2.2、等差数列第一课时课件
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高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
2.2等差数列(一) 公开课一等奖课件
分析：由a, A, b成等差数列得：
A a b A, A a b .
反之，若 A a b ,
2
Hale Waihona Puke 2思考2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
分析：由a, A, b成等差数列得：
A a b A, A a b .
反之，若
数列：1，3，5，7，9，11，13… 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项； 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.
a2＋a4＝a1＋a5 a4＋a6＝a3＋a7
分析：由a, A, b成等差数列得：
A a b A, A a b .
反之，若
A
a
b
,
2 即A a
b
A,
2
即a, A, b成等差数列.
A a b a, A, b 成等差数列. 2
等差中项：
等差中项：
由三个数a，A，b组成的等差数列可 以看成最简单的等差数列，这时，A叫做 a与b的等差中项.
A
a
b
,
2 即A a
b
A,
2
思考
2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
分析：由a, A, b成等差数列得：
A a b A, A a b .
反之，若
A
a
b
,
2 即A a
b
A,
2
即a, A, b成等差数列.
思考
2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
(2)对于数列{an}，若an－Aan－1 ＝d(d是与n 无关的数或字母)，C n≥2，B 则此数列是 等差数列，d 为公差；
人教高中数学必修五 第二章 2.2 等差数列求和公式(共55张PPT)
或
跟踪练习
1. 在等差数列{an}中； (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17.
解
5×4 S5＝5a1＋ d＝5， 2 (1) a6＝a1＋5d＝10，
解得 a1＝－5，d＝3. ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16. 10×9 S10＝10a1＋ d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. 2 17×a1＋a17 17×a3＋a15 17×40 (2)S17＝ ＝ ＝ ＝340. 2 2 2
又当 n＝1 时，a1＝21 1＝1≠5，
－
5 ∴an＝ n－1 2
n＝1， n≥2.
(2)法一
an＋12 (消 Sn)；由 Sn＝ (n∈N*)，得 4an＋1＝4(Sn＋ 4
2
1－Sn)＝(an＋1＋1)
－(an＋1)2
化简得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0， 因为an＞0，∴an＋1－an＝2， 又4S1＝4a1＝(a1＋1)2得a1＝1， 故{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1.
法二
(消 an)：由上可知
2 Sn＝an＋1，∴2 Sn＝Sn－Sn－1＋1(n≥2)， 化简可得( Sn－1)2＝Sn－1， ( Sn＋ Sn－1－1)( Sn－ Sn－1－1)＝0， 又 S1＝1，{an}的各项都为正数， 所以 Sn－ Sn－1＝1. 所以 Sn＝n，从而 Sn＝n2， 所以 an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，a1＝1 也适合，故 an ＝2n－1.
4S n 4S1 4S 2 ... Sn 3． 已知数列{an}中， a1＝2，a1 2 a2 2 an 2
,
求 an.
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
6.等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列{an}中的任意两项 an,am(n,m∈N*,m≠n),
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件
aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
人教A版数学必修5第二章2.2等差数列课件
解：由题意可知
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组 ，解这个方程组，得
a1 2 d 3 还有什么方法，又能得到什么 即这个等差数列的结首论项，是让-２我，们公一差起是看３看。吧！
【精讲点拨】 知识延伸：
am a1 (m 1)d a1 am (m 1)d
高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出
故 了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一 事 道很纷杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯
即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家 伙又在捣 乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃 惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数 加倒数第二个 数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未 曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇 报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。
如果不是，请说明理由． (1)4,7, 10,13,16，…； (2)31,25,19,13,7，…；
(3)0,0,0,0,0，…； (4)a，a－b，a－2b，…；
(5)1,2,5,8,11，….
问题：上述题目中反应出公差的范围？公差 对数列的增减性有何影响？
➢课堂展示清单
【合作探究一】
公差d是每一项（第2项起）与它的前一 项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且 公差可以是正数，负数，也可以为0.
最低降至5m。那么从开始放水算起，到
可以进行清算工作的那天，水库每天的水
等差数列的前n项和PPT优秀课件1
（2）100元“零存整取”的月利息为 100×1.725‰=0.1725（元）， 存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元)， 因此李先生多收益
179.82－114.885×(1－20%)=87.912元.
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整 取”多收益87.912元
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰=0.27（元）， 第1个100元存36个月，得利息0.27×36（元）; 第2个100元存35个月，得利息0.27×35（元）; ………… 第36个100元存1个月，得利息0.27×1（元），
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元)， 本息和为3600+179.82=3779.82元；
解 得 30AB2
S 3 0 9 0 0 A 3 0 B 3 0 ( 3 0 A B ) 6 0
解法三： 设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C， 则A，B，C成等差数列， 且A=10，A+B=30, 解得B=20，
2.2.2等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根， 下面每一层比上一层多放一根，共8层，这 堆钢管共有多少根？
这堆钢管从上到下的数 量组成一个等差数列。
其中a1=4，公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同 样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根.
高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和(一)课件新
解 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，
1 1 2 ∴bn＝4(bn＋1) －4(bn－1＋1)2
1 2 ＝4(bn－b2 n－1＋2bn－2bn－1).
2 整理，得 b2 － b n n－1－2bn－2bn－1＝0，
∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，
∵b n ∴Sn＝25n＋ (n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169， 2 ∴当n＝13时，Sn有最大值169.
又因为an－an－1＝(2n－4)－[2(n－1)－4]＝2(n≥2)，所以{an}是等
差数列.
(2)数列{an}的前n项和Sn＝35n－2n2，求使Sn最大的n.
解 35 2 1 225 由 Sn＝35n－2n ＝－2(n－ 4 ) ＋ 8 .
2
当且仅当n＝9时，Sn最大.故n＝9. 规律方法
n＝1， S1 一般地，an与Sn有如下关系：an＝ Sn－Sn－1 n≥2.
3.等差数列前n项和的最值
d 2 d (1)因为等差数列前n项和可变为Sn＝ n ＋(a1－ )n，若 2 2 d≠0， 则从二次函数的角度看： 当d>0时， Sn有 最小 值；
当d<0时， Sn有 最大 值； 且n取最接近对称轴的自然数时， Sn取到最值.
(2)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有 最大 值，
要点二 由数列的Sn求通项an 例2 (1) 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn ＝ n2 － 3n ，求证数列 {an}是等差数列. 证明 a1＝S1＝1－3＝－2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4，
当n＝1时，2n－4＝－2＝a1，∴an＝2n－4.
等差数列的前n项和公式(第一课时)课件高二下学期数学人教A版选择性(1)
190d
1220
②
联立①②解得a1 4,d 6.
前n项和Sn
4n
n(n
1) 6 2
3n 2
n
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；
பைடு நூலகம்
公式变形Sn
d 2
n2
(a1
d )n, 2
2．等差数列前n项和公式的推导方法： 倒序求和法 3. 公式的应用： 知三求二，注意公式特征，灵活求解
谢谢各位老师们的聆听 请给于批评指正
探究：等差数列前n项和的推导
[思考4]上述方法的妙处在哪里？具体是什么如何操作的？ 这种方法能够推广到求等差数列{an}的前n项和吗？
妙处：把不同的数求和转化为n个相同的数求和
倒序
n个相同的数(n+1)
倒序相加法
探究：等差数列前n项和的推导
对于任意等差数列{an}，使用倒序相加法用以下两种方式表示Sn：
②式可化为Sn
d 2
n2
(a1
d )n, 2
d 0时, Sn是关于n的不含常数项的二次函 数, 形如Sn An2 Bn
知识巩固：限时训练
知识巩固：限时训练
知识巩固：限时训练
知识巩固：限时训练
解:
S10
10a1
10 9 2
d
10a1
45d
310
①
S20
20a1
20 19 2
d
20a1
[思考1]高斯的算法利用了等差 数列的什么性质？
m＋n＝p＋q=2t am＋an＝ap＋aq = 2at . (m，n，p，q∈N*)
探究：等差数列前n项和的推导
[思考2]已知等差数列{an}的通项公式 an n，如何求数列的前 101项和S .101 能否用上述方法计算1+2+3+……+100+101吗？
高中数学 第二章 2.2(一)等差数列(一)课件 新人教A版必修5
第十六页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高
效 例2
已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，a＋b c，a＋c b也
成等差数列．
证明 ∵1a，1b，1c成等差数列，
本
∴2b＝1a＋1c，即 2ac＝b(a＋c)．
讲 栏 目
∵b＋a c＋a＋c b＝cb＋c＋acaa＋b＝c2＋a2＋acba＋c
开 关
(5)1,2,5,8,11，….
第七页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
解 (1)是等差数列，a1＝4，d＝3；
(2)是等差数列，a1＝31，d＝－6；
本 讲
(3)是等差数列，a1＝0，d＝0；
栏 目
(4)是等差数列，a1＝a，d＝－b；
开 关
(5)不是等差数列，a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴a2－a1≠a3－a2.
高效 探究 若数列{an}满足：an＋1＝an＋2an＋2，求证：{an}是等差
数列．
证明 ∵an＋1＝an＋2an＋2
本
⇔2an＋1＝an＋an＋2
讲 栏
⇔an＋2－an＋1＝an＋1－an
目
开 关
∴an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1(常数)．
∴{an}是等差数列．
第十三页，共25页。
跟踪训练 2 已知 a，b，c 成等差数列，那么 a2(b＋c)，b2(c
＋a)，c2(a＋b)是否能构成等差数列？
证明 ∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b.
本 ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b
讲 栏
＝(a2b＋c2b)＋(a2c＋c2a)＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)
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2，0，-2，-4，-6，-8 …
4－2n
an＝ 2 ＋ (n－1) ×(－2) =
等差数列通项公式
a1 ( d a n1 ) n
an
a1
n
d
这四个变量 ，知道其中三个 量就可以求余下的一个量．
知三求一
用一下
a1 ( d a n1 ) n
等差数列｛an｝中， ⑴已知a1=2, d=3 求an an=3n-1 ⑵已知a1=3, an=21 ,d=2求n n=10 d=4 ⑶已知a1=8, a6=28求d ⑷已知 d=1, a7=8 求a1 a =2
8844.43米
高度(km) 温度(℃)
1 28
2 21.5
3 15
4 8.5
5 2
减少6.5
…
…
9 -24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
你能根据规律在括号内 填上合适的数吗？
（1）1682，1758，1834，1910，1986,( 2062 ) (2) (3) 1，4，7，10，（ 13 ），16，… 2， 0， -2， -4， -6，（ -8 ）…
n=1时也满足上式
等差数 如果一个数列a1,a2,a3,a4,…an-2,an-1,an,an+1,an+2….是 列的通 等差数列，它的公差是d，那么 a 1 d a 2 项公式
a 2 d a 3
…
a 3 d a 4
累加得
a 1 n 2 d n a
a n 1 d n a
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
练一练
4. 在等差数列中
( 知71a. 1 a0 91d ) 41 与 已, a , 求
a ,d 3 1 1
( 知9 3 a 2 a , 求 ) 39 ， 已 a 1 2
a1 1 12 0 , a 1 1d
1.通过本节学习，首先要理解 与掌握等差数列的定义 2.要会推导等差数列的通项 公式,并掌握其基本应用.
1
用一下
例1
解：
a1 d n) n a ( 1
(1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
a1=8, d=5-8=-3, n=20
a20=?
( a8 1 3 49 ) ( 20 20 )
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几 项是 –401？ n=? a, )4 40 d ( a , 解： 5, 1 59 n
n-1个d
(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+..…+(an-1-an-2)+(an-an-1)=d+d+d+…+d+d
即
得an-a1=( n-1 )d a1 ( d ) n a n1
求它们的通项公式
a1 ( d ) n a n1
求等差数列的通项公式需要知道a1和d (1) 1，4，7，10，13，16，… ＋ (n－1) × 3 =3n－2 an＝1 (2)
等差数列
在过去的三百 多年里，人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星：
相差76
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062 ）
你能预测出它在本 世纪回归的大致时 间吗？
天文学家陈丹说: 2062年左 右。
通常情况下，从地面 到10公里的高空，气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律， 根据下表估计一下珠 穆朗玛峰峰顶的温度
(7) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10….
×
你会求它们的通项 公式吗？
(1)
1，4，7，10，13，16，…
(2)
2，0，-2，-4，-6，-8 …
等差数列的通项公式
如果一个数列
a 1 , a 2 , a 3 , …，a n , …
a2 =a1 + d a3 =a2 + d = (a1 + d) + d =a1 + 2d
或 an+1-an=d (n≥１）
观察下列数列，它们 是等差数列吗？
从第2项起，每一项与它的前一 项的差等 于同一个常数
（1）1，2，4，6，8，10……
×
(2) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ……. 公差 d=1 递增数列 (3) 5，5，5，5，5，5… 公差 d=0 常数列 (4) 2, 4, 7, 11, 16 …... × (5) -8，-6，-4，0，2，4 … × 公差 d= -3递减数列 (6) 3, 0, -3, -6, -9 ….
因此， 解得
( 1 4பைடு நூலகம்401 ) n 5 ()
n100
练一练
a1 d n) n a ( 1
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7， 10项；
a 15 a 27 a 39 , , 4 7 10
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中 的项？
1007 n 2 ) (1 n 15
d=-2 d=-6.5
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差等 于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
如果一个数列 a1，a2，a3， a4，…an-2，an-1，an，an+1 ….是等 差 数列，它的公差是d，那么
a n 1 （n≥２） a d n
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 – a1 =d则 a3 – a2 =d则
a4 – a3 =d则 a4 =a3 + d = (a1 + 2d)+ d =a1 + 3d a5 – a4 =d则 a5 =a4+ d = (a1 + 3d) + d =a1 + 4d a n=
a1 + ( n - 1 ) d
( 4 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, ( -0.5 )
a n1 d n a
(n 2 ）
它们的共同的规律是？
( 1 ) 1682，1758，1834，1910，1986，（2062）
d=76
d=3
( 2) 1，4，7，10，（ 13 ），16，… ( 3) 2，0，-2，-4，-6，（ -8 ）,… ( 4 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, （ -0.5 ）.
3. -20是不是等差数列0，的项；
7 2
，-7…中
47 7 ( n 20 n ) ( ) 0 1 舍 7 2
例2
在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d. a1 ( d ) 解：由题意可知 n a n1
a1 4 d 10 分析：a5 =a1 + 4d a1 11d 31 a12=a1 + 11d 这是一个以 a 1 和 d 为未知数的二元一次 方程组，解这个方程组，得 a1 2 d 3