图论及其应用1-3章习题答案

1. （题14）：证明图1-28中的两图是同构的

证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图

作映射f : f(v i )u i (1 i 10) 容易证明，对v i v j E((a)),有f(v i v j )u i u j E((b)) (1 i 10, 1j

10 )

由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。

2. （题6）设G 是具有m 条边的n 阶简单图。证明：m =⎪⎪⎭⎫

⎝⎛2n 当且仅当G 是

完全图。

证明 必要性 若G 为非完全图，则 v

V(G),有d(v)

n-1 d(v)

n(n-1) 2m n(n-1) m

n(n-1)/2=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛2n , 与已知矛盾！

充分性 若G 为完全图，则 2m=

d(v) =n(n-1)

m= ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛2n 。

3. （题9）证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。

证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k V 1 =m = k V 2 V 1

= V 2

。

4. （题12）证明：若δ≥2，则G 包含圈。

图1-28 (a)

v 1

v 2 v 3 v 4

v 5 v 6

v 7 v 8 v 9

v 10 u 1 u 2

u 3

u 4

u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 (b)

证明 只就连通图证明即可。设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。若v i1v i2…v in 是一条路，由于 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik v in v ik 构成一个圈 。

5. （题17）证明：若G 不连通，则G 连通。

证明 对)(,_

G V v u ∈∀,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_

G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_

G 中连通，因此，u 与v 在_

G 中连通。

习题二

2、证明：每棵恰有两个1度顶点的树均是路。

证明：设树T 为任意一个恰有两个1度顶点的树，则T 是连通的，且无圈，令V 1

、V 2 为度为1的顶点，由于其他的顶点度数均为0或者2，且T 中无圈，则从V 1到V 2 有且只有一条连通路。所以，每棵恰有两个1度顶点的树均是路。得证。 5、证明：正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树的度序列当且仅当

)1(21

-=∑=n d

n

i i

。

证明：设正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树T 的度序列，则满足

E d

n

i i

21

=∑=，E 为T 的

边数，又有边数和顶点的关系1+=E n ，所以)1(21

-=⇒

∑=n d

n

i i

14、证明：若e 是n K 的边，则3

)2()(--=-n n n n e K τ。

若e 为Kn 的一条边，由Kn 中的边的对称性以及每棵生成树的边数为n-1，Kn 的所有生

成树的总边数为：

2

)1(--n n n ，所以，每条边所对应的生成树的棵数为：

32

2)1(2

1

)1(--=--n n n n n n n ，所以，K n - e 对应的生成树的棵数为：

332)2(2)(----=-=-n n n n n n n n e K τ

16、Kruskal 算法能否用来求：

（1）赋权连通图中的最大权值的树？

（2）赋权图中的最小权的最大森林？如果可以，怎样实现？ 解：（1）不能，Kruskal 算法得到的任何生成树一定是最小生成树。 （2）可以，步骤如下：

步骤一：选择边e1，是的)(1e ω尽可能小；

步骤二：若已选定边i e e e ,...,,21，则从},...,{\21i e e e E 选取1+i e ，使 a 、}],...,[{121+i e e e G 为无圈图 b 、)(1+i e ω是满足a 的尽可能小的权； 步骤三：当步骤二不能继续执行时停止；

习题三

3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价：

（1）G 是块

（2）G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3）G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 证明：（1）→（2）：

G 是块，任取G 的一点u ，一边e ，在e 边插入一点v ，使得e 成为两条边，由此得到

新图1G ，显然1G 的是阶数大于3的块，由定理，G 中的u,v 位于同一个圈上，于是1G 中u 与边e 都位于同一个圈上。 (2)→(3):

无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取的点u ，边e ，若在上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如不在上，由定理，的两点在同一个闭路上，在边插入一个点v ，由此得到新图，显然的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 (3)→(1):

连通，若不是块，则中存在着割点，划分为不同的子集块,,,无环，12,x v y v ∈∈，点在每一条的路上，则与已知矛盾，是块。

13、设H 是连通图G 的子图，举例说明：有可能k(H)> k(G). 解：通常.

，则

.

、设G 的生成树，)(T E G T -=称为G 的余树，图G 的极小边割是指其 （1）T 不含G 的极小边割。

（2）e T +包含G 的唯一的极小边割，其中e 为G 的不在T 中的边。

证明：（1）设T 含有G 的极小边割S ，则T 中不含极小边割S ，由于T 是简单连通图G 的生