2015滁州市高级中学联谊会高二第二学期期末考试数学文科(含答案和解析)

2015滁州市高级中学联谊会高二第二学期期末联考
数学（文科）参考答案
（1）D 解析：由已知可得A ＝(－1，2)，B ＝(－2，0)，∁R B ＝(－∞，－2]∪[0，＋∞)，故A ∩(∁R B )＝[0，2)．
（2）B 解析：()()()()
()21i 221i 1i 2.1i 1i 1i z z ++=+-=+-=--+ （3）A 解析：命题的否定对结论否定的同时量词作相应改变，故选A ．
（4）D 解析：0,0,05,2,210,4,6S n T S n T S n T ===→===→=== 15,6,1220,8,2025,10,30.S n T S n T S n T →===→===→===
（5）D 解析：631165321363(3),222
S S a d a d d ⨯⨯=⇒+=+⇒=9193627.S a d =+= （6）C 解析：对于A ，y ＝sin(2x －π3)向左平移π6
个单位得到y ＝sin2x ，函数是奇函数；对于B ，y ＝sin(2x －π3)向右平移π6个单位得到y ＝sin(2x －2π3
)，函数是非奇非偶函数；对于C ，y ＝sin(2x －π3)向左平移5π12
个单位得到y ＝cos2x ，函数是偶函数；对于D ，y ＝sin(2x －π3)向右平移5π12个单位得到y ＝sin(2x －7π6
)，函数是非奇非偶函数．故选C. （7）B 解析：抛物线的焦点为(0，2)，双曲线的渐近线方程为∴=±,03y x 距离122
==d .
（8）A 解析：圆心到直线x －y ＝2的距离为|a －2|2
＝22－22，解得a ＝0或4. （9）C 解析：a ＝lg5>lg 10>12，b=12，c ＝ln3＞1，故c ＞a ＞b ．
（10）C 解析: (0,),tan 0.2
x x p 蝄> 22sin 1(x)sin 2x f x +=223sin cos 2sin cos x x x
x +
=31tan 22tan x x =+炒= 当且仅当31tan ,22
tan x x =即tan x (0,)62x p p = 时,等号成立，故选C. （11）D 解析：该几何体是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥而得
到，故其体积V ＝12×2×2×2－13×12×1×1×2＝113.
（12）B 解析：令h (x )＝x －ln x ，求导知h (x )在x ＝1处取得最小值1，令g (x )＝ax x 2＋1
，则当a ≤0时，g (x )≤0，原不等式成立，当a ＞0时，g (x )＝ax x 2＋1＝a x ＋1x
≤a 2，当x ＝1时取等号，故a 2≤1，a ≤2.
（13）800 解析：由图知60分以下学生人数的频率P ＝(0.005＋0.015)×10＝0.2，故成绩不少于60分的学生人数为1000×（1-0.2）＝800.
（14）π16 解析：由已知得球的半径∴=+=,2)3(12
r 球的表面积.16242ππ=⋅=S
（15）π6
解析：由已知得a 2＋4a ·b ＋4b 2＝a 2－6a ·b ＋9b 2，10a ·b ＝5b 2，2|a |·|b |cos θ＝|b |2，cos θ＝2
3，θ＝π6. （16）7 解析：利用对数运算性质可将问题转化为lg lg 3,lg lg 1,2lg lg 3.x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩
求2lg 3lg x y +的最
小值，画出可行域可得当lg 2,lg 1x y ==时，2lg 3lg x y +取最小值7.
（17）解析：（Ⅰ）由已知得2cos A cos B ＋2sinAsinB ＝1＋4cos B cos A ，
化简得2cos(A ＋B )＝－1，－2cos C ＝－1，cos C ＝12，C ＝.3
π（5分）
（Ⅱ）由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，则12＝4＋b 2－2b ，b ＝4，
∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝23．（10分）
（18）解析：(Ⅰ)男生成绩的平均数是16
×(88＋97＋105＋108＋116＋122＋124＋136)＝112, 由茎叶图可知，女生中间两个成绩是115，116，∴女生成绩的中位数是115.5.(6分) (Ⅱ) 520＝14，∴根据分层抽样的方法，男生抽取8×14＝2人，女生抽取12×14
＝3人， 记抽到的男生为a 1，a 2，女生为b 1，b 2，b 3，那么从这5人中选2人有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共10种情况，其中至少有1人是女生的结果有9种，
∴选到的两人中至少有1人是女生的概率P ＝910
.(12分) （19）解析：（Ⅰ）连接AE,BF 交于点O ，则O 是AE 的中点，连接OM ，
M 是DE 的中点，∴//OM AD ，且12
OM AD =， //BC AD ，且12
BC AD =，∴//OM BC ，且OM BC =， ∴四边形BCMO 是平行四边形，故//CM BO ，
BO ⊂平面ABEF ，CM ⊄平面ABEF ，∴//CM 平面ABEF .（6分） （其他正确答案也可得分）
（Ⅱ） AF AB ⊥，平面ABEF ⊥平面ABCD ，∴AF ⊥平面ABCD ，∴A F CD ⊥，
在梯形ABCD 中，由已知可求得AC CD ==，又2AD AB =，∴AC CD ⊥， AC AF A ⋂=，∴CD ⊥平面ACF ，
又CD ⊂平面,CDE ∴平面CDE ⊥平面ACF .（12分）
（20）解析：(Ⅰ)当n ≥2时，由2S n ＋1＝S n ＋1，得2S n ＝S n －1＋1，
两式相减得2a n ＋1＝a n ，即a n ＋1＝12
a n ， 由a 1＝12，2S 2＝S 1＋1，得a 2＝14＝12
a 1， 故{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，则a n ＝12×(12)n －1＝(12
)n .(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n ＝a n ·
log 12a n ＝n ·(12)n .
从而T n ＝1×12＋2×(12)2＋…＋(n －1)×(12)n －1＋n ·(12)n ，①
12T n ＝1×(12)2＋2×(12)3＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ·(12)n ＋1，②
由①－②得12T n ＝12＋(12)2＋…＋(12)n －n ·(12)n ＋11221++-=n n ，
∴T n ＝n n 22
2+-.(12分)
（21）解析：（Ⅰ）由题意得222
222
3
33
14c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩
解得a b ==
故椭圆C 的方程为2
2
1123x y +=.（4分）
（Ⅱ）将直线y kx =代入22
1123x y +=可得22(14)12k x +=
，解得x =
不妨设点),()A B ，
则,M N
的坐标分别为33(),()22M N
由已知可得0O M O N ⋅=，
即2333
3((()
(21414
+⋅=， 即22293
3041414k k k --=++，整理得21
8k =
，4k =±（12分）
（22）解析：（Ⅰ）由题意：()22,f x x x λ'=-+-
∴()()12,f f ''=即2212222,3λλλ-+-=-+-=解得.（4分）
（Ⅱ）设点32,232t P t t t λ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭
是曲线()y f x =图像上的切点， 过点P 的切线的斜率为()22k f t t t λ'==-+-，
∴过点P 的切线方程为()()32212232
y t t t t t x t λλ+-+=-+--． 点10,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭在切线上， ∴()()32211220332
t t t t t t λλ-+-+=-+--，即322110323t t λ-+=． 若过点10,3⎛
⎫- ⎪⎝⎭
可作曲线()y f x =的三条不同切线， ∴方程
322110323
t t λ-+=有三个不同的实数根． 令()32211323g t t t λ=-+，则曲线()y g t =与t 轴有三个不同的交点． 令()220g t t t λ'=-=，解得0t =或2
t λ
=． ∵3111(0),()32243
g g λλ==-+，∴311()02243g λλ=-+<，即2λ>． ∴实数λ的取值范围是()2,+∞．（12分）。