1[1].4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)

注：1、T要是非零常数 、 要是非零常数 2、“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为 、 每一个值”只要有一个反例， 就不为 周期函数。 周期函数。 3、 周期函数的周期 往往是多值的（如y=sinx, 、 周期函数的周期T往往是多值的 往往是多值的（ …,-2π,-4π，0， 2π,4π,…都是周期） 都是周期） 都是周期 4、周期 中最小的正数叫做 (x)的最小正周期 中最小的正数叫做 、周期T中最小的正数叫做f 的 正弦函数是周期函数， 正弦函数是周期函数， kπ (k ∈Z且 ≠ 0) ，最小 2 k 正周期是 2π 余弦函数是周期函数， 余弦函数是周期函数， kπ (k ∈Z且 ≠ 0) ，最小 2 k 正周期是 2π
π
kπ x=− + 6 2
π
正弦、 正弦、余弦函数性质小结
定义域和值域 周期性 奇偶性：对称轴， 奇偶性：对称轴，对称中心
∴ f ( x ) = cos x , x ∈ R 为偶函数
正弦函数的图象
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
y
1
P
π
2
−π
P'
−
π
2
O
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
5 3 1 1 3 对称轴： 对称轴： x = …， π , − π , − π , π , π ,… − 2 2 2 2 2 π x = + kπ , k ∈ Z
练习
(1)2cos x = 3
3 >1 cos x = 2
× √
(2)sin 2 x = 0.5
sin x = ± 0.5 ∈ [ −1,1]
正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数的图象和性质 正弦函数 y = sin x , x ∈ R 的图象
y
1-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
o
π π
3π 5π 对称中心： ( − 对称中心： …， ,0),( ,0),( ,0),( ,0)，… 2 2 2 2 (
π
2
+ kπ ,0) k ∈ Z
练习
的一条对称轴的是（ 为函数 y = sin(2 x + ) 的一条对称轴的是（ ）
3
4π A. x = − 3
π
B. x =
π
2
C.x =
π
π
3
) = sin z
y = sin z 的对称轴为 z =
2x +
π
2
+ kπ , k ∈ Z
π
3
=
π
2
+ kπ
kπ x= ,k ∈ Z + 12 2
解得： 解得：对称轴为
(2) y = sin z
π
的对称中心为 ( kπ ,0) , k ∈ Z
2x +
z = kπ
π
3
= kπ
kπ ,0) , k ∈ Z 对称中心为 ( − + 6 2
-1 -
2π
4π
-
6π
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， [− 4π ,−2π ] , [− 2 π , 0 ], [0 , 2 π ], [2 π , 4 π ],……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
y
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象
1-
-
π
π
T =6
3.奇偶性 3.奇偶性
探究
y
1
−3 5 π π − 2
−2π 3π
− 2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
正弦函数的图象
y
1
O
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
π
2
π
余弦函数的图象
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
问题：它们的图象有何对称性？ 问题：它们的图象有何对称性？ 对称性
(1) y = 3cos x, x ∈ R
解： ∵
3cos( x + 2π ) = 3cos x
所以， 所以，函数 y = 3cos x, x ∈ R的周期是 2π
(2) y = sin 2 x, x ∈ R
∵ y = sin(2x + 2π ) = sin2( x + π ) = sin2x
所以， 所以，函数 y = sin 2x, x ∈ R 的周期是
期 例1、求下列函数的周 :
若不加特别说明 , (1) y = 3cos x, x ∈ R; . 都指最小正周期 (2) y = sin 2x, x ∈ R; 1 π (3) y = 2sin( x − ), x ∈R; 2 6 (4) y = Asin( ωx +ϕ), x ∈ R.( A ≠ 0,ω > 0)
12
D. x = 0
y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
解：经验证，当 经验证，
∴x =
x=
π
12
时
2x +
π
3
=
π
2
π
12
为对称轴
求 y = sin(2 x + ) 函数的对称轴和对称中心
3
解（1）令 ）
z = 2x +
π
例题
π
3
则
y = sin(2 x +
3π
x
正弦函数 y = sin x
值域： ， 定义域： 定义域：R 值域：[-1，1] y
1
π
2
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
余弦函数 y = cos x
值域： ， 定义域： 定义域：R 值域：[-1，1]
| sin x |≤ 1
| cos x |≤ 1
3.奇偶性 3.奇偶性
(1) f ( x ) = sin x , x ∈ R
任意x ∈ R
f ( − x ) = sin( − x ) = − sin x = − f ( x )
∴ f ( x ) = sin x , x ∈ R 为奇函数
(2) f ( x ) = cos x , x ∈ R
任意x ∈ R f ( − x ) = cos( − x ) = cos x = f ( x)
π
，
1 π (3) y = 2sin( x − ) 12 π 6 1 π 解：∵ y = 2sin( 2 x − 6 + 2π ) = 2sin[2 ( x + 4π ) − 6 ]
1 π = 2sin( x − ) 2 6
所以,函数 所以 函数
1 π y = 2sin( x − ), x ∈ R 2 6
三角函数 1.4.2正弦函数余弦函数的性质 1.4.2正弦函数余弦函数的性质 （一）
（1）定义域与值域 （2）周期性 （3）奇偶性，对称性 奇偶性， （4）单调性 （5 ）最 值
1.定义域和值域 定义域和值域 y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
x
− 6π
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π
4π
-
6π
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……， [− 4π ,−2π ] , [− 2 π , 0 ], [0 , 2 π ], [2 π , 4 π ],……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
余弦函数 y
-
x
= cos x , x ∈ R 的图象
2
对称中心： ( − 对称中心：…， π ,0),(0,0),(π ,0),(2π ,0)，…
( kπ ,0) k ∈ Z
余弦函数的图象
−3 5 π π − 2
y
1
−
P' 3π −π −2π −
2
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
P
5π 2
3π
x
对称轴： 对称轴： x
= …， π ,0, π , 2π ,… − x = kπ , k ∈ Z
的周期是4π 的周期是
思考(4) 思考
y = Asin(ωx + ϕ), x ∈ R.( A ≠ 0, ω > 0) y = Acos(ωx + ϕ), x ∈ R.( A ≠ 0, ω > 0)
T=பைடு நூலகம்
2π
ω
练习
求下列函数的周期： 求下列函数的周期：
3 8π (1) y = sin x, x ∈ R T= 4 3 π (2) y = cos 4 x, x ∈ R T= 2 1 (3) y = cos x, x ∈ R T = 2π 2 1 π (4) y = sin( x + ), x ∈ R T = 6 π 3 4 (5) y = sin( x + ), x ∈ R 3 4