组合设计大集问题
组合数学题目及答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
组合优化问题的算法设计与应用
组合优化问题的算法设计与应用一、引言组合优化问题在实际应用中具有重要的价值，涉及到许多实际问题的求解。
因此，研究组合优化问题的算法设计和应用具有重要的意义。
二、组合优化问题及其分类组合优化问题是指在一定的约束条件下，从一系列对象中选择特定的子集，使得特定的目标函数取最小或者最大值的问题。
组合优化问题可以分为两类：最优化问题和计数问题。
1. 最优化问题最优化问题是指在满足一定的约束条件下，从给定的候选元素中选出一个子集，并使得指定的目标函数取最大或最小值的问题。
常见的最优化问题有：（1）背包问题：将元素放入背包中，使得放入背包的元素总价值最大或总重量最小；（2）旅行商问题：在一系列城市中，寻找一条最短的路径，使得每个城市恰好被经过一次；（3）装箱问题：将物品放入箱子中，使得物品的数量最大或空间利用率最高。
2. 计数问题计数问题是指在一定约束条件下，计算子集的数量。
常见的计数问题有：（1）排列问题：从一组元素中选出一定数量的元素，并按照一定方式进行排列的问题；（2）组合问题：从一组元素中选出一定数量的元素，并不按照特定的顺序进行排列的问题；（3）墨汁问题：有N个盒子和N瓶墨汁，每个盒子只能装一瓶墨汁，求使用全部的墨汁时，不同的装瓶方案数。
三、组合优化问题的算法设计组合优化问题的算法设计主要包括贪心算法、动态规划算法、分支限界算法、回溯算法以及模拟退火算法等。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单的启发式算法，其基本思想是通过局部最优的选择来推出全局最优解。
贪心算法是求解最优化问题的有效方法，但对于复杂的问题，贪心算法的求解结果不一定是最优的。
2. 动态规划算法动态规划算法是求解最优化问题的有效方法。
其基本思想是将问题分解为小的子问题，并利用子问题的最优解推导出原问题的最优解。
该算法的核心是确定状态方程和边界条件。
3. 分支限界算法分支限界算法是通过限制问题的搜索空间来求解组合优化问题的一种算法。
分支限界算法是在确定搜索路径的基础上，通过剪枝操作提高搜索效率，其核心是处理分支界定树的节点。
组合问题解决简单的组合问题
组合问题解决简单的组合问题组合问题是数学中一类经典的问题，它涉及组合数学、概率论等多个领域。
本文将介绍如何解决简单的组合问题，并通过实例来进一步阐述。
一、组合问题的基本概念在开始解决组合问题之前，我们首先需要了解组合问题的基本概念。
在组合数学中，组合是指从给定的元素集合中选取特定数量的元素，而不考虑元素的顺序。
这里的元素可以是数字、字母或者其他对象。
二、解决组合问题的方法解决组合问题的方法有多种，下面将介绍两种常用的方法：穷举法和公式法。
1. 穷举法穷举法是组合问题最直观的解决方法之一。
它通过列举所有可能的组合情况来找到符合条件的组合。
在这个过程中，我们需要考虑组合的长度、元素的种类和元素的顺序等因素。
例如，假设有3个元素A、B、C，我们需要从中选取2个元素的所有组合。
那么按照穷举法的思路，我们将A、B、C三个元素两两组合，得到的所有组合情况为：AB、AC、BC。
这样我们就找到了所有符合条件的组合。
2. 公式法在解决组合问题时，我们可以利用组合数的性质来简化求解过程。
在数学中，组合数可以通过以下公式来计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中，n表示元素的总数，k表示选取的元素个数，!表示阶乘。
以之前的例子为例，如果我们要求解3个元素中选取2个元素的组合数，那么根据上述公式，我们可以计算出：C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!)= 3。
三、实例分析接下来，通过一个具体的实例来演示如何解决简单的组合问题。
假设有一家电商平台，它有4种商品A、B、C、D，现在需要从中选择3种商品进行促销活动。
根据之前介绍的方法，我们可以使用穷举法来找到所有可能的组合情况。
我们将列举出所有的组合情况，并判断是否满足条件：选取3种商品，不考虑顺序。
1. 选择A、B、C三种商品；2. 选择A、B、D三种商品；3. 选择A、C、D三种商品；4. 选择B、C、D三种商品。
通过穷举法，我们得到了4种满足条件的组合情况。
组合(公开课)
5. 从集合a,b,c,d ,e 中取3个元素且包含字母 a ，不包含字母 b 的组合有
______个.
1. 若8名学生每2人互通一次电话，共通_________次电话．
35
(2)解：C170
10 98 7 6 5 4 765 43 21
10 9 8 3 21
=120
例题分析
例题分析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方；
C42
=
43 2！
=6
（2)列出所有冠亚军的可能情况(冠亚军不能并列）.A42 =12
解：(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
组合数公式
概念讲解
求从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数Anm，可看作由以下
两个步骤得到的：
第1步，从这n 个不同元素中取出m 个元素，共有Cnm 种不同的取法
第2步，将取出的 m个元素做全排列，共有 Amm 种不同的排法
根据分步乘法计数原理，得到： Anm Cnm Amm
因此：
Cnm
Anm Amm
b
cd
abc ， abd ， acd ， bcd .
C43 4
组合
组 abc
合
数
公 式
abd
的
推
导 acd
示
例
bcd
你能得到求排列数 A43 的一种方法吗？
排列
abc
bac
cab
acb
bca
cba
稍复杂的组合问题教学设计
稍复杂的组合问题教学设计一、教学目标1. 理解组合问题的概念和基本原理；2. 掌握排列、组合、重复排列、重复组合的计算方法；3. 能够熟练地运用组合问题的计算方法解决实际问题。
二、教学内容1. 组合问题的概念和基本原理；2. 排列、组合、重复排列、重复组合的计算方法；3. 实际问题中的应用。
三、教学过程1. 组合问题的概念和基本原理（1）引入：让学生通过一个例子来了解什么是组合问题，比如从5个球中任选3个球，问有多少种不同的选法。
（2）定义：介绍什么是组合问题，即从n个不同元素中取出m个元素进行排列或选择的方法数。
（3）基本原理：介绍乘法原理和加法原理，并通过例子让学生掌握这两个原理。
2. 排列、组合、重复排列、重复组合的计算方法（1）排列：介绍什么是排列，即从n个元素中取出m个元素进行排列的方法数，并讲解公式P(n,m)=n!/(n-m)!。
通过例子让学生熟悉排列的计算方法。
（2）组合：介绍什么是组合，即从n个元素中取出m个元素进行选择的方法数，并讲解公式C(n,m)=n!/m!(n-m)!。
通过例子让学生熟悉组合的计算方法。
（3）重复排列：介绍什么是重复排列，即从n个元素中取出m个元素进行排列，允许重复的方法数，并讲解公式P''(n,m)=n^m。
通过例子让学生熟悉重复排列的计算方法。
（4）重复组合：介绍什么是重复组合，即从n个元素中取出m个元素进行选择，允许重复的方法数，并讲解公式C''(n,m)=(n+m-1)!/(m!(n-1)!)。
通过例子让学生熟悉重复组合的计算方法。
3. 实际问题中的应用（1）案例分析：通过实际案例来演示如何运用排列、组合、重复排列、重复组合等知识解决问题。
（2）练习题：布置一些练习题，帮助学生巩固所学知识并提高应用能力。
四、教学方法1. 讲授法：通过教师讲解和举例来引导学生理解和掌握组合问题的基本概念和计算方法。
2. 案例分析法：通过实际案例来演示如何运用排列、组合、重复排列、重复组合等知识解决问题，帮助学生掌握应用技能。
组合问题
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4.（2012 年清华）已知 6 xi 10(i 1,2,10) ， 10 个数中，等于-6 的数共有（ C A1 B2 ）个
xi 50 ，当 xi 取得最大值时，在 x1 , x2 ,, x10 这
2 i 1 i 1
10
10
C3
D4
5. (2008 年复旦)40 个学生参加数学奥林匹克竞赛，他们必须解决 1 个代数学问题、1 个几何学问题以及 1 个三 角学问题.具体情况如下表所述 问题 代数学问题 几何学问题 三角学问题 代数学问题和几何学问题 代数学问题和三角学问题 几何学问题和三角学问题 解决问题的学生数 20 18 18 7 8 9 ）
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组合问题
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组合问题
一、知识与方法
组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题 . 组 合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合优化等 . 相对而言，组合问题更有区分度，更能考查出考生的想法，所以近几年 的高考与自主招生考试，均 把组合部分列为重点考查的内容之一，在数量上占有较大的比例题， 组合计数理论是组合数学中一个最基本的研究方向， 主要研究满足一定条件的安排方式的数目及其 计数问题 . 所谓计数，就是估计或计算符合某些要求的对象的个数，换言之，就是给定一个有限集合S，要求出 集合S所含的元素的个数|S|，或者对|S|的上、下界进行估计，由于通常给定的集合各种各样，要判定一个元素是 否属于它，绝非易事，要计算它所含元素的个数就更加困难，所以，如何计数的问题长期以来一直是人们关心 的问题，它历来是组合数学研究的基本课题之一，也是自主招生考试的热点之一. 解决计数问题往往无需高深的知识，却需要相当的技巧和一些特有的方法，计数的基本方法有： 1） 利用两个基本原理：加法原理和乘法原理； 2） 利用两个计数模型：包括排列、组合等； 3） 从反面考虑问题；在总数中减去 A 不出现的个数得到 A 出现的个数； 4） 利用抽屉原理； 5） 利用容斥原理. 6） 归纳猜想. 7） 映射计数法。 另外，组合极值问题也是组合数学中常见的重要问题，也是自主招生考试中的热点，它与代数，几何，数 论等相比风格迥异.解组合极值问题往往需要某种技巧，因此，需要解题者具有丰富的解题经验与良好的题感. 解此类题往往先做试验或构造例子，猜出极值，然后再证明，这种“先猜后证”的思想是解决组合极值问题的 常见方法.
组合问题总结
组合问题总结什么是组合问题？组合问题是计算数学中的一类问题，其特点是从给定的一组元素中选取若干个元素进行排列或组合，要求满足一定的条件。
组合问题在实际生活中有着广泛的应用，例如密码破解、排队问题、选课问题等。
在组合问题中，常常涉及到排列和组合两种概念：•排列：从给定的一组元素中选取若干个元素进行排序，每个元素只能使用一次。
•组合：从给定的一组元素中选取若干个元素进行组合，每个元素只能使用一次，但顺序不重要。
组合问题的解法1. 排列问题的解法排列问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素进行排序。
常见的解法有如下几种：1.1 全排列全排列是指从给定的一组元素中选取所有的元素进行排列。
对于 n 个元素的全排列，共有 n! 种可能的排列方式。
可以使用递归的方法来求解全排列问题。
1.2 部分排列部分排列是指从给定的一组元素中选取部分元素进行排列，元素之间不能重复。
对于从 n 个元素中选取 r 个元素进行排列的问题，共有 P(n,r) 种可能的排列方式。
其中，P(n,r) 表示从 n 个元素中选取 r 个元素进行排列的方法数。
2. 组合问题的解法组合问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素进行组合，元素之间不能重复，但顺序不重要。
常见的解法有如下几种：2.1 递归法递归法是一种常见的求解组合问题的方法。
递归法的基本思想是将问题分解为子问题，通过递归调用求解子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。
2.2 迭代法迭代法是一种常见的求解组合问题的方法。
迭代法的基本思想是使用循环来依次生成各种可能的组合，然后判断是否满足条件。
如果满足条件，则计数器加一。
注意事项在解决组合问题时，需要注意一些常见的问题和技巧，以提高解题效率：•理解问题的意思，确定排列还是组合问题。
•分析问题的规模和复杂度，选择合适的算法。
•合理利用数学的计算方法，如阶乘、组合数等。
•注意边界条件和特殊情况的处理。
•考虑优化算法时间复杂度的方法，如剪枝、动态规划等。
组合问题的解决方案
A B组合问题的解决方案一、对应思想解组合问题，即所研究的问题对应着某些元素的组合．解决此类问题要注意把握每一具体问题中“对应”的确切含义．例1(1)圆上有10个点,两两连成弦,这些弦在圆内最多可形成_____个交点.(2)平面上有4条水平直线,5条竖直直线,能形成矩形______个.（3）马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以 把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？（4）如图是由12个小正方形组成的43⨯矩形网格，一质点沿网格线从点A 到点B 的不同路径之中 条解析：(1)每一个交点对应着两条相交弦，而两条相交弦又对应着圆上4点，故交点数等于从圆上的10个点中取4点的方法数，为410C 个.(2) 每一个矩形对应着两条水平直线和两条竖直直线，所以形成的矩形数等于2524C C ⋅个.（3）把问题想象成在可以移动的10盏灯中关掉3盏灯后剩下7盏灯，在7盏灯产生的6个空位中选出3个位置安排移走的3盏灯（为熄灭的灯）所对应的方法数，为36C 种；（4）相邻两点算作一步，则从点A 到点B 的最短路径对应着7步，其中横向安排4步、纵向安排3步，所以最短路径对应着7步中安排4步横向走的方法数,有4735C =．附：1、（2004湖北文科）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为（ ）A ．120B ．240C ．360D ．720解析：每一种符合要求的方法对应着10个位置选定7个对号安排和余下3个位置的完全不对号安排，10个位置选定7个的方法数为710C 种，3个位置的完全不对号安排有2种，故总数为7102240C ⨯=种．故选（ B ）． 2、（2001全国，16）圆周上有2n 个等分点（n ＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .解析：每一种符合要求的方法对应着选定一条直径的两个端点和在余下的2n-2个点中选择1点，方法数为()()12221n C n n n ⨯-=-种．二、至多至少组合问题:即分类后某元素个数满足至多多少个或至少多少个的要求的组合问题.可分类或用间接法,体会两者是可以相互转化的．此类问题一定要注意避免不完全分组会产生重复造成记数出错．例2、某班有54位同学，正、副班长和学习委员各1名，现选派6名同学参加某课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？（1）正、副班长和学习委员至少有一人入选（2）正、副班长和学习委员至多有一人入选解析：（1）正、副班长和学习委员至少一人入选可分为只有一人入选、有两人入选和三人都入选三类，方法数为152433351351351C C C C C C ⋅+⋅+⋅，本题也可用间接法：没有任何限制的选法为654C ，而不符合要求即正、副班长和学习委员都不入选的方法数为651C ，所以满足题目要求的选法数为665451C C -；对本题的进一步理解：从54人中选出题目要求的选法可画图理解为如图的分类，由此可见本题既可用直接分类法也可用间接排除法解决，这对至多至少组合问题具有一般性．（2）由以上分类易知正、副班长和学习委员至多有一人入选包含两类:3人均不入选和3人中恰有1人入选，则满足要求的方法数为61551351C C C +.附：1、(2005全国卷Ⅰ)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种．解：此题是典型的“至多至少组合问题”，可分类（以选出3人中包含女生的人数分为3类），共有1221346464100C C C C C ⋅+⋅+=种，或用间接法为33106100C C -=种．2、（2005浙江卷）从集合{ P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任选2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．解：此题为“至多至少组合问题”，计算出满足要求的2字母和2数字的组合的总数（采用间接法）为221141039C C C C ⨯-⨯种，故不同排法种数是22114410394()5832C C C C A ⨯-⨯⨯=种．三、分组搭配组合问题:即对某些元素按一定要求分组或按一定要求分配的问题.要掌握平均分组和不平均分组的处理方法；注意对平均分组又分配和不平均分组又分配的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．例3、 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法或分法：(1)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(2)分为三份，每份两本；(3)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(4)分给甲、乙、丙三人，每人两本；⑸分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．解析：(1)此为不平均分组的题目，只须按三个步骤分别选出1本的一份、2本的一份和3本的一份即可，方法总数为332516C C C ⋅⋅种；(2) 此为平均分组的题目，只须先假定三个位置A 、B 、C ，每个位置安排2本书，按三个步骤分别选出2本安排在A 、B 和C ，共有222426C C C ⋅⋅种方法，而此题为平均分组，上述算法已对每一分组在A 、B 、C 三个位置进行了排列，故满足要求的平均分组为33222426A C C C ⋅⋅种；(3) 此为不平均分组又分配的题目，可采用先分组后分配的方法，即第一步分组共有332516C C C ⋅⋅种方法，第二步每一种分法得到的3组分给甲、乙、丙三人的方法都是33A 种，故采用先分组后分配的方法得分配方法共33332516A C C C ⋅⋅⋅种；本题也可采用“边分边给”的方法解决，即先选出1本书并将这本书分配给1人的方法数为1163C C ⋅种，再选出2本书并将这2本书分配给1人的方法数为2152C C ⋅种，第三步选出3本书并将这3本书分配给1人的方法数为3131C C ⋅种，故采用“边分边给”的方法得方法总数为112131635231C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅种；(4)此为平均分组又分配的问题，可采用“先分（分组）后给（分配）”得方法数为2223642333C C C A A ⋅⋅⋅种；若采用“边分（分组）边给（分配）”的方法理解本题可分三步完成：甲分得2本书、乙分得2本书、丙分得2本书，方法数为222642C C C ⋅⋅种； ⑸先分类再结合上述解法得方法数为3346A C ⋅+332516A C C ⋅⋅+2426C C ⋅种． 例4、3名司机和6名售票员分别分配到3辆不同的公交车上,每辆车上1名司机2 名售票员,分配方法共多少种?解析：将问题分两步：对3名司机和6名售票员分为3组，每组1名司机和2名售票员，先假定司机不动，则分组方法为222642C C C ⋅⋅种，再对每一分法分得的3组在3个位置（3辆不同的公交车）进行排列得分配方法共有22236423()C C C A ⋅⋅⋅种；若采用边分边给的方法则分3步完成：第一、二、三辆公交车分别选1名司机2名售票员,分配方法共()()()212121634221C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅种．附：1、（2005北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A（C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A 解析：本题是典型的分组搭配问题（平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．在解答本题时请仔细体会“边分（分组）边给（分配）”的运用．答案为(A ).2、（2005湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人， 每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）A ．168B ．96C ．72D ．144解析：本题是典型的分组搭配问题（不平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．本题把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票分为4组的方法数为6种，每一种分组的分配方法均为44A ，故本题的方法数为446A ⨯种．故选（D ）．请仔细体会“先分（分组）后给（分配）”的运用．3、（2005江苏卷）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( )（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0解析：本题是典型的分组搭配问题（平均分组），本题适用“先分（分组）后给（分配）”法，没有公共顶点的两条棱一组的分组有（PA ，BC ）、（PB ，CD ）、（PC ，AD ）、（PD ，AB ）或（PA ，CD ）、（PB ，DA ）、（PC ，AB ）、（PD ，BC ）共2大组，而每大组的4小组在4个位置的分配就是4个元素在4个位置的全排列，所以安全存放的不同方法种数为 44248A ⨯= 种．故选( B)．。