【2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习：1.2.2充要条件习题课

第一章 1.2 第2课时
一、选择题
1．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 当a＝1时，直线x－ay＝0化为直线x－y＝0，∴直线x＋y＝0与直线x－y＝0
垂直；
当直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直时，有1－a＝0，∴a＝1，故选C.
2．m＝3是直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A

[解析] 由圆心(1,0)到直线3x－y＋m＝0距离d＝|3＋m|2＝3得，m＝3或－33，
故选A.
3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”
是“x∈C”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 因为A∪B＝C，故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．
4．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 如a＝1，c＝3，b＝2，d＝1时，a＋c>b＋d，
但ab＋d”⇒/ “a>b且c>d”，
由不等式的性质可知，若a>b且c>d，则a＋c>b＋d，
∴“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件．
5．设命题甲为：0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 解不等式|x－2|<3得－1∵0∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.
6．(2014·南昌市高二期中)设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是
“l⊥m且l⊥n”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ∵l⊥α，m⊂α，n⊂α，∵l⊥m且l⊥n，故充分性成立；又l⊥m且l⊥n时，m、
n⊂α，不一定有m与n相交，∴l⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.
二、填空题
7．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] 若a与b夹角为钝角，则a·b<0，反之a·b<0时，如果a与b方向相反，则a
与b夹角不是钝角．
8．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不
成三角形的充要条件是k∈集合________．
[答案] {－5,5，－10}
[解析] ①l1∥l3时，k＝5；②l2∥l3时，k＝－5；
③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10.
三、解答题
9．方程mx2＋(2m＋3)x＋1－m＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？

[解析] 由题意知 2m＋32－4m1－m>0，1－mm<0.
∴m>1或m<0，
即所求充要条件是m>1或m<0.
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的
充要条件为q＝－1.
[证明] 充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，当n＝1时也成立．

于是an＋1an＝pnp－1pn－1p－1＝p，即数列{an}为等比数列．
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，

∵p≠0且p≠1，∴an＋1an＝pnp－1pn－1p－1＝p，
∵{an}为等比数列，
∴a2a1＝an＋1an＝p，即pp－1p＋q＝p，
∴p－1＝p＋q，∴q＝－1.
综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．

一、选择题
11．设{an}是等比数列，则“a1A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 若a10，则q>1，此时为递增数列，若a1<0，则
012．(2013·安徽理)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a＝0，则f(x)＝|x|在(0，＋
∞)内单调递增，若“a<0”，则f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；
反之，若f(x)＝|(ax－1)x|

在(0，＋∞)内递增，从图中可知a≤0，故选C.
13．下列命题中的真命题有( )
①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；

②△ABC中，AB→·BC→<0是△ABC为钝角三角形的充要条件；
③2b＝a＋c是数列a、b、c为等差数列的充要条件；
④△ABC中，tanAtanB>1是△ABC为锐角三角形的充要条件．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．

由AB→·BC→<0只能说明∠ABC为锐角，当△ABC为钝角三角形时，AB→·BC→的符号也不能
确定，因为A、B、C哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．
由tanAtanB>1，知A、B为锐角，∴sinAsinB>cosAcosB，
∴cos(A＋B)<0，即cosC>0.∴角C为锐角，
∴△ABC为锐角三角形．

反之若△ABC为锐角三角形，则A＋B>π2，
∴cos(A＋B)<0，∴cosAcosB∵cosA>0，cosB>0，∴tanAtanB>1，故④真．
14．设a、b是两条直线，α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
[答案] C
[解析] 对选项A如图①所示，由图可知a∥b，故排除A；

对选项B如图②所示，由图可知a∥b，故排除B；

对选项D如图③所示，其中a∥l，b∥l，由图可知a∥b，故排除D.
二、填空题
15．函数f(x)的定义域为I，p：“对任意x∈I，都有f(x)≤M”．q：“M为函数f(x)的
最大值”，则p是q的________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] 只有当(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M，(2)存在x0∈I，使f(x0)＝M，同时成立
时，M才是f(x)的最大值，故p⇒/ q，q⇒p，
∴p是q的必要不充分条件．
16．f(x)＝|x|·(x－b)在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．
[答案] b≥4

[解析] f(x)＝ xx－b x≥0，－xx－b x<0.
若b≤0，则f(x)在[0,2]上为增函数，∴b>0，
∵f(x)在[0,2]上为减函数，∴b2≥2，∴b≥4.
三、解答题
17．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．
[解析] ①a＝0时适合．
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a<0；若方程有两个负
的实根，

则必须满足 1a>0－2a<0Δ＝4－4a≥0，解得0综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个
负的实根，因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
[点评] ①a＝0的情况不要忽视；②若令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1≠0，从而排除
了方程有一个负根，另一个根为零的情况．

18．已知p：x＋210－x≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m<0)，且p是q的必要条件，求实数m
的取值范围．
[解析] 由x＋210－x≥0，解得－2≤x<10，令A＝{x|－2≤x<10}．由x2－2x＋1－m2≤0可
得[x－(1－m)]．[x－(1＋m)]≤0，而m<0，∴1＋m≤x≤1－m，令B＝{x|1＋m≤x≤1－m}．∵
p是q的必要条件，∴q⇒p成立，即B⊆A.

则 1＋m≥－21－m<10m<0，解得－3≤m<0.