浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三第一学期期中考试数学试题(解析版)
浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考数学试题(含解析)
1.已知全集{1,3,5,7,9,11}U =，{1,3}A =，{9,11}B =，则()U C A B =（ ）A. ∅B. {1,3}C. {9,11}D. {5,7,9,11} 【答案】 C 【解析】∵{1,3,5,7,9,11}U =，{1,3}A =，∴{5,7,9,11}U C A =， ∴(){5,7,9,11}{9,11}{9,11}U C A B ==.2.双曲线221x y a-=的一条渐近线方程为3y x =，则正实数a 的值为（ ） A. 9 B. 3C.13 D. 19【答案】 D 【解析】双曲线221x ya -=的渐近线方程为y =3=，所以19a =. 3.已知i 是虚数单位，复数z 满足(3)(12)10z i i -+=，则z =（ ） A. 2i + B. 2i - C. 12i + D. 12i -A 【解析】由(3)(12)10z i i -+=得2z i =-，所以2z i =+.4.已知函数13()log 3x f x x -=+，且(1)10f x -≤，则实数x 的取值范围是（ ） A. (0,4)(4,)+∞B. (0,4]C. (4,)+∞D. (1,4] 【答案】 D 【解析】由函数解析式易知13()log 3x f x x -=+在(0,)+∞上为增函数，且(1)10(3)f x f -≤=，所以原不等式等价于13x -≤，解得4x ≤，再结合10x ->得14x <≤.5.“直线340x my ++=与直线(1)220m x y ++-=平行”是“3m =-”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】由32(1)0m m ⨯-+=得3m =-或2m =，经检验3m =-或2m =时，直线340x my ++=与直线(1)220m x y ++-=平行.6.函数2(32)xy x x e =+的图像大致是（ ）A.B.C.D.【答案】 A 【解析】由()f x 的解析式知只有两个零点23x =-与0x =，排除B ；又2()(382)x f x x x e '=++，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选A.7.已知函数()sin 2f x x x m =-在[0,]2π上有两个不同的零点，则m 的取值范围为（ ）A. )2,3[-B. )3,3[-C. )2,3[D. )2,0[ 【答案】 C 【解析】()2sin(2)3f x x m π=+-，由图知()f x 在[0,]12π上单调递增，在(,]122ππ上单调递减，又(0)f =()212f π=，()f x 在[0,]2π上有两个零点，故m ∈.8.设a 为正数，322()6f x x ax a =-+-，若()f x 在区间(0,3)a 不大于0，则a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]27 B. 1(0,)27C. 1()27+∞， D. 1[)27+∞， 【答案】 A 【解析】当(0,3)x a ∈时，2()3123(4)0f x x ax x x a '=-+=-->，∴()f x 在(0,3)a 上单调递增.因此2(3)(271)0f a a a =-≤，解得1027a <≤. 9.1e ，2e 均为单位向量，且它们的夹角为45，设a ，b 满足22||4a e +=，12()b e ke k R =+∈，则||a b -的最小值为（ ）A.B.C.4D.4【答案】 C 【解析】12()OB b e ke k R ==+∈表示点B 在与2e 平行的水平线l 上运动，22a e +=表示点A在以C （点C 在2e 所在直线的反向延长线上，且1OC =4为半径的圆上运动，过圆心C 作直线CB l ⊥，交圆C 于点D ，min244a bBD -==-=，即a b -的最小值为4. 10.设实数b ，c ，d 成等差数列，且它们的和为9，如果实数a ，b ，c 成等比数列，则a b c ++的取值范围为（ ） A. 9(,)4+∞ B. 9(,)4-∞ C. 9[,3)(3,)4+∞ D. 9(,3)(3,)4-∞--【答案】 C 【解析】设这4个数为2(3)3m -，3m -，3，3m +，且a b c k ++=，于是2(3)333m m k -+-+=，整理得292730m m k -+-=，由题意上述方程有实数解且3m ≠.如3m =，则3k =，而当3k =时，3m =或6m =，当6m =时，3a =，3b =-，3c =，此时，其公比为1-，不满足条件，所以3k ≠，又814(273)12270k k ∆=--=-≥，综上得94k ≥且3k ≠. 二、填空题11.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中(2,0)A -，(2,0)B ，则满足||2||PA PB =的点P 的轨迹的圆心为 ，面积为 .【答案】10(,0)3 649π 【解析】设(,)P x y ，由2PA PB =得221064()39x y -+=. 12.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 ，表面积是 .【答案】3π122++【解析】该几何体为圆锥的一半，且底面向上放置.所以表面积由底面半圆，侧面的一半，和轴截面的面积组成.所以其体积为12323ππ⨯⨯=，表面积为1232S S S S =++=+，其中21122S r ππ==，212S rl π==，312222S =⨯⨯=.13.210(1)x x -+展开式中所有项系数和为 ，其中3x 项的系数为 . 【答案】1210-【解析】令1x =即得各项系数和，若要凑成3x 有以下几种可能：（1）1个2x ，1个()x -，8个1；所得项为：1218831098()190C x C x C x ⋅-⋅=-；（2）3个()x -，7个1，所得项为：33773107()1120C x C x -⋅=-，所以3x 项的系数为210-.14.已知a ，b 为实数，不等式22|||712|x ax b x x ++≤-+对一切实数x 都成立， 则a b += . 【答案】5【解析】因为2712(3)(4)x x x x -+=--，所以，在22712x ax b x x ++≤-+中，令3x =与4x =得390a b ++=且4160a b ++=，解得7a =-，12b =，所以5a b +=.15.已知函数()sin 2(0)f x x x x =->，则函数()f x 的最小的极值点为 ；若将()f x 的极值点从小到大排列形成的数列记为{}n a ，则数列{}n a 的通项公式为 . 【答案】6π*31,26,32,216n n n k a k N n n k ππ-⎧=⎪⎪=∈⎨-⎪=-⎪⎩或21(1)412n n n a ππ--=+【解析】()112cos 20cos 22f x x x '=-=⇒=，所以6x k ππ=+或,6x k k Z ππ=-+∈.显然数列{}n a 的16a π=，256a π=，于是当n 为偶数时，531(1)626n n n a πππ-=+-⋅=，当n 为奇数时，1132(1)626n n n a πππ+-=+-⋅=． 16.甲、乙、丙3人同时参加5个不同的游戏活动，每个游戏最多有2人可以参与（如果有2人参与同一个游戏，不区分2人在其中的角色），则甲、乙、丙3人参与游戏的不同方式总数是 . 【答案】120【解析】第一类，每一个游戏只有1人参与，有3560A =种参与方法；第二类，有一个游戏有2人参与，另一个游戏有1人参与，有123560C A ⋅=种参与方法，所以符合题意的参与方法共有120种．17.直线l 与椭圆C ：2212x y +=相交于A ，B 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C ，D 两点，如果C ，D 是线段AB 的两个三等分点，则直线l 的斜率为 . 【答案】2±【解析】由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则 (,0)mC k-，(0,)D m ，由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=，所以 2216880k m ∆=-+>，由韦达定理，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+.由C ，D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合.所以 1224120km x x k m k -+==+-，解得 2k =±. 三、解答题18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =且cos cos c A b C b +=. （1）判断ABC ∆的形状； （2）若6C π=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）直角三角形或等腰三角形（2）2【解析】（1）因为cos cos c A b C b +=，由正弦定理，得sin cos sin (1cos )C A B C =-， 即sin sin cos sin cos sin()sin cos cos sin B C A B C A C A C A C =+=+=+， 所以sin cos sin cos B C A C =，故cos 0C =或sin sin A B =. 当cos 0C =时，2C π=，故ABC ∆为直角三角形；当sin sin A B =时，A B =，故ABC ∆为等腰三角形． （2）由（1）知2c =，A B =，则a b =，因为6C π=，所以由余弦定理，得22242cos6a a a π=+-，解得28a =+，所以ABC ∆的面积21sin 226S a π==+19.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，且侧面PAD ⊥平面PBC ，侧面PAD 平面PBC l =，PDC ∆为正三角形，2CD =.（1）求证：//l BC ；（2）求直线AB 与平面PAD 所成的角的正切值.【答案】 （1）略（2【解析】（1）因为//BC AD ，所以//BC 平面PAD ； 又因为BC ⊂平面PBC 且平面PAD 平面PBC l =，由线面平行的性质定理知//l BC .（2）过P 作PF BC ⊥交BC 于F ，所以PF l ⊥.因为侧面PAD ⊥平面PBC ，侧面PAD平面PBC l =，所以PF ⊥平面PAD ，过F 作//EF AB 交AD 于F ，连接PE ，所以FEP ∠即为直线AB 与平面PAD 所成角.又因为222222DF DP DF DC PF CF -=-⇔=，所以PF Rt EPF ∆中，sin PEF ∠=.20.数列{}n a 满足12a =，111(21)2(2)()n n n n n n a a a a n N +*+++=-∈. （1）求2a ，3a 的值；（2）如果数列{}n b 满足2n n n a b ⋅=，求数列{}n b 的通项公式n b . 【答案】 （1）285a =，3165a =（2）212n n b +=【解析】（1）由已知得112()()22n nn nn a a n N n a +*+=∈++，因为12a =， 所以1112112815(1)22a a a +==++．21232221615(2)22a a a +==++. （2）因为2nn n a b ⋅=，且由已知可得1112()22n nn n n a a n a ++=++，把2n n n b a =代入得即112n n b b n +-=+，所以213211111,2,,(1)222n n b b b b b b n --=+-=+-=-+， 累加得211(1)11123(1)2222n n n n n n b b n -----=++++-+=+=，又112212b a ===，因此2211122n n n b -+=+=． 21.已知抛物线1C 的方程为22x y =，其焦点为F ，AB 为过焦点F 的抛物线1C 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于P .（1）求PA PB ⋅的值；（2）如果圆2C 的方程为228x y +=，且点P 在圆2C 内部，设直线AB 与2C 相交于C ，D 两点，求||||AB CD ⋅的最小值 【答案】 （1）0 （2） 【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为1(0,)2F ，所以设AB 的方程为12y kx =+，代入抛物线方程得2210x kx --=，所以1x ，2x 为方程的解，从而121x x =-，又因为1211()2PA x x k x x ='== ，2221()2PB x x k x x ='==，因此121PA PB k k x x ⋅==-，即PA PB ⊥，所以0PA PB ⋅=． （2）由（1）知121x x =-，联立1C 在点A ，B 处的切线方程分别为21112y x x x =-，22212y x x x =-，得到交点121(,)22x x P +- ． 由点P 在圆内得212()31x x +<，又因为221212111(2)2AB y y x x =+++=++，CD =d 为O 到直线AB 的距离．所以22121(2)2AB CD x x ⋅=++⋅又AB 的方程为1211()022x x y +-+=，所以1d =，令2212m x x =+，由212()31x x +<得33m <．又由212112m x x =+≥，所以[2,33)m ∈，从而AB CD ⋅ 所以，当2m =时，min ()AB CD ⋅= 22.已知函数2()ln f x x ax x =-+-. （1）判断()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，求这些极值的和的取值范围. 【答案】 （1）略（2）(3ln 2,)++∞ 【解析】（1）因为2()ln f x x ax x =-+-，所以221()x ax f x x-+'=-，令2()21g x x ax =-+．280a ∆=-≤，即a -≤()0g x ≥恒成立，此时()0f x '≤，所以函数()f x 在(0,)+∞上为减函数；280a ∆=->，即a <-a >2()210g x x ax =-+=有不相等的两根，设为1x ，2x 12()x x <，则1x =，2x =．当1(0,)x x ∈或2(,)x x ∈+∞时，()0g x >，此时()0f x '<，所以函数()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上为减函数；当12(,)x x x ∈时，()0g x <，此时()0f x '>，所以函数()f x 在12(,)x x 上为增函数．（2）对函数()f x 求导得221()x ax f x x-+'=-. 因为()f x 存在极值，所以221()0x ax f x x-+'=-=在(0,)+∞上有解，即方程2210x ax -+=在(0,)+∞上有解，即280a ∆=-≥.显然当0∆=时，()f x 无极值，不合题意，所以方程2210x ax -+=必有两个不等正根.设方程2210x ax -+=的两个不等正根分别为1x ，2x ，则12121022x x a x x ⎧=>⎪⎪⎨⎪⎪⎩+=，由题意知2212121212()()()()(ln ln )f x f x a x x x x x x +=+-+-+22211ln 1ln 22424a a a =-+-=++，由28a >得121()()21ln 3ln 22f x f x +>+-=+，即这些极值的和的取值范围为(3ln 2,)++∞．。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
2019-2020学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|2x <1}，B ={x|x 2<3}，则A ∩B =( )A. {x|−√3<x <12}B. {x|x <√3}C. {x|−3<x <12}D. {x|x <3} 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是( )A. y =1xB. y =e −xC. y =−x 2+1D.3. 已知log 12x >0，那么x 的取值范围是( )． A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1)D. (−∞,1) 4. 函数f(x)=3x +2x −7的零点所在区间为( ) A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3) 5. 若2x 2+1≤(14)x−2，则函数y =2x 的值域是( ) A. [18,2)B. [18,2]C. (−∞,18]D. [2,+∞) 6. 函数f(x)=2x 1−x 2的图象大致是( )A. B.C. D.7. lg(−1100)2=( ) A. −4B. 4C. 10D. −10 8. 已知函数f(x)=log a [(a +1)x 2−x −7]在[2,3]上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (54,+∞)B. (19,1)∪(54,+∞)C. (2,+∞)D. (12,1)∪[2，+∞) 9. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=3−2x ，则不等式f(x)>0的解集为 A. (−32,32) B. (−∞,−32)⋃(0,32)C. (−∞,−32)⋃(32,+∞)D. (−32,0)⋃(32,+∞) 10. 二次函数f(x)=ax 2+bx +1的最小值为f(1)=0，则a −b =( )A. −2B. −1C. 1D. 3二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.集合M={y|y=x2−1,x∈R}，集合N={x|y=√3−x2}，则(∁R M)∩N=______．)=__________．12.已知幂函数的图象过点(2,√2)，则f(1413.已知函数f(x)满足f(x−1)=x2−x+1，则f(2)=__________．14.计算：log832−7log73=________．15.已知函数f(x)=1+log a(2x−3)(a>0且a≠0)恒过定点(m,n)，则m+n=______．16.已知f(x)=|x2−1|+x2+kx在(0,2)上有两个零点，则实数k的取值范围是______．17.已知f(x+7)是定义在R上的奇函数，当x<7时，f(x)=−x2，则当x>7时，f(x)=__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）<0}，U=R．18.已知集合A={x|x2−2x−8≤0}，B={x|x−6x+1(1)求A∪B；(2)求(∁U A)∩B；(3)如果非空集合C={x|m−1<x<2m+1}，且A∩C=⌀，求m的取值范围．19.某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资成正比，其关系如图1，乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资的单位：万元)．(Ⅰ)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(Ⅱ)该企业筹集了100万元资金投入生产甲、乙两种产品，问：怎样分配这100万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？(a>0)在(0,+∞)上的单调性，并给出证明．20.判断函数f(x)=x+ax21.已知函数g(x)=4x−a是奇函数，f(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数．2x(1)求a+b的值．(2)若对任意的t∈[0,+∞)，不等式g(t2−2t)+g(2t2−k)>0恒成立，求实数k的取值范围．22.设函数f(x)的定义域为I，对于区间D⊆I，若∃x1，x2∈D(x1<x2)满足f(x1)+f(x2)=1，则称区间D为函数f(x)的V区间．+lgx的V区间；(1)证明：区间(0,2)是函数f(x)=12)x的V区间，求实数a的取值范围；(2)若区间[0,a](a>0)是函数f(x)=(12(3)已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)在区间[0,+∞)上的图象连续不断，且在[0,+∞)上仅有2个零点，e x证明：区间[π,+∞)不是函数f(x)的V区间．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于简单题．根据交集的定义求解．【解答】}，B={x|−√3<x<√3}，解：集合A={x|x<12}，则A∩B={x|−√3<x<12故选A．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，属于中档题．根据偶函数的定义判断各个选项中的函数是否为偶函数，再看函数是否在区间(0,+∞)上单调递减，从而得出结论．【解答】为奇函数；解：y=1xy=e−x为非奇非偶函数；y=−x2+1符合条件，y=lg|x|在定义域(0,+∞)上为增函数．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的性质，属基础题．依题意，根据对数函数的性质求解即可．【解答】解：因为，根据对数函数的性质得0<x<1，故选C．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数零点存在性定理，属于基础题．由f(1)<0，f(2)>0，结合零点存在性定理可得．【解答】解：∵函数f(x)=3x+2x−7，∴f(1)=3+2−7<0，f(2)=9+4−7>0，满足f(2)×f(1)<0，又因为f(x)是递增的连续函数，∴f(x)的零点在区间(1,2)内，故选C．5.答案：B)x−2，解析：解：∵2x2+1≤(14∴2x2+1≤2−2x+4，∴x2+1≤−2x+4，解得−3≤x≤1，,2]，∴函数y=2x的值域为：[2−3,2]即[18故选B．)x−2，求出x的取值范围，再根据x的取值范围求出指数函数y=2x的值域即先由不等式2x2+1≤(14可得出答案．本题考查了函数的值域，属于基础题，关键是先由指数不等式正确求出函数x的取值范围．6.答案：A解析：【分析】本题考查函数图象的应用，难度较易．可采用特殊值代入排除得答案．解：取x =12，f(12)=11−14=43，排除D ，x =5时，f(x)<0，排除B ，C ．故选A ．7.答案：A解析：解：lg(−1100)2=lg10−4=−4．故选：A ．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的性质，不等式的求解，属于中档题．先考虑函数t(x)=(a +1)x 2−x −7，在[2,3]上是增函数，再利用复合函数的单调性得出{a >1(a +1)22−2−7>0求解即可． 【解答】解：设函数t(x)=(a +1)x 2−x −7，∵a >0，∴x 0=12(a+1)<2，∴t(x)=(a +1)x 2−x −7，在[2,3]上是增函数，∵函数f(x)=log a [(a +1)x 2−x −7]在[2,3]上是增函数，∴{a >1(a +1)22−2−7>0a >54， 故选：A 9.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性．作出f(x)的图象，由图可得不等式f(x)>0的解集．解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以它的图象关于原点对称，且f(0)=0，作出函数图象如图所示，从图象知不等式f(x)>0的解集为．故选B．10.答案：D解析：解：二次函数f(x)=ax2+bx+1的最小值为f(1)=0，=1，且a>0，∴b−2a∴b=−2a，∴f(1)=a+b+1=0，解得a=1，b=−2，∴a−b=3，故选：D根据二次函数的性质即可求出a，b的值，问题得以解决．本题考查了二次函数的性质，属于基础题．11.答案：[−√3,−1)解析：解：M={y|y=x2−1,x∈R}={y|y≥−1}，故∁R M={y|y<−1}，集合N={x|y=√3−x2}={x|−√3≤x≤√3}，则(∁R M)∩N=[−√3,−1)，故答案为：[−√3,−1)．求出M的补集，从而求出其和N的交集即可．本题考查了集合的运算，考查补集，交集的定义，考查二次函数、二次根式的性质，是一道基础题． 12.答案：12解析：【分析】本题考查幂函数，设幂函数的解析式，根据幂函数的图象过点(2,√2)，求出解析式，然后将14代入求解即可．【解答】解：设幂函数为f(x)=x α，因为图象过点(2,√2)，所以√2=2a ，解得α=12，所以f(x)=x 12，则f(14)=(14)12=12． 故答案为12． 13.答案：7解析：∵f(x −1)=x 2−x +1，∴令x −1=2，解得x =3，∴f(2)=32−3+1=7.故答案为：7． 14.答案：−43解析：【分析】此题重点考查了对数的运算性质和对数恒等式，是一个基础题，难度不大．【解答】解：由对数的运算法则有：log 832−7log 73=log 2325−7log 73=53−3=−43，故答案为−43． 15.答案：3解析：【分析】本题主要考查函数的图象经过定点问题，对数函数的图象过定点问题，属于基础题．由条件利用log a 1+1=1为定值，求出n 的值，可得2x −3=1，求得m 的值，从而求得m +n 的值．【解答】解：令2x −3=1，解得：x =2，故f(2)=1+0=1，故m =2，n =1，故m +n =3，故答案为：3．16.答案：(−72,−1)解析：【分析】本题考查函数零点的转化问题，带绝对值的函数化简，考查数形结合思想，构造函数与转化问题的能力，综合性强．由题意设g(x)=|x 2−1|+x 2，ℎ(x)=−kx ，由x 的范围化简g(x)，在同一个直角坐标系中画出函数g(x)和ℎ(x)的图象，由图求出两个函数图象有两个交点时，实数k 的取值范围即可．【解答】解：由题意设g(x)=|x 2−1|+x 2，ℎ(x)=−kx ，则g(x)=|x 2−1|+x 2={1,0<x ≤12x 2−1,1<x <2, 在同一个直角坐标系中画出函数g(x)和ℎ(x)的图象如图，当直线ℎ(x)处在两条虚线之间时，函数g(x)和ℎ(x)的图象由两个交点， 把点(2,7)和(1,1)代入求出k =−72、k =−1，所以f(x)=|x 2−1|+x 2+kx 在(0,2)上有两个零点时，实数k 的取值范围是(−72,−1)，故答案为：(−72,−1)． 17.答案：−(x −14)2解析：【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x +7)是定义在R 上的奇函数，∴f(x +7)=−f(−x +7)，∴f(x)=−f(−x +14)， ∴当x >7时，−x +14<7，故f(x)=−f(−x +14)=−(−x +14)2=−(x −14)2， 故答案为−(x −14)2．18.答案：解：(1)集合A={x|x2−2x−8≤0}={x|−2≤x≤4}，<0}={x|−1<x<6}；B={x|x−6x+1∴A∪B={x|−2≤x<6}；(2)全集U=R，∴∁U A={x|x<−2或x>4}，∴(∁U A)∩B={x|4<x<6}；(3)非空集合C={x|m−1<x<2m+1}，∴2m+1>m−1，解得m>−2；又A∩C=⌀，∴m−1≥4或2m+1≤−2，；解得m≥5或m≤−32∴m的取值范围是−2<m≤−3或m≥5.2解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．(1)化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B；(2)根据补集与交集的定义写出(∁U A)∩B；(3)根据非空集合C与A∩C=⌀，得关于m的不等式，求出解集即可．19.答案：解：(1)设投资x万元，利润y万元，则甲产品的利润与投资成正比，过(1.8,0.45)，故甲x；的函数关系式为y=14乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，设方程为y=k√x，因为过点(4,6)，所以k=3，故乙的函数关系式为y=3√x；(2)设应给乙投资x万元，则给甲投资(100−x)万元(100−x)+3√x(0≤x≤100)故y=14=0，∴x=36求导函数，y′=−142√x∴函数在(0,36)上，y′>0，函数单调增，(36,100)上，y′<0，函数单调减，∴x=36时，函数取得极大值，且为最大值，y max=34答：应投资36万元，最大利润34万元．解析：(1)根据甲产品的利润与投资成正比，过(1.8,0.45)，可得甲的函数关系式；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，过点(4,6)，可得乙的函数关系式；(2)设应给乙投资x万元，则给甲投资(100−x)万元，从而可得函数关系式，求导函数，确定函数的单调性，即可求得最大利润．本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数极值就是最值，属于中档题． 20.答案：解：结论：f(x)在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=(x 1+a x 1)−(x 2+a x 2)=x 1−x 2x 1x 2(x 1x 2−a )，当0<x 1<x 2≤√a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1−x 2<0，所以f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f(x)在(0,√a]上是减函数，当√a ≤x 1≤x 2时，x 1x 2>a ，又x 1−x 2<0，∴f (x 1)−f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f(x)在[√a,+∞)上是增函数，综上可知，函数f(x)在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．解析：本题考查函数的单调性和判断，考查运用定义证明单调性的方法，考查运算能力，属于基础题．运用单调性定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤．21.答案：解：(1)∵g(x)=4x −a 2x 是定义在R 上的奇函数， ∴由g(0)=0得1−a =0，得a =1， 则g(x)=4x −12x ，经检验g(x)是奇函数，由f(−1)=f(1)得lg(10−1+1)−b =lg(10+1)+b ，即2b =lg(1110×111)=lg(110)=−1，即b =−12，则f(x)=lg(10x +1)−12x ，经检验f(x)是偶函数∴a +b =12(2)∵g(x)=4x −12x =2x −12x ，且g(x)在(−∞,+∞)单调递增，且g(x)为奇函数．∴由g(t 2−2t)+g(2t 2−k)>0恒成立，得g(t 2−2t)>−g(2t 2−k)=g(−2t 2+k)，∴t 2−2t >−2t 2+k ，在t ∈[0,+∞)上恒成立即3t 2−2t >k ，在t ∈[0,+∞)上恒成立令F(x)=3t 2−2t ，在[0,+∞)的最小值为F(13)=−13∴k <−13∴k 的取值范围是(−∞,−13)．解析：(1)根据函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．(2)根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，根据条件建立方程求出a ，b 的值以及利用函数单调性之间的关系是解决本题的关键．22.答案：解：(1)设x 1，x 2∈(0,2)(x 1<x 2)，若f(x 1)+f(x 2)=1，则12+lg x 1+12+lg x 2=1，所以lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2=0，x 1x 2=1，取x 1=45，x 2=54，满足定义，所以区间(0,2)是函数f(x)=12+lg x 的V 区间；(2)因为区间[0,a]是函数f(x)=(12)x 的V 区间， 所以，x 2∈[0,a](x 1<x 2)使得(12)x 1+(12)x 2=1，因为f(x)=(12)x 在[0,a]上单调递减，所以(12)x 1>(12)a ，(12)x 2⩾(12)a ，(12)x 1+(12)x 2>2(12)a =(12)a−1，所以(12)a−1<1，a −1>0，a >1，故所求实数a 的取值范围为a >1；(3)因为f(π2)=1−ln(1+π2)e π2>0，f(π)=−ln(1+π)e π<0，所以f(x)在(π2,π)上存在零点，又因为f(0)=0，所以函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点，因为函数f(x)=sin x−ln (1+x)e x 在区间[0,+∞)上仅有2个零点，所以f(x)在[π,+∞)上不存在零点，又因为f(π)<0，所以所以∀x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1<x 2)，f(x 1)+f(x 2)<0， 即因此不存在∀x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1<x 2)满足f(x 1)+f(x 2)=1， 所以区间[π,+∞)不是函数f(x)的V 区间．解析：本题主要考查了函数单调性以及新定义，属于较难题．(1)根据题意设x 1，x 2∈(0,2)(x 1<x 2)，得到lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2=0，x 1x 2=1，即可得解；(2)根据题意得到，x 2∈[0,a](x 1<x 2)使得(12)x 1+(12)x 2=1，得到(12)a−1<1，a −1>0，a >1，即可得解；(3)根据题意得到f(x)在(π2,π)上存在零点，函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点，以f(x)在[π,+∞)上不存在零点，即可得解．。
浙江省杭州学军中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
浙江省杭州学军中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.2． 已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),31(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．3． 两个随机变量x ，y 的取值表为若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.65 4． 在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +5． 若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若,//m m n αγ=，则//αβC ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥6． 已知是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==-”是“2()2a bi i +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7． 设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6 8． 在ABC ∆中，22tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 9． 二项式(1)(N )nx n *+?的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．10．已知直线l的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）A ．4πα=B ．3πα=C ．34πα=D ．23πα=11．复平面内表示复数的点位于( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限12．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．13 B ．23C ．1D ．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单 位：小时）间的关系为0ektP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要___________小时.【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.14．当0,1x ∈（）时，函数()e 1xf x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．15．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 16．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1sin 3BAM ∠=，则AC 的长为_________. 三、解答题（本大共6小题，共70分。
2019届浙江省镇海中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)
【解析】先求出a1=﹣9d，再表示出求和公式，即可判断．
【详解】
设等差数列{an}的公差为d，∵2a1+3a3=S6，∴5a1+6d=6a1+15d，
化为：a1+9d=0，即a10=0，
给出下列结论：①a10=0，正确；
②S10=10a1+ =﹣45d，可能大于0，也可能小于0，因此不正确；
所以g（x）有极大值为 = ．
又x2＞0，所以f′（x）的极大值小于0．
所以函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数．
当x＞0时， = ．
令h（x）=2x3﹣1+lnx， ．
所以h（x）在（0，+∞）上为增函数，而h（1）=1＞0，h（ ）=﹣ ．
又x2＞0，所以函数f′（x）在（0，+∞）上有一个零点，则原函数有一个极值点．
设g（x）=f（x）﹣7x=x（x﹣2）2﹣7x+a（x＞1），
g′（x）=（3x+1）（x﹣3），
当1＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当x＞3时，g′（x）＞0，g（x）递增．
以O为原点，OB、OC、O 为x轴，y轴，z轴建立空间坐标系，
则
∴
∴ , ,
∴|的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，利用特殊点得到M的轨迹是解答该题的关键，是压轴题．
二、填空题
11．中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入_________________贯，第12月营收贯数为_________________.
浙江省杭州市2019版高一上学期数学期中考试试卷(I)卷
浙江省杭州市2019版高一上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2016高一上·南城期中) 若已知A∩{﹣1，0，1}={0，1}，且A∪{﹣2，0，2}={﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有________个．2. （1分）(2020·杨浦期末) 函数的定义域为________.3. （1分）若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）=________4. （1分） (2016高一上·黄浦期中) 已知函数f（x）= ，g（x）= ，则f（x）•g（x）=________．5. （1分） (2017高一上·泰安期中) 设U为全集，对集合X，Y，定义运算“⊕”，满足X⊕Y=（∁UX）∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，则X⊕（Y⊕Z）________．6. （1分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=________7. （1分）若不等式≤k（x+2）﹣的解集为区间[a，b]，且b﹣a=2，则k=________．8. （1分） (2016高一上·灌云期中) 已知函数f（x）=（）x ， g（x）=log x，记函数h（x）=，则不等式h（x）≥ 的解集为________．9. （1分）给出以下四个命题：①若则或；②若，则；③在△ 中，若，则；④在一元二次方程中，若，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号)10. （1分）用描述法表示表示不等式4x﹣5＜3的解集________．11. （1分）集合{﹣1，0，1}共有________个真子集．12. （1分）已知是全集，A、B是的两个子集，用交、并、补关系将下图中的阴影部分表示出来为________．13. （1分） (2016高一上·蚌埠期中) 设集合A={x|﹣3≤x≤2}，B={x|2k﹣1≤x≤2k+1}，且A⊇B，则实数k的取值范围是________14. （1分） (2016高一上·浦东期中) 若x＞1，x+ ﹣2取到的最小值是________．二、选择题 (共5题；共10分)15. （2分） (2016高二上·武邑期中) 正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③AH= ；④点H到平面A1B1C1D1的距离为．其中真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 416. （2分） (2016高一上·大同期中) 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A . y=1，y=x0B . y=lgx2 ， y=2lgxC .D .17. （2分）(2017·泸州模拟) 函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）A .B .C .D .18. （2分） (2018高一下·齐齐哈尔期末) 若等边的边长为，为的中点，且上一点满足：，则当取得最小值时，（）A .B .C .D .19. （2分）已知，则是成立的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件三、解答题 (共5题；共45分)20. （5分） (2018高一上·长春月考) 设集合，，，求 .21. （10分） (2016高一上·蚌埠期中) 已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．22. （5分）已知全集U=R，集合A={x|x+1≥1且x﹣3≤0}，B={x|a≤x≤a+2，a∈R}．（1）当a=1时，求A∩B；（2）当集合A，B满足B⊆A时，求实数a取值范围．23. （10分） (2016高一上·辽宁期中) 某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P（x）=2 （其中t为关税的税率，且t∈[0， ]，x为市场价格，b，k为正常数），当t= 时，市场供应量曲线如图所示：（1）根据函数图象求k，b的值；（2）若市场需求量Q，它近似满足Q（x）=2 ．当P=Q时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．24. （15分） (2016高三上·巨野期中) 已知函数f（x）=kx，（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（3）求证：．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、选择题 (共5题；共10分)15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共5题；共45分) 20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、。
2018-2019学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.直线x+y+1=0与直线x+y−1=0之间的距离是()A. √2B. √22C. 1 D. 12【答案】A【解析】解：直线x+y+1=0与直线x+y−1=0之间的距离是d=|1−(−1)|√12+12=√2．故选：A．根据两条平行直线间的距离公式计算即可．本题考查了求两条平行线间的距离应用问题，是基础题．2.若a<b<0下列不等式中不成立的是的是()A. |a|>|b|B. 1a−b >1aC. 1a>1bD. a2>b2【答案】B【解析】解：∵a<b<0，∴a<a−b<0，∴1a−b <1a．因此B不正确．故选：B．由a<b<0，可得a<a−b<0，可得1a−b <1a.即可判断出．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3.不等式2x−3x−1≤1的解集为()A. (−∞,2]B. [1,+∞)C. (1,2]D. [1,2]【答案】C【解析】解：根据题意，2x−3x−1≤1⇒x−2x−1≤0⇒(x−1)(x−2)≤0且x−1≠0，解可得：1<x≤2，即不等式的解集为(1,2]；故选：C．根据题意，2x−3x−1≤1⇒x−2x−1≤0⇒(x−1)(x−2)≤0且x−1≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查分时不等式的解法，注意将分时不等式变形为整式不等式，属于基础题．4.已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，a32=a5，则该数列的前5项的和为()A. 20B. 24C. 31D. 32【答案】C 【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+2a1=4，a32=a5，∴a1(q+2)=4，(a1q2)2=a1q4，联立解得a1=1，q=2．∴该数列的前5项的和=25−12−1=31．故选：C．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设x，y满足{2x+y≥4x−y≥−1x−2y≤2，则z=x+y()A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】解析：如图作出不等式组表示{2x+y≥4x−y≥−1x−2y≤2的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点(2,0)时，z有最小值，但z没有最大值．故选：B．本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件{2x+y=4x−y≥−1x−2y≤2对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案．6.已知两条异面直线，以及空间给定一点，则()A. 必存在经过该点的平面与两异面直线都垂直B. 必存在经过该点的平面与两异面直线都平行C. 必存在经过该点的直线与两异面直线都垂直D. 必存在经过该点的直线与两异面直线都相交【答案】C【解析】解：在A中，如果两条异面直线都垂直于同一平面，则这两条异面直线平行，与已知矛盾，故A 错误；在B中，若该点在这两条异面直线其中一条上，经过该点无法作一平面与两异面直线都平行，故错误；在C中，经过空间一点作与两条异面的公垂线段平行的直线，与两条异面直线都垂直，而且这样的直线有且只有一条，故C正确；在D中，若该点不在两条异面直线的公垂直线段长，则经过该点与两异面直线都相交的直线不存在，故D 错误．故选：C．利用平行公理能判断A的正误；在B中，若该点在这两条异面直线其中一条上，不成立；利用两异面直线的公垂线性质能判断C的正误；在D中，若该点不在两条异面直线的公垂直线段长，不成立．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．7.已知正四面体的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b，若它们的体积相等，则a3：b3的值为()A. 3π：√3B. √3：3πC. √3：2πD. 3π：√2【答案】D【解析】解：正四面体的体积V1=13×√34a2×√a2−(23×√32a)2=√212a3．圆柱的体积V2═π×(b2)2×b=π4b3．它们的体积相等，√212a3=π4b3．∴a3：b3=3π：√2．故选：D．分别求出正四面体和圆柱的体积，根据体积相等列出方程得出比值．本题考查了空间几何体的体积公式，属于基本知识的考查．8.圆心在曲线y=2x(x>0)上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为()A. (x−1)2+(y−2)2=5B. (x−2)2+(y−1)2=5C. (x−1)2+(y−2)2=25D. (x−2)2+(y−1)2=25【答案】A【解析】解：设圆心为(a,2a) (a>0)，则r=|2a+2a+1|√5≥|2√2a⋅2a+1|√5=√5，当且仅当a=1时等号成立．当r最小时，圆的面积S=πr2最小，此时圆的方程为(x−1)2+(y−2)2=5；故选：A．设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项．本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力．9.三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC，∠BAC=90∘，AB=AC，则下列异面直线所成角最大的是()A. PA与BCB. PB与ACC. PC与ABD. 无法确定【答案】A【解析】解：如图，∵PA=PB=PC，∴顶点P在底面的射影为底面三角形的外心，设为O，∵∠BAC=90∘，AB=AC，∴O为BC的中点，则AO⊥BC，又PO⊥BC，可得BC⊥平面PAO，则PA⊥BC，∴PA与BC所成角为90∘；假设PB⊥AC，∵PO⊥AC，∴AC⊥平面PBC，则AC⊥BC，与∠BAC为90∘矛盾；同理PC与AB所成角小于90∘．故PA与BC所成角为最大角，等于90∘．故选：A．由已知画出图形，证明PA与BC所成角为90∘，再由反证法说明B，C错误，则答案可求．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用反证法证明数学问题，是中档题．10.Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=1，BC=√3，P为△ABC所在平面内一点，PA⊥PC，M为PC中点，则MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为()A. 15+6√38B. 14+7√36C. 22+3√57D. 7+2√74【答案】D【解析】解：以B为坐标原点，建立如图所示的坐标系：∵AB=1，BC=√3，故A(−1,0)，C(0,√3)，AC=2，若P为△ABC所在平面内一点，PA⊥PC，则P落中以AC中直径的圆上，设PC 的中点M(x,y)，则P 点坐标为(2x,2y −√3)，由P 点所在圆的圆心坐标为(−12,√32)，半径为1，故2x =−12+cosθ，2y −√3=√32+sinθ，(θ为参数)，故x =−14+12cosθ，y =3√34+12sinθ，(θ为参数)，即M 点的坐标为(−14+12cosθ,3√34+12sinθ)，故MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−34−12cosθ,−3√34−12sinθ)， MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(14−12cosθ,−3√34−12sinθ)，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =74+2√74sin(θ+φ)，其中tanφ=√39， 故MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为7+2√74故选：D ．以B 为坐标原点，建立坐标系：先求出M 点的坐标为(−14+12cosθ,3√34+12sinθ)，再求出两个向量的坐标，代入数量积公式，结合辅助角公式，进而可得答案．本题考查的知识点是与向量有关的最值问题，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．二、填空题（本大题共6小题，共28.0分）11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______；表面积为______．【答案】2π 8+5π【解析】解：由题意，几何体为底面直径为2，高为2的半圆柱体， 所以几何体的体积是12×π×12×4=2π，表面积为：π×12+2×4+π×4=8+5π． 故答案为：2π；8+5π．由题意，几何体为底面直径为2，高为2的半圆柱体，即可求出几何体的体积以及表面积．本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．12. 已知圆C ：x 2+y 2−2ax −2y +a 2−3=0的圆心在直线1：x +y −3=0上，则a =______；此时圆C 的标准方程为______．【答案】2 (x −2)2+(y −1)2=4【解析】解：∵x 2+y 2−2ax −2y +a 2−3=0， ∴(x −a)2+(y −1)2=4， 故圆心是(a,1)，半径是2，将(a,1)代入直线l 得：a +1−3=0，解得：a =2， 故圆的方程是：(x −2)2+(y −1)2=4， 故答案为：2，(x −2)2+(y −1)2=4．求出圆的标准方程，求出圆心的坐标，代入直线方程求出a 的值，从而求出圆的方程即可． 本题考查了圆的标准方程，考查转化思想，是一道常规题．13. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5S 3=3，则a5a 3=______．【答案】179【解析】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则S n =na 1+n(n−1)d2，由S 5S 3=3，得5a 1+10d3a 1+3d =3，即d =4a 1， ∴a 5a 3=a 1+4d a 1+2d=17a 19a 1=179．故答案为：179．设出等差数列的首项，由S 5S 3=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得a 5a 3．本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，是基础的计算题．14. 已知正数a ，b ，c 满足3a −b +2c =0，则√acb 的最大值为______．【答案】√612【解析】解：根据题意，设t =√acb，由3a −b +2c =0可得3a +2c =b ，则t =√ac b=√ac 3a+2c=13√a c+2√c a≤12√3√a c⋅2√c a=12√6=√612；当且仅当3a =2c 时“=”成立， 则t ≤√612，即√acb的最大值为√612；故答案为：√612．消去b ，结合基本不等式的性质求出最大值，即可得答案．本题考查基本不等式的运用，关键将3a −b +2c =0变形为3a +2c =b ，本题是一道中档题．15. 在区间(−∞,t]上存在x ，使得不等式x 2−4x +t ≤0成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】[0,4]【解析】解：∵不等式x 2−4x +t ≤0成立， ∴△=(−4)2−4t ≥0， 解得t ≤4①；又x ∈(−∞,t]，不等式x 2−4x +t ≤0成立， ∴x ≤t ≤4x −x 2， 即x ≤4x −x 2， 解得0≤x ≤3， ∴t ≥0②；综上，实数t 的取值范围是[0,4]． 故答案为：[0,4]．根据不等式x 2−4x +t ≤0成立，△≥0求出t ≤4①；再根据x ∈(−∞,t]，不等式x 2−4x +t ≤0成立，得x ≤t ≤4x −x 2，求出0≤x ≤3，得t ≥0②；由此求出t 的取值范围．本题考查了不等式的应用问题，也考查了等价转化思想的应用问题，是基础题目．16. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AB =AC =3√2，F 为线段BC 上的点，CF =2，E 为线段AB 上的点，现将四边形AEFC 沿EF 折起，使点A 在平面BEF 上的射影Q 在直线BF 上，且二面角A −EF −B 的大小为60∘，则此时线段AE 的长度为______．【答案】53√2【解析】解：如图所示，在△ABC 中，作AM ⊥EF 交BC 于点Q ，M 点为垂足． ∵点A 在平面BEF 上的射影Q 在直线BF 上，且二面角A −EF −B 的大小为60∘，在折叠图中，∠AMQ 为二面角A −EF −B 的平面角，大小为60∘．∴AM =2MQ ．在△ABC 中，BC 边所在直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.O 点为坐标原点.BC =3√2×√2=6．则O(0,0)，F(1,0)，A(0,3)，B(−3,0)． 设Q(t,0)，∵QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0)+13(−t,3)=(23t,1)． ∵AQ ⊥MF ，∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,−3)⋅(23t −1,3)=t(23t −1)−9=0． 化为：2t 2−3t −9=0，t <0．解得t =−32.∴M(−1,1)．直线EF 的方程为：y =1−1−1(x −1)，化为：x +2y −1=0． 直线AB 的方程为：−x +y =3．联立为：{x +2y −1=0−x+y=3，解得x =−53，y =43．∴E(−53,43).∴AE =√(−53)2+(43−3)2=53√2． 故答案为：53√2．如图所示，在△ABC 中，作AM ⊥EF 交BC 于点Q ，M 点为垂足.根据点A 在平面BEF 上的射影Q 在直线BF 上，且二面角A −EF −B 的大小为60∘，在折叠图中，∠AMQ 为二面角A −EF −B 的平面角，大小为60∘.可得AM =2MQ.在△ABC 中，BC 边所在直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.O 点为坐标原点.BC =6.设Q(t,0)，利用QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⊥MF ，可得AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得M 点坐标.联立直线EF 的方程与直线AB 的方程可得E 点坐标.即可得出AE ．本题考查了空间角、相互垂直的直线与数量积之间的关系、平面向量坐标运算性质、两点之间的距离公式、直线交点，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共72.0分）17. 已知圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −4)2+(y −4)2=R 2(R >0)．(Ⅰ)R 为何值时，圆C 1与圆C 2外切；(Ⅱ)在(1)的条件下，设切点为P ，过P 作直线l 与圆C 1相交于E 点，若|PE|=√2，求直线l 的方程． 【答案】解：(Ⅰ)由已知圆的方程可得：C 1(0,0)，C 2(4,4)，则|C 1C 2|=4√2=R +1． ∴R =4√2−1；(Ⅱ)∵C 1(0，0)，C 2(4,4)，∴P 为直线C 1 C 2与圆 C 2的交点(第一象限)． 联立{x 2+y 2=1y=x，得P(√22,√22).当直线斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， ∴l ：kx −y +√22(1−k)=0，则圆心C 1到直线l 的距离d =√12−(√22)2=|−√22k+√22|√1+k2，解得：k =0，此时直线方程为y =√22．当直线斜率不存在时，直线方程为x =√22也满足条件．【解析】(Ⅰ)由两圆圆心距与半径的关系列式求得R 值；(Ⅱ)联立直线方程与圆的方程，求出P 的坐标，然后分类求解得答案．本题考查圆与圆位置关系的判定，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．18. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中.(I)证明：AC 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)求直线CC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值．【答案】(本题满分14分)证明：(Ⅰ)连结AC交BD于点O，∵OC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴OC1⊥BD，又∵AC⊥BD，AC与BD交于点O，∴BD⊥平面ACC1，………………………………(3分)而AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD，……………(4分)同理可证AC1⊥A1B，∵A1B∩BD=B，……(6分)∴AC1⊥平面A1BD．解：(Ⅱ)∵AA1//CC1，故直线CC1与平面A1BD所成角即为直线AA1与平面A1BD所成角，…………(9分)由(1)知AC1⊥平面A1BD，设AC1与平面A1BD的交点为H，由题意知，点H在直线A1Q上，∴直线AA1在平面A1BD上的射影即为直线A1Q，…………………………………(10分)故∠AA1Q即为直线AA1与平面A1BD所成角，………………………………………(11分)设正方体棱长为1，则在Rt△AA1O中，AA1=1,AO=√22,A1O=√62，………………………………(13分)∴直线CC1与平面A1BD所成角的正弦值sin∠AA1O=√33.……………………………(14分)【解析】(Ⅰ)连结AC交BD于点O，推导出OC1⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面ACC1，进而AC1⊥BD，同理AC1⊥A1B，由此能证明AC1⊥平面A1BD．(Ⅱ)由AA1//CC1，得直线CC1与平面A1BD所成角即为直线AA1与平面A1BD所成角，由此能求出直线CC1与平面A1BD所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a n+n2−1(n∈N∗)．(Ⅰ)求a1及{a n}的通项公式；(Ⅱ)记b n=3n−1a n，求{b n}的前n项和T n．【答案】解：(Ⅰ)当n=2时，S2=a1+a2=a2+3，即a1=3，n≥2时，S n=a n+n2−1，S n−1=a n−1+(n−1)2−1，两式相减得a n=a n−a n−1+2n−1，即a n−1=2n−1，综上数列{a n}的通项公式a n=2n+1，n∈N∗；(Ⅱ)b n=3n−1a n=(2n+1)⋅3n−1，前n项和T n=3⋅30+5⋅31+7⋅32+⋯+(2n+1)⋅3n−1，3T n=3⋅3+5⋅32+7⋅33+⋯+(2n+1)⋅3n，两式相减得−2T n=3+2(3+32+⋯+3n−1)−(2n+1)⋅3n=3+2⋅3(1−3n−1)1−3−(2n+1)⋅3n，化简可得T n=n⋅3n．【解析】(Ⅰ)令n=1可得首项；将n换为n−1，两式相减可得所求数列的通项公式；(Ⅱ)求得b n=3n−1a n=(2n+1)⋅3n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．20.如图，三棱台ABC−A1B1C1中，上下底面均为正三角形AB=4，A1B1=2，AA1=BB1=CC1=4，设l为平面A1B1C1与平面ABC1的交线．(Ⅰ)证明：l//平面A1ABB1；(Ⅱ)求平面A1B1C1与平面ABC1所成锐二面角的余弦值．【答案】(本题满分15分)证明：(Ⅰ)∵ABC−A1B1C1是三棱台，∴A1B1//AB，∵AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，∴AB//平面A1B1C1.………………………………………………(3分)∵l是平面ABC1与平面A1B1C1的交线，∴AB//l，…………(5分)∵l⊄平面A1B1BA，∴l//平面A1B1BA.………………………(7分)解：(Ⅱ)三棱台ABC−A1B1C1中，平面ABC//平面A1B1C1，平面ABC1和平面A1B1C1所成锐二面角即为平面ABC1和平面ABC所成的锐二面角，………………………………………………………………………………………………(10分)由题意知AC1=BC1，且AC=BC，取AB中点O，连结CO，C1O，则CO⊥AB，C1O⊥AB，∴∠C1OC就是平面ABC1和平面ABC所成的锐二面角的平面角………………………(12分)由题意得C1O=2√5，CO=2√3，且CC1=4，…………………………………………(14分)在△C1OC中，由余弦定理可知cos∠C1OC=2√1515.………………………………(15分)【解析】(Ⅰ)推导出A1B1//AB，从而AB//平面A1B1C1.进而AB//l，由此能证明l//平面A1B1BA．(Ⅱ)平面ABC//平面A1B1C1，平面ABC1和平面A1B1C1所成锐二面角即为平面ABC1和平面ABC所成的锐二面角，由此能求出平面A1B1C1与平面ABC1所成锐二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.已知直线l1：x−y=0与直线l2：x+y−2=0交于点P1，过P1作x轴的平行线与直线l3：x=2交于Q1点，OQ1与l2交于点P2，过P2作x轴的平行线与直线l3：x=2交于Q2点，……，OQ n−1与l2交于点P n，过P n作x轴的平行线与直线l3：x=2交于Q n点，设直线OP n的斜率为1a n，b n=|P n Q n|.(Ⅰ)求a2，a3，a4，b2，b3；(Ⅱ)求a n和b n；(Ⅲ)已知T=1a n+2+1a n+3+1a n+4+⋯+12a n+2，求证：T>2n+23n+4．【答案】解：(Ⅰ)a 2=2，a 3=3，a 4=4，b 2=23，b 3=12 (Ⅱ)设P n (x n ,y n )，Q n (2,y n )，则P n−1(x n−1,y n−1)，Q n−1(2,y n−1)， ∴y n =−x n +2，y n−1=−x n−1+2，直线OP n 的斜率为1a n，故a n =x n y n ，a n−1=x n−1y n−1，y n−1=2a n，∴a n −a n−1=x n y n−xn−1y n−1=2−y n y n−2−y n−1y n−1=2y n−2yn−1=a n+1−a n ，即2a n =a n−1+a n+1，∴{a n }为等差数列，结合(1)易得a n =n ， 而b nbn−1=|2−x n ||2−x n−1|=y n y n−1=a n a n+1=nn+1，(n ≥2)累乘得：b n =2n+1， (Ⅲ)证明：T =1an+2+1a n+3+1a n+4+⋯+12a n+2=1n+2+1n+3+1n+4+⋯+12n+2 倒序相加得：2T =(1n+2+12n+2)+(1n+3+12n+1)+(1n+4+12n )+⋯+(1n+2+12n+2) ≥43n+4+43n+4+43n+4+⋯+43n+4=4(n+1)3n+4，(可由均值不等式当a ，b >0，1a +1b ≥2√ab ≥4a+b ，当且仅当a =b 时取等号) ∴T >2n+23n+4．【解析】(Ⅰ)根据题意代值计算即可，(Ⅱ)设P n (x n ,y n )，Q n (2,y n )，则P n−1(x n−1,y n−1)，Q n−1(2,y n−1)，根据等差数列的定义即可求出通项公式，再利用累乘法可得数列{b n }的通项公式，(Ⅲ)利用倒序相加法求和，再放缩证明即可．本题考查了数列的通项公式的求法和数列求和的方法，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。
2019-2020学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线10mx y -+=的倾斜角为60︒，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．33C ．3-D ．3-【答案】A【解析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】直线10mx y -+=的斜率为m .又倾斜角为60︒,故tan 603m =︒=. 故选：A 【点睛】本题主要考查了直线的斜率为倾斜角的正切值这一知识点,属于基础题型.2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的左视图首先应该是一个正方形，中间的棱在左视图中表现为一条对角线，分析对角线的方向，并逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案． 【详解】由已知中几何体的直观图，我们可得左视图首先应该是一个正方形，故D 不正确； 中间的棱在左视图中表现为一条对角线，故C 不正确； 而对角线的方向应该从左上到右下，故A 不正确 故B 选项正确，故选B .【考点】三视图.3．若a ，b ，c 为实数且a b >，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b< B ．22ac bc >C ．2b a a b+> D ．33a b >【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，即可容易判断. 【详解】对A ：当且仅当0ab >，且a b >时，才有11a b<，故A 错误； 对B ：当0c =时，22ac bc =，故B 错误； 对C ：当1,3a b =-=时，故1103233b a a b +=--=-<，故C 错误； 对D ：()()()2233223024b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属基础题.4．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m αP ，n αP ，则m n P B ．若m αP ，m n P ，则n αP C ．若m βP ，αβ⊥，则m α⊥ D ．若m α⊥，m βP ，则αβ⊥【答案】D【解析】根据线面平行与垂直的判定和性质逐个判断即可. 【详解】对A,当,m n 相交，,m n ββ⊂⊂且αβ∥时仍有//m α,//n α,但不满足//m n .故A 错误.对B,当n ⊂α时也会有//m α,//m n ，∴//n α不一定成立.故B 错误.对C,当m α⊂且m 与,αβ的交线平行时,满足//m β,αβ⊥,但m α⊥不成立.故C 错误.对D, 若//m β，则β内必存在直线与m 平行，又m α⊥,则αβ⊥成立.故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了线面平行垂直的判定与性质,属于中等题型.5．若x ，y 满足约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．[)3,+∞D ．[)4,+∞【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果. 【详解】根据不等式组，画出平面区域如下图所示：目标函数2z x y =+可整理为122z y x =-+与直线12y x =-平行. 数形结合可知，当且仅当目标函数过点()()0,0,2,1O A 时取得最小值和最大值. 故0,224min max z z ==+=. 故目标函数的取值范围为[]0,4. 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属基础题.6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．18斛B ．28斛C ．38斛D ．48斛【答案】B【解析】由地面弧长求出圆锥底面半径,再利用体积公式求总体积,再代换为斛即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r ,则92r π⨯=,又取圆周率约为3解得186r π==,故米堆的体积21154543V r π=⨯⨯=,∵1斛米的体积约为1.6立方尺,故总体积为4528.125281.6=≈. 故选：B 【点睛】本题主要考查了圆锥体积的运算,注意单位的转换与近似取值的方法即可.属于基础题型.7．已知0x >，0y >，2x y xy +=，则x y +的最小值为（ ） A ．6 B ．32C ．322+D ．2【答案】C【解析】利用“1的转化”与基本不等式求解即可. 【详解】因为2x y xy +=,故121x y +=,故()1232y x x y y x y x y x ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝+⎭+ 232322y xx y≥+⋅=+当且仅当2y x x y =时取等号.故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式中的“1的转化”问题,属于中等题型.8．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．B ．CD ．【答案】B【解析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可. 【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.16==,故m =故选：B 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中n *∈N ，则下列说法正确的是（ ） A ．若310a a >>，则0n a > B ．若310a a >>，则0n S >C ．若321210a a a a a ++>+>，则0n a >D ．若321210a a a a a ++>+>，则0n S > 【答案】D【解析】根据等比数列的定义与性质逐个判断或举反例即可. 【详解】对A,等比数列1(2)n n a -=-满足310a a >>,但0n a >不一定成立.故A 错误.对B, 等比数列1(2)n n a -=-满足310a a >>,但012(2)(2)1S =-+-=-不满足0n S >.故B 错误.对C, 等比数列11()2n n a -=-满足321210a a a a a ++>+>,但0n a >不一定成立.对D,设等比数列公比为q ,因为32121a a a a a ++>+,故30a >,即21100a q a >⇒>.又212101a a a a q +>⇒>-⇒>-.则当01q <<时,1(1)01n n a q S q -=>-,当1q =时10n S na =>, 当1q >时11(1)(1)011n n n a q a q S q q --==>--.综上有0n S >. 故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用.需要根据题意举出反例,主要是举公比为负数的情况,再根据等比数列的求和与性质求解,属于中等题型. 10．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，将ABD ∆沿着BD 折成1A BD ∆，使得1A 点在平面ABCD 上的射影在BCD ∆内部，设二面角1A BD C --的平面角为α，1A C 与平面BCD 所成角为β，1A BD ∠为γ，则α，β，γ的大小关系为（ ）A ．αγβ>>B ．αβγ>>C ．γβα>>D ．γαβ>>【答案】A【解析】作1A O ⊥平面ABCD ,再分别分析α,β,γ的正弦正切值,利用单调性比较即可. 【详解】作1A O ⊥平面ABCD ,AP BD ⊥于P ,连接1A P . 则1A PO α=?,1ACO β=∠,1A BD γ=∠,122312AB AD AP A P BD ⋅====+又11sin AO A P α=,因为当O 在线段BC 上时, 2BO AB BO AB AD =⇒=,213226OP BO OP AP AD ⋅=⇒==.此时2211212362A O A P OP =-=-=故1232sin 23A OAPα=>=.即3sin 2α>. 又126sin 33A DBD γ===.故sin sin αγ>,又,2παγ<,故αγ>. 11tan AO A P OC OC β=<,又当O 在线段BC 上时,22OC =此时OC 取最小值. 故1223332A P OC<=.即23tan 3β<.又1123tan 2tan A D A B γβ==>=, 故γβ>. 综上αγβ>>故选：A 【点睛】本题主要考查线面角与线线角的问题,需要根据题意作出对应的角度,同时做辅助线分析临界条件确定角度正弦或正切的取值范围,需要一定的计算能力,属于难题.二、填空题11．直线()1:20l m x y m +--=()m R ∈过定点______；若1l 与直线2:310l x my --=平行，则m =______.【答案】()1,2 3-【解析】(1)将含有m 的项合并同类项,令系数为0即可算定点. (2)根据平行直线公式求解即可.【详解】(1)()1:20(1)20l m x y m m x x y +--=⇒-+-=,故101202x x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩.即定点为()1,2(2) 若1l 与直线2:310l x my --=平行,则()()()()()2310130m m m m +---=⇒-+=,故1m =或3m =-.当1m =时1l 与直线2l 重合不满足.故3m =-. 故答案为：(1) ()1,2; (2)3- 【点睛】本题主要考查了直线过定点与直线的平行问题,属于基础题型.12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______；该几何体的表面积为______.【答案】(4153π+ 420π+【解析】易得该几何体为直径为2的球与底面边长为2,15.分别计算体积与表面积即可. 【详解】易得该几何体为直径为2的球与底面边长为2,15.故体积(32415411215333V ππ+=⨯+⨯=.又球的表面积21414S ππ=⨯=,正四棱锥的侧面高4h ==.故正四棱锥表面积2142422202S =⨯⨯⨯+⨯=.故该几何体的表面积为12420S S π+=+. 故答案为：(1)(43π+ (2)420π+【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体的表面积体积问题,注意锥体中的侧面高需要用勾股定理计算.属于基础题型.13．等差数列{}n a 公差0d <且39a a =，若0n a =，则n =______；若0m S =，则m =______.【答案】6 11【解析】根据等差数列的等和性求解即可. 【详解】(1)由题,因为等差数列{}n a 公差0d <且39a a =,故390a a =->. 即390a a +=,故620a =,所以若0n a =,则6n =.(2)因为等差数列{}n a 中661101100a a S =⇒=⇒=,故11m = 故答案为：(1)6; (2)11 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,与前n 项和的性质,属于中等题型.14．函数()2f x x bx c =++(),b c R ∈，若()0f x <的解集为{}23x x <<，则b c +=______；若()0f x =两根1x ，2x 满足12023x x <<<<，则b c +的取值范围是______.【答案】1 ()3,1-【解析】(1)根据二次不等式的解集与二次方程两根的关系求解即可. (2)根据零点存在定理求得,b c 满足的表达式,再利用线性规划方法求解即可. 【详解】(1)由()0f x <的解集为{}23x x <<可得()0f x =的两根分别为2,3.故()2(2)(3)56f x x x x x =--=-+,又()2f x x bx c =++故5,6b c =-=.故1b c +=.(2)因为()0f x =两根1x ,2x 满足12023x x <<<<,故(0)0(2)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩即0420930c b c b c >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩.以b 为横坐标, c 为纵坐标建立平面直角坐标系,交点坐标分别为()2,0-,()3,0-,()5,6-根据线性规划的方法知, b c +在()5,6-处有最大值为1b c +=且取不到.b c +在()3,0-处有最小值为3b c +=-且取不到..所以b c +的取值范围是()3,1-. 故答案为：(1)1； (2) ()3,1- 【点睛】本题主要考查了二次不等式解集与根的关系,同时也考查了根据函数零点存在定理问题的方法与线性规划结合的问题,属于中等题型.15．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为______. 【答案】1010【解析】建立空间直角坐标系利用向量方法求解即可. 【详解】建立如图空间直角坐标系,设正方体边长为2,则()0,1,2AE =u u u r ,()2,2,0DB =u u u r故异面直线AE 与BD 所成角θ的余弦值222210cos 101222AE DB AE DB θ⋅===⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r故答案为：1010【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线角度问题,属于基础题型.16．如图，等腰三角形ABC 中，AB AC =，2BC =，BE CD ∥，且CD ⊥平面ABC ，若BD AE ⊥则BE CD +的最小值为______.【答案】2【解析】取BC 中点O ,连接,AO EO ,再根据垂直证明BCD V 与EBO △相似,进而求得,BE CD 的关系即可.【详解】取BC 中点O ,连接,AO EO ,因为CD ⊥平面ABC ,故CD AO ⊥.又AB AC =,故AO BC ⊥,又CD BC C ⋂=.故AO ⊥平面BCD ,故AO BD ⊥. 又BD AE ⊥,AO AE A ⋂=,故BD ⊥面AOE ,故BD EO ⊥.易得BCD V 与EBO △相似,故221EB BC EB EB DC OB DC DC=⇒=⇒⋅=. 故222BE CD BE CD +≥⋅=.当且仅当2EB DC ==时等号成立.故答案为：22 【点睛】本题主要考查了空间中线线线面垂直的判定与性质,同时也结合了基本不等式的方法,属于中等题型.17．直线:240l x y +-=上一点P 作圆221x y +=的切线PA ，PB ，A ，B 为切点，若AB l P ，则AB 的长为______.【答案】112【解析】易得当OP l ⊥时AB l P ,再根据三角形中的关系求AB 的长即可. 【详解】由题,设OP AB Q ⋂=,易得OP AB ⊥,又AB l P ,故OP l ⊥.此时224512OP -==+,故221611155AP OP OA =-=-=故222AP AOAB AQ OP⋅====.故答案为：2【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,圆外一点引圆的两条切线注意连接切点与圆心,圆外点与圆心等,通过勾股定理求解即可.属于中等题型.三、解答题18．在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=. （1）求B 点坐标； （2）求ABC ∆面积.【答案】(1) ()5,0B ; (2)6【解析】(1)根据AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=求得AB 的斜率,再设B 点坐标利用斜率求解即可.(2)求得直线AC 的方程,再计算B 点到直线AC 的距离与线段AC 的长度即可. 【详解】(1)由AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=,其斜率为2,故直线AB 的斜率为1122k -==-.设()0,0B x 则00201512x x -=-⇒=-.故()5,0B (2)因为()1,2A ,()3,4C ,故42:131AC k -=-,故:2110AC l y x x y -=-⇒-+=. 又AC ==又B 点到直线AC的距离d == .故11622ABC S AC d ∆=⋅=⨯=. 【点睛】本题主要考查了直线方程的表达式与解析几何中的距离公式等,需要根据题意选取公式求解即可.属于中等题型.19．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且111a =，11b =，2211+=a b ，3311+=a b .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】(1) 213n a n =-+,12n nb -=; (2) 21221n n T n n =-++-【解析】(1)设{}n a 公差为d ,{}n b 公比为q ,再根据题中条件列方程求解即可. (2)分组求和,分别求等差等比数列的前n 项和即可. 【详解】(1) 设{}n a 公差为d ,{}n b 公比为q ,则由题意得22111101121120d q d q d q d q ++=+=⎧⎧⇒⎨⎨++=+=⎩⎩ . 2220(2)020d q q q d q +=⎧⇒⇒-=⎨+=⎩,因为0q ≠,故2q =.代入得2d =-. 故11(1)(2)213n a n n =+-⨯-=-+,11122n n n b --=⨯=.即213n a n =-+,12n nb -=.(2)由(1)：1232n n n a b n -+=-++.故()()211122...119...213122..2n n n n T a b a b a b n -=++++++=++-++++++()()2112112131221212n n n n n n --+=+=-++--.故21221n n T n n =-++- 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的通项公式求解与求和公式,属于基础题型. 20．已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，11AA A C ==2AC =，1BC =，E 是AB 的中点.（1）求证：1BC P 平面1A EC ；（2）求直线AC 与平面1A AB 所成线面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)39 【解析】(1)取11,AC A C 的交点O ,连接EO 证明1//BC EO 即可.(2)利用等体积法求C 到平面1A AB 的距离,再计算直线AC 与平面1A AB 所成线面角的正弦值即可. 【详解】(1) 取11,AC A C 的交点O ,连接EO ,因为三棱柱111ABC A B C -中有11ACC A Y ,故O 为1AC 中点,又E 是AB 的中点,故OE 为1ABC V 中位线.故1//OE BC .因为OE ⊂平面1A EC ,1BC ⊄平面1A EC ,故1BC P 平面1A EC .(2)取AC 中点P ,连接1,A P EP .因为11AA A C ==2AC =.故1A P AC ⊥,13A P =又2AC =,1BC =,90ABC ∠=︒,故22213AB =-=又平面11A ACC ⊥平面ABC ,且平面11A ACC ⋂平面ABC AC =,故1A P⊥平面ABC .故1111113133322A ABC ABC V S A P -=⋅=⨯⨯⨯⨯=. 2211113342A E A P EP =+=+=.因为,//AB BC BC EP ⊥,故AB EP ⊥, 又1A P⊥平面ABC ,AB Ì平面ABC ,故1A P AB ⊥,又1A P EP P ⋂=,故AB ⊥平面1A EP ,又1A E ⊂平面1A EP ,故 1AB A E ⊥. 故11111339322A AB S AB A E =⨯⨯=⨯⨯=V . 设C 到平面1A AB 的距离为h ,则1111132C ABA ABA A ABC V S h V --=⋅==,故139123932h h ⨯⋅=⇒=. 故直线AC 与平面1A AB 所成线面角的正弦值sin h AC θ==23913239=.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及立体几何中的线面角的求法,其中线面角可以用等体积法求点面距再求解,属于中等题型.21．在直角坐标系中，圆22:4O x y +=，圆()()22:311M x y -+-=过点()0,1P 的直线1l 与圆O 交于A ，B 两点，2l 垂直1l 于点P .（1）当2l 与圆M 相切时，求2l 方程；（2）当2l 与圆M 相交于C ，D 两点时，E 为CD 中点，求ABE ∆面积的取值范围.【答案】(1) 22:14l y x =±+; (2)270,63⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【解析】(1)分2l 的斜率不存在与存在两种情况讨论.当2l 斜率存在时,设2l 方程,再根据2l 与圆M 相切,利用圆心到直线的距离等于半径求解即可.(2)设2l 方程为1y kx =+,联立圆M 的方程求E 坐标,再求得弦长AB 与E 到AB 的距离表达出面积即可. 【详解】(1)当2l 的斜率不存在时, 2l 方程为0x =显然不成立.当2l 的斜率存在时,设2:1l y kx =+,即10kx y -+=.因为2l 与圆M 相切, 231111k k -+=+,即22291k k k =+⇒=.故22:14l y x =±+ (2)显然2l 的斜率存在,设2:1l y kx =+.当0k =时, 2:1l y =,()3,1E .此时AB 为圆O 的直径且AB 4=.此时14362ABE S ∆=⨯⨯=. 当0k ≠时,()()()222211680311y kx k x x x y =+⎧⎪⇒+-+=⎨-+-=⎪⎩. 且()2213641808k k ∆=-+⨯>⇒<设()()1122,,,C x y D x y ,则12261x x k +=+.故E 的横坐标122321E x x x k +==+.纵坐标2311E k y k =++.即2233,111k k E k +++⎛⎫⎪⎝⎭.故231k EP ==+.又11:10l y x x ky k k =-+⇒+-=.故O 到1l距离d =. AB ===.故211221ABES AB PE k ∆=⋅=⨯=+.令t =因为2108k <<,故t ⎛∈ ⎝⎭.则29911ABE t S t t t ∆==--,因为1()f t t t =-在⎛⎝⎭上为增函数.故132t t ⎛-∈ ⎝⎭.故913ABE S t t ∆⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭-. 综上所述,ABE ∆面积的取值范围为,63⎛⎤⎥ ⎝⎦【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,需要联立方程利用解析几何的方法求面积表达式并分析单调性求得面积最值,同时注意斜率的取值范围.属于难题.22．已知数列{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =，121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+（2n ≥且n *∈N ）. （1）求{}n a 的通项公式；（2）（i ）求证：111n nn n c a c a +++=（2n ≥且n N ∈）； （ii ）求证：2311151113n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1) 21nn a =-; (2)证明见解析【解析】(1)将()11,1n n a a +++代入2y x =,构造等比数列即可. (2)(i)由121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+可得11n n c a ++的关系,再化简证明111n n n n n c c a a a ++=+即可. (ii)利用(i)中111n n n n c a c a +++=,在23111111n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中构造对应等式再换元.最后即求证121111153n n a a a a -++⋅⋅⋅++<,代入21n n a =-再利用等比放缩法证明即可. 【详解】(1) 将()11,1n n a a +++代入2y x =有()1121n n a a ++=+,故数列{}1n a +是以112a +=为首项,2为公比的等比数列.所以12n n a +=,即21n n a =-(2) (i)证明：因为121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+,故1112111111n n n n n n n c c a a a a a a a ++-=++⋅⋅⋅++=+. 即111n n n n c c a a +++=,故()111n n n n a c a c +++=⋅即111n nn n c a ca +++=（2n ≥且n N ∈）.证毕. (ii)由题111c a ==,22111c a a ==,又22213a =-=,故223c a ==.当2n ≥时111n n n n c ac a +++=. 故322323*********n n n c c c c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331122112234134111111111=33n n n n n n n n n n c c a a c c c a c c a c c c c a a a a a ++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211211111111121212121n n n n a a a a --=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++----. 即证明12111115212121213n n -++⋅⋅⋅++<----. 先证明21112132nn -≤⋅-()2,n n N +≥∈ , 即证当()2,n n N +≥∈时2211132212132n n nn --≤⋅⇔⋅≤-⇔- 2223242121n n n ---⋅≤⨯-⇔≥显然成立.故21112132nn -≤⋅-()2,n n N +≥∈.所以121121111111111...2121212133232n n n --++⋅⋅⋅++≤++⋅++⋅---- 11111132215215111132332312n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=+-=-⋅<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 成立. 即2311151113n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证毕 【点睛】本题主要考查了构造等比数列求数列通项公式的方法,同时也考查了数列的证明以及根据所给不等式利用等比放缩的方法求证数列不等式的问题,其中证明21112132n n -≤⋅-是关键.属于难题.。
专题04 恒成立问题 高二数学(人教A版2019)
专题04 恒成立问题一、单选题1．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试（理） 【答案】B【分析】构造函数()()x f x F x e=，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【解析】设()()x f x F x e =，x R ∈（），所以'()()[]x f x F x e '==()()xf x f x e '-， 因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数，所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e<， 整理得()()10f ef >和()20182018(0f e f >）．故故选B ．2．已知数列{}n a 满足11a =，111nn a a e++=．若110n n a ta +-+≥恒成立，则实数t A ．最小值是21e - B ．最大值是2e 1- C ．最大值是eD ．最小值是e【试题来源】哈尔滨市第三中学2020-2021学年上学期高三1月线上学习阶段性考试（理） 【答案】C【分析】作差()111ln 1n n n n a a a a +++-=-+，构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数知识可得111n n a a a +≥≥=，将110n n a ta +-+≥恒成立化为()11111ln 1n n n n a a t a a +++++≤=+1(1n a +≥)恒成立，构造函数()ln xg x x=(2)x ≥，利用导数知识求出()g x 的最小值即可得解． 【解析】由111nn a a e++=得11n a n a e ++=，得1211a a e e =-=-，()1ln 1n n a a +=+，所以()111ln 1n n n n a a a a +++-=-+， 令()ln(1)f x x x =-+，则1()111xf x x x '=-=++(1)x >-， 当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增，所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)0f =，所以()0f x ≥， 所以11()0n n n a a f a ++-=≥，所以111n n a a a +≥≥=， 因为110n n a ta +-+≥恒成立，所以11n n ta a +≤+恒成立， 所以()11111ln 1n n n n a a t a a +++++≤=+1(1n a +≥)恒成立， 令()ln xg x x=(2)x ≥，则()211ln ()ln x x x g x x ⨯-⋅'=2ln 1(ln )x x -=，令()0g x '<得ln 10x -<，得0x e <<，又2x ≥，所以2x e ≤<，令()0g x '>得ln 10x ->，得x e >，所以()g x 在[2,)e 上递减，在(,)e +∞上递增， 所以当x e =时，()g x 取得最小值()g e e =，所以t e ≤，即t 的最大值为e ．故选C 【名师点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤.3．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题 【答案】D【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列1{}n n a a +-是等比数列，求得1n n a a +-，由累加法求得n a ，计算出n b ，然后求和122311202020202020n n b b b b b b ++++，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出n S 的最小值，再由不等式恒成立可得t 的最大值．【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=，即有()2113n n n n a a a a +++-=-，所以{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列，所以1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=所以31log n n b a n +==，所以12231120202020202011120201223(1)n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=+++⎪⨯⨯+⎝⎭1111120202020122311nn n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭， 又20201ny n =+为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<， 若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得n a ，由对数的概念求得n b ，用裂项相消法求和新数列的前n 项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得n S 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论．4．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()xxf x e =，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数．再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项．【解析】当1x <时，'1()0x x f x e-=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数． 由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在()1,+∞内是减函数， ．所以()()350f f ->．故选C ．【名师点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，抽象函数的对称性的应用，以及由函数的单调性比较其函数的大小关系，属于中档题． 5．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试 【答案】D【解析】对于A ，不妨令01a <≤，1b ≥，则1a ab b b a a a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1baa b ⋅=即11b aaab-=，由10b a -≥可知101b aa -<≤，则101ab <≤，所以1≥ab ，2a b +≥≥，故A 正确； 对于B ，若a b ≤，则0ab e e -≤，320b a ->，故32a b e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+，与已知矛盾，故B 正确；对于C ，()ln ln ln 1b b a a b a b a a-≥-⇔-≥-， 令0b x a =>，()()ln 10f x x x x =-->，则()1x f x x-'=， 则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()10f x f ≥=，所以ln 10b b a a --≥即ln 1b ba a-≥-，故C 正确； 对于D ，设()()ln 0h x x x x =>，()()0x xg x x e=>， 则()ln 1h x x '=+，()1xxg x e -'=， 所以()h x 在()10,e-上单调递减，在()1,e-+∞上单调递增，则()()11h x h e e --≥=-，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e -≤=，所以()()110h eg e --+<，即当1a b e-==时ln 0bba a e +<，故D 错误．故选D ． 二、多选题1．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+D ．21cos 12x x ≥-【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】ACD 【分析】令10tx ，()1ln 1f t t t =+-，导数方法求出最小值，即可判定出A 正确；令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，导数方法研究单调性，求出范围，即可判定B 错； 令()1xf x e x =--，导数的方法求出最小值，即可判定C 正确； 令()21cos 12f x x x =-+，导数的方法求出最小值，即可判定D 正确．【解析】A 选项，因为1x >-，令10tx ，()1ln 1f t t t=+-，则()22111t f t t t t -'=-=，所以01t <<时，()210t f t t-'=<，即()f t 单调递减；1t >时，()210t f t t-'=>，即()f t 单调递增；所以()()min 10f t f ==，即()1ln 10f t t t =+-≥，即1ln t t t -≥，即()ln 11x x x +≥+，1x >-恒成立；故A 正确；B 选项，令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >， 则()()2222211112110222x x x f x x x x x ---⎛⎫'=-+==-≤ ⎪⎝⎭显然恒成立， 所以()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0x >上单调递减， 又()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故B 错； C 选项，令()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()10xf e x ='->，即()f x 单调递增；当0x <时，()10xf e x ='-<，所以()f x 单调递减；则()()00f x f ≥=，即1x e x ≥+恒成立；故C 正确； D 选项，令()21cos 12f x x x =-+，则()sin f x x x '=-+， 所以()cos 10f x x ''=-+≥恒成立，即函数()sin f x x x '=-+单调递增， 又()00f '=，所以当0x >时，()0f x '>，即()21cos 12f x x x =-+单调递增； 当0x <时，()0f x '<，即()21cos 12f x x x =-+单调递减； 所以()()min 00f x f ==，因此21cos 12x x ≥-恒成立，故D 正确；故选ACD ． 【名师点睛】本题主要考查导数的方法判定所给不等式是否正确，考查导数的方法判定函数单调性、求函数最值等，属于常考题型．2．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0a f f a e>【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考 【答案】BD【分析】根据()()'0f x f x +>，设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，得到()h x 在R 上是增函数，再根据a 是正实数，利用单调性逐项判断．【解析】设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，因为()()'0f x f x +>，所以()0h x '>，()h x 在R 上是增函数， 因为a 是正实数，所以2a a <，所以()()22aae f a e f a <，因为21a a e e >>， ()(),2f a f a 大小不确定，故A 错误，因为a a -<，所以()()a a e f a e f a --<，即()()2af a e f a >-，故B 正确．因为0a >，所以()()()000ae f a e f f >=，因为1a e >，()(),0f a f 大小不确定．故C 错误．()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，所以()()0a f f a e>，故D 正确．故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题．3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x <D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【试题来源】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试 【答案】BCD【分析】先对函数求导，根据022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，排除A ；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B 选项；构造函数()sin xg x x=，由导数的方法研究其单调性，即可判断C 选项；根据()sin x g x x =的单调性，先得到sin 2x x π>，再令()sin h x x x =-，根据导数的方法研究其单调性，得到sin 1xx<，即可判断D 选项． 【解析】因为()cos sin f x x x x =-，所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-， 所以022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，所以2x π=不是函数的极值点，故A 错； 若[]0,x π∈，则()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()cos sin f x x x x =-在区间[]0,π上单调递减；因此()()00≤=f x f ，故B 正确； 令()sin x g x x =，则()2cos sin x x xg x x-'=， 因为()cos sin 0f x x x x =-≤在[]0,π上恒成立，所以()2cos sin 0x x xg x x -'=<在()0,π上恒成立， 因此函数()sin xg x x=在()0,π上单调递减；又120x x π<<<，所以()()12g x g x >，即1212sin sin x x x x >，所以1122sin sin x x x x <，故C 正确；因为函数()sin x g x x =在()0,π上单调递减；所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()sin x g x x =也单调递减，因此()sin 22x g x g x ππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立； 令()sin h x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0h x x '=-≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因此()sin 0h x x x =->，即sin 1xx <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立； 综上，2sin 1x x π<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故D 正确．故选BCD ． 【名师点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型．4．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 【试题来源】冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷（山东专版） 【答案】ACD【分析】对选项A ，()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可；对选项B ，()g x 的最小值大于0即可；对选项C ，()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可；对选项D ，[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥即可．【解析】对选项A ，只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ，()f x 在[]1,2上单调递增，所以min 2()(1)111f x f ==-=-，所以1a >-，故正确； 对选项B ，只需()g x 的最小值大于0，因为[]πcos,2x a a a ∈-，所以min ()52530g x a a a =-+-=->，所以503a <<，故错误； 对选项C ，只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值，min ()1f x =-，max ()525g x a a a =+-=-，即15a ->-，6a >，故正确；对选项D ，只需()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥，max 2()(2)212f x f ==-=，所以[]11,2x ∈，[]1()1,1f x ∈-， []0,1x ∈时，π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,1上单调递减， ()min (1)52a g x g ==-，()max (0)5a g x g ==-，所以()[]52,5g x a a ∈--，由题意，52151a a -≤-⎧⎨-≥⎩⇒34a ≤≤，故正确．故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题．5．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxf x F x e =，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()f x xf x xf x '+<，从而确定函数()()xxf x F x e=是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误． 【解析】构造函数()()xxf x F x e =， 因为2[()()]()()()()()0()x x x xe f x xf x xe f x f x xf x xf x F x e e'+-+-=='<'， 故函数()()xxf x F x e =在R 上单调递减函数， 因为21>，所以212(2)(1)(2)(1)f f F F e e <⇒<，即2(2)(1)f f e<，故A 正确，B 错误；因为()(1)0F F <，即()10f e<，所以()10f <，故C 错误； 因为()(1)0F F ->，即()110f e--->，所以()10f -<，故D 错误，故选BCD. 【名师点睛】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxf x F x e =，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题． 6．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 【试题来源】福建省福州第一中学2021届高三上学期开学检测 【答案】ABD【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解．【解析】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a <<，设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--，所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()131ln 2ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确；由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确；2112a <<，所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确，故选ABD ．7．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．1【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练 【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x=++>，利用导数法研究其最小值即可．【解析】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1xF x x x x x =++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x ---'=-+=． 令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增． 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++．（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈． 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 因为k 为整数，所以0k ≤．故选ABC ．8．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立 D ．2ln a a b b e e-<恒成立 【试题来源】2020年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版） 【答案】AD【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误．【解析】A ． 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b ，设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b ，由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b +=； 此时1+→a b ，故A 错误．B ． 232+=+>+a b b e a e b e b ，设()2x f x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确；C ． ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a ba ab a b b a， 又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a bb a，C 正确；D ． max 1=⇒=x x y y e e 当且仅当1x =；min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误．故选AD.【名师点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题． 三、填空题1．若()()220xxxme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】32m ≤-【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可．【解析】()()()()222210xx xxxxme ex e ex me ex e ex ee++++-⇒≤≤ （1）， 令x ext e=，因为()0,x ∈+∞，所以0t >， 则不等式(1)化为2221(2)(1)11t t m t t m t --+++≤⇒≤+，设()xex f x e=，()0,x ∈+∞，'(1)()x e x f x e -=，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==，而(0)0f =，因此当()0,x ∈+∞时，()(0,1]f x ∈，因此(0,1]t ∈，设2221()1t t g t t --+=+，(0,1]t ∈，因此要想()()220x x xme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，只需min ()m g t ≤，2'2243()(1)t t g t t ---=+，因为(0,1]t ∈，所以'()0g t <，因此()g t 在(0,1]t ∈时单调递减，所以min 3()(1)2g t g ==-，因此32m ≤-．2．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二下学期期末适应性考试（理）【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；原问题即可转化为直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象，由图象得到只需<<OA OB k a k ；根据导数的方法求出OA ，OB 所在直线斜率，进而可得出结果． 【解析】由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于xy e =与ln y x =之间，作出其大致图象如下：由图象可得，只需<<OA OB k a k ；设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=， 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ， 又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e； 设22(,)B x y ，由x y e =得e xy '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线xy e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ；所以1a e e <<．故答案为1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【名师点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型．3．已知函数()1xf x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理） 【答案】[1,)-+∞【分析】求导得到()xf x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案．【解析】因为()1x f x e ax =+-，所以()xf x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+．当10a +，即1a ≥-时，()0f x '，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；当10a +<，即1a <-时，因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=．令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意．综上，a 的取值范围是[1,)-+∞．故答案为[1,)-+∞．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 【试题来源】2020年高考数学选填题专项测试（文理通用） 【答案】[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解．【解析】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)xg x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减， 故max ()(1)00g x g m ==∴≥，故答案为[)0,+∞.【名师点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题．5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 【试题来源】2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题 【答案】0a e ≤<【分析】若函数()0xf x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a的不等式，再取并集，即得．【解析】由题意得，只要min ()0f x >即可，'()x f x e a =-，当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =， 令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减， 令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-， 若()0f x >恒成立，则(1ln )0a a ->，解得0a e <<； 当0a =时，()0xf x e =>恒成立；当0a <时，'()xf x e a =-，()f x 单调递增，,()x f x →-∞→-∞，不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是0a e ≤<．故答案为0a e ≤< 6．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．【试题来源】四川省泸州市2020学年下学期高二期末统一考试（文） 【答案】(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可． 【解析】函数的导数2()21f ax x x '=+-，由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立，即221a x x+，得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+，则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ， 即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞.【名师点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题． 7．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理） 【答案】(2,)+∞ 【分析】设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数m 的取值范围． 【解析】由题意，设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=， 则()22(1)(323)x x f x x x --=-+'=，当2[1,)3x ∈--或(1,2]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 又由222(),(2)2327f f -==，即2()(2)3f f -<， 即函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为2， 又由当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，所以2m >， 即实数m 的取值范围是(2,)+∞．故答案为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题． 8．不等式()221nn n N*>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________． 【试题来源】北京市101中学2019-2020学年高三10月月考 【答案】331n n >-【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立．【解析】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-．下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤，构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<． 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤．所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-．故答案为331n n >-． 【名师点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题．9．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考 【答案】(,1)-∞【分析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->， (ⅰ)当(0,1)x ∈时，||0x m -≥，ln 0xx<，不等式恒成立，所以m R ∈； (ⅰ)当1x =时，|1|0m -≥，ln 0xx=，所以1m ≠； (ⅰ)当1x >时，不等式恒成立等价于ln x m x x <-恒成立或ln xm x x>+恒成立， 令ln ()x h x x x =-，则221ln ()x x h x x'-+=，因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >， 因为ln xm x x<-恒成立等价于min ()m h x <，所以1m ，令ln ()x g x x x =+，则221ln ()x xg x x +-'=，再令2()1ln p x x x =+-，则1'()20p x x x=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()p x 在(1,)x ∈+∞上无最大值，综上所述，满足条件的m 的取值范围是(,1)-∞．故答案为(,1)-∞．10．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）【答案】4e -⎡⎤⎣⎦【分析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立，当0x ≠时，则2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩，然后构造函数()x e g x x =（0x >），()221x h x x x +=-（0x <），分别求解函数()g x 的最小值和()h x 的最大值，只需()()min max h x a g x ≤≤即可．【解析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立；当0x ≠时，则()2,012,0xe ax x a x x x x ⎧≥>⎪⎨-≥--<⎪⎩，因为当0x <时，20x x ->， 所以只需满足2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩即可，令()x e g x x =（0x >），则()()21x x e g x x -'=， 则()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1x ∈上递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()1,+∞上递增， 所以()()1min g x g e ==，所以a e ≤，令()221x h x x x +=-（0x <），则()()()()()()22222222112221x x x x x x h x x x x x --+-+-'==--，令()0h x '=，得x =（舍）或x =，则当12,x ⎛⎫∈-∞ ⎝- ⎪⎪⎭时，()0h x '>；当1,02x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以函数()h x在12,⎛-∞ ⎝ -⎭上递增，在12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上递减， 所以()41122maxh x h ===-⎛⎫⎝⎭--- ⎪⎝⎭故4a ≥-4a e -≤≤．故答案为4e -⎡⎤⎣⎦．【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题． 解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究．11．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________．【试题来源】【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区下学期高二数学（文）期中试题 【答案】2c ≥【解析】由()()f x g x ≥，即32ln 1x x c x -+≥+，即32ln 1c x x x ≥-+++．令()()32ln 10h x x x x x =-+++>，()()()21331x x x h x x'-++=-，故函数()h x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()12h =，所以2c ≥．【名师点睛】本题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立，问题，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值等知识．首先根据()()f x g x ≥，对函数进行分离常数，这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值，根据这个最值来求得参数的取值范围．12．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（理）联考试题 【答案】[)0,+∞ 【分析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决．【解析】22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥． 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-．当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减；当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴的最小值为()1g ππ=--． 又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤， ()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数．02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤．又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞． 13．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．【试题来源】6月大数据精选模拟卷04（上海卷）（满分冲刺篇） 【答案】e -【分析】把不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，转化为函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，结合函数的单调性和零点，得出1a-是函数ln y ax x =-的零点，即可求解． 【解析】由题意，不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，即函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，由ln ,0,0y ax x a x =-<>，则10y a x'=-<，所以ln y ax x =-为(0,)+∞减函数， 又由当0a <，可得1y ax =+为(0,)+∞减函数， 所以1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数，且1a-是函数1y ax =+的零点， 故1a -是函数ln y ax x =-的零点，故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a e =-．【名师点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力．14．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________． 【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试（理） 【答案】12-【分析】设()()2211xx ax f x x e-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e++≥+=≥，设()1tg t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．从而可确定()0g t =，即可求出a 的值．【解析】设()()2211x x ax f x x e -+=≤，则()()()121xx x a f x e--+⎡⎤⎣⎦'=． 当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减， 故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102ea ≤-<，所以0a ≥不符合题意； 当211a +<，即0a <时，()f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增，则()()min21f x f a =+．因为2211x x ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥． 令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1t g t e t =--， 则()1tg t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0， 即()0g t ≥．因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-． 【名师点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题．本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10tg t e t =--≤恒成立．本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解．15．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mx x x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________． 【试题来源】2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试（理） 【答案】(,2]e -∞【分析】首先对参数的范围进行讨论，分两种情况，尤其是当0m >时，对式子进行变形，构造新函数，将恒成立问题转化为最值来处理，利用函数的单调性来解决，综述求得最后的结果．【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )mxx m x e e x⇒≥，由()xf x xe =在[),e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[),e +∞恒成立， 由()2ln g x x x =在[),e +∞为增，min ()2g x e =，02m e <≤， 综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞． 四、双空题1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)5,-+∞【分析】求出导函数()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=，只需方程22210ax x -+=有两个不相等的正根，满足1212010210x x a x x a ⎧⎪∆>⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩，解不等式组可得a 的取值范围；求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式，最后利用导数，通过构造函数，求出新构造函数的单调性，最后求出t 的取值范围．【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---， 设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 22()0a h a a '-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-．因此t 的取值范围是[)5,-+∞. 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞【名师点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题，考查了不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数是解题的关键，属于基础题． 2．已知函数()ln xf x x=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是___________；若不等式()1x x a f x x+>-≥对于任意的()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】2020年高考全国卷考前冲刺演练精品密卷ⅰ（理） 【答案】1y x =- []0,1【分析】由题意结合导数的几何意义、直线的点斜式方程即可得切线方程；易得1y x x=+的图象与直线y x =无限接近但永远不能相交，再作出函数1y x =-及()ln xf x x=的图象，数形结合即可得解．【解析】由题意()10f =，()21ln xf x x -'=，()11f '=， 所以曲线1ln xy x-=在点()1,0处的切线方程为1y x =-； 由1y x x x=+>，且随着x 的增加，1x x +与x 的取值不断接近，所以1y x x=+的图象与直线y x =无限接近但永远不能相交； 令()()ln 1x h x x x =--，则()221ln x x h x x --'=， 当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减， 结合()10h =可得()0h x ≥即ln 1xx x≥-， 在坐标系中作出函数1y x =-及()ln xf x x=的图象，如图所示，由图可知，曲线y x a =-的最低点(),0a 必须在以()0,0和()1,0为端点的线段上运动， 所以01a ≤≤，故a 的取值范围是[]0,1．故答案为1y x =-；[]0,1．【名师点睛】本题考查了利用导数求切线方程及作函数图象，考查了函数图象的应用及数形结合思想，属于中档题．3．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________． 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】13,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 132- 【分析】将2n =代入求解即可；当n 为奇数时，cos 1n π=-，则转化32()2710f n n n n λ=+--≥为2127n n n λ+-≤，设21()27g n n n n=+-，由单调性求得()g n 的最小值；同理，当n 为偶数时，cos 1n π=，则转化32()2710f n n n n λ=---≥为2127n n n λ--≤，设21()27(2)h x x x x x=--≥，利用导函数求得()h x 的最小值，进而比较得到λ的最大值． 【解析】由题，(2)1628210f λ=---≥，解得132λ-≤． 当n 为奇数时，cos 1n π=-，由32()2710f n n n n λ=+--≥，得2127n n nλ+-≤， 而函数21()27g n n n n=+-为单调递增函数，所以min ()(1)8g n g ==，所以8λ≤； 当n 为偶数时，cos 1n π=，由32()2710f n n n n λ=---≥，得2127n n nλ--≤，设21()27(2)h x x x x x =--≥，212,()470x h x x x'∴=-+>≥，()h x ∴单调递增，。
2019年浙江省镇海中学期中考试高三数学试题含答案
镇海中学2019学年第一学期期中考试高三年级数学试卷第I卷(选择题共40分)一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|0＜lnx＜2}，则A∩B的元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．72．若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0 C．＜D．﹣2a＜﹣2b 3．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且S2＝4，S4＝18，则S6等于（）A．50 B．42 C．38 D．364．函数的图象大致为（）A5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．76 B.84 C．D．6．将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到，则y＝f（x）的函数解析式为（）A．f（x）＝﹣cos2x B．f（x）＝sin（2x）C．f（x）＝cos2x D．f（x）＝cos（2x）7．设命题p：lg（2x﹣1）≤0，命题：，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．，B．，C．，D．∅8．已知＜＜，sinα﹣2cosβ＝1，，则（）A．B．C．D．9．已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且∠F1PF2，若椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e12+e22的最小值为（）A．B．C．D．10．设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为（）A．2 B．C．D．9第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．抛物线y2＝2x的焦点坐标是▲ ，准线方程是▲ ．12．已知点A（1，0），B（0，2），点P（a，b）在线段AB上，则直线AB的斜率为▲ a•b的最大值为▲ ．13．若实数（x，y）满足约束条件，则2x﹣y的最小值为▲的最小值为▲ ．14．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，则直线AA1与平面A1BD所成的角为▲ 若空间的一条直线l与直线AA1所成的角为，则直线l与平面A1BD所成的最大角为▲ ．15．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，则a3+a5＝▲ ，a4的最大值为▲16．已知圆O：x2+y2＝1，设点P是恒过点（0，4）的直线l上任意一点，若在该圆上任意点A满足，则直线l的斜率k的取值范围为▲ ．17．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为单位圆上两点，且满足，则|x1+y1|+|x2+y2|的取值范围为▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知的最大值为．（Ⅰ）求实数a的值（Ⅱ）若，求的值．19．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知b＝3，a2＝c2﹣3c+9．（Ⅰ）求A（Ⅱ）求sin2B+sin2C的取值范围．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AB和△ABC都为等腰直角三角形，P A⊥PB，AB⊥AC，M为AC的中点，且PM＝AC．（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小（Ⅱ）求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：，．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）数列{b n}满足b1＝﹣2，，求数列{b n}通项公式．22．在平面直角坐标系中，已知F（2，0），P（﹣2，t），若线段FP的中垂线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）总是相切．（Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）若过点Q（2，1）的直线l′交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线l1，l2相交于点A．l1，l2分别与y轴交于点B，C．（i）证明：当l′变化时，△ABC的外接圆过定点，并求出定点的坐标（ii）求△ABC的外接圆面积的最小值．一、1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B 9．A 10．C二、11．（，0）x12．﹣2 13．1 14．60015．5 16．[，+∞）∪（﹣∞，] 17．[，]三、18、（Ⅰ），由于函数的最大值为，故，解得a．（Ⅱ）由于f（x），所以，整理得．所以，所以或．或，所以或，故，所以当时．．当时，，所以原式．19．（Ⅰ）在锐角△ABC中，∵b＝3，a2＝c2﹣3c+9，∴可得c2+b2﹣a2＝bc，∴由余弦定理可得：cos A，∴由A为锐角，可得A．（Ⅱ）∵sin2B+sin2C＝sin2B+sin2（B）＝sin2B+（cos B sin B）2＝1（sin2B cos2B）＝1sin（2B），又∵＜＜＜＜，可得＜B＜，∴2B（，），∴sin（2B）（，1]，∴sin2B+sin2C＝1sin（2B）（，]，即sin2B+sin2C的取值范围是（，]．20．（1）分别取线段AB，BC的中点O，N，连接PO，ON，MN，PN，设AC＝2，则有在等腰直角△P AB中，O是中点，则有AB⊥PO﹣﹣﹣①在等腰直角△ABC中，点O，N分别是AB，BC的中点，则有AB⊥ON﹣﹣﹣②由①②可知，AB⊥平面PON，又∵MN∥AB，∴MN⊥平面PON，则有MN⊥PN．又AB＝2，则MN＝1，又PM＝AC＝2，则有PN，又OP＝ON＝1，由三角形余弦定理可知，∠，∴∠PON＝120°，即二面角P﹣AB﹣C的大小为1200．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，过点P作PD⊥ON交NO延长线于点D，设AB ＝AC＝2，则有A（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），B（1，0，0），M（﹣1，1，0），由（1）可知，∠POD＝180°﹣∠PON＝60°，又∵OP＝1，∴，．∴，，，，，．∴，，，设平面PBC的一个法向量为，，，则有，又∵，，，，，，∴，∴，，．设直线PM与平面PBC所成角为θ，则有：．故直线PM与平面PBC所成角的正弦值为．21．（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，且满足：，．当n≥2时，a n＝﹣3S n﹣1+2，两式相减得：a n+1＝﹣2a n，所以数列{a n}是以2为首项﹣2为公比的等比数列．所以．（Ⅱ）由于，所以，由于，所以，所以．22．（Ⅰ）F（2，0），P（﹣2，t），可得FP的中点为（0，），当t＝0时，FP的中点为原点，当t≠0时，直线FP的斜率为，线段FP的中垂线l的斜率为，可得中垂线l的方程为y x，代入抛物线方程y2＝2px，可得x2+（4﹣2p）x0，由直线和抛物线相切可得△＝（4﹣2p）2﹣16＝0，解得p＝4，则抛物线的方程为y2＝8x；（Ⅱ）（i）证明：可设过点Q（2，1）的直线l′的方程为x﹣2＝m（y﹣1），即x＝my+2﹣m，代入抛物线的方程y2＝8x，可得y2﹣8my﹣16+8m＝0，设M（，y1），N（，y2），则y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，由y2＝8x，两边对x求导可得2y•y′＝8，即y′，可得M处的切线方程为y﹣y1（x），化为y1y＝4x，①同理可得N处的切线方程为y2y＝4x，②由①②可得y4m，x m﹣2，即A（m﹣2，4m），又l1，l2分别与y轴交于点B（0，），C（0，），设过A，B，C的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，（D2+E2﹣4F＞0），即有，结合y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，可得D＝﹣m﹣2，E＝﹣4m，F＝4m﹣8，可得△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣（m+2）x﹣4my+4m﹣8＝0，可得m（4﹣x﹣4y）+（x2+y2﹣2x﹣8）＝0，由可得或，则当l′变化时，△ABC的外接圆过定点（4，0）和（，）；（ii）△ABC的外接圆的半径r，可得当m时，r的最小值为，则△ABC的外接圆面积的最小值为π．。
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浙江省杭州地区(含周边)重点中学2018-2019学年第一学期高三期中考试数学试题（解析版） 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1.设全集1，2，3，，集合2，，集合，则
A. B. C. 1， D. 1，2，3，
【答案】C 【解析】 【分析】 进行补集、并集的运算即可． 【详解】； 1，． 故选：C． 【点睛】本题考查并集和补集的运算，是基础题. 2.已知复数z满足为虚数单位，则z等于
A. i B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由条件可得，再利用两个复数代数形式的除法法则求出结果． 【详解】解：复数z满足，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查复数的除法，属于基础题． 3.设，那么“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：，但，故是的必要不充分条件. 考点：充要条件． 4.函数的图象大致是
A. B.
C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性排除选项B、C项，然后利用特殊值判断，即可得到答案． 【详解】由题意，函数满足， 所以函数为偶函数，排除B、C， 又因为时，，此时，所以排除D， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除，以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题. 5.已知等差数列的前n项和为，，，为等比数列，且，，则的值为
A. B. 9 C. D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为d，运用等差数列求和公式解方程可得首项和公差，可得等差数列的通项公式，再设等比数列公比为q，运用等比数列的通项公式，即可得到所求值． 【详解】解：等差数列的公差设为d，前n项和为，，， 可得，， 解得，， 即有； 设为公比为q的等比数列，且，， 可得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 6.已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将已知条件两边平方，判断和的符号，将已知条件和联立，解方程组求得的值.
【详解】由两边平方并化简得，而，故.由
解得.故选A. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数值正负的判断，还考查了方程的思想，属于属于基础题.三角函数值的正负是由角所在的终边所在的象限来确定的，本题中题目给定角的取值范围，结合已知条件可以判断出正弦值和余弦值的符号，同时也可得到本小题解是唯一的. 7.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，
，有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨 ，，∴，又∵， ∴，故选D. 考点：三角函数的图象和性质. 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三 角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 8.设单位向量，对任意实数都有，则向量，的夹角为
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 可设的夹角为，根据为单位向量，对两边平方可得，，整理可得，，而该不等式对于任意的恒成立，从而得出，从而得出，这样即可求出． 【详解】解：是单位向量，设的夹角为； 对两边平方得，； 整理得，，该不等式对任意实数恒成立； ； ； ； 又； ． 故选：D． 【点睛】本题考查单向量数量积的运算，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角，是综合题，注意平方后转化为 9.已知定义在R上的奇函数，满足当时，则关于x的方程满足
A. 对任意，恰有一解 B. 对任意，恰有两个不同解 C. 存在，有三个不同解 D. 存在，无解 【答案】A 【解析】 【分析】 先通过导数研究函数在上的单调性，再根据奇偶性得函数图象的对称性，最后结合图象可得选A． 【详解】当时，，， 时，；时，， 在上递减，在上递增， ，在上递增， 又x大于0趋近于0时，也大于0趋近于0； x趋近于正无穷时，也趋近于正无穷， 又为R上的奇函数，其图象关于原点对称， 结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解． 故选：A． 【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用，函数的单调性，属难题． 10.设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值
范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得，可令，判断可得，可得，化为，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范围． 【详解】，， 令，，， ， ， ， ，y，z能组成一个三角形的三条边长， 可得， 即为， 设，可得，可令， 即有， 即为， 由， 当且仅当上式取得等号，但，可得， 则，即； 又设，可得，
由的导数为， 由可得，即函数y为增函数， 可得， 即有，即有， 可得， 故选：C． 【点睛】本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题，关键是转化为关于的函数求最值. 二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11.九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马
食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由题意可知z，y，z依次成公比为的等比数列，根据等比数列的性质及求和公式即可求得答案． 【详解】设牛、马、羊的主人应赔偿的斗栗分别为x,y,z. 由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列， 则， 解得， 则， 羊的主人应赔偿斗粟； 牛主人比羊主人多赔偿斗粟． 故答案为：；． 【点睛】本题考查等比数列的性质与前n项和，属于基础题． 12.已知函数，则______，若，则实数x的取值范围是______．
【答案】 (1). 2 (2). 或 【解析】 【分析】 先求，再求； 分和两种情况代的解析式，解方程即可． 【详解】因为， ， 当时，由得； 当时，由 3，得， 故答案为：2，或 【点睛】本题考查分段函数,解不等式属基础题． 13.已知，则______，又，则______．
【答案】 (1). (2). 3 【解析】 【分析】 利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得的值；再利用两角差的正切公式求得的值． 【详解】解：已知，则． ，则， 故答案为：；3． 【点睛】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题，注意配凑角的应用. 14.在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且，，，则角______，
______． 【答案】 (1). (2). 6 【解析】 【分析】 由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得：，结合，可求，结合范围，可求C的值，进而由余弦定理可求，解得a的值． 【详解】， 由正弦定理可得：， 可得：， ， 可得：， ， ， 又，， 由余弦定理，可得：，即， 解得：，或舍去． 故答案为：，6． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 15.已知实数a，b满足，则的取值范围是______．
【答案】 【解析】 【分析】 变形，由利用基本不等式解得ab的范围即可求解. 【详解】，又-ab,当且仅当a=b取等；即-ab，解得0≤ab≤2或 -≤ab<0,∴或,所以的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，换元法，将变形为ab的函数是关键，确定ab的范围是难点，属于中档题型． 16.已知平面向量，，满足，，的夹角为，，则的最大值为______．
【答案】 【解析】 【分析】 题意可设，，，结合已知可得，结合点到直线的距离公式及圆的性质可求 【详解】，，的夹角为， 由题意可设，，， ， ， 即， 由圆的性质可知，上的点到直线的距离的最大值为：
， 则的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质的应用，圆的性质的灵活应用是求解本题的关键． 17.已知函数，对于任意的，，都存在使得成立，则实数的取值范
围为______．