根式及其运算
第5课 二次根式及其运算
【例】 (1)已知x＝2－
探究提高
1.二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，
计算时要认真仔细. 2.可以适当改变运算顺序，使运算简便．
6 知能迁移3 (1) － 18－( 1 )0 2 2 解：原式＝3 2 －3 2 －1 ＝－1
(2)(－3)2－ 4 ＋( 1 )－1； 2 解：原式＝9－2＋2＝9 (3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值． 解：∵3< 10 <4，
第2课 二次根式
及实数运算
要点梳理
1．二次根式的概念：
式子 a (a≥0) 叫做二次根式． 2．二次根式的性质：
(1)( a )2＝ a(a≥0) ； a(a≥0) (2) a2＝|a|＝ 0(a＝0) －a(a< 0)
(3) ab ＝ (4)
a · b(a≥0，b≥0) ．
a (a≥0，b>0) ． b
∴原式＝
(2)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
解：∵a－b＝(3＋2
5)－(3－2 5 )＝4 5 ， ab＝(3＋2 5 )(3－2 5 )＝－11，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5 .
题型
二次根式运算中的技巧
，y＝2＋ 3 ，求：x2＋xy＋y2的值； 3 (2)已知x＋ 1 ＝－3，求x－ 1 的值． x x 解：(1)∵x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ， ∴x＋y＝(2－ 3 )＋(2＋ 3 )＝4， xy＝(2－ 3 )×(2＋ 3 )＝1， ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15.
∴ 10 的整数部分a＝3，小数部分b＝ 10 －3. ∴a2－b2＝32－( 10－3)2 ＝9－(10－6 10＋9) ＝－10＋6 10 .
高中数学知识点：根式的概念和运算法则
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：根式的概念和运算法则
1．n 次方根的定义：
若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；
n 为偶数时，正数y
的偶次方根有两个，记为；负数没有偶
0=.
2．两个等式
（1）当1n >且*n N ∈
时，n
a =； （2）⎩⎨
⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n
要点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．。
根式的化简与计算
根式的化简与计算根式作为数学中的一种基本表达形式，广泛出现在各类数学问题中。
为了更好地理解和计算根式，我们需要学会对其进行化简与计算。
本文将介绍一些常见的根式化简与计算方法，帮助读者更好地掌握这一技巧。
一、根式的基本概念在开始讲解根式化简与计算之前，我们先来回顾一下根式的基本概念。
根式通常以√符号表示，具体形式为√a，其中a为被开方数。
我们可以将根式看作是求平方根的运算符号，用于表示某个数的平方根。
根式的表示方式还可以进一步拓展，如∛表示立方根，∜表示四次方根等。
这些表示方法都是根式的一种推广，本文主要以√为例进行讲解。
二、根式的化简当我们遇到一些复杂的根式时，为了方便计算和理解，常常需要对其进行化简。
根式的化简主要包括以下几种情况：1. 同底根式的合并当两个根式具有相同的底数时，可以合并为一个根式。
例如，√a与√b可以合并为√(ab)。
这种方法可以简化根式的表达形式，使之更加简洁。
2. 平方根的化简对于平方根，可以利用公式√(a*b) = √a * √b进行化简。
将一个数的平方根化简为两个数的平方根的乘积，可以让计算更加简便。
例如，√(4*9)可以化简为√4 * √9，即2 * 3 = 6。
3. 有理化分母当根式出现在分母中时，一般需要将其有理化，即将其转化为分子为整数的分式。
有理化分母的常用方法是乘以该根式的共轭形式。
例如，将1/√2有理化分母，可以乘以√2/√2，得到√2/2。
三、根式的计算根式的计算是指对给定的根式进行具体的数值运算。
根式的计算方法主要有以下几种：1. 根式的加减运算当两个根式具有相同的底数和指数时，可以直接进行加减运算。
例如，√2 + √2 = 2√2。
如果无法直接加减，可以先进行有理化分母，然后再进行运算。
2. 根式的乘法运算将两个根式相乘时，可以利用乘积的性质进行化简。
例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。
3. 根式的除法运算将一个根式除以另一个根式时，可以利用除法的性质进行化简。
根式及其运算.
根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为x-2＜0，1-x＜0，所以原式=2-x+x-1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1＝22×256-1＋1＝22×256，的值．分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．解用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有两边平方得两边再平方得x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x ＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．解因为练习1．化简：2．计算：3．计算：。
第1部分 第1章 第2节 二次根式及其运算
解得 x≤2 且 x≠－1．故选 B．
第二节 二次根式及其运算
1
2
3
4
5
泰安考情分析 考点知识精讲 知能精准突破 10分钟小练 强化训练
1－2 (2022·新泰检测)若代数式 x＋1有意义，则实数 x 的取值 范围是________．
x≥－1 解析：∵ 代数式 x＋1有意义， ∴ x＋1≥0．∴ x≥－1． 故答案为 x≥－1．
4－1 等式 xx＋ －22＝ xx＋ －22成立的条件是(
)
A．x≠2
B．x≥－2
C．x≥－2 且 x≠2
D．x＞2
Байду номын сангаас
D 解析： D．
xx＋－22＝ xx＋ －22成立的条件是 x－2>0，得 x>2．故选
第二节 二次根式及其运算
1
2
3
4
5
泰安考情分析 考点知识精讲 知能精准突破 10分钟小练 强化训练
C． a2 D 解析：A．
D． a＋1 91＝13；B． 4＝2；C． a2＝|a|；D． a＋1是
最简二次根式．故选 D．
第二节 二次根式及其运算
1
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4
5
泰安考情分析 考点知识精讲 知能精准突破 10分钟小练 强化训练
3－2 (2021·重庆 A 卷)计算 14× 7－ 2的结果是( )
A．7
第二节 二次根式及其运算
1
2
3
4
5
泰安考情分析 考点知识精讲 知能精准突破 10分钟小练 强化训练
2－2 (2021·杭州)下列计算正确的是( )
A． 22＝2
B． －22＝－2
C． 22＝±2
二次根式运算法则
二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。
掌握了这些规则，可以帮助我们简化和求解二次根式的运算，提高计算的准确性和效率。
一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行相加或相减。
例如：√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式，不能直接进行相加或相减。
需要通过化简的方式将其转化为同类项，然后再进行运算。
例如：√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘，并合并同类项的方式进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除，并合并同类项的方式进行。
例如：√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式，可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。
常用的化简法则有以下几种：1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来，使其成为一个单独的因子。
例如：2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号消去。
例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时，需要注意运算的顺序。
一般按照先乘除后加减的原则进行。
根式及其运算
根式及其运算【2 】二次根式的概念.性质以及运算轨则是根式运算的基本,在进行根式运算时,往往用到绝对值.整式.分式.因式分化,以及配办法.换元法.待定系数法等有关常识与解题办法,也就是说,根式的运算,可以造就同窗们分解应用各类常识和办法的才能．下面先温习有关基本常识,然落后行例题剖析．二次根式的性质：二次根式的运算轨则：设a,b,c,d,m是有理数,且m不是完整平方数,则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时,假如它们的积不含有二次根式,则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去失落根号,所以因为x-2＜0,1-x＜0,所以原式=2-x+x-1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．解释若根式中的字母给出了取值规模,则应在这个规模内进行化简;若没有给出取值规模,则应在字母许可取值的规模内进行化简．例2 化简：剖析两个题分母均含有根式,若按照平日的做法是先分母有理化,如许盘算化简较繁．我们可以先将分母因式分化后,再化简．解法1 配办法．配办法是要设法找到两个正数x,y(x＞y),使x+y=a,xy=b,则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多反复合二次根式,可从里往外慢慢化简．剖析被开方数中含有三个不同的根式,且系数都是2,可以算作解设双方平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x,y,z均非负,所以xyz≥0,所以xyz=35．⑤⑤÷②,有z=7．同理有x=5,y=1．所求x,y,z显然知足①,所以解设原式=x,则解法1 应用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分化有(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0,所以x-4＝0,x＝4．所以原式＝4．解法2解释解法2看似简略,但对于三次根号下的拼集是很难的,是以本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁,不雅察x,y的特点有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy ＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求剖析本题的症结在于将根号里的乘积化简,不可一味蛮算．解设根号内的式子为A,留意到1＝(2-1),及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2,所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1＝22×256-1＋1＝22×256,的值．剖析与解先盘算几层,看一看有无纪律可循．解用结构方程的办法来解．设原式为x,应用根号的层数是无穷的特色,有双方平方得双方再平方得x4-4x2＋4＝2＋x,所以x4-4x2-x＋2＝0．不雅察发明,当x＝-1,2时,方程成立．是以,方程左端必有因式(x＋1)(x-2),将方程左端因式分化,有(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．解因为演习1．化简：2．盘算：3．盘算：。
高中数学中的根式与有理数运算规则
高中数学中的根式与有理数运算规则数学作为一门基础学科，是我们日常生活中必不可少的一部分。
在高中数学中，根式与有理数运算规则是我们学习的重点内容之一。
根式与有理数的运算规则不仅仅是为了解决实际问题，更是培养我们的逻辑思维和数学思维能力的重要途径。
首先，我们来了解一下根式的概念。
根式是指数学中的一种运算符号，表示开方运算。
在高中数学中，我们经常会遇到平方根、立方根等各种根式。
根式的运算规则主要包括加减乘除四则运算和化简等。
在进行根式运算时，我们需要注意一些基本的原则。
首先，根式的和差运算。
当我们需要对两个根式进行加减运算时，我们需要保持根号内的数相同，即保持根式的根次和底数相同。
例如，√2 + √3 不能直接进行加减运算，但可以化简为√6。
这样，我们就可以得到一个简化的根式。
其次，根式的乘法运算。
当我们需要对两个根式进行乘法运算时，我们可以直接将根号内的数相乘，并将根次相加。
例如，√2 × √3 = √6。
同样地，我们可以将根式化简为一个更简单的根式。
另外，根式的除法运算也是我们需要掌握的一项技能。
当我们需要对两个根式进行除法运算时，我们可以直接将根号内的数相除，并将根次相减。
例如，√6 ÷√2 = √3。
通过这样的运算规则，我们可以得到一个更简单的根式。
除了根式的运算规则外，有理数的运算规则也是我们需要掌握的重要内容之一。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
有理数的运算规则主要包括加减乘除四则运算和化简等。
在有理数的加法运算中，我们需要注意两个有理数的符号。
当两个有理数的符号相同时，我们可以直接将它们的绝对值相加，并保持原来的符号。
例如，(-2) + (-3) = -5。
当两个有理数的符号不同时，我们可以将它们的绝对值相减，并将结果的符号与绝对值较大的有理数的符号保持一致。
例如，7 + (-3) = 4。
在有理数的乘法运算中，我们需要注意两个有理数的符号。
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根式及其运算
二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式
运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、
待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同
学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进
行例题分析．
二次根式的性质：
二次根式的运算法则：
设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅
当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根
式，则这两个代数式互为有理化因式．
例1 化简：
b
b
法是配方去掉根号，所以
因为x-2＜0，1-x＜0，所以
原式=2-x+x-1=1．
＝a-b-a+b-a+b=b-a．
说明 若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；
若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．
例2 化简：
分析 两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，
这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．
b
b
解法1 配方法．
配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则
解法2 待定系数法．
b
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例4 化简：
(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．
分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成
解 设
两边平方得
b
b
②×③×④得
(xyz)2=5×7×35=352．
因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以
xyz=35．⑤
⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以
解 设原式=x，则
解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．
将方程左端因式分解有
(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．
b
b
因为
x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，
所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．
解法2
说明 解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本
题解法1是一般常用的解法．
例8 化简：
解(1)
b
b
本小题也可用换元法来化简．
解 用换元法．
解 直接代入较繁，观察x，y的特征有
所以
3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy
＝3(x＋y)2-11xy
＝3×102-11×1＝289．
例11 求
b
b
分析 本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．
解 设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)
＝a2-b2，所以
A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1
＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1
＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1
＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1
＝22×256-1＋1＝22×256，
的值．
分析与解 先计算几层，看一看有无规律可循．
b
b
解 用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的
特点，有
两边平方得
两边再平方得
x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．
观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x
＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有
(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．
解 因为
b
b
练习
1．化简：
2．计算：
3．计算：
b
b