特征根法求解二元递推数列的通项公式
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已知a1,a2，且a n=ba n−1+ca n−2，求a n的通项公式。
解：设p,q∈C分别是x2−bx−c=0的两根，有
a n−(p+q)a n−1+pqa n−2=0
变形可得
a n−pa n−1
a n−1−pa n−2
=q (n≥2)
设b n=a n−pa n−1，即有b n
b n−1
=q，易得
b n=(a2−pa1)q n−2 (n≥2)
可得
a n=pa n−1+(a2−pa1)q n−2 (n≥2)
两边同时除以q n−2
a n q n−2=
p
q
∗
a n−1
q n−3
+(a2−pa1) (n≥2)
设c n=a n
q n−2
，代入上式得
c n=p
q
∗c n−1+(a2−pa1) (n≥2)
变形
c n+a2−pa1
p
q−1
=
p
q
(c n−1+
a2−pa1
p
q−1
) (n≥2)
易得
c n=(a1q+a2−pa1
p
q−1
)∗(
p
q
)
n−1
−
a2−pa1
p
q−1
所以有
a n=a2−qa1
p−q
∗p n−1−
a2−pa1
p−q
∗q n−1