数性质（杨辉三角形）求解．如图质点P 按规则移动五次后到点P （2，3）的不同路线（基本事件数）为10，所有不同路线的总数是（基本事件空间）32，因此，质点P 移动五次后位于点（2，3）的概率是2551051C ()32162P ===．故答案为（B ）． 2.5特殊与一般的思想例19：（1）（理（16））函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 解析：（1）本小题主要考查基本不等式和特殊与一般的数学思想方法． 首先可知定点A （2,1--），所以21m n +=． 因此，12242448m n m n n m m n m n m n +++=+=++⨯≥，当且仅当4n m m n=⨯，即2n m =，也就是11,42m n ==时，取得最小值8． （2）（文（14））函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ．1 1 1 1 11解析：（2）本小题和理（16）是姊妹题，主要考查基本不等式和特殊与一般的数学思想方法，解题技巧上要求比理科低一些．仍需要注意条件0mn >．由题设可知定点A （1，1），所以1m n +=． 因此，1124m n m n n m m n m n m n+++=+=++≥．当且仅当n m m n =，即n m =，也就是11,22m n ==时，取得最小值4． 2．6转化与化归的思想例20：（理（6）文（6））给出下列三个等式：()()()()(),()()(),()1()()f x f y f xy f x f y f x y f x f y f x y f x f y +=++=+=-． 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（A ）()3x f x = （B ）()sin f x x = （C ）2()log f x x = （D ）()tan f x x = 解析：本小题主要通过三种抽象函数的基本概念和性质，考查学生的转化与化归的数学思想和抽象概括能力．考查学生是否能把平时所学的基本函数的一般性质抽象概括出来，并转化加以应用．因为对数函数满足（恒）等式（1）；指数函数满足（2）；正切函数满足（3），故答案为（B ）．2．7体现六种数学能力例21：（文（17））在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，tan C = （Ⅰ）求cos C ； （Ⅱ）若52CB CA ⋅= ，且9a b +=，求c ． 解析：此题主要考查同角三角函数的基本关系式，以及利用余弦定理解三角形的基本运算能力．（Ⅰ）sin tan cos C C C=∴= 又22sin cos 1C C += ， 法一：解得1cos 8C =±．tan 0,C C >∴ 是锐角，1cos 8C ∴=．法二：解得sin C =sin 1cos tan 8C C C ∴===． （Ⅱ）55,cos ,20.22CB CA ab C ab ⋅=∴=∴= 22222cos ()22cos c a b ab C a b ab ab C ∴=+-=+--219220220368=-⨯-⨯⨯=．6c ∴=．例22：（文（18））设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且1233,3,4a a a ++构成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）令31ln ,1,2,,n n b a n +== 求数列{}n b 的前n 项和n T ．解析：本小题主要考查等差、等比数列的概念、等比数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式，考查学生运算求解和等价转化的能力．（Ⅰ）由已知得12321327, 2.(3)(4)3.2a a a a a a a ++=⎧⎪⇒=⎨+++=⎪⎩设数列{}n a 的公比为q ，由，可得132,2a a q q==，所以2227q q++=，解得1212,2q q ==.由题设1,2q q >∴=，11a =. 故数列{}n a 的通项为 12n n a -=. （Ⅱ）由于331ln ln 23ln 2,n n n b a n +=== 因此 123(1)3(12)ln 2ln 22n n n nT b b b n +=+++=+++=. 例23：（理（17））设数列{}n a 满足21*123333,N .3n n na a a a n -++++=∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 解析：本小题主要考查等比数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查学生数列“错项求和”的方法以及运算求解和等价转化的能力．（Ⅰ）法一：21123333,3n n na a a a -++++= ①当2n ≥时，2212311333,3n n n a a a a ---++++= ② ①-②得 1113,33n n n n a a -=∴=.在①中令1n =，得13a =. 所以 13n n a =. 法二：先归纳猜想，然后用数学归纳法证明．（略）（Ⅱ）3n n nnb n a ==⋅ ， 2332333 3.nn S n ∴=+⨯+⨯++⋅ ③23413323333.n n S n +∴=+⨯+⨯++⋅ ④ ④–③得1213(13)23(333)3.13n n n n n S n n ++-=⋅-+++=⋅-- 所以1(21)33.44n n n S +-=+ 例24：（1）（理（18））设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）.（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率.解析：本小题主要考查古典概型、分布列、数学期望和条件概率的有关知识和方法，考查分类与整合的数学思想以及运算能力．法一：（Ⅰ）用数组（b ，c ）表示基本事件：先后抛掷一枚骰子得到的点数．则基本事件总数为36，方程20x bx c ++=的判别式是24b c ∆=-，所以对应b 、c根据上述结论可知，方程20x bx c ++=有实根的概率是17219363636P =+=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得ξ的分布列所以ξ的数学期望E ξ=172170121363636⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）记“先后两次出现的点数有5”的事件为D ，“方程20x bx c ++=有实根”的事件为E ，事件D 所含基本事件数为：6+6–1=11， 由（Ⅰ）可得当5b =时，254c ≤，1,2,,6c ∴= ；当5c =时，254b ≤，5,6b ∴=.事件D E ⋂所含基本事件数为：6+2–1=7，117(),()3636P D P D E ∴=⋂=. ()7()()11P D E P E D P D ⋂∴==.法二：（几何概型）作出以b 、c 的取值为整点的坐标（b ，c ），观察抛物线b 2=4c 分得的区域内整点的个数即可.（略）例25：（1）（理（19））如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知122,,//.DC DD ADAB AD DC AB DC ===⊥ （Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证1//D E 平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值. 解析：本小题主要考查空间线面和面面位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．（Ⅰ）连结BE ，则四边形DABE 是正方形，1111,////BE AD A D BE AD A D ∴==. 所以四边形11BED A 是平行四边形.ABCDEA 1B 1C 1D 111//,D E A B ∴且1D E ⊄平面1A BD ，1//D E ∴平面1A BD .（Ⅱ）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，不妨设DA =1，则D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C 1（0，2，2），A 1（1，0，2），1(1,0,2),(1,1,0)DA DB ∴==，设n =（x ，y ，z ）为平面A 1BD 的一个法向量，由1,n DA n DB ⊥⊥，得20,0.x z x y +=⎧⎨+=⎩取z =1，得n =（2,2,1-）. 又1(0,2,2),(1,1,0)DC DB ==，设m =（x ，y ，z ）为平面C 1BD 的一个法向量，由1,m DC m DB ⊥⊥，得220,0.y z x y +=⎧⎨+=⎩ 取z =1，得m =（1,1,1-）. 设m 、n 的夹角为α，二面角11A BD C --为θ，则θ为锐角.cos m n m n α⋅===cos θ∴=. 因此所求二面角11A BD C --. （2）（文（20））如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知122,,//.D C DD A D AB A D DC A===⊥（Ⅰ）求证：11DC AC ⊥； （Ⅱ）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1//D E 平面1A BD ，并说明理由． 解析：本小题主要考查空间线面位置关系和空间想象能力以及推理论证能力．ACDA 1B 1C 1D 1（Ⅰ）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，连结C 1D ，由题设知，四边形CDC 1D 1是正方形，所以11CD DC ⊥.又DD 1⊥平面ABCD ， 所以DD 1⊥AD . 又AD ⊥DC ，所以AD ⊥平面CDC 1D 1. 所以AD ⊥CD 1．所以，CD 1⊥平面ADC 1. 因此，11DC AC ⊥. （Ⅱ）如图所示，当1//D E A 1B 时，有1//D E 平面1A BD .此时可证E 是CD 的中点.（证明见理科（19）．）例26：（理（20））如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船北偏西120︒方向的B 2处，此时两船相距海里．问乙船每小时航行多少海里？解析：本小题主要考查正余弦定理及其应用，解决与测量和几何计算有关的实际问题，考查学生的阅读理解和应用能力．法一：如图，连结A 1B 2，由已知22A B =，122060A A ==. 又12218012060A AB ∠=︒-︒=︒， 所以122A A B ∆是等边三角形．1212A B A A ∴==.由题设1120A B =，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒， 在121A B B ∆中，由余弦定理，22212111211122cos45200B B A B A B A B A B =+-⋅⋅︒=，12B B ∴=A 1A 2BACDA 1B 1C 1D 1E因此，乙船速度的大小为6020=（海里/小时）.答：乙船每小时航行海里．法二：（向量法）由2212111222()B B B A A A A B =++ ，（以下略）．法三：（坐标法）以A 1为原点，A 1A 2所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．（以下略）．法四：（构造直角三角形）．法五：（求出顶角）延长12A A 、12B B 交于点C ，设11ACB α∠=，则2260CB A α∠=︒- ， 1175CB A α∠=︒-， 由正弦定理，22222sin sin CA A B CB A α=∠，11111sin sin CA A BCB A α=∠，2sin(60)1)sin CA ααα∴=⋅︒-=-. 120sin(75)sin CA ααα∴=⋅︒-=-.又122060A A ==，1212CA CA A A ∴-==即α--1)α-=解得cot α=30α∴=︒. 2sin120CB ∴=︒=120sin105sin 30CB ∴=⋅︒=︒. 1212B B CB CB ∴=-=.60=（海里/小时）． 例27：（理（21）文（22））已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．A 1A 2B 1B 2C解析：本小题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查解析几何的思想方法以及学生运用解析法处理几何问题的能力，考查函数与方程的思想方法．（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题设得：3,1a c a c +=-=，解得，2,1a c ==.则2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （Ⅱ）设A （11,x y ）、B （22,x y ），联立22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则 12221228,344(3).34mk x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩2222226416(34)(3)0340m k k m k m ∆=-+->⇒+->. 因为以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D （2，0）， 0AD BD ∴⋅=，即1122(2,)(2,)0x y x y --⋅--=， 化简得，1212122()40,y y x x x x +-++=①.又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，代入①得2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--+++=+++.2271640m mk k ∴++=. 解得：1222,7km k m =-=-，且满足22340k m ∆=+->. 当12m k =-时，l 的方程是(2)y k x =-，直线过定点（2，0），与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程是2()7y k x =-，直线过定点（27，0）. 所以直线l 过定点，定点坐标是（27，0）.例28：（理（22））设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠.（Ⅰ）当12b >时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对于任意的正整数n ，不等式23111ln(1)n n n+>-都成立．解析：本小题主要考查用导数研究函数性质的方法，考查分类与整合的数学思想方法和运算求解与推理论证能力．（Ⅰ）由题意知函数()f x 的定义域是(1,)-+∞.22112()2222'()2111x b b x x b f x x x x x ++-++=+==+++ ， ∴当12b >时，'()0f x >.即当12b >时，()f x 在定义域(1,)-+∞上单调递增．（Ⅱ）①当12b >时，由（Ⅰ）知()f x 在定义域(1,)-+∞上无极值点．②当12b =时，212()2'()01x f x x +==+ 有两个相同的解12x =-，且当11(1,)(,)22x ∈--⋃-+∞时，有'()0f x >，因此，当12b =时， ()f x 在定义域(1,)-+∞上无极值点．③当12b <时， 222'()01x x bf x x ++==+ 有两个不同的解，12x x ==， 当102b <<时，12111,122x x --+=>-=>-， 此时，()f x 、'()f x 的符号随x 的变化情况如下表：由上表可知，当102b <<时，()f x 有一个极大值点112x -=和一个极小值点212x -=.当0b <时，121,1x x =<-=>-， 此时，()f x 、'()f x 的符号随x 的变化情况如下表：由上表可知，当0b <时，()f x 有惟一的极小值点2x =.综上所述，当0b <时，()f x 有惟一的极小值点212x -=；当102b <<时，()f x 有一个极大值点1x =和一个极小值点2x =当12b ≥时，()f x 无极值点．（Ⅲ）取*1,(N )x n n=∈，则有23ln(1)x x x +>-.令函数32()ln(1)h x x x x =-++，只须证明当[0,)x ∈+∞时，()0h x >即可．32213(1)'()320,(0)11x x h x x x x x x +-=-+=>++ ≥， ()h x ∴在[0,)+∞上单调递增.又(0)0h =，所以()0h x >.即32ln(1)0x x x -++>，也就是当[0,)x ∈+∞时，23ln(1)x x x +>-.取*1,(N )x n n =∈，则有23111ln(1)n n n+>-.因此，结论成立． 例29：（文（19））某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所作的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和.0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解析：本小题主要考查不等式表示平面区域和简单的线性规划问题，考查学生的阅读理解能力和应用能力以及数学建模的思想．设该公司在甲、乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为 z 元．由题意的300,300,500200520,0,x y x y x y x y x y x y ++⎧⎧⎪⎪+⇔+⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤≤90000,≤900,≥≥0.≥≥0. 目标函数为30002000z x y =+.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示． 作出直线l ：3000x +2000y =0，即 3x +2y =0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立300,100,52900.200.x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 所以点M 的坐标为（100，200）．因此，max 30001002000200700000z =⨯+⨯=（元）．答：该公司在甲、乙电视台分别作100分钟和200分钟广告，公司收益最大，最大收益是70万元．例30：（文（21））设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值． 解析：本小题主要考查学生利用导数研究函数性质和分类与整合的数学思想方法以及运算能力．由题设知，函数()f x 的定义域是(0,)+∞．22'()2b ax bf x ax x x+=+=.（1）当0ab >时，如果0,0a b >>，'()0f x >.()f x 在(0,)+∞上单调递增；如果0,0a b <<，'()0f x <.()f x 在(0,)+∞上单调递减． 所以，当0ab >时，函数()f x 没有极值点．。
2007年高考文科数学试题及参考答案(福建卷)
海尔冰箱中国农村市场营销策划方案2000年底海尔集团冰箱事业部面对国内城市冰箱市场日益激烈的竞争，决定实施对国内冰箱市场的战略转移，将目光转向具有良好销售前景的农村市场。
对此，顾问公司根据海尔冰箱农村市场营销战略的需要，对农村冰箱市场的需求特征、竞争状态、消费者行为、网络渠道、促销方式、广告宣传、村镇消费习惯、区域消费文化等涉及制定营销策略的信息进行随机抽样问卷调查、整村整队分群问卷调查和电话跟踪调查等调查方式，在一年多的时间里共进行4次营销调研。
调研对全国不同省份地区采用入户调查，4次共发放问卷88105分，共回收问卷73797份，有效问卷共65845份。
并采用SPSS软件对调查数据进行处理和分析，建立了海尔农村冰箱市场营销数据库。
在充分调查的基础上，经过不断的市场推广试验总结，最后制定了海尔冰箱的“一对一”中国农村市场营销策略。
一对一策略就是根据农村各地区不同的收入和消费行为特征，分别采取直接入户销售、直接对村队的销售促进和对乡镇的销售推广的三个层次的营销手段。
一、市场分析和目标目前我国大中城市的家庭拥有冰箱率已超过95％，在个别城市已达到99％，而调查显示的农村冰箱拥有率是22.7％，说明在城市冰箱市场已趋成熟时，农村市场仍处于导入阶段，两者普及的程度相差10多年。
以西门子、伊莱克斯为代表的外资品牌在近两年强劲的崛起，迅速占据了国内约20％的冰箱市场份额。
在城市冰箱市场中，以海尔、容声、新飞和美菱等为主的第一阵营与伊莱克斯、西门子等为主的第二阵营之间的品牌之战势不可挡。
同时，冰箱市场处于供大于求的状况，竞争趋于白热化。
在激烈的市场竞争状况下，海尔认识到：只有抢先占有农村市场，才能占得市场先机。
同时，有两个重要的外部原因也促进农村冰箱需求增长。
市场的宏观环境渐趋有利。
中央把增加农民收入视为扩大内需的重点，改造农村电网，改善农村交通、通信设施等，都成为培育农村冰箱市场的有利因素。
农村购买力的提高。
2007年高考文科数学试题及参考答案(陕西卷)
年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-= 12．π613．314．（1）[2)+∞，（2）9215．3π，2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ2sin(2)2sin(2)2cos 2442x x x =++=+=． （I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==； （II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2cos2f x x=是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=．解法二 任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯= ． 所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一 任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是350.90.729P ==． 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=． 解法二 任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=． 18．解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ． 因为αβ⊥，PQ αβ= ，所以CO α⊥， 又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=．从而BO PQ ⊥．又CO PQ ⊥， 所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥．（II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ= ，BO α⊂，所以BO β⊥． 过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥． 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2AC =，则3AO =，3sin 302OH AO ==． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以3BO AO ==， 于是在Rt BOH △中，3tan 232BOBHO OH∠===． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2．解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=．不妨设2AC =，则3AO =，1CO =．AB CQαβ POHRt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠= ，所以3BO AO ==． 则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，(300)B ，，，(030)A ，，，(001)C ，，． 所以(330)AB =- ，，，(031)AC =- ，，． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得33030x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 取1x =，得1(113)n =，，．易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<> ，．所以121215cos 5||||51n n n n θ===⨯． 故二面角B AC P --的大小为5arccos5． 19．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(22)，，(22)-，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++-- AB C Qα β P Oxyz(42)411k k =--++=-． 综上所述，CA CB为常数1-．（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =- ，， 22(1)CB x y =- ，，(10)CO =- ，．由CM CA CB CO =++ 得：121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是224x y -=． 解法二：同解法一得12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有212241k x x k +=-．…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③ 由①②③得22421k x k +=-．…………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有2222244(2)(2)(2)1x y x yy x x yy +⨯+==++--．整理得224x y -=． 当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是224x y -=．20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………② 由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-． 由③有3215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列．所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N *． 由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第0k 项，由018626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =．此时26k a k =，由2n k b a =得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N *，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．（注：考生取满足036a k =-，0k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a-⨯+-项即可） 21．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是2044a b <-≤，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是 (1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-．又由248a b -=，得1b =-．故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号．于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah '=⨯++=． 所以2a =-．又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．。
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2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷文科数学（必修+选修Ⅰ）注意事项：1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题1．cos330=（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()UA B =（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（ ）A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2) C ．lnD ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（ ） A ．(32)-， B ．(2)+∞，C ．(3)(2)-∞-+∞，， D ．(2)(3)-∞-+∞，，6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23B ．13C ．13-D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．28．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e xy =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B ．3C ．12D ．212．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（ ）AB ．CD ．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式． 18．（本小题满分12分） 在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，， 分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．AEBCFSD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x -=相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．22．（本小题满分12分） 已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；（2）若z=a+2b,求z 的取值范围。
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．1．cos330=cos302︒=，选C 。
2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()UA B ={3}，选B 。
3．函数sin y x =的一个单调增区间是3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，，选C 。
4．∵ 0ln 21<<，∴ ln(ln2)<0，(ln2)2< ln2，而ln 2=21ln2<ln2，∴ 最大的数是ln2，选D 。
5．不等式203x x ->+的解集是(3)(2)-∞-+∞，，，选C 。
6．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-=1233CA CB +，4 λ=32，选A 。
7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为33A 。
8．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，1'2y x ==21，∴ x=1，则切点的横坐标为1，选A 。
9．把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y =f (x )的图象，f (x )= 23x e-+，选C 。
10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D 。
11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ 2a b =，椭圆的离心率c e a ==，选D 。
12．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=2||PO=12||F F =B 。
13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为120． 14．已知数列的通项52n a n =-+，13a =-，则其前n 项和n S =1()2n n a a +=252n n--．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。
正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm ，设正四棱柱的高为h ，∴ h=2，那么该棱柱的表面积为2+42cm 2.16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为281257C +⋅=．三、解答题17．解：由题设知11(1)01n n a q a S q-≠=-，，则2121412(1)5(1)11a q a q a q q q⎧=-⎪=⨯⎨--⎪-⎩，． ②由②得4215(1)q q -=-，22(4)(1)0q q --=，(2)(2)(1)(1)0q q q q -+-+=， 因为1q <，解得1q =-或2q =-．当1q =-时，代入①得12a =，通项公式12(1)n n a -=⨯-；当2q =-时，代入①得112a =，通项公式11(2)2n n a -=⨯-． 18．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 19．（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则0B B =．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220⨯=件，故28002100C 316()C 495P B ==．00316179()()1()1495495P B P B P B ==-=-=20．解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD AB ∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥． 又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A =，所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥． 连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan DH DMH HM ∠=== 所以二面角A EF D --的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，． EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．AEBCFSD HGM（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，． EF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，0EA EF EA EF =，⊥， 所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．3cos 3MD EA MD EA MD EA<>==，． 所以二面角A EF D --的大小为 21．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线4x -=的距离，即 2r ==．得圆O 的方程为224x y +=．（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得(20)(20)A B -，，，．设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得2222(2)x x y -+=+，即 222x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =-----，，22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，．22．解：求函数()f x 的导数2()22f x ax bx b '=-+-．（Ⅰ）由函数()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知12x x ，是()0f x '=的两个根．所以12()()()f x a x x x x '=--当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<，20x x -<得0a >．（Ⅱ）在题设下，12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即202204420b a b b a b b ->⎧⎪-+-<⎨⎪-+->⎩．化简得203204520b a b a b ->⎧⎪-+<⎨⎪-+>⎩．此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：203204520b a b a b -=-+=-+=，，．所围成的ABC △的内部，其三个顶点分别为：46(22)(42)77A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，． z 在这三点的值依次为16687，，． 所以z 的取值范围为1687⎛⎫⎪⎝⎭，．ba 2 1 2 4O4677A ⎛⎫⎪⎝⎭， (42)C ，(22)B ，。